Dạng 1: Phương pháp biến đổi cùng cơ số: Bài 1: Phương trình mũ: + Tìm điều kiện của phương trình nếu có + Nếu phương trình có một cơ số thì cộng các hệ số của cơ số với nhau.. + Biến [r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT I - Phương trình a) Phương trình mũ có dạng: a x m , đó a 0, a 1 và m > x + a m ⇔ x log a m a x =a m ⇔ x=m + Điều kiện phương trình: x > ( a 0, a 1 ) + Với m ∊ R, phương trình log a x m b) Phương trình lôgarit có dạng: log a x m , đó m là số đã cho m ⇔ x a log a x=log a m ⇔ x=m Ví dụ : Giải các phương trình mũ và logarit sau x 1 x 1 x1 3 a) 27 b) c) log ( x 2)( x 5) 2 d) log x ( x 5) log x (8 x) II – Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit Dạng 1: Phương pháp biến đổi cùng số: Bài 1: Phương trình mũ: + Tìm điều kiện phương trình (nếu có) + Nếu phương trình có số thì cộng các hệ số số với + Biến đổi phương trình cùng số và + Nếu phương trình có hai số thì chia hai vế cùng chung số mũ cho số bất kì x 1 x x a) 2.3 6.3 9 22 x 1.4 x 1 64 x d) e) x c) x x x b) 12 2 x 5 x 1 2 1 3x 3x 1 2x 2 x x 16 log x 5log2 x 1 5log2 x 13.3log x f) 39 31 log 40 x x=2 e, f, ĐS: a, x = b, x = c, x d, x = Bài 2: Phương trình logarit : + Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa + Biến đổi phương trình cùng số + Nếu phương trình cùng chung log a x thì cộng các hệ số log a x với + Nếu phương trình có log a b và log a c thì cộng (trừ) công thức b • log a b log a b • log a b+log a c=log a bc • log a b − log a c=log a c a) log 27 x log9 x log x 11 b) log ( x 8) log ( x 26) 0 c) ln (4 x +2)− ln( x − 1)=ln x ĐS: a, x = 36 d) log ( x 1) log e) log ( x f) (KD -11) c, x= b, x = 1, x = 28 x log8 ( x 4)3 x 1).log ( x x 1) log ( x log (8 x ) log 2log x log (1 5+ √33 ĐS: d, x 2, x 2 22log6 x 1log6 ĐS: e, x = 1, x 1) x x 0 ĐS: f, x = x ) log ( x x 2) 2 g) (KD-13) Bài tập tương tự 1) Giải các phương trình mũ sau: x 1 x 2x x 2x x a) 200 b) 35.5 35.7 0 log x log x 1 3.5log x 13.7log x e) 2) Giải các phương trình mũ sau: a) log16 x log x log x 7 ĐS: a, x = ĐS: g, x=¿ x x x x 1 c) 10 b, x = c, x = - − √3 log9 log x d) x 6 d, x 10 e, x = 100 b) log 25 (3 x 11) log ( x 27) 3 log ĐS: a, x = 16 b, x = 37 (2) log ( x 1) log c) log x log x log x log 20 x d) x−4 ¿ x − ¿ log x 3=8 log 22 √ x +log 22 ¿ e) ĐS c, x = 1 log ¿ Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ: Bài 1: Phương trình mũ: a A2 x b A x c 0 x b a A x c 0 A Phương trình dạng: Phương trình dạng: x log8 ( x 5)3 log ( x 3) d, x = e,x = 1, x = 2, x = 16 x Đặt: u A (u 0) B ¿ x =0 ¿ x B ¿ =0 ¿ ¿{ x AB ¿ +d ¿ A B ¿ x+ c ¿ A ¿x +b ¿ AB ¿ x +c ¿ A ¿x +b ¿ ¿ a.¿ x A u (u 0) B Chia hai vế phương trình cho số lớn nhỏ Đặt: x x Phương trình dạng: a ( A B ) b( A B ) c 0 mà ( A B )( A B ) 1 b A B pt : a( A B ) x c 0 A B ( A B )x x Đặt: u = ( A B ) ( u > ) Nếu phương trình có chứa ẩn x thì đặt: t=log a x ⇒ x =at 49 x 6.(0, 7) x x x x1 2x 1) 27 9 2) 10 2 ( x 2x x 2 x 2 254 x 4) 5) 2 x x 1 92 x x 1 34.152 x x 7) 25 x2 ) 12.2( x 1 x2 ) thay vào phương trình khử x 2 2sin x 32cos x 10 3) 12 x 6.2 x x x 0 6) 0 x x x x 8) 3.8 4.12 18 2.27 0 x 11) (3 5) 16.(3 1ln x 6ln x 2.32ln x 9) 5) x 2 x3 t anx t anx 10) (5 6) (5 6) 10 √ 2− 1¿ x − 3=0 log 2 x x log2 2.32 2log x 12) 3+2 √ ¿ x − 2¿ 13) 14) 9log x +6 x 2=13 x log ¿ k x 0, x x x x=1 ± √ x log 0,7 2 4,x=3 ĐS: 1, 2, 3, 4, 5, 33 x 1, x log 2 6, 7, x = 0, x = 2, x 1 8, x =1 9, x e x log 3 x k x=log √2+ x= 4 10, 11, 12, 13, 14, x = 1, x = Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: 2 (3) x x x 4) 27 12 2.8 7) x 7 48 48 |x− 1| 6) −3 −3 x +7=0 x 14 x x 8) ( 1) ( 1) 2 0 log x − log x − 5=0 10) x +2 x 2 x x x x 1 3) 5.3 7.3 6.3 0 3 2cos x 7.41cos x 0 2) 3x x x x 1 5) x x 1) 64 5.2 0 23 5 x 5 x 1 5 x log3 , x log 5 3, 4, x = 8, x = 1, x = - 17 x , x (5 log 22 ) 11, 11) ĐS: 1, x = 3, x = log38 5, x = 6, x = log 3 log x 6log2 x x 9) 2.9 x k 2, 7, x = 2, x= - x= , x=2 10, 5 x 1 9, x 2, x 2 Bài 2: Phương trình logarit : + Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa + Biến đổi phương trình cùng số và biến đổi hai dạng sau: b a.log m c 0 a.log m b.log m c 0 log m Đặt: u log m 2 1) log ( x 1) log ( x 1) 7 log3 x log 27 x log x log81 x 4) log x log x 0 x x1 3) log (3 1).log (3 3) 6 3 (2 log x ) log x 1 log x log 32 x 1 log x x 5) 6) x log x 2.log x log16 x log x log 2 7) 8) log x (2 x x 1) log x 1 (2 x 1) 4 7/4 ĐS: x = 3, x = + 2 x = 4, x = 49 x log3 10, x log 28 / 27 x = 1, x = 1/243 2) 1 x , x 81 x 1, x 3, x x 4, x x 2, x 4 Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: (log 27 x ) x 1 x log x2 16 log x 64 3 10log 27 x 0 1) 3log 27 x 2) log (4 4).log (4 1) 3 3) log 2( x 1) 4( x 1) log x 1 ( x 1) 5 log x 7 (4 x 12 x 9) log x 3 (6 x 23 x 21) 4 4) 5) ĐS: x 3, x 3 x 0 x 4, x 2 Dạng 3: Phương pháp logarit hóa + Biến đổi phương trình dạng: a b (1) x 2 3 33 1 x = - 1/4 + Lấy logarit (1) theo số a b hai vế log a a log a b log a b + Nếu phương trình chứa log c x thì lấy số c hai vế x 1) x x 500 2) 4.9 x 3 2 x 1 3log x log x 3) x 100 10 log 25 (5 x ) x log5 4) x 1 1 x 3, x log ĐS: x 10, x 10 x 5 , x 5 Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: (log x −log x −3 ) x x x 6 log x 7 = 104(log x1) 1) 5 2) x 3) x 4) x 2x +3 − 3x +2 x− 6=3 x +2 x− −2 x 4 ĐS: x 3, x 2 log 2 x 10, x 10 x 1, x 2, x 4 x = 2, x = - + log32 Dạng 4: Phương pháp đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm B1: Đặt điều kiện phương trình (nếu có) Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) 2 2 (4) B2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x) chứng minh f(x) luôn đồng biến và g(x) là số nghịch biến hoăc ngược lại B3: Tìm x0 cho f(x0) = g(x0), nên x0 là nghiệm phương trình Chú ý: + Nếu < a < thì lna < + a > thì lna > ¿ t =log a f ( x) t=log b g(x ) ⇔ + Nếu phương trình có dạng: log a x=log b y ta đặt: ¿ f ( x)=at g ( x)=bt ¿{ ¿ x 1 x log x x x x 2log3 x x log3 1) 2) log3 x x 11 3) 10 4) x x − 1¿ 2 log ( x x ) log x 5) x −1 x − x 6) log x log ( x 2) 7) −2 =¿ ĐS: x = x = x = x = x = x = x = 28 Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: log x x /2 log x log ( x x 95) x log2 1) log x 4 / x 2) 1 3) x x 4) ĐS: x = x = x = Dạng 5: Phương trình không mẫu mực Bài 1: Phương trình biến đổi tích P(x).Q(x) = x 1) 2 x 4.2 x 2 x x = 27 2) x 22 x 0 log x log x.log x 1 x 2 x 1 1 2x 1 x 2 x 3 x x 2 x 42 x x 4 x 4) (KD-10) ĐS: x = 0, x =1 x = 2, x = - 2, x = x = 1, x = 4 x = 1, x = Bài 2: Đặt ẩn phụ - hệ số chứa ẩn (Lưu ý: Phương pháp này sử dụng là số chính phương) x x 1) 3.25 (3 x 10).5 x 0 2) ( x 2) log ( x 1) 4( x 1) log ( x 1) 16 3) ĐS : x 2, x 2 log 1/ Bài tập tương tự Giải các phương trình sau: x x x x 1) 12 3.3 5 20 0 2) x (9 x = 3, x = 80/81 x2 3 x2 ) 32 x2 1 2x x x 3) log x ( x 1) log x 6 x 4) x(3 1) 4.3 0 ĐS : x log x = 9, x = -2, x = x = 2, x = 1/4 Dạng 6: Phương trình chứa tham số Cách 1: Sử dụng tam thức bậc hai : Ax2 + Bx + C = (1) + (1) có hai nghiệm phân biệt A 0, + (1) có hai nghiệm trái dấu 3 x2 1 x 18 x = P 0 A 0, + (1) có hai nghiệm dương phân biệt S 0, P A 0, S 0, P + (1) có hai nghiệm âm phân biệt Chú ý: So sánh hai nghiệm với + Nếu x1 < < x2 (x1 - )(x2 - ) < ( x )( x2 ) ( x )( x2 ) S / S / + Nếu x1 < x2 < + < x1 < x2 Cách 2: Sử dụng hàm số Ta biến đổi phương trình dạng m = f(x), phương trình có nghiệm đường thẳng y = m cắt hàm số y = f(x) (5) + Tính f/(x) và tìm nghiệm f/(x) = + Lập bảng biến thiên và tìm tham số m x x 1) Cho phương trình 4m.2 2m 0 Giải và biện luận phương trình theo tham số m 1 m m m ( 1ng) (vn), (2ng), ĐS: sin x 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 81cos x m 3) Tìm a để pt sau có nghiệm : x 1 a x ĐS: 18 ≤ m ≤ 82 x 2 x ĐS : a 0 a x 4) Tìm m để phương trình : (m 3).16 (2 m 1).4 m 1 0 có hai nghiệm trái dấu ĐS: 1 m 2 5) Cho phương trình log3 x log x 2m 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có ít 1;3 nghiệm thuộc đoạn ĐS: m log (mx x ) log ( 14 x 29 x 2) 0 6) Tìm m để phương trình : có nghiệm phân biệt ĐS : 19 m 39 / log 22 x log x m(log x 3) 7) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [32; ) ĐS: < m Phương trình chứa tham số x x 1) Cho phương trình 4m.2 2m 0 Giải và biện luận phương trình theo tham số m 1 m m m ( 1ng) (vn), (2ng), ĐS: Giải Cách 1: ' Đặt: t = 2x, t > 0, ta có : t2 + 4mt + 2m + = (1); 4m 2m 1 ' 4m 2m m 1 + Nếu thì pt (1) vô nghiệm m ' 0 (*) m 1 + Nếu thì pt có nghiệm 2m m m0 m m + Phương trình (1) có hai nghiệm âm Kết hợp điều kiện (*) ta có m thì phương trình vô nghiệm 2m 1 m m + Phương trình (1) có hai nghiệm dương thì phương trình có hai nghiệm Kết hợp điều kiện (*) ta có: + Phương trình (1) có hai nghiêm trái dấu có 1ng t = 2m 0 m Kết hợp điều kiện (*) ta có: m Cách 2: Sử dụng khảo sát hàm số m 2 sin x 81cos x m 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81 Hdẫn: (6) sin x t 81 t 1;81 Phương trình trở thành: Đặt Khảo sát hàm số ta kết 18≤ m ≤82 x x 1 a : Tìm a để pt sau có nghiệm : Hdẫn : 1 t 81 m t x 2 x x 1 1 x 1 a t t t a 0 t Đặt t= (t>0) phương trình trở thành : a 0 a ĐS : x x 4) Tìm m để phương trình : (m 3).16 (2 m 1).4 m 1 0 có hai nghiệm trái dấu ĐS : 1 m HD Đặt: t = 4x, t > Ta có : (m + 3)t2 + (2m – 1)t + m + = (1) Yêu cầu bài toán (1) có hai nghiệm dương thõa mãn t1 < < t2 0, S 0, P 3 11 (t1 1)(t2 1) 1 m − < m<− P S 4 20 2 5) Cho phương trình log3 x log x 2m 0 (m là tham số) Tìm m để phương trình có ít 1;3 nghiệm thuộc đoạn ĐS: .0m2 HD 3 log x log x t 1 x 3 t 2 + Đặt: t = + Phương trình đã cho trở thành : t2 + t = 2m + (1) 1;3 và (1) có nghiệm t 2 + Phương trình đã cho có nghiệm trên + Xét hàm số f(t) = t + t với t 2 , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên đoạn [1;2] Suy ra: = f(1) f (t ) f (2) 5, t [1; 2] 2m 5 m Vậy phương trình có nghiệm log (mx x ) log ( 14 x 29 x 2) 0 6) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt 19 m 39 / Giải + PT log (mx x ) log ( 14 x 29 x 2) ĐS : 1/14 x 2 m 6 x 14 x 29 x (*) + Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt x thuộc (1/14; 2) 14 x 29 x mx x 14 x 29 x (7) Xét hàm số: f ( x) 6 x 14 x 29 f ' ( x) 12 x 14 + Ta có : + Bảng biến thiên: x , x2 x 14 12 x 14 x f ' ( x) 0 2 x x 14 ’ f (x) f(x) + - x 1/ x 1 + 39 24 98 19 Dựa và bảng biến thiên, suy (*) có ba nghiệm phân biệt 19 m 39 / log 22 x log x m(log x 3) 7) Tìm m để phương trình ĐK: x>0 Đặt t log x; x [32; ) t [5; ) Phương trình trở thành: +t=3 không là nghiệm +t≠3 ta có t 2t m f (t ) ; t [5; ) t 2t lim f (t ) 1; f '(t ) 0 t (t 3) t 2t HSNB trên [5;+∞) Lập BBT ta có 1<m có nghiệm thuộc [32; ) t 2t m(t 3) (8)