Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC.. Rót gän biÓu thøc.[r]
(1)đề thi học sinh giỏi toán §Ò C©u Víi mäi sè tù nhiªn n h·y so s¸nh: 1 1 + + + + víi 2 n 1 1 b B = + + + + víi 1/2 ( n )2 a A= C©u 2: α , víi T×m phÇn nguyªn cña α =√ 2+ 44 n+1 n+1 + + + n √ √ √ C©u 3: Tìm tỉ lệ cạnh tam giác, biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác đó thì tỉ lệ các kết là 5: : C©u 4: Cho góc xoy , trên hai cạnh ox và oy lần lợt lấy các điểm A và B AB có độ dài nhỏ C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ √ a+√ b+ √ c lµ c¸c sè h÷u tØ §Ò 2: Môn: Toán Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0, 38) : 19 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) (2) đề thi học sinh giỏi toán §Ò Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : Biết tổng các bình phương a) Số A chia thành số tỉ lệ theo ba số đó 24309 Tìm số A a c a c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC Biết HBE c) Từ E kẻ EH BC = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM=BC §Ò (3) đề thi học sinh giỏi toán Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bµi 2: ( ®iÓm) T×m x,y,z c¸c trêng hîp sau: x 2y a, 2x = 3y =5z vµ =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90 y z 1 x z x y x y z x yz c, Bµi 3: ( ®iÓm) a a a1 a2 a3 a9 a1 vµ (a +a +…+a ≠0) Cho a2 a3 a4 Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9 a bc a bc Cho tØ lÖ thøc: a b c a b c vµ b ≠ Chøng minh c = Bµi 4: ( ®iÓm) Cho số nguyên a1, a2, a3, a4, a5 Gọi b1, b2, b3, b4, b5 là hoán vị số đã cho Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) Bµi 5: ( ®iÓm) Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm đoạn thẳng đó Trên hai nửa mặt phẳng đối qua AB, kẻ hai tia Ax và By song song với Trên tia Ax lấy hai điểm D vµ F cho AC = BD vµ AE = BF Chøng minh r»ng : ED = CF === HÕt=== §Ò Bµi 1: (3 ®iÓm) 26 18.0,75 2, : 0,88 17,81:1,37 23 :1 4,5 : 47,375 Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4) đề thi học sinh giỏi toán T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: x 27 2007 y 10 2008 0 T×m c¸c sè a, b cho 2007ab lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn Bµi 2: ( ®iÓm) x y z vµ x-2y+3z = -10 T×m x,y,z biÕt: 2 Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ a b3 c a 3 Chøng minh r»ng: b c d d Bµi 3: ( ®iÓm) 1 1 10 100 Chøng minh r»ng: 2x 3y Tìm x,y để C = -18đạt giá trị lớn Bµi 4: ( ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE) 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 C©u : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D a Chøng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD HÕt (5) đề thi học sinh giỏi toán §Ò sè Thêi gian lµm bµi: 120 phót a b c = = b c d C©u ( 2®) Cho: C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: A = C©u (2®) Tìm x ∈ Z để a) A = ( Chøng minh: a+ b+c a = b+c +d d ) a c b = = b+c a+b c +a A Z và tìm giá trị đó x+ x −2 b) A = −2 x x+3 C©u (2®) T×m x, biÕt: a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 |x − 3| = C©u (3®) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n HÕt - §Ò sè Thêi gian lµm bµi : 120 phót C©u : ( ®iÓm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài là 4,12 ,a Biết a là số tự nhiªn T×m a ? Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc a = c b d ( a,b,c ,d 0, ab, cd) ta suy đợc c¸c tØ lÖ thøc: a) a c = a− b c −d b) a+b = c +d b d C©u 2: ( ®iÓm) T×m sè nguyªn x cho: ( x –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < C©u 3: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d C©u 4: ( ®iÓm) Cho h×nh vÏ a, BiÕt Ax // Cy so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C b, gãc ABC = gãc A + gãc C Chøng minh Ax // Cy x A B y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn lît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab Chøng minh r»ng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 HÕt -5 (6) đề thi học sinh giỏi toán §Ò sè Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(2®): 100 100 a) TÝnh: A = + 2 b) T×m n Z cho : 2n - n + C©u (2®): a) T×m x biÕt: 3x - x = b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50 213 C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 70 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña chúng tỉ lệ với 5; 1; Tìm ba phân số đó Câu 4(3đ): Cho tam giác ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối tia CA lÊy ®iÓm E cho BD = CE Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng 1 2x + = y C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: -HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lµm bµi: 120’ C©u 1: TÝnh : a) A = 1 1 + + + + 2 3 99 100 b) B = 1+ (1+2)+ (1+2+3)+ (1+2+3+ 4)+ + (1+2+3+ .+ 20) 20 C©u 2: a) So s¸nh: √ 17+ √ 26+1 vµ √ 99 1 1 + + + + > 10 b) Chøng minh r»ng: √1 √ √ √ 100 C©u 3: Tìm số có chữ số biết số đó là bội 18 và các chữ số nó tỉ lệ theo 1:2:3 C©u Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 VÏ phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam giác vuông cân ABD và ACE ( đó góc ABD và góc ACE 900 ), vẽ DI và EK cùng vuông góc với đờng thẳng BC Chứng minh rằng: a BI=CK; EK = HC; b BC = DI + EK C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = |x − 2001|+|x − 1| hÕt - §Ò sè 11 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: a, x +2 + x +3 + x + + x +5 + x +349 =0 327 326 b, |5 x −3| 325 324 (7) đề thi học sinh giỏi toán C©u2:(3 ®iÓm) 1 1 + − + − + + − 7 7 99 + + + .+ <1 ! 3! ! 100! a, TÝnh tæng: b, CMR: ( ) ( )( ) S= − 2007 ( ) c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4 Hái ba chiÒu cao t¬ng ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào? Câu 4: (2,5điểm) Cho tam giác ABC có góc B=600 hai đờng phân giác AP và CQ tam gi¸c c¾t t¹i I a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ C©u5: (1 ®iÓm) Cho n −1 ¿2 +3 2¿ B= ¿ Tìm số nguyên n để B có giá trị lớn hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( x − )5 = - 243 b) x +2 + x +2 + x +2 = x+2 + x +2 11 12 13 c) x - √ x = 14 15 (x ) C©u : (3®) a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : y + = x b, Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên biết : A = √ x+1 √x− (x ) C©u : (1®) T×m x biÕt : |5 x −3| - 2x = 14 C©u : (3®) a, Cho Δ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo b, Cho Δ ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 KÎ BD vu«ng gãc víi AC Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E cho : AE = AD Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB -HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lµm bµi: 120 phót (8) đề thi học sinh giỏi toán Bµi1( ®iÓm) 91 −0 , 25 a, TÝnh: A= 60 ¿ 11 −1 ¿ ¿ 1 176 12 10 10 (26 − )− ( −1 ,75) 3 11 ¿ b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + +7 +……+ 100 – 410) Bài 2: ( 2điểm) Tìm số nguyên dơng cho tổng các nghịch đảo chúng Bài 3: (2 điểm) Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang sách dày 234 trang Bài 4: ( điểm) Cho Δ ABC vuông B, đờng cao BE Tìm số đo các góc nhọn tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB hÕt - §Ò sè 14 Thêi gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm) Cho A x x a.Viết biểu thức A dới dạng không có dấu giá trị tuyệt đối b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi ( ®iÓm) 1 1 1 100 a.Chøng minh r»ng : 6 2a 5a 17 3a a 3 a a lµ sè nguyªn b.Tìm số nguyên a để : A n n 6n Bài 3(2,5 điểm) Tìm n là số tự nhiên để : Bµi 4(2 ®iÓm) Cho góc xOy cố định Trên tia Ox lấy M, Oy lấy N cho OM + ON = m không đổi Chứng minh : Đờng trung trực MN qua điểm cố định f x f x x Bµi 5(1,5 ®iÓm) T×m ®a thøc bËc hai cho : ¸p dông tÝnh tæng : S = + + + … + n - HÕt - §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phót x x Rót gän A= x x 20 C©u 1: (2®) C©u (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mçi häc sinh líp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn (9) đề thi học sinh giỏi toán C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh Ay,CM Ay, BK AC Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC AC b, BH = c, ΔKMC C©u (1,5 ®)Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới đây đúng nửa và sai nửa: a, Tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn - HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) |3 x − 2|− x=7 b) |2 x −3|>5 c) |3 x −1|≤ d) 3x x 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+ + 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i I a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC Các đờng phân giác và phân giác ngoài tam giác kẻ từ B cắt đờng thẳng MN lần lợt D và E các tia AD và AE cắt đờng thẳng BC theo thứ tự P và Q Chứng minh: a) BD AP ; BE⊥ AQ ; b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= 14 − x 4−x Cã gi¸ trÞ lín nhất? Tìm giá trị đó HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: 4x 3x 2x a - x = 15 b - x > c C©u2: ( ®iÓm) a TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43 b Chứng minh điều kiện cần và đủđể m2 + m.n + n2 chia hết cho là: m, n chia hÕt cho (10) đề thi học sinh giỏi toán C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nh thÕ nµo,biÕt cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5 C©u 4: ( ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A D lµ mét ®iÓm n»m tam gi¸c, biÕt ADB ADC > Chøng minh r»ng: DB < DC x 1004 x 1003 C©u 5: ( ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = HÕt - §Ò sè 18 C©u (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : 3x 2x a +5x = 4x-10 b 3+ > 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a Tìm số có chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số nó tỷ lÖ víi 1, 2, b Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+ +74n chia hÕt cho 400 (n N) C©u : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By A x α β C γ B y C©u (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ABC =1000 KÎ ph©n gi¸c cña gãc CAB c¾t AB t¹i D Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u (1 ®iÓm ) TÝnh tæng S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .+ (-3)2004 §Ò sè 19 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = |x − 2|+|5 − x| Bµi 2: (2,5®) Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC Gäi H, G,O lÇn lît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm đờng trung trực tam giác Chứng minh rằng: a AH lần khoảng cách từ O đến BC b Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = GO Bài 4: (1 đ) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007 - HÕt §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng (11) đề thi học sinh giỏi toán A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: x x 2 3x x a ; b C©u 3(3®): Cho tam gi¸c ABC Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB Các đờng trung trực tam giác gặp tai Các đờng cao AD, BE, CF gặp H Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC a) C/m H0 vµ IM c¾t t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy c¸c kÕt qu¶ t¬ng tù nh kÕt qu¶ ë c©u b Câu 4(1đ): Tìm giá trị x để biểu thức A = 10 - 3|x-5| đạt giá trị lớn - HÕt - §Ò 21: Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = √ x − √ x+3 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = b) Tìm giá trị x để A = - c) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bµi (3®) a) T×m x biÕt: √ 7− x=x − b) TÝnh tæng M = + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + – 4x3 Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t t¹i I a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bµi (1®) Cho biÓu thøc A = 2006 − x 6− x Tìm giá trị nguyên x để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó HÕt §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: (12) đề thi học sinh giỏi toán a 15 20 () ( ) Rót gän: A = b 25 30 () ( ) : 94 − 69 210 8+ 68 20 BiÓu diÔn sè thËp ph©n díi d¹ng ph©n sè vµ ngîc l¹i: a 33 b 22 c 0, (21) d 0,5(16) C©u 2: Trong đợt lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở đợc 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh khèi 7, tØ lÖ víi vµ Khèi vµ tØ lÖ víi vµ TÝnh sè häc sinh mçi khèi C©u 3: a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = x+ 2¿ 2+ ¿ ¿ b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ C = 800 Trong tam gi¸c cho MBA 300 vµ MAB 100 TÝnh MAC C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = th× (a2,a+b) = - HÕt - §Ò23 Thêi gian: 120 phót C©u I: (2®) 1) Cho a− = b+3 = c − và 5a - 3b - c = 46 Xác định a, b, c 2) Cho tØ lÖ thøc : a c = b d 2 2 Chøng minh : a −32 ab+ b = c − 32 cd+5 d Víi b +3 ab d +3 cd điều kiện mẫu thức xác định C©u II : TÝnh : (2®) 1) A = 2) B = 1 + + + 3.5 5.7 97 99 1 1 − + − + + 50 − 51 3 3 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a 0,2(3) ; b 1,12(32) C©u IV : (1.5®) Xác định các đa thức bậc biết : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = ; p(3) = C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän Dùng phÝa ngoµi tam gi¸c vu«ng cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi M;N;P lần lợt là trung điểm BC; BD;CE a Chøng minh : BE = CD vµ BE víi CD b Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n HÕt - (13) đề thi học sinh giỏi toán §Ò 24 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 11 12 1,5 0, 75 5 0, 265 0,5 2,5 1, 25 11 12 a) A = 0,375 0,3 b) B = + 22 + 24 + + 2100 Bµi (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: + 33 vµ 29 + 14 Bµi (2®): Ba máy xay xay đợc 359 thóc Số ngày làm việc các máy tỉ lệ với 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3 Hỏi máy xay đợc bao nhiêu thóc Bµi (1®): T×m x, y biÕt: 1 1.2 2.3 99.100 x b) 3x 3 Bµi ( 3®): Cho ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200 VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam giác ABD, ACE Gọi M là giao điểm DC và BE Chứng minh rằng: a) a) BMC 120 b) AMB 120 Bµi (1®): Cho hàm số f(x) xác định với x thuộc R Biết với x ta f ( x ) f ( ) x x cã: TÝnh f(2) HÕt §Ò 25 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u (2®) a T×m x, y, z xx Z, biÕt =3-x b x − = y c 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u (2®) 1 1 a Cho A = ( −1).( −1) ( − 1) .( −1) H·y so s¸nh A víi 100 − (14) đề thi học sinh giỏi toán b Cho B = √ x+1 T×m x √x− Z để B có giá trị là số nguyên dơng C©u (2®) Một ngời từ A đến B với vận tốc 4km/h và dự định đến B lúc 11 45 phút Sau đợc quãng đờng thì ngời đó với vận tốc 3km/h nên đến B lúc 12 tra Tính quãng đờngAB và ngời đó khởi hành lúc giờ? Câu (3đ) Cho Δ ABC có  > 900 Gọi I là trung điểm cạnh AC Trên tia đối cña tia IB lÊy ®iÓm D cho IB = ID Nèi c víi D a Chøng minh Δ AIB=Δ CID b Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c Chøng minh AIB AIB BIC d Tìm điều kiện Δ ABC để AC CD C©u (1®) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 14 − x ; ⟨ x ∈ Z ⟩ Khi đó x nhận giá 4−x trÞ nguyªn nµo? - HÕt - §Ò 26 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a T×m x biÕt : |2 x −6| +5x = b Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + + 90) ( 12.34 – 6.68) : ( 13 + 14 + 15 + 16 ) ; c So s¸nh A = 20 +21 +22 +23+ 24 + +2100 vµ B = 2101 Bài :(1,5đ) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác đó thì tỉ lệ các kết là :5 : : Bµi :(2®) Cho biÓu thøc A = √ x+1 √x− a TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 16 Bµi :(3®) vµ x = 25 b Tìm giá trị x để A =5 Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC D Từ D, E hạ đờng vuông góc xuống AB cắt AB M và N Tính góc MCN ? Bµi : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 Cã gi¸ trÞ lín nhÊt Tìm giá trị lớn đó ? HÕt - §Ò 27 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (3®) (15) đề thi học sinh giỏi toán 0, 25 1 2 2 1 1 4 5 2 4 3 4 3 3 a TÝnh A = b T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1.2n + 4.2n = 9.25 c Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×: 3n+3-2n+2+3n-2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a 130 häc sinh thuéc líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng đợc 2cây, cây, cây Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh tham gia trồng cây? Biết số cây trồng đợc lớp b Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D Trªn Tia cña tia BC lấy điểm E cho BD=BE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N Chøng minh: a DM= ED b §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN c Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn luôn qua điểm cố định D thay đổi trên BC - HÕt §Ò 28 Thêi gian: 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc a a a b c C©u 2: aa x 1 x T×m x biÕt: a x - x = 2x b - 4x < C©u 3: (2®) Tìm số có chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số cña nã tû lÖ víi sè 1; 2; C©u 4: (3,5®) Cho ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E Sao cho AD = BE Qua D và E vẽ các đờng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự M và N Chứng minh r»ng DM + EN = BC §Ò 29 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 102006 ; 2007 A= 10 B= 102007 102008 1 1 A= 2006 (16) đề thi học sinh giỏi toán x 1 y Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 50 Gäi K lµ ®iÓm tam gi¸c KCB = 300 cho KBC = 10 a Chøng minh BA = BK b TÝnh sè ®o gãc BAK - HÕt §Ò thi 30 Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 Bµi (4 ®iÓm) a b c a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20 b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ Trị giá loại tiền trên b»ng Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - x g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x) b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = -1 Bµi (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E cho BE = BA Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D a)So sánh các độ dài DA và DE b) TÝnh sè ®o gãc BED Bµi (4 ®iÓm) Cho tam giác ABC, đờng trung tuyến AD Kẻ đờng trung tuyến BE cắt AD G Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE b) AG = AD -đáp án - Đề C©u 1: ( ®iÓm ) (17) đề thi học sinh giỏi toán 1 < víi mäi n nªn ( 0,2 ®iÓm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 ®iÓm ) −1 −1 −1 n −1 a Do MÆt kh¸c: 1 1 + + + + 1.3 2.4 3.5 ( n −1 ) ( n+ ) C= = 1 − + − + − + + − ( n −1 ❑ 1+ − − < = <1 ❑ ( n n+1 ) 2 = ( 0,2 ®iÓm) n+1 ) ( 0,2 ®iÓm) (0,2 ®iÓm ) VËy A < 1 1 + + + + ( 0,25 ®iÓm ) 2 ( n )2 1 1 = 1+ + + + + ( 0,25 ®iÓm ) 2 n = (1+ A ) ( 0,25 ®iÓm ) 1 Suy P < (1+1 ) = ;Hay P < (0,25 ®iÓm ) 2 b ( ®iÓm ) B = ( ) C©u 2: ( ®iÓm ) Ta cã √ k+1 k +1 >1 k víi k = 1,2……… n ( 0,25 ®iÓm ) áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: √ k+1 k +1 k+1 1 .1 k +1 = < k k k √ √ k+1 Suy < 1+1+ +1+ k +1 k k +1 k +1 1 <1+ − k k k +1 ( ) = n < √ 2+ 3 + + n +1 n+1 <n+1 − < n+1 √ [ α ] =n n (0,5 ®iÓm ) ( 0,5 ®iÓm ) LÇn lît cho k = 1,2, 3,…………………… n √ k 1 + =1+ k +1 k k ( k +1 ) n cộng lại ta đợc ( 0,5 ®iÓm) => C©u (2 ®iÓm ) Gọi , hb ,hc lần lợt là độ dài các đờng cao tam giác Theo đề bài ta có: +hb hb +h c hc +h a ( +h b+ hc ) +hb + hc ( 0,4 ®iÓm ) => = = hc h b h a = = = = 20 10 => : hb : hc = : 2: ( 0,4 ®iÓm ) MÆt kh¸c S = a ha= bhb = ch c 2 ( 0,4 ®iÓm ) (18) đề thi học sinh giỏi toán a b c = = => 1 (0 , ®iÓm ) h b hc 1 1 1 : : = : : =10:15 :6 (0 ,4 ®iÓm ) => a :b : c = hb hc VËy a: b: c = 10 : 10 : C©u 4: ( ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A ' , trªn tia Oy lÊy B ' cho O A ' = O B ' = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A ' + O B ' = OA + OB = 2a => A A ' = B B ' ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu Của A và B trên đờng thẳng A ' B ' y Tam gi¸c HA A ' = tam gi¸c KB B ' ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H A ' =K B' , đó HK = A ' B' (0,25 ®iÓm) Ta chứng minh đợc HK AB (DÊu “ = “ A trïng A ' B trïng B ' (0,25 ®iÓm) ' ' đó A B ≤ AB ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u ( ®iÓm ) Gi¶ sö √ a+√ b+ √ c=d ∈ Q ( 0,2 ®iÓm ) => √ a+√ b=d − √ a => b +b +2 √ bc=d +a+ 2d √ a ( 0,2 ®iÓm) => √ bc=( d2 + a− b −c ) −2 d √ a ( ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = ( d +a − b− c ) + d2a – 4b ( d +a − b− c ) √ a ( 0,2 ®iÓm) => d ( d +a − b− c ) √ a = ( d +a − b− c ) + 4d 2a – bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu d ( d +a − b− c ) # th×: 2 d +a −b − c ¿ + d a − ab ¿ lµ sè h÷u tØ ¿ √ a=¿ (0,2 5®iÓm ) ** NÕu d ( d +a − b− c ) = th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = ( 0,25 ®iÓm ) + d = ta cã : √ a+ √ b+ √c=0 => √ a= √ b=√ c=0 ∈ Q (0,25 ®iÓm ) + d 2+ a-b – c = th× tõ (1 ) => √ bc=− d √ a V× a, b, c, d nªn √ a=0∈ Q ( 0,25 ®iÓm ) VËy √ a lµ sè h÷u tØ Do a,b,c cã vai trß nh nªn √ a , √ b , √ c lµ c¸c sè h÷u tØ §Ò 2: (19) đề thi học sinh giỏi toán Bài 1: điểm 2 3 18 (0, 06 : 0, 38) : 19 4 = 15 17 38 19 109 (100 : 100 ) : 19 = 109 17 19 38 50 15 50 : 19 = 109 323 19 250 250 : = 109 13 10 19 = = 506 253 = 30 19 95 0.5đ 1đ 0.5 0.5đ 0.5đ Bài 2: a c a) Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a b ( a b ) b = 0.5đ 0.5đ 0.5đ a2 c2 a b2 c2 b 2 2 b) Theo câu a) ta có: b c b a c a b2 c2 b b2 c b 1 2 2 a từ a c a a c 2 0.5đ 1đ b c a c b a 2 a c a hay b2 a2 b a 2 a a c 0.5đ 0.5đ Bài 3: a) x x 0.5đ 1 2 x 2 x 5 1 x 2 x 2 x 5 hay Với x 1đ 0.25đ (20) đề thi học sinh giỏi toán 1 11 x x x 5 hay Với 0.25đ b) 15 x x 12 x x 13 ( )x 14 49 13 x 20 14 130 x 343 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài 4: Cùng đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s 5.x 4 y 3.z và x x y z 59 Ta có: 1đ x y z x x y z 59 60 1 1 1 59 hay: 5 60 0.5đ Do đó: x 60 12 ; x 60 15 ; x 60 20 0.5đ 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 A 200 b) ABC cân A, mà (gt) A 20 nên D ABC (1800 200 ) : 800 DBC 600 ABC nên Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 800 600 200 Tia BM là phân giác góc ABD ABM 100 nên M B C Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 (21) đề thi học sinh giỏi toán Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 6: 25 y 8(x 2009) Ta có Vì y 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ 25 , suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 nên (x-2009) Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 0.5đ Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) Từ đó tìm (x=2009; y=5) 0.5đ 0.5đ - §Ò Bài 1:(4 điểm): Thang điểm Đáp án a) (2 điểm) 212.35 46.92 10 510.73 255.49 212.35 212.34 510.73 A 12 12 9 3 125.7 14 3 0,5 điểm 0,5 điểm 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 0,5 điểm 10 212.34.2 12 59.73.9 10 0,5 điểm b) (2 điểm) n + - Với số nguyên dương n ta có: 3n 2 2n2 3n 2n = 3n2 3n 2n2 2n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n) n2 n 2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương 0,5 điểm điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang (22) đề thi học sinh giỏi toán điểm a) (2 điểm) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 x 2 0,5 điểm 0,5 điểm x 12 x 1 0,5 điểm x217 3 x 21 3 0,5 điểm b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 10 0 x 1 x 10 0 x 7 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x7 x 8 ( x 7) x 7 x 1 Bài 3: (4 điểm) Đáp án a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k a k;b k; c Từ (1) = k k ( ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Thang điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (23) đề thi học sinh giỏi toán + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b 0,5 điểm 0,5 điểm a ( a b) a = b ( a b) b Bài 4: (4 điểm) Thang điểm 0,5 điểm Đáp án Vẽ hình A I M B C H K E a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm AC = EB Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) (24) đề thi học sinh giỏi toán MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm Suy 0,5 điểm 0,5 điểm HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm BME là góc ngoài đỉnh M HEM o o BME HEM MHE Nên = + = 15 + 90 = 105o ( định lý góc ngoài tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) A 20 M D C B -Vẽ hình a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 1điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD 0 0,5 điểm (25) đề thi học sinh giỏi toán nên ABM 10 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò Bµi 1.2 Nội dung cần đạt Sè h¹ng thø nhÊt lµ (-1) (3.1-1) Sè h¹ng thø hai lµ (-1)2+1(3.2-1) … D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n lµ: (-1)n+1(3n-1) A = (-3).17 = -51 §iÓm 2.1 x 2y , 3y = 5z NÕu x-2y = x= -15, y = -10, z = -6 0,5 NÕu x-2y = -5 x= 15, y = 10, z = 0,5 1+1 1.1 1 2.2 2.3 3.1 x xy x y 10 =9 x = ±6 0,5 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = vµ x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 0,25 y z 1 x z x y x = y = z = x y z =2 0,5 x 1 0,5 y 0,5 z x y z x+y+z = 0,5 =2 5 x = 2; y = 6; z = - a1 a2 a3 a a a a a9 1 a2 a3 a4 a9 a1 a1 a2 a9 (v× a1+a2+…+a9 ≠0) 4.2 0,5 0,5 0,25 a1 = a2; a2 = a3; … ;a9 = a1 a1 = a2 = a3=…= a9 0,25 a b c a b c (a b c ) (a b c ) 2b 1 a b c a b c (a b c) (a b c) = 2b (v× b≠0) 0,25 3.2 4.1 0,5 a+b+c = a+b-c 2c = c = §Æt c1 = a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5 XÐt tæng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+( a5-b5) = c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n c1 c2 c3 c4 c5 AOE = BOF (c.g.c) O,E,F th¼ng hµng vµ OE = OF AOC = BOD (c.g.c) C,O,D th¼ng hµng vµ OC = OD EOD = FOC (c.g.c) ED = CF 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 §Ò (26) đề thi học sinh giỏi toán Bµi 1.1 1.2 1.3 2.1 Nội dung cần đạt Sè bÞ chia = 4/11 Sè chia = 1/11 KÕt qu¶ = V× |2x-27|2007 ≥ "x vµ (3y+10)2008 ≥ "y |2x-27|2007 = vµ (3y+10)2008 = x = 27/2 vµ y = -10/3 V× 00≤ ab ≤99 vµ a,b N 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 4472 < 2007ab < 4492 2007ab = 4482 a = 0; b= §iÓm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x y z k §Æt 0,5 0,25 0,25 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng … k = -2 X = -3; y = -4; z = - 2.2 3.1 3.2 a b c Tõ gi¶ thiÕt suy b2 = ac; c2 = bd; b c d a b3 c a b3 c 3 3 3 Ta cã b c d b c d (1) a3 a a a a b c a L¹i cã b b b b b c d d (2) a b3 c a 3 Tõ (1) vµ (2) suy ra: b c d d 1 1 1 1 Ta cã: > 10 ; > 10 ; > 10 … > 10 ; 1 1 10 100 2x 3y 2x ³0; 3y 0,25 0,25 10 = 10 ) -18 Ta cã C = -18 - ( V× 0,25 0,5 0,5 0,25 ³0 2 x 0 Max C = -18 3 y 0 x = vµ y = -3 4.1 4.2 0,5 0,25 ABH = CAK (g.c.g) BH = AK MAH = MCK (c.g.c) MH = MK (1) gãc AMH = gãc CMK gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) MHK vu«ng c©n t¹i M Đáp án đề số Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta đợc : (abc)2=36abc +, NÕu mét c¸c sè a,b,c b»ng th× sè cßn l¹i còng b»ng +,Nếu 3số a,b,c khác thì chia vế cho abc ta đợc abc=36 (27) đề thi học sinh giỏi toán +, Từ abc =36 và ab=c ta đợc c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 và bc=4a ta đợc 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 và ab=9b ta đợc 9b2=36 nên b=2; b=-2 -, NÕu c = th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u (3®) a.(1®) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5®) … 1/5<x<1 (0,5®) b.(1®) 3x+1>4=> 3x+1>4hoÆc 3x+1<-4 (0,5®) *NÕu 3x+1>4=> x>1 *NÕu 3x+1<-4 => x<-5/3 VËy x>1 hoÆc x<-5/3 (0,5®) c (1®) 4-x+2x=3 (1) * 4-x³0 => x4 (0,25®) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x<0 => x>4 (0,25®) (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3 (1®) ¸p dông a+b a+bTa cã A=x+8-x³x+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) ³0 (0,25®) ¿ x≥0 * − x ≥0 =>0x8 (0,25®) ¿{ ¿ ¿ ¿ x≤0 x≤0 * − x ≤0 => x ≥ kh«ng tho· m·n(0,25®) ¿{ ¿{ ¿ ¿ VËy minA=8 0x8(0,25®) C©u4 Ta cã S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5®) =22.12+22.22+ +22.102 =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5®) C©u5.(3®) A D Chøng minh: a (1,5®) Gọi E là trung điểm CD tam giác BCD có ME là đờng trung bình => E ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) B M V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam giác MAE ,ID là đờng trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) C (28) đề thi học sinh giỏi toán Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) Đáp án đề số C©u Ta cã a b c a = b c d d (1) Ta l¹i cã a b c a+b+c = = = b c d b +c +a (2) a+ b+c a = b+c +d d a+b+c C©u A = a = c = b = b+c a+b c +a ( a+ b+c ) NÕu a+b+c => A = Tõ (1) vµ(2) => ( ) NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = + x −2 để A Z thì x- là ớc => x – = ( 1; 5) * x = => A = * x = => A = - b) A = x +3 -2 * x = => A = * x = -3 => A = để A Z thì x+ là ớc => x + = ( 1; 7) * x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 C©u a) x = hoÆc - b) x = hoÆc - 11 c) x = C©u ( Tù vÏ h×nh) MHK lµ c©n t¹i M ThËt vËy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH VËy: MHK c©n t¹i M Đáp án đề số Câu 1: Gọi x, y, z là độ dài cạnh tơng ứng với các đờng cao 4, 12, a Ta cã: 4x = 12y = az = 2S x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn (29) đề thi học sinh giỏi toán S S 2S S S 2 − < < + ⇒ < < a 6 a (0,5 ®iÓm) 3, a , Do a N nªn a=4 hoÆc a= (0,5 ®iÓm) a c = b d a Tõ b a = c b d a = b = a− b ⇒ a = a −b ⇔ a = c c d c −d c c − d a −b a b a+b b a+ b a+b c +d = = ⇒ = ⇔ = c d c +d d c +d b d c −d (0,75 ®iÓm) (0,75 ®iÓm) C©u 2: V× tÝch cña sè : x2 – ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã sè ©m hoÆc sè ©m Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – XÐt trêng hîp: + Cã sè ©m: x2 – 10 < x2 – x2 – 10 < < x2 – 7< x2 < 10 x2 =9 ( x Z ) x = ( 0,5 ®iÓm) + cã sè ©m; sè d¬ng x2 – 4< 0< x2 – < x2 < x Z nªn kh«ng tån t¹i x VËy x = (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tríc tiªn t×m GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a<b Ta cã Min B = b – a ( 0,5 ®iÓm) Víi A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| = [| x-a| + | x-d|] + [|x-c| + | x-b|] Ta cã : Min [| x-a| + | x-d|] =d-a axd Min [|x-c| + | x-b|] = c – b b x c ( 0,5 ®iÓm) VËy A = d-a + c – b b x c ( 0, ®iÓm) C©u 4: ( ®iÓm) A, VÏ Bm // Ax cho Bm n»m gãc ABC Bm // Cy (0, ®iÓm) Do đó góc ABm = góc A; Góc CBm = gócC ABm + CBm = A + C tøc lµ ABC = A + C ( 0, ®iÓm) b VÏ tia Bm cho ABm vµ A lµ gãc so le vµ ABM = A Ax// Bm (1) CBm = C Cy // Bm(2) Tõ (1) vµ (2) Ax // By Câu 5: áp dụng định lí Pi ta go vào tam giác vuông NOA và NOC ta có: AN2 =OA2 – ON2; CN2 = OC2 – ON2 CN2 – AN2 = OC2 – OA2 (1) ( 0, ®iÓm) T¬ng tù ta còng cã: AP2 - BP2 = OA2 – OB2 (2); MB2 – CM2 = OB2 – OC2 (3) ( 0, ®iÓm) Tõ (1); (2) vµ (3) ta cã: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 ( 0, ®iÓm) - Hớng dẫn chấm đề số C©u 1(2®): 100 102 100 2 100 99 a) A = - 2 (1® ) b) 2n 3n 1 5n (0,5® ) (30) đề thi học sinh giỏi toán n+1 n n 6; 2;0; 4 -1 -2 -5 -6 (0,5® ) C©u 2(2®): 1 a) NÕu x ³ th× : 3x - 2x - = => x = ( th¶o m·n ) (0,5®) 1 NÕu x < th× : 3x + 2x + = => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®) VËy: x = x y z vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) b) => => x = 11, y = 17, z = 23 (0,5®) 213 C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 70 12 15 : : 6 : 40 : 25 a ,b ,c 35 14 vµ a : b : c = (1®) => (1®) C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => IDF = IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): C 7.2 x 1 y (14 x 1) 7 y => => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( ; ) Đáp án đề số 10 1 1 1 1 = − = − = − ; =1 − ; ; …; 1.2 2.3 3.4 99 100 99 100 −1 −1 −1 1 99 + + + + + + − =1 − = 2 3 99 99 100 100 100 C©u 1: a) Ta cã: VËy A = 1+ b) A = 1+ ( )( ) ( ) 3 4 20 21 + + + + ( 2( ) 3( ) ( ) 20 ) = = 1+ + + .+ 21 = ( 2+3+ 4+ +21 ) =¿ 2 2 (31) đề thi học sinh giỏi toán = 21 22 − = 115 ( ) C©u 2: a) Ta cã: √ 17>4 ; √ 26>5 nªn √ 17+ √ 26+1>4 +5+1 hay √ 17+ √ 26+1>10 Còn √ 99 < 10 Do đó: √ 17+ √ 26+1> √ 99 1 1 1 > ; > > ; ; … ; √1 10 √ 10 √ 10 1 1 + + + + > 100 =10 VËy: 10 √1 √ √ √ 100 b) 1 = √ 100 10 C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m V× mçi ch÷ sè a,b,cña không vợt quá và ba chữ số a,b,của không thể đồng thời , vì đó ta không đợc số có ba chữ số nên: a+b+c 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 Theo gi¶ thiÕt, ta cã: a = b = c = a+b+ c Nªn : a+b+c =18 a b c 18 = = = =3 Do đó: ( a+b+c) chia hết cho a=3; b=6 ; cña =9 Vì số phải tìm chia hết cho 18 nênchữ số hàng đơn vị nó phải là số chẵn VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936 C©u 4: a) VÏ AH BC; ( H BC) cña ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) AHB= BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) AHC= CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) BI= CK vµ EK = HC b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t¬ng tù: EK = HC Từ đó BC= BH +Hc= DI + EK C©u 5: Ta cã: A = |x − 2001|+|x − 1| = |x − 2001|+|1 − x|≥|x −2001+1 − x|=2000 Vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ là 2000 x-2001 và 1-x cùng dấu, tức là : x 2001 biÓu ®iÓm : C©u 1: ®iÓm a ®iÓm b ®iÓm C©u 2: ®iÓm : a ®iÓm b ®iÓm C©u : 1,5 ®iÓm C©u 4: ®iÓm : a ®iÓm ; b ®iÓm C©u : 1,5 ®iÓm - Đáp án đề số11 (32) đề thi học sinh giỏi toán C©u1: x+ x+3 x+ x +5 x +349 +1+ +1+ +1+ +1+ −4=0 327 326 325 324 ⇔ (x+329)( + + + + )=0 327 326 325 324 (0,5® ) ⇔ x +329=0 ⇔ x=−329 a, ⇔ (1) (0,5 ® ) x x b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = (1) §K: x ³ -7 (0,25 ®) 1 (0,25 ®) 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 C©u 2: 1 1 S=1 − + − + + − 2007 7 7 a, S=7 − 2007 7 S 1 1 ; S=7 − 1+ − + − − 2006 7 7 (0,25®) (0.5®) 2007 (0,5®) 99 −1 −1 100 −1 + + + + = + + + ! 3! ! 100! 2! 3! 100 ! ¿ 1− <1 (0,5®) 100! b, (0,5®) n+2 n n n+ n n +2 n n+ c, Ta cã − +3 −2 =3 +3 −(2 −2 ) (0,5®) 3n 10 −2n 5=3n 10− 2n −2 10=10 ( 3n − 2n −2 ) ⋮10 (0,5®) Câu 3: Gọi độ dài cạnh là a , b, c, chiều cao tơng ứng là x, y, z, diện tích S ( 0,5đ ) 2S y x y z ⇒ x=3 y=4 z ⇒ = = a= 2S x b= c= 2S z (0,5®) a b c 2S 2S 2S ⇒ = = ⇒ = = 2x 3y 4z vËy x, y, z tØ lÖ víi ; ; C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy H ∈ AC : AH = AQ ⇒IQ=IH=IP C©u5: B ; LN B ; LN ⇔2 ( n −1 )2 +3 NN Vì ( n −1 )2 ≥0 ⇒2 ( n −1 )2 +3 ≥ đạt NN (0,5đ) DÊu b»ng x¶y n −1=0 ⇔n=1 vËy B ; LN ⇔ B= vµ n=1 (0,5®) (0,5®) (1 ® ) (0,5®) - Đáp án đề số 12 C©u : ®iÓm Mçi c©u ®iÓm a) (x-1) ❑5 = (-3) ❑5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2 b) (x+2)( + + − − ) = 11 12 13 14 15 (33) đề thi học sinh giỏi toán 1 1 + + − − 11 12 13 14 15 c) x - √x = ⇔ ( ⇒ x=0 hoÆc √ x - = ⇔ √ x ⇒ x+2 = ⇔ x=2 √ x ) ❑2 - √ x = ⇔ √ x ( √ x - 2) = ⇒ √x = =2 ⇔ x=4 C©u : ®iÓm Mçi c©u 1,5 ®iÓm y 2y + = , + = , = 1− y x x 8 x x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y lµ íc lÎ cña 40 ¦íc lÎ cña 40 lµ : a) §¸p sè : b) T×m x ± 1; ± x = 40 ; y = x = -40 ; y = x = ; y = -2 x = -8 ; y = z để A Z √x− A= √ x+1 =1+ √x− √ x −3 nguyªn ⇒ √ x −3 ¦(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : ; 4; 16 ; 25 ; 49 C©u : ®iÓm |5 x −3| - 2x = 14 ⇔ |5 x −3| = x + (1) §K: x ³ -7 (0,25 ®) A nguyªn 1 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 C©u4 (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, (0,25®) A B C A + B+C 180 = = = = =12 15 15 ⇒ A= 840 ⇒ góc ngoài đỉnh A là 960 B = 600 ⇒ góc ngoài đỉnh B là 1200 C = 360 ⇒ góc ngoài đỉnh C là 1440 ⇒ C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi ; ; b) 1) AE = AD ⇒ ⇒ D E Δ ADE c©n EDA E 1800 A Δ E 1= (1) ABC c©n 1800 A C AB = (2) ABC ⇒ E ⇒ C B Tõ (1) vµ (2) ⇒ ED // BC a) XÐt Δ EBC vµ Δ DCB cã BC chung (3) (34) đề thi học sinh giỏi toán EBC DCB (4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ⇒ Δ EBC = BEC CDB = 900 Δ DCB (c.g.c) ⇒ CE AB ……………………………………… Đáp án đề số 13 Bµi 1: ®iÓm a, TÝnh: = 10 175 − 100 ¿ 31 183 176 12 ( − )− ¿ 7 11 ¿ A= 31 19 341 −57 − 11 33 284 1001 284284 = = = 1056 1001 55 33 55 1815 − 1001 1001 1001 b, 1,5 ®iÓm Ta cã: +) + +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 123 + 436 + 5310 ) = 18 ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 103,17 Bµi 2: §iÓm Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z Ta cã: x y z (1) Theo gi¶ thiÕt: + + =2 x y z Do (1) nªn z = + + ≤ (2) x y z x Vậy: x = Thay vào (2) , đợc: + =1 ≤ y z y Vậy y = Từ đó z = Ba số cần tìm là 1; 2; Bµi 3: §iÓm Có trang có chữ số Số trang có chữ số là từ 10 đến 99 nên có tất 90 trang Trang có chữ số sách là từ 100 đến 234, có tất 135 trang Suy số các chữ số tÊt c¶ c¸c trang lµ: + 90 + 135 = + 180 + 405 = 594 Bµi : §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D cho ED = EA Hai tam gi¸c vu«ng Δ ABE = Δ DBE ( EA = ED, BE chung) (35) đề thi học sinh giỏi toán BDA Suy BD = BA ; BAD Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I Hai tam gi¸c: Δ CID vµ Δ BID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn) CID = IDB = C BC ) ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy Δ CID = BDA (2) + Δ BID ( c g c) IBD = ⇒ C ⇒ C = = D mµ A ( Chøng minh trªn) nªn A = IBD Gäi C lµ α =2 α ⇒ α ( gãc ngoµi cña Δ BCD) ⇒2 α + α = 900 ⇒ α = 300 Do đó ; C = 300 và A = 600 -Hớng dẫn giải đề số 14 Bµi 1.a XÐt trêng hîp : * x ³5 ta đợc : A=7 * x ta đợc : A = -2x-3 b XÐt x x 10 x 10 hay A > VËy : Amin = x ³5 1 1 1002 §Æt : A = Bµi a Ta cã : 1 1 1 1 1 1 99.100 = 5 99 100 = 100 * A < 4.5 5.6 6.7 1 1 1 99.100 100.101 101 * A > 5.6 6.7 2a 5a 17 3a 4a 26 a 3 a 3 = a 3 = b Ta cã : a 4a 12 14 4(a 3) 14 14 4 a 3 a 3 a lµ sè nguyªn = Khi đó (a + 3) là ớc 14 mà Ư(14) = 1; 2; 7; 14 Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17 Bài Biến đổi : A 12n n n 1 30 §Ó A6n n n 1 30 6n n n 1 n 30n * n ¦(30) hay n {1, , 3, , , 10 , 15 , 30} * 306 n n 1 6 n n 1 3 (36) đề thi học sinh giỏi toán + n 3 n 3, 6,15,30 + n 1 3 n 1,10 n {1 , , , 10 , 15 , 30} -Thử trờng hợp ta đợc : n = 1, 3, 10, 30 thoã mãn bài toán x Bµi -Trªn Oy lÊy M’ cho OM’ = m Ta cã : N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t t¹i D z m d - ODM M ' DN (c.g.c) MD ND D thuéc trung trùc cña MN o n i -Rõ ràng : D cố định Vậy đờng trung trực MN qua D cố định d f x ax bx c Bµi -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : (a 0) m' y - - Ta cã : f x 1 a x 1 b x 1 c a 2a 1 b f x f x 1 2ax a b x b a 0 1 f x x2 x c 2 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : (c lµ h»ng sè) ¸p dông : + Víi x = ta cã : f 1 f 1f f + Víi x = ta cã : ………………………………… + Víi x = n ta cã : n f n f n 1 n n 1 n2 n c c f n f = 2 S = 1+2+3+…+n = Lu ý : Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa Bài hình không vẽ hình không chÊm ®iÓm Đáp án đề số 15 Câu1 (làm đúng đợc điểm) x x x x x x 2 Ta cã: x x 20 = x x 10 x 20 = ( x 2)( x 10) §iÒu kiÖn (x-2)(x+10) x 2; (0,25®) x -10 (0,5®) (37) đề thi học sinh giỏi toán x MÆt kh¸c = x-2 nÕu x>2 -x + nÕu x< (0,25®) x x x( x 2) * NÕu x> th× ( x 2)( x 10) = ( x 2)( x 10) = x x 10 (0,5®) * NÕu x <2 th× x x x ( x 2) x ( x 2)( x 10) = ( x 2)( x 10) = x 10 (®iÒu kiÖn x -10) Câu (làm đúng đợc 2đ) Gäi sè häc sinh ®i trång c©y cña Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0) Theo đề ta có (0,5®) x y z 94(1) x 4 y 5 z (2) (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 3x y z x y z Tõ (2) 60 = 60 = 60 hay 20 = 15 = 12 (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã : x y z xyz 94 20 = 15 = 12 = 20 15 12 = 47 =2 (0,5®) x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) Sè häc sinh ®i trång c©y cña líp 7A, 7B, 7C lÇn lît lµ 40, 30, 24 Câu (làm đúng cho 1,5đ) 102006 53 §Ó lµ sè tù nhiªn 102006 + 53 (0,5®) §Ó 102006 + 53 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho mµ 102006 + 53 = 1+ +0 + .+ + 5+3 = 102006 53 102006 + 53 hay lµ sè tù nhiªn (1®) C©u (3®) Vẽ đợc hình, ghi GT, KL đợc 0,25đ µ ¶ ¶ a, ABC cã A1 A2 (Az lµ tia ph©n gi¸c cña A ) µ µ A1 C (Ay // BC, so le trong) ¶A C µ V ABC c©n t¹i B mà BK AC BK là đờng cao cân ABC BK còng lµ trung tuyÕn cña c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña c©n ABH vµ vu«ng BAK Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) (38) đề thi học sinh giỏi toán ¶A B µ (300 ) V× ¶ µA 300 A 2 ¶ 900 600 300 B AC AC BH (1®) vu«ng ABH = vu«ng BAK BH = AK mµ AK = c, AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) KM = KC KMC c©n ¶ µ · 0 MÆt kh¸c AMC cã M 90 A=30 MKC 90 30 60 AMC (1đ) Câu Làm đúng câu đợc 1,5đ Xây dựng sơ đồ cây và giải bài toán Đáp án : Tây đạt giải nhất, Nam giải nhì, Đông giải 3, Bắc giải - Đáp án đề số 16 C©u 1: (2®) a) Xét khoảng x ≥ đợc x = 4,5 phù hợp 0,25 ® Xét khoảng x< đợc x = - phù hợp 0,25 ® b) XÐt kho¶ng x ≥ §îc x > 0,2® XÐt kho¶ng x< §îc x < -1 0,2® 2 VËy x > hoÆc x < -1 x≥ c) XÐt kho¶ng 0,1® Ta cã 3x - XÐt kho¶ng x< Ta cã -3x + Ta đợc −2 ≤ x ≤ x Ta đợc ≤x ≤ 3 ⇒ x ≥ −2 Vậy giá trị x thoã mãn đề bài là −2 ≤ x ≤ C©u 2: a) S = 1+25 + 252 + + 25100 0,3® 101 ⇒ 25 S=25+25 + +25 ⇒ 24 S=25 S − S=25101 − 101 VËy S = 25 −1 24 b) 430= 230.230 = (23)10.(22)15 >810.315> (810.310)3 = 2410.3 VËy 230+330+430> 3.224 C©u 3: a) H×nh a 0,3® 0,1® 0,8® 0,2® (39) đề thi học sinh giỏi toán AB//EF v× cã hai gãc cïng phÝa bï EF//CD v× cã hai gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD b) H×nh b AB//EF V× cã cÆp gãc so le b»ng CD//EF v× cã cÆp gãc cïng phÝa bï VËy AB//CD C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iÓm AP BP vừa là phân giác vừa là trung tuyến nên là đờng cao BD Tơng tự ta chứng minh đợc BE AQ b) AD = DP Δ DBP=Δ BDE (g.c.g) ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ® ⇒ 0,4® 0,4® 0,2® 0,3 ® 0,2® 0,5 ® AP 0,3® Δ MBE= ΔMAD (c g c)⇒ ME=MD BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ c) Δ BDE vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME Δ ADB vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA DE = DM + ME = MA + MB C©u 5: 1® A = 1+ 10 A lín nhÊt 10 4−x XÐt x > th× XÐt < x th× 4−x lín nhÊt 0,2® 0,4® 0,4® 0,2® 0,3® 10 <0 4−x 10 > a lín nhÊt - x nhá nhÊt 4−x ⇒ x=3 0,6® Đáp án đề số 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ) a/ 4x 4x - x = 15 = x + 15 b/ 3x - x > 3x > x + * Trêng hîp 1: x ³ - , ta cã: * Trêng hîp 1: x ³ , ta cã: 4x + = x + 15 3x - > x + x = ( TM§K) x > ( TM§K) (40) đề thi học sinh giỏi toán * Trêng hîp 2: x < - , ta cã: * Trêng hîp 2: x < , ta cã: 4x + = - ( x + 15) 3x – < - ( x + 1) 18 x = - ( TM§K) 18 VËy: x = hoÆc x = - x < ( TM§K) VËy: x > hoÆc x < 2x 2 x 5 x 1 c/ C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 8A = (- 7) – (-7)2008 (1) ( 2) 1 Suy ra: A = [(- 7) – (-7)2008 ] = - ( 72008 + ) * Chøng minh: A 43 Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng Nhãm sè liªn tiÕp thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] 43 VËy : A 43 b/ * Điều kiện đủ: Nếu m và n thì m2 3, mn và n2 3, đó: m2+ mn + n2 * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*) Nếu m2+ mn + n2 thì m2+ mn + n2 3, đó từ (*),suy ra: ( m - n)2 ,do đó ( m n) vì ( m - n)2 và 3mn nên mn ,do đó hai số m n chia hết cho mà ( m - n) nên số m,n chia hết cho C©u 3: Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đờng cao tơng ứng với các cạnh đó là , hb , hc Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : 1 (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( + hc ) = k ,( víi k 0) Hay: Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: + hb + hc = 6k Từ đó ta có: = 2k ; hb =k ; hc = 3k MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc (41) đề thi học sinh giỏi toán a.2k = b.k = c.3k a b c = = C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC DB * Nếu DC = DB thì BDC cân D nên DBC = BCD Suy ra: ABD = ACD Khi đó ta có: ADB = ADC (c_g_c) Do đó: ADB = ADC ( trái với giả thiết) * NÕu DC < DB th× BDC , ta cã DBC < BCD mµ ABC A = ACB suy ra: ABD ACD ( ) > XÐt ADB vµ ACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB (2) DAC DAB Suy ra: < D Tõ (1) vµ (2) ADB vµ ACD ta l¹i cã ADB < ADC , ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy: DC > DB C©u 5: ( ®iÓm) áp dụng bất đẳng thức: x 1004 x 1003 C B x y ³ x y - , ta cã: ( x 1004) ( x 1003) A= = 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007 DÊu “ = ” x¶y khi: x -1003 - Hớng dẫn chấm đề 18 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt trêng hîp 3x-2 3x -2 <0 => kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n b-(1 ®iÓm ) XÐt trêng hîp 2x +5 vµ 2x+5<0 Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh => kÕt luËn C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc ⋮ 18=> abc ⋮ VËy (a+b+c) ⋮ Ta cã : a+b+c 27 Tõ (1) vµ (2) suy a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 Theo bµi a = b = c = a+b+ c (1) (2) (3) (4) Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18 vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc ⋮ => sè cÇn t×m : 396, 936 b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72+73+74) + (75+76+77+78) + + (74n-3+ 74n-2+74n-1+74n) = (7 +72+73+74) (1+74+78+ +74n-4) (42) đề thi học sinh giỏi toán Trong đó : +72+73+74=7.400 chia hết cho 400 Nên A ⋮ 400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : + CBy C = 2v (gãc cïng phÝa) (1) C1 + CAx = 2v V× theo gi¶ thiÕt C +C + α + γ = 4v =3600 VËy Cz//Ax (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By C©u 4-(3 ®iÓm) Δ ABC c©n, ACB =1000=> CAB = CBA =400 Trªn AB lÊy AE =AD CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) Δ AED c©n, DAE = 400: =200 => ADE =AED = 800 =400+EDB (gãc ngoµi cña Δ EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ cho AC’ = AC C CAD = C’AD ( c.g.c) Δ Δ AC’D = 1000 vµ DC’E = 800 VËy Δ DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’ A C Mµ DC’ =DC VËy AD +DC =AB C©u (1 ®iÓm) S=(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2004 -3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2004] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2005] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2005]-(3)0-(-3)1- -(-3)2005 -4S = (-3)2005 -1 S = D E B −3 ¿2005 − 2005 ¿ = +1 ¿ ¿ - Đáp án đề 19 1 1 1 1 − − − − − − − − 90 72 56 42 30 20 12 = - ( + + + + + + + + ) 1® 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = - ( − + − + − + + − + − ) 1® 2 3 9 10 = - ( − ) = −9 0,5® 10 10 Bµi 2: A = |x − 2|+|5 − x| Bµi 1: Ta cã : - Víi x<2 th× A = - x+ 2+ – x = -2x + >3 0,5® Víi x th× A = x-2 –x+5 = 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = <=> x 1® A Bài 3: a Trên tia đối tia OC lấy điểm N cho ON = OC Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC G O H (43) đề thi học sinh giỏi toán nên OM là đờng trung bình tam giác BNC Do đó OM //BN, OM = BN Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T¬ng tù AN//BH Do đó NB = AH Suy AH = 2OM (1đ) b Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm AG và HG thì IK là đờng trung bình tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong) Δ IGK = Δ MGO nªn GK = OG vµ ∠ IGK = ∠ MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® Do GK = OG mµ GK = HG nªn HG = 2GO Đờng thẳng qua điểm H, G, O đợc gọi là đờng thẳng le 1® Bài 4: Tổng các hệ số đa thức P(x) giá trị đa thức đó x=1 VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2)2006 (3+4x + x2)2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0,5® Đáp án đề 20 C©u 1: Ta cã: 220 (mod2) nªn 22011969 (mod2) 119 1(mod2) nªn 11969220 1(mod2) 69 -1 (mod2) nªn 69220119 -1 (mod2) VËy A (mod2) hay A (1®) T¬ng tù: A 3 (1®) A 17 (1®) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè A 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x < -2 x = -5/2 (0,5®) (44) đề thi học sinh giỏi toán Víi -2 ≤ x ≤ kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x < -2 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 5/3 Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 5/3 x = 3,5 (0,5®) Bµi 3: a) Dễ dàng chứng minh đợc IH = 0M A IH // 0M 0MN = HIK (g.c.g) I E Do đó: IHQ = M0Q (g.c.g) QH = Q0 F H N QI = QM P b) DIM vuông có DQ là đờng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M Nhng QI là đờng trung bình 0HA nên c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| ³ "x R Do đó A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 |x-5| = x = C Đáp án đề 21 Bµi §iÒu kiÖn x ³ a) A = - (0,25®) (0,5®) b) √ x+3 > A = -1 √ x −5=− √ x − x = (0,25®) (0,5®) √ x +3 √ x+3 lµ íc cña c) Ta cã: A = - §Ó A Z th× x = {1; 25} đó A = {- 1; 0} Bµi a) Ta cã: √ 7− x=x − (0,5®) x − 1≥ x −1 ¿2 ¿ ⇔ ¿ ¿ x≥1 ¿ ¿ x=3 ; x=−2 − x=¿ (1®) b) Ta cã: 2M = – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 3M = + 22007 (0,25®) (0,25®) 2007 M = +1 (0,5®) c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ³ víi mäi x §PCM (1®) (45) đề thi học sinh giỏi toán Aˆ Bˆ Cˆ 1800 300 Aˆ 300 ; Bˆ 600 ; Cˆ 900 Bµi Ta cã: VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H AC cho AH = AN (0,5®) Từ đó chứng minh IH = IN = IM (1đ) Bµi A = + 2000 AMax – x > vµ nhá nhÊt (0,5®) 6−x (0,5®) – x = x = Vậy x = thoã mãn điều kiện bài toán đó A Max= 2001 (0,5đ) Đáp án đề 22 C©u 1: (2.5®) a 25 a2 15 20 15 40 55 () () () () () ( 19 ) :(31 ) = ( 13 ) : (31 ) = ( ❑3 ) a1 b A= 30 = 50 = 30 20 (0.5®) 10 94 − 69 (1− 3) = = 210 8+ 68 20 210 (1+ 5) = 0.(21) 33 c3 0,(21) = 21 = ; 99 33 c (0.5®) (0.5®) = 0,3(18) 22 c4 5,1(6) = c1 c2 C©u 2: (2®) Gäi khèi lîng cña khèi 7, 8, lÇn lît lµ a, b, c (m3) ⇒ a + b + c = 912 m3 ⇒ Sè häc sinh cña khèi lµ : b a = vµ 4,1 1,2 a b c = = =20 1,2 12 1,4 15 1,6 Theo đề ta có: ⇒ a 1,2 b ; 1,4 b c = 1,4 1,6 ; ⇒ (x = 2)2 + (0.5®) (0.5®) c 1,6 (0.5®) (0.5®) VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3 Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, lÇn lît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A Ta cã: (x + 2)2 (0.5®) (0.5®) ⇒ Amax= x = -2 (0.75®) b.T×m B Do (x – 1)2 ; (y + 3)2 ⇒ B VËy Bmin= x = vµ y = -3 C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E Ta cã EAB c©n t¹i E ⇒ EAB =300 (0.75®) C (46) M đề thi học sinh giỏi toán 300 100 ⇒ H EAM = 200 ⇒ CEA = MAE = 200 A (0.5®) 0 Do ACB = 80 ⇒ ACE = 40 ⇒ AEC = 120 ( ) (0.5®) 0 MÆt kh¸c: EBC = 20 vµ EBC = 40 ⇒ CEB = 120 ( ) (0.5®) Tõ ( ) vµ ( ) ⇒ AEM = 1200 Do EAC = EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ MAC c©n t¹i A (0.5®) Vµ CAM = 400 ⇒ AMC = 700 (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng ⇒ a2 vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒ a2 chia hÕt cho d ⇒ a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒ b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒ tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy (a2,a + b) =1 (0.5®) - B §Ò 23 C©u I : 1) Xác định a, b ,c a− b+3 c − = = = (a −1) = − 3(b+ 3) = − 4(c −5) = a −3 b − c −5 −9+ 20 =−2 10 −12 − 24 10 −12 −24 => a = -3 ; b = -11; c = -7 Cách : a− = b+3 = c − = t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm t =- tìm a,b,c 2) Chøng minh §Æt a = c = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc : b d 2 a −3 ab+ b2 c −3 cd +5 d k − k +5 k −3 k+ − = − =0 => ®pcm 2+3 k 2+3 k b2 +3 ab d +3 cd C©u II: TÝnh: 1) Ta cã :2A= 2( 1 + + + )= 3.5 5.7 97 99 1 1 1 1 32 − + − + + − = − = =>A 5 97 99 99 99 = 16 99 1 1 2) B = = − + − + + 50 − 51 = 3 3 1 1 + + + + + 50 (−3) (−3 ) (− ) (−3 ) (− 351 ) −3 ¿ ¿ ¿ 1 + +¿ (−3 ) (−3 ) => B=¿ −3 1 − = − (−352) − 351 −1 52 51 => B = (−3 −1) 351 C©u III Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = +¿ 10 0,(1).3 = + 10 10 10 = 30 (47) đề thi học sinh giỏi toán 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ 0,(32)= 0,12+ 0,(01).32 = 1000 1000 12 32 + 100 1000 99 = 1489 12375 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) = x ( x −1)(x − 2) −5 x (x − 1)+2( x −3)+16 => P(x) = x - 25 x 2+12 x+10 2 C©u V: a) DÔ thÊy Δ ADC = Δ ABE ( c-g-c) => DC =BE V× AE AC; AD AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE => DC Víi BE b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN MP MN = DC = BE =MP; VËy Δ MNP vu«ng c©n t¹i M - Đáp án đề 24 Bµi 1: a) 3 3 3 10 11 12 5 5 5 A = 10 11 12 3 (0,25®) 1 1 1 3 3 10 11 12 1 1 1 5 5 A = 10 11 12 3 A= + =0 1 1 (0,25®) (0,25®) (48) đề thi học sinh giỏi toán b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25®) (0,25®) Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230.415 (0,25®) 10 30 11 3.24 = (0,25®) 15 11 30 mµ > > 311 230 + 330 + 430 > 3.2410 2102 B= 3B = 2102 – 1; (0,25®) b) = 36 > 29 33 > 14 (0,25®) 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bµi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn lît lµ sè ngµy lµm viÖc cña m¸y x1 x2 x3 (1) (0,25®) Gäi y1, y2, y3 lÇn lît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y y1 y2 y3 (2) (0,25®) Gäi z1, z2, z3 lÇn lît lµ c«ng suÊt cña m¸y z1 z2 z3 1 5z1 = 4z2 = 3z3 (3) Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) (0,25®) x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 395 15 18 40 395 15 Tõ (1) (2) (3) (0,5®) (0,25®) x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội lần lợt là 54, 105, 200 (0,25đ) Bµi 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5®) ABM ADM (1) (0,25®) Ta cã BMC MBD BDM (gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) 0 BMC MBA 60 BDM ADM BDM 60 120 (0,25®) b) Trªn DM lÊy F cho MF = MB (0,5®) A FBM (0,25®) D DFBAMB (c.g.c) (0,25®) DFB AMB 120 F (0,5®) Bµi 6: Ta cã x 2 f (2) f ( ) 4 E M (0,25®) B C (49) đề thi học sinh giỏi toán 1 x f ( ) f (2) 2 (0,25®) 47 f (2) 32 (0,5®) - đáp án đề 25 C©u a.NÕu x ³0 suy x = (tho· m·n) NÕu < suy x = -3 (tho· m·n) b x x −3 = − = ⇒ y 6 y =1 x −3=6 ¿{ y x y 6 ;hoÆc x 1 y x y 3 ; hoÆc x 2 ; hoÆc y 2 ;hoÆc x 3 ¿ y=−1 x − 3=− ¿{ ¿ y ; hoÆc x hoÆc hoÆc Từ đó ta có các cặp số (x,y) là (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) x y z x y z x y z 30 2 c Từ 2x = 3y và 5x = 7z biến đổi 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 C©u a A là tích 99 số âm đó 1 1.3 2.4 5.3 99.101 1 A 100 16 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 A 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 b B= x 1 x 34 1 x x x B nguyªn ˆ nguen x x 4 x 4; 25;16;1; 49 C©u Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B là v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B là V2 = 3km/h V1 t1 V1 va Ta cã: V2 t2 V2 (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) (50) đề thi học sinh giỏi toán t1 t t t t 15 15 tõ t2 4 t2 = 15 = 60 phót = giê Vậy quãng đờng CB là 3km, AB = 15km Ngời đó xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = C©u a Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) b Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) Gãc I3 = gãc I4 M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900 gãc AIB < 900 gãc BIC > 900 d NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u x 10 10 10 1 x P lín nhÊt x lín nhÊt P = 4 x 10 XÐt x > th× x < 10 XÐt x< th× x > 10 x lín nhÊt – x lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt 4–x=1x=3 10 đó x = 10 Plớn = 11 - Hớng dẫn chấm đề 26 Bµi : a) T×m x Ta cã |2 x −6| + 5x =9 |2 x −6| = 9-5x * 2x –6 ³ (0,5) * 2x – < (0,5) VËy x = ⇔ x ³ đó 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15 ⇔ x< đó – 2x = 9-5x b) TÝnh (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : ( v× 12.34 – 6.68 = 0) c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 Nh vËy 2101 –1 < 2101 VËy A<B ⇒ x= tho· m·n ( 13 + 14 + 15 + 16 ) ⇒ kh«ng tho· m·n = 2A – A = 2101 –1 (0,5) (0,5) (0,5) (51) đề thi học sinh giỏi toán Bài : Gọi cạnh tam giác ABC là a, b, c và đờng cao tơng ứng là ha, hb, hc Theo đề bài ta có (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ) = :7 :8 hay + hb =5k ; hb + hc=7k hc + = 8k ; + hb +hc =10k (k lµ hÖ sè tØ lÖ ) (0,5) Suy hc =( + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k T¬ng tù : =3k , hb= 2k A DiÖn tÝch tam gi¸c : a = b.hb 2 h Suy a = b = k = T¬ng tù : a = ; b = ; b 3k c 3 c (0,5) a b c = = 1 a.ha = b.hb =c.hc ⇒ h b hc 1 1 1 : : = : : Hay a:b:c = 10: 15 :6 ⇒ a:b:c = hb hc Bµi : a) T¹i x = 16 ta cã : A = (1) b) Víi x >1 §Ó A = tøc lµ 16 +1 =7 16 −1 √ √ B (0,5) ; t¹i x = 25 √ x+1 =5 ⇔ √ x= ⇔ x= √x− C ta cã : A = 25 +1 =4 ; 25 −1 √ √ (1) Bµi : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy tam gi¸c MDC c©n vµ DMC =DCM ,(2) Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña CDM ) = 2DCM T¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän) MDB = CAB (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ) Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 VËy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bµi : Ta cã P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 21 víi mäi x DÊu (=) x¶y x = -4 Khi đó P có giá trị lớn là 21 hớng dẫn đề 27 (52) đề thi học sinh giỏi toán C©u 1: (3®) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® n suy (1/2 +4) = suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5® c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5® v× 3n.10 10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 10 suy 3n.10-2n.5 10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 43 40 10 Ta cã: 43 = 43 43 = (43 ) 43 v× 43 tËn cïng lµ cßn 433 tËn cïng lµ suy 4343 tËn cïng bëi 1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ suy (174)4 cã tËn cïng lµ suy 1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 0,5® 43 17 suy 43 và 17 có tận cùng là nên 4343-1717 có tận cùng là suy 4343-1717 chia hÕt cho 10 0,5® suy -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gọi H là chân đờng cao vuông góc kẻ từ A xuống BC ta có Δ AHB=Δ AHC suy HAB=HAC 0,5® gọi O là giao AH với đờng thẳng vuông góc với MN kẻ từ I thì ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5® suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5® Vậy điểm O cố định - Đáp án đề 28 C©u 1: (2®) a a + a = 2a víi a ³ (0,25®) Víi a < th× a + a = (0,25®) b a - a -Víi a³ th× a - a = a – a = -Víi a< th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + ³ x ³ - (53) đề thi học sinh giỏi toán Ta cã: 3(x – 1) – x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x – = x – (0,5®) -Víi x + < x< - Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x + = 5x + (0,5®) C©u 2: T×m x (2®) a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = §K: x ³ -7 (0,25 ®) 1 x x (1) (0,25 ®) 5x x x x … (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 b 2x + 3 - 4x < (1,5®) 2x + 3 < + 4x (1) (0,25®) 4x 9 x 4x §K: 4x +9 ³ x ³ (1) x (t/m§K) (0,5®) C©u 3: Gọi chữ số số cần tìm là a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 số đó phải chia hết cho VËy (a + b + c ) chia hÕt cho (1) (0,5®) Tacã: a + b + c 27 (2) V× a ; b ³ ; c Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5®) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho chữ số hàng đơn vị ph¶i lµ sè ch½n VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®) -Vẽ hình đúng viết giả thiết, kết luận đúng (0,5đ) -Qua N kÎ NK // AB ta cã EN // BK NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ADM = NKC (gcg) (1®) DM = KC (1®) Đáp án đề 29 Bµi 1: Ta cã: 102007 10 = + 2007 2007 10 10A = 10 (1) (54) đề thi học sinh giỏi toán 102008 10 = + 2008 2008 10 (2) T¬ng tù: 10B = 10 9 2008 2007 Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 10 10 10A > 10B A > B Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 A= 2007.2006 10 18 2007.2006 2006.2007 12 20 2006.2007 = 10 (1) Mµ: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 A= Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: x 1 x y y x-2 y Do đó : y(x-2) =8 Quy đồng mẫu vế phải ta có : §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ íc cña Ta cã c¸c sè nguyªn t¬ng øng cÇn t×m b¶ng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a Nh©n vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 (1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta đợc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABK cắt đờng thẳng CK I Ta cã: IBC c©n nªn IB = IC CIA 120 Do đó: BIA = CIA (ccc) nªn BIA BIA = BIK (gcg) BA=BK A I K b) Tõ chøng minh trªn ta cã: B C (55) đề thi học sinh giỏi toán BAK 700 - Đáp án đề 30 Bµi 4® a) 74( 72 + – 1) = 74 55 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = + + 52 + 53 + + 549 + 55 (1) 5.A = + 52 + 53 + + 549 + 55 + 551 (2) 1® Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – => A = 1® Bµi 4® 51 1 a b c a 2b 3c a 2b 3c 20 5 a) ó 12 12 => a = 10, b = 15, c =20 0,5® 0,5® 0,5® 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z N*) Theo bµi ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 20 000 x 50 000 y 100000 z x y z x y z 16 2 100 000 100000 100000 5 => Suy x = 10, y = 4, z = VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 0,5® Bµi 4® 1 a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - x - 1® 1 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - x + 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = + + +…+ = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2® Bµi 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® b a) ABD = EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ABD = EBD nªn gãc A b»ng gãc BED Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 e c a d Bµi 5: 4® (56) đề thi học sinh giỏi toán a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: a 1 DE//AB, DE = AB, IK//AB, IK= AB Do đó DE // IK và DE = IK b) GDE = GIK (g c g) v× cã: DE = IK (c©u a) Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒ i e G k b c d GD = GI Ta cã GD = GI = IA nªn AG = AD - VÏ h×nh: 0,5® - Phần a) đúng: 2đ - Phần b) đúng: 1,5đ (57)