Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC... PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG..[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT THANH OAI Trường THCS Thanh Văn Đề THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN (Thời gian 120 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5điểm ) Cho c2=ab Chứng minh rằng: a; b; a2 +c a = 2 b +c b 2 b −a = 2 a +c b− a a 213 Ba phân số có tổng 70 , các tử chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu chúng tỉ lệ vối 5;1;2 Tìm ba phân số đó Câu (6 điểm ) Cho đa thức: f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – Tính giá trị đa thức x = 1999 Chứng minh m và n là các số tự nhiên thì số: A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn Câu 3.(2 điểm ) Tìm số tự nhiên x để phân số x −8 x −3 có giá trị lớn Câu (7 điểm ) Cho tam giác ABC cân A, ∠ B = 500.Gọi K là điểm tam giác cho ∠KBC =100, ∠KCB = 300 a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo ∠ BAK Cho ∠ xAy = 600 có tia phân giác Az Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh : a, K là trung điểm AC b, Δ KMC là tam giác c, Cho BK = cm Tính các cạnh Δ AKM - Hết- (2) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Môn: Toán 7( Năm 2013-2014) Câu (5đ) 2 2 a c a + c a + a b a ( a+ b ) a = = = = = 1.(2đ) a, Từ c =a.b 2 2 b ( a+ b ) b c b c +b a b+b a2 +c a b2 +c b = ⇒ 2= b, Theo câu a ta có c2 +b b a +c a b2 +c b b2 +c b b2 − a2 b −a = ⇒ −1= −1 ⇒ ⇒ = a a a2 +c a a2 +c a 2+ c2 213 (3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 70 Và a : b : c = : : = : 40 : 25 ……… 12 15 Suy a = 35 ; b= ; c = 14 a c ⇒ = ⇒ c b 2 Câu 2.(6điểm ) (3đ) f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14+…+1999x + x – f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915- 199914+…+19992+1999 – = 1999 – = 1998 2.(3đ) Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = … = 2m + 2n – Với m, n N thì 2m + 2n - là số lẻ Do đó hai số 5m + n +1 và 3m – n +4 phải có số chẵn Suy tích chúng là số chẵn Vậy A là số chẵn Câu (2 đ) 2(7 x − 8) (2 x −3)+5 x −8 Đặt A= x −3 = 2(2 x − 3) = 2(2 x − 3) = + 2(2 x − 3) Đặt B= 2(2 x −3) Thì A lớn và B lớn ……GTLN A=6 và x=2 Câu 4;(7 đ) 1.(4đ) a,-vẽ tia phân giác ∠ ABK cắt CK I … .Ta có Δ IBC cân nên IB=IC … ΔBIA =Δ CIA (ccc) …nên ∠BIA =¿ ∠CIA =120o Do đó Δ BIA=Δ BIK (gcg) ⇒ BA =BK b, …… Từ phần a ta tính ∠ BAK=70o 2.(3đ) V ẽ h ình , GT _ KL (3) a, ABC cân B CAB ACB(MAC ) và BK là đường cao BK là đường trung tuyến K là trung điểm AC b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = AC BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = CK MKC là tam giác cân ( ) Mặt khác : MCB = 900 và ACB = 300 MCK = 600 (2) Từ (1) và (2) MKC là tam giác c) Vì ABK vuông K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vuông K nên theo Pitago ta có: AK = AB BK 16 12 Mà KC = AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) => AM = AH + HM = (4) PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 - Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) Câu a Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105 b Tìm số nguyên tố p cho p + và p + là số nguyên tố Câu Tìm x biết : a x x 1 1 2013 2012 2014 ) x = 2012 2013 b ( Câu x ; y 5x = 7z và x – 2y + z = 32 a Tìm x; y; z biết x y z 5t x z x y z t y t b Cho Chứng minh: c Tìm giá trị nhỏ A = x 2013 2014 x x 2015 Câu Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC M và N Gọi I là giao điểm MN và BE a Biết AB < BC Chứng minh: Â > 600 b Chứng minh IM = IN c Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC … Hết… Họ và tên: Số báo danh (5) PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Câu Ý Nội dung a 52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5) = 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105 Điểm 0.5 0.5 Câu b 0.25 0,25 *) Nếu p = 3k + ta có: 2p + = 2(3k + 1) + = 6k + = 3(2k +1) là hợp số ( trái gt) *) Nếu p = 3k + ta có 2p + = 2(3k + 2) + = 6(k + 1) là hợp số ( trái gt) a Vậy p = 3k, mặt khác p là số nguyên tố nên p =3 x thì x x 2x – = x +1 x = Nếu Nếu Câu b a b Câu x 3 x x – 2x = x +1 3x = x = thì 0.5 0.5 0,5 Vậy x = x = 1 2013 2012 2014 ).x = 2012 2013 (2 1 2012 2011 1 1 1 1 (2 2014 ).x = 2012 2013 0,5 1 2014 2014 2014 2014 2014 (2 2014 ).x = 2012 2013 2014 0,25 1 1 1 1 2014( ) (2 2014 ).x = 2012 2013 2014 x = 2014 x x y x y x z x z Ta có y 21 14 (1); 5x = 7z 21 15 (2) 0.25 x y z x 2y z 32 4 Từ (1) và (2) ta có: 21 14 15 = 21 28 15 0.5 Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60 x y z 5t Đặt: x y z 7t = k 7x + 5y = k(3x – 7y) (3k – 7) x= (7k + 5)y 0.25 x 7k y 3k (1) 0.25 0,5 0,5 z 7k Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t) (3k – 7)z = (7k + 5)t t 3k (2) c Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh x 2013 2014 x x 2015 ( x 2013 2015 x ) x 2014 A= = 0.25 (6) Ta có: x 2013 2015 x x 2013 2015 x 2 Dấu “=” xảy khi: 2013 x 2015 (1) Lại có: x 2014 0 Dấu “=” xảy x = 2014 (2) Từ (1) và (2) Ta có minA = Dấu 0.25 0.25 “=” xảy x = 2014 0.25 A E C I N M H D B Câu O a b c Do AB < BC nên A B mà B C vì tam giác ABC cân Mà A B C 180 nên ta có 1.0 A 600 (HS có thể c/m phản chứng) HS chứng minh BDM = CEN suy EN = DM 0.5 HS chứng minh IDM = IEN suy IN = IM 0.5 Kẻ AH vuông góc với BC Gọi O là giao điểm AH và đường thẳng vông góc với 0.5 MN I HS chứng minh O là điểm cố định Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm bài hình Phòng GD & ĐT Hiệp Hòa Trường THCS Xuân Cẩm đề khảo sát chất lƯợng hsg NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN LỚP 0,5 (7) (Thời gian làm bài 120 phút ) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: a) 16 200 ( ) và 1000 () b) (-32)27 và (-18)39 Câu 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x +3|−8|=20 2006 2008 Câu 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5) +(y - 1) + (x - z) 2100 = b) x y z = = và x2 + y2 + z2 = 116 Câu 4: (1,5 điểm): Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a/ Xác định bậc A b/ Tính giá trị A 15x - 2y = 1004z Câu 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M = x y z t + + + x+ y + z x + y +t y + z+ t x + z +t có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N ❑ ) Câu 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi c) Đường thẳng DN vuông góc với AC d) IM là phân giác góc HIC Hết (8) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM câu 1: (1,5 điểm): Đáp án a 200 (161 ) Cách 2: ( ) 16 ( 12 ) =( 12 ) 200 a) Cách 1: = 200 200 2: (1,5 điểm): ( 12 ) 200 > 1000 25 ¿ 27 = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 ¿ ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39 (0,75điểm a a) (2x-1)4 = 16 Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm) b b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -1 c) ||x +3|−8|=20 ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 |x +3|−8=−20 ⇒ x *Nếu |x +3|−8=20 ⇒ |x +3|=28 = 25; x = - 31 *Nếu |x +3|−8=−20 ⇒ |x +3|=−12 : vô nghiệm a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = ⇒ 3x - = 0; y2 - = ; x - z = (0,5điểm) a b b) x=z= x y z = = Từ giả thiết ⇒ a b 5: (1 điểm): > Biểu điểm (0,75điểm) b) 3227 = ⇒ 4: (1,5 điểm): ( 12 ) =( 12 ) (321 ) = 1000 b c 3: (1,5điểm): 800 ;y = -1;y = (0,75điểm (0,75điểm và x2 + y2 + z2 = 116 2 2 2 x y z x + y + z 116 = = = = =4 16 4+ 9+16 29 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A có bậc (0,75điểm (0,75điểm b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 15x - 2y = 1004z (0,75điểm x x x < < x + y + z +t x+ y+ z x + y y y y < < x + y + z +t x+ y+ t x + y z z z < < x + y + z +t y + z+ t z +t t t t < < x + y + z +t x+ z +t z +t (0,25điểm) Ta có: (0,25điểm) (0,25điểm) (9) x + y + z +t < M <¿ x + y + z +t x y z t ( + )+( + ) x+ y x+y z +t z +t ⇒ (0,25điểm) hay: < M < Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 6: (3 điểm): a (0,25điểm) (0,5điểm) a AIC = BHA BH = AI B (0,25điểm) H D M I N A C b b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c c AM, CI là đường cao cắt N N là trực tâm DN AC (0,75điểm) d d BHM = AIM HM = MI và ÐBMH = ÐIMA mà : Ð IMA + ÐBMI = 900 ÐBMH + ÐBMI = 900 HMI vuông cân ÐHIM = 450 mà : ÐHIC = 900 ÐHIM =ÐMIC= 450 IM là phân giác ÐHIC (0,25điểm) Chú ý - Học sinh giải cách khác mà đúng cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm bài hình Hết - (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (10) PHÒNG GD – ĐT TƯ NGHĨA Trường THCS Nghĩa Điền ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP - NĂM HỌC 2013 – 2014 Thời gian làm bài 150phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (5điểm) a) chứng minh (817 – 279 – 913 ) b) Tìm x biết (2x – 1)4 = 81 Bài 2: (2điểm) Tìm các số x, y, z biết ⋮ x y z = = 405 và x – 3y + 4z = 62 x+ Bài 3: (2điểm) Cho f(x) = x −1 a) Tìm x để vế phải có nghiã b) Tính f(0) c) Tìm x Z để f(x) có giá trị nguyên Bài 4: (5điểm) 102011 A 2012 10 và a) so sánh các số sau : 102012 B 2013 10 1 2 2 A 1.3 3.5 5.7 2011.2013 b) Tính tổng : Bài 5: (3điểm) Cho Δ ABC, Â > 900, đường cao AH, BÂH = giác góc B cắt AC E, tia phân giác góc BAH cắt BE I a) So sánh AB với EB b)Chứng minh Δ AIE là tam giác vuông cân ^ C Tia phân Bài 6: (3điểm) Cho Δ ABC vuông A, đường phân giác BE Kẻ EH (H BC), gọi K là giao điểmcủa AB và HE Chứng minh rằng: a) Δ ABE = Δ HBE b) BE là đường trung trực đoạn thẳng AH, c) BE CK HẾT BC (11) ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP - NĂM HỌC 2013 – 2014 Bài 1: (5điểm) 13 a) 817 – 279 – 913 = ( 34 ) – ( 33 ) – ( 32 ) = 328 – 327 – 326 = 326( 32 – – 1) = 326 = 322 34 = 322 405 (2đ) Do đó (81 – 279 – 913) ⋮ 405 (1đ) b) (2x – 1)4 = 81, (2x – 1)4 = 34 ⇒ 2x – = ⇒ x = (2đ) x y z = = x y 4z = = = 36 Bài 2: (2điểm) có ⇒ ⇒ x= 8, y = 6, z = 18 x+ x −1 có nghĩa x – b) f(0) = – c) f(x) = x+ x −1 Bài 4: (0,5đ) (1đ) =1+ ⇒ x (0,5đ) (0,5đ) x −1 Để f(x) có giá trị nguyên thì x –1 x –1 x (0,5đ) x+ x −1 Bài 3: (2điểm) f(x) = a) x y 4z = = 36 x −3 y +4 z 62 = = (vì x – 3y + 4z = 62) −9+36 31 ⇒ Ư(3) = { 1;3 ; − 1; −3 } -1 -3 -2 (1đ) (5điểm) 2012 10 10 10 A 10 2012 10 2012 a) Ta có : 10 2013 10 10 B 1 2013 2013 10 1 10 1 9 2012 2013 > 10 nên 10A>10B Do đó A>B Vì 10 b) 2 2 A 1.3 3.5 5.7 2011.2013 1 1 1 1 3 5 2011 2013 2012 1 2013 2013 Bài (3điểm) (vẽ hình đúng đạt 0,5đ) (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) (1đ) (12) a) Δ ABE, Â > 900 nên Ê1 nhọn, ⇒ AB < EB (Quan hệ góc - đối diện tam giác) (0,5đ) B H I C A E b) Có Â1 + C = 900 Â2 = Â3 = ½ BAH (AI là phân giác) C = ½ BAH (suy từ GT) Do đó Â2 = C ⇒ Â1 + Â2 = 900 ⇒ AI AC (1đ) ⇒ Ê1 + I1 = 90 (1) Mà Ê1 = B1 + C (góc ngoài Δ BEC), I1 = Â3 + B2 Vì B1 = B2 (BE là phân giác) Nên (1) ⇒ Ê1+ I1 = B1+ C+Â3+B (1đ) = B1 + 2C = 90 ⇒ B1 + C = 450 hay Ê1 = 450 Do đó Δ AIE là tam giác vuông cân Bài (3điểm) (vẽ hình, ghi GT, GL đúng đạt 0,5đ) B a) Δ ABE = (0,5đ) H A K E C Δ HBE (cạnh huyền – góc nhọn) b) BE là đường trung trực đoạn thẳng AH, Δ ABE = Δ HBE ⇒ BA = BH & EA = EH ⇒ B, E thuộc đường trung trực đoạn thẳng AH BE là đường trung trực đoạn thẳng AH (1đ) c) CA BK, KH BC , KH cắt CA E ⇒ E là trực tâm Δ BKC, đó BE là đường cao thứ ba hay BE CK (1đ) (13) TRƯỜNG THCS TRỰC TĨNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG Môn: Toán Năm học: 2013-2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Phần I Trắc nghiệm: (2 điểm) Em hãy chọn đáp án đúng và viết vào bài làm mình Câu 1: Cho tam giác cân có độ dài hai cạnh là 3cm và 21cm Chu vi tam giác đó bằng: A 39cm B 27cm C 45cm D 46cm Câu 2:Khẳng định sau đúng hay sai? Tổng hai đa thức không cùng bậc là đa thức có bậc bậc cao các đa thức hạng tử A Đúng B Sai Câu 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x - Khi đó, ta có: A f(-2) > f(-1) > f(0); B f(-2) < f(-1) < f(0); C f(-2) > f(0) > f(-1); Câu 4: Cho hàm số : y = f(x) = 2x2 + Khẳng định nào sau đây là đúng? A f(0) = B f(1) = -f(-1) C f(2) = f(-2) D f(-2) < f(0) < f(-1) D f(0) = f(-1) II/ Tù luËn Bài 1: (3 điểm) Thực phép tính a 415 9 − 320 89 210 619 − 229 27 b ¿ A=1+ 3 100 + + + + 100 2 2 Bài 2: (5 điểm) a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; 21 :|2 x −1| = 22 x − y y −2 z = c Tìm x, y, z biết: 15 b Tìm x, biết: Bài 3: (1 điểm) Cho tỉ lệ thức a c = b d và x + z = 2y Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K là trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D , cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H là trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh: Δ HMN cân Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM (14) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN I/ TRẮC NGHIỆM( Mỗi câu ntrả lời đúng cho 0,5 điểm) Câu Đáp án B A B C II/ TỰ LUẬN Bài (3 điểm) 415 9 − 320 89 10 19 29 − 27 a 415 9 − 320 89 22 15 32 − 22 320 23 = 210 619 − 229 27 210 219 319 −7 229 33 229 18 ( −3 2) ¿ 29 18 ( 3− ) 10 −9 =− = 15 −7 3 100 A=1+ + + + + 100 (1) 2 2 Nh©n c¶ hai vÕ cña A víi 1 100 A=1 − + + + + + 101 (2) 2 2 2 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5® b Tõ (1) vµ (2) ta cã 1 1 100 A − A=1 − + + + + .+ 100 + 101 2 2 2 1 1 100 A=1+ + + + + + 100 + 101 2 2 2 99 100 A=2+ 99 + 100 2 0,5đ 0,5đ Bài 2: (5 điểm) Giải: a Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16 2x – – 6x – – 8x – 12 = 16 -12x – 20 = 16 -12x = 16 + 20 = 36 x = 36 : (-12) = -3 b Tìm x, biết: 21 :|2 x −1| = 22 Ta có: (vì x = ½ thì 2x – = 0) 21 :|2 x −1| = 22 21 : (2x – 1) = 22 21 22 11 = 2x – = : = 22 21 Nếu x> 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (15) 11 14 +1= 3 14 x= :2= > 3 Nếu x< Ta có: 21 :|2 x −1| = 22 21 : (1 - 2x) = 22 11 -2x = -1= 3 x= : (-2) = − < 3 Vậy x = x = − 3 2x = c Tìm x, y, z biết : 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x − y y −2 z = 15 và x + z = 2y Từ x + z = 2y ta có: x – 2y + z = hay 2x – 4y + 2z = hay 2x – y – 3y + 2z = hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ 0,25đ Vậy nếu: 0,25đ x − y y −2 z = 15 thì: 2x – y = 3y – 2z = (vì 15) y Từ 2x – y = suy ra: x = Từ 3y – 2z = và x + z = 2y x + z + y – 2z = hay +y–z=0 z suy ra: x = z 3 Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z R } 3 {x = y; y R; z = y} {x R; y = 2x; z = 3x} 2 a c = Bài 3: (1 điểm) Cho tỉ lệ thức Chứng minh : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) b d hay y y Ta có: - z = hay y = (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd cb = ad suy ra: a c = b d 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A; K là trung điểm BC Trên tia đối tia KA lấy D, cho KD = KA a Chứng minh: CD // AB b Gọi H là trung điểm AC; BH cắt AD M; DH cắt BC N Chứng minh rằng: ABH = CDH c Chứng minh: Δ HMN cân Giải: (16) D B K N M A H C a/ Chứng minh CD song song với AB Xét tam giác: ABK và DCK có: BK = CK (gt) ^ A=C ^ BK K D (đối đỉnh) AK = DK (gt) ABK = DCK (c-g-c) ^ C +A C ^ B=90 A C ^ D= A C ^ B+ B C ^ D=900 ^ K ; mà A B D C^ K=D B ^ D=900=B ^ AC A C AB // CD (AB AC và CD AC) b Chứng minh rằng: ABH = CDH Xét tam giác vuông: ABH và CDH có: BA = CD (do ABK = DCK) AH = CH (gt) ABH = CDH (c-g-c) c Chứng minh: Δ HMN cân Xét tam giác vuông: ABC và CDA có: ^ D=900=B ^ AB = CD; A C A C ; AC cạnh chung: ABC = CDA (c-g-c) ^ ^ A C B=C A D ^ A=N H ^ C (vì ABH = CDH) mà: AH = CH (gt) và M H AMH = CNH (g-c-g) MH = NH Vậy HMN cân H Bài 5: (2 điểm): Chứng minh số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11 Giải: abcabc = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c Ta có: = a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1) = (103 + 1)( a.102 + b.10 + c) = (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c) = 11.91( a.102 + b.10 + c) ⋮ 11 Vậy abcabc ⋮ 11 …………… Hết…………… Equation Chapter Section PHÒNG GD & ĐT HƯƠNG SƠN Trường THCS sơn Tiến ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,50đ 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,50đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ (17) Câu 3 11 12 1,5 0, 75 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 11 12 a Thực phép tính: b chứng minh : 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) 3 0,375 0,3 \* MERGEFORMAT Câu x 2010 x 2012 x 2014 2 a Tìm x biết : b Tìm x; y Z biết: xy x y 5 Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x Từ đó áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n 2bz 3cy 3cx az ay 2bx x y z a 2b 3c b Cho Chứng minh: a 2b 3c Câu Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: p m−1 = m+n (1) p Chứng minh : p2 = n + Câu o Cho tam giác ABC ( BAC 90 ), đường cao AH Gọi E; F là điểm đối xứng H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M và N Chứng minh rằng: a AE = AF; b HA là phân giác MHN ; c CM // EH; BN // FH Câu Cho ba số dương a b c 1 chứng minh rằng: a b c 2 bc ac ab Hết Họ và tên: Số báo danh: ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN Câu Ý Câu a điểm điểm Nội dung 3 3 3 10 11 12 53 5 5 5 A = 100 10 11 12 Điểm (18) 1 1 1 1 3 3(165 132 120 110 ) 10 11 12 1320 53 66 60 55 53 1 1 1 5( ) 5 5 100 660 100 10 11 12 2 4 263 263 3 3 3945 1881 1320 1320 53 49 1749 1225 5948 29740 660 3300 A= 100 b điểm a 1,5 điểm = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 b) ta có x 2010 x 2012 x 2014 x 2010 2014 x x 2012 2 Mà Câu b điểm 1,5.điểm a điểm Câu điểm x 2010 x 2012 x 2014 2 (*) nên (*) xảy dấu “=” x 2012 0 x 2012 2010 x 2014 Suy ra: Ta có: xy + 2x - y = x(y+2) - (y+2) = 3 -1 -3 x-1 -3 -1 x -2 y -1 -3 -5 1đ f x ax bx c 0.5 (a 0) 0,5 Ta có : 1 y+2 f x 1 a x 1 b x 1 c 0,5đ (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: a 2a 1 b f x f x 1 2ax a b x b a 0 0,5 1 f x x2 x c 2 Vậy đa thức cần tìm là: (c là số tùy ý) Áp dụng: + Với x = ta có : 0,5 f 1 f 1f f + Với x = ta có : ………………………………… + Với x = n ta có : n f n f n 1 0.5 n n 1 n n c c S = 1+2+3+…+n = f n f = 2 (19) b điểm 2bz 3cy 3cx az ay 2bx a 2b 3c 0,5 0.5 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx a2 4b 9c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0 a 4b 9c 0,5 z y 2bz - 3cy = 3c 2b (1) x z x y z 3cx - az = a 3c (2); Từ (1) và (2) suy ra: a 2b 3c + Nếu m + n chia hết cho p p (m 1) p là số nguyên tố và m, n m = m = p +1 đó từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2 Do p là số nguyên tố và m, n N* m – = p2 và m + n =1 m = p2 +1 và n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + Câu 2đ điểm Câu 0,5 Hình vẽ N* 1đ 0.25 F 4,5 1đ A điểm N M E B C H a Vì AB là trung trực EH nên ta có: AE = AH (1) 0.25 điểm Vì AC là trung trực HF nên ta có: AH = AF (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF AB nên MB là phân giác EMH MB là phân giác ngoài góc M b 1,5 Vì M điểm tam giác MNH Vì N AC nên NC là phân giác FNH NC là phân giác ngoài góc N 0.25 0.25 tam giác MNH Do MB; NC cắt A nên HA là phân giác góc H tam giác HMN hay HA là phân giác MHN 0.25 0.25 (20) c điểm Ta có AH BC (gt) mà HM là phân giác MHN HB là phân giác ngoài góc 0.25 H tam giác HMN MB là phân giác ngoài góc M tam giác HMN (cmt) NB là phân giác 0.25 góc N tam giác HMN BN AC ( Hai đường phân giác hai góc kề bù thì vuông góc với nhau) 0.25 BN // HF ( cùng vuông góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM Vì a b c 1 nên: Câu 2,5 điểm 1 c c ab a b ab a b (1) a a b b Tương tự: bc b c (2) ; ac a c (3) a b c a b c Do đó: bc ac ab b c a c a b (4) a b c 2a 2b 2c 2(a b c) 2 a b c Mà b c a c a ba a b b c a cb c a b c (5) 2 Từ (4) và (5) suy ra: bc ac ab (đpcm) ( a 1)(b 1) 0 ab 1 a b Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tối đa Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai thì không chấm bài hình PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÌNH MINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Năm học 2013-2014 MÔN TOÁN Thời gian (120 phút) (21) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5 điểm) a c Cho tỉ lệ thức b d với a; b; c; d 0; a b; c d Chứng minh: b d cd c và a) b a d c a b a a b b) c d 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 Câu (6 điểm) 1)Tìm x thỏa mãn các điều kiện sau: x 2 x a) 810 x x 4 x b) 2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệm C x10 x5 x2 x Câu (2 điểm) a b ab a) Chứng minh với a,b Q ta có b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ biểu thức: B x x Câu (7 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E cho BD=CE a) Chứng minh tam giác ADE cân b) Gọi M là trung điểm BC Chứng minh AM là tia phân giác góc DAE c) Từ B và C kẻ BH AD; CK AE Chứng minh BH = CK d) Chứng minh AM;BH;CK gặp điểm 2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A 1000 Điểm M nằm tam giác ABC cho góc MBC 100; góc MCB 200 Tình số đo góc AMB …………………… Hết………………… ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM (22) Câu Câu1(5đ) 1) Nội dung a c a c b a d c 1 b d b c Từ b d Kết luận a c c d cd Từ b d a b a b Điểm 1,5 đ 1,5 đ 2) Từ a c a b a b b d c d c d a c 2013 b d 2013 a b c d 2đ 2013 a 2013 b 2013 2013 c d 2013 Câu 2(6đ) 1) a) 3x (32 1) 810 3x 81 34 x 4 b)- lập luận có x>0 - Với x>0 ta có x+3+x+7 =4x…… <=>x=5 2) Xét đa thức C = x10 – x5 + x2 – x + - Nếu x = => C = > - Nếu x < => x10 + x2 + > 0; - x5 – x > => C > - Nếu 0< x < ta có C = x10 + x2 (1 – x3) + ( – x) > - Nếu x ta có C = x5 ( x5 – 1) + x(x – 1) + > - Vậy C > với x => kết luận Câu 3(2đ) a) Chứng minh đúng BĐT b) Ta có B = x x 6 dấu xảy (x – 2)(8 – x) 0 x Vậy Min B = x Câu 4(6đ) Vẽ hình ghi giả thiết, kết luận đúng 1a) Chứng minh ABD = ACE (c.g.c) => Kết luận 1b) Chứng minh MAD = MAE (c.c.c) => Kết luận 1c) Chứng minh BHD = CKE (cạnh huyền góc nhọn) => Kết luận 1d) Gọi giao BH và CK là O Chứng minh AO là tia phân giác góc DAE Mà AM là tia phân giác góc DAE ( cmt) => Kết luận 2) Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = CB => góc BEC = góc BEC = 700 - Chứng minh ABM = ABE (c.g.c) => góc AMB = góc AEB = 700 2đ 0,5đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 1đ 0,5đ 1,5đ 2đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ (23) (24)