Bài 12. Bài tập có đáp án chi tiết về phương pháp nguyên hàm từng phần | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Họ nguyên hàm của hàm số trên là. A.[r]

Câu 1. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  f x e ,x    vàx  0

f  Tất nguyên hàm f x e2x

A x e xexC B x2 e 2xexC C  e

x

x C

D  e

x

x C Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có f x  f x  ex f x exf x ex 1   e 

x

f x 

  f x ex x C

  

Vì f  0 2  2.e0 C  C2  f x e2x x2 e x.

Vậy   e dx

f x x

 x2 e d x x x2 d e  x x2 e x e dx x2

x e x e dx x

    x2 e x exC x1 e xC

Phân tích: Bài tốn cho hàm số yf x  thỏa mãn điều kiện chứa tổng f x  f x 

đưa ta tới cơng thức đạo hàm tích u v u v u v   với uf x  Từ ta cần chọn hàm v cho phù hợp

Tổng quát: Cho hàm số yf x  yg x  liên tục K , thỏa mãn        

f x g x f x k x

(Chọn v e G x ).

Ta có f x g x f x   k x               

G x G x G x

e f x g x e f x k x e

   .

 

 

eG x f x  k x e  G x 

   eG x f x  k x e  G x dx  f x  eG x k x e  G x dx

Với G x  nguyên hàm g x 

Admin tổ – Strong team : Bản chất toán cho hàm số yf x  thỏa mãn điều kiện

chứa tổng f x  f x liên quan tới công thức đạo hàm tích u v u v u v  với  

uf x

Khi ta cần chọn hàm v thích hợp Cụ thể, với toán tổng quát :

Cho hàm số yf x , y g x  , y h x   , y k x   liên tục K, g x   0 với x K  thỏa mãn g x f x   h x f x    k x 

Ta tìm v sau :

   

   

h x h x

v v

v g x  vdx g x dx 

 



 

Khi :

   

   

ln x

h x g xd

dx e

h x

v v

g x



  

Câu 2. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hàm số f x  thỏa mãn    

2

2 x ,

f x xf x xe x

    

và f  0  Tất nguyên hàm  

2

ex

x f x

A   2 1

x  C

B  

2

2

1

x

x e C

 

C  

2

2 1 x

x e C

 

D   2

1 x  C. Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai

Chọn D

Ta có    

2

2 x

f x xf x xe

    ex2 f x 2xf x ex2.2xex2   

2

2

x

e f x  x

 

 

2 2

2 d

x

e f x x x x C

   

Vì f(0) 1  C1    

2

2 1 x

f x x e

  

Vậy  

2

d

x

xf x e x

 x x 21 d x    

2

1

1 d

2 x x

    1 12

2 x C

  

Câu 3. [2D3-1.3-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Gọi F x  nguyên hàm  hàm số   2eax 0

f x x a

, cho  

0

F F a

 

 

 

  Chọn mệnh đề mệnh đề sau. A 0  a B a   2 C a  3 D 1  a

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My

Chọn A

  2e dax

F x x x Đặt

2 d d

1 e

d e dax ax

u x x u x

v

v x

a    

 



 

 



 

 .

  2eax e dax ax  1

F x x x x x e A

a a a a

     

Xét e d

ax

Ax x Đặt

d d

1

d axd ax

u x u x

v e v e x

a

  

 



 

 

 

 .

 

1

d

ax ax

A xe e x

a a

   

Từ  1  2 suy  

2

2 2

1 2 2

eax ax e dax eax eax eax

F x x xe x x x C

a a a a a a

       

Mà  

1

0

F F a

 

 

 

   3 3

1 2

e e e C C

a  a a  a  

3 e 2 3e 2 0 1.

a a a

Câu 4. [2D3-1.3-3] (Trần Đại Nghĩa) Cho  

2

ln

ln

x x a

I dx

b c

x 

  

 

với , ,a b c số nguyên

dương phân số phân số tối giản Tính giá trị biểu thức

a b S

c

 

A

S 

B

1

S 

C

2

S 

D

1

S 

Lời giải

Tác giả: Viết Ánh; Fb: Viết Ánh

Chọn A

Ta có      

2 2

2 2

1 1

ln ln

1 1

x x x x

I dx dx dx

x x x



  

  

  

Xét  

2

1

1

x

I dx

x 

 

Đặt t x  1 dt dx

3

3 3

3

1 2

2

2 2

1 1

ln ln

2 t

I dt dt dt t

t t

t t



       

Xét    

2

2 2

2

1

1 1

ln 1 1

ln ln

1

1 x

I dx x dx dx

x x x x x

x

 

       

    



  

2

1

1

ln ln ln ln

3 3

x I

x

   

 .

Do

3 1

ln ln ln ln

2 3

I      

6

a b S

c

 

   

Câu 5. [2D3-1.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho ( )f x hàm số liên tục  thỏa mãn     ,

f x  f x     x x f  0  Tính 1 f  1

A

e B.

1

e C e D

e Lời giải

Chọn A

    (1)

f x  f x x

Nhân vế (1) với e ta x e x f x e x f x x.ex

Hay e   e e   e d

x f x  x x x f x x x x

    

   .

Xét e d

x

I x x

Đặt

d d

e dx d ex

u x u x

x v v

  

 

  

.e dx ex e dx ex ex

I x xx   xx  C

Suy exf x  x.ex exC

Theo giả thiết (0) 1f  nên C 2    

.e e 2

1

e e

x x

x

x

f x   f

   

Câu 6. [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Họ nguyên hàm hàm số ( ) (2f x  x1) lnx

A  

2 ln

2 x

x x x  x C

B  

2 ln

2 x

x x x  x C

C  

2 1 ln

2 x

x  x  x C

D

1 2ln x C

x

  Lời giải

Tác giả:Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung.

Chọn B

Tìm I (2x1) ln dx x

Đặt ( )

1

ln d d

d d

u x u x

x

v x x

v x x

ìï

ì = ï =

ï ï

ï Þ ï

í í

ï = + ï

ï ï

ỵ ïïỵ = +

   

(2 1) ln d ln ( 1)d ln

2 x

x x x x x x x x x x x x C

            

Câu 7. [2D3-1.3-3] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019 ) Biết xex nguyên hàm f  x khoảng   ;  Gọi F x  nguyên hàm  e

x

f x

thỏa mãn

 0

F 

, giá trị F  1

A

2. B

5 e 

C

7 e 

D

5 2. Lời giải

Tác giả: Nguyễn Tất Thành; Fb: Thanh Nguyen

Chọn A

Vì xex nguyên hàm f  x khoảng   ; 

 f xxex ex xex,     x  ; .

Do f xe  x  xe  x ,     x  ;   f x  ex1 x,     x  ; .

Nên   e 1  e  2

x x

f x  x   x

 

      f x ex exx e x  x

Bởi      

2

2 d

2

F x x x x C

Từ    

0 2

2

F   C C 

; F 0  1 C1

Vậy        

2

1

2 1

2 2

F x  x   F      

Nhận xét:

+ f x dx  f x C

+ Nếu đề không cho “xex nguyên hàm f  x trên khoảng   ; ”màcho

có nguyên hàm khoảng a b;     ;  mà làm    e  e e

x x x

f x  x  x

chưa Nên dạy GV nên cho thêm ví dụ 32.1, 32.2 ( 3 ví dụ dạy buổi là tuyệt đỉnh thầy nhé! Hi hi)

Bài tốn tương tự

Câu 8. [2D3-1.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Họ nguyên hàm hàm số f x 2 lnx  x

A

2

ln

2x x x. B

2

ln 2x x x C .

C.

2

ln

2x x x. D

2

ln 2x x x C . Lời giải

Tác giả: Đoàn Ngọc Hồng; Fb:Hồng Đồn

Chọn B

Ta có họ nguyên hàm hàm số f x  2 lnx  x

  2 ln 

I f x dxx  x dx

Đặt

2 ln

dx du

u x

x dv xdx

v x 

  

 



 



  



 

2 2 ln 2 2ln 2ln

2

I x x xdx x x x x C x x x C

           

Câu 9. [2D3-1.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Họ nguyên hàm hàm số

2x2 xln 1

y

x x

 



A  

2 1 ln

2 x

x x x

x     C

B  

2 1 ln

2 x

x x x

x     C

C  

2 1 ln

2 x

x x x

x     C

D  

2 1 ln

2 x

x x x

x     C

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ Hải; Fb: Vũ Hải Lê

Chọn C

Ta có:

 

 

2

1 l

2 ln 1

n d

d d

x x

x x x I

x

x

x x   x I

 

  

  .

 

1 ln d I  x x x

Đặt  

ln d

d

1 d

2 d

x

v x x

u

x

u x

x v x 

 



 



 

 

 

  

       

 

2 2

1

2

1

ln 1d ln d

l

2

n

I x x x x

x

x x x x x x x

x x x x x C

   



   

   

 

2

1

dx ln

I x C

x

  

 

   

2

1

2

2

1

2

d

2 ln

ln ln ln

2 x

x I x

x x

x x

I

x

x x x C x C x x x x C



    

 



       



Câu 10. [2D3-1.3-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số yf x 

Biết hàm số cho thỏa mãn hệ thức  sin =  cos cos

x

f x xdx  f x x  xdx

  Hỏi hàm số

  yf x

hàm số hàm số sau?

A   ln

x

f x  

B   ln

x

f x 





C   ln

x

f x  

D   ln

x

f x 



 Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hoàng Kiệt; Fb: Nguyễn Hoàng Kiệt

Chọn B

Hệ thức  sin =  cos cos

x

f x xdx  f x x  xdx

  (1).

Xét f x sinxdx

Đặt

  ' 

sin cos

u f x du f x

dv xdx v x

  

  

  



 Ta f x sinxdx f x cosxf x' cosxdx.

Theo hệ thức (1), suy f x'  x

Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có hàm số thỏa mãn   ln

x

f x 

 

Câu 11. [2D3-1.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm hàm số   cos

f x x x

A f x x x d  sinx cosx C B f x x x d  sinxcosx C C f x x d xsinxcosx C D f x x d  xsinx cosx C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có: xcos dx x

Đặt d cos d u x

v x x

  

 

d d

sin

u x

v x

   



Vậy xcos dx xxsinx sin dx xxsinxcosx C .

Câu 12. [2D3-1.3-3] Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tìm nguyên hàm hàm số f x xcosx

A f x x x d  sinx cosx C B f x x x d  sinxcosx C C f x x d xsinxcosx C D f x x d  xsinx cosx C

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: nvanphu1981

Chọn B

Ta có: xcos dx x

Đặt d cos d u x

v x x

  

 

d d

sin

u x

v x

   



 .

Vậy xcos dx xxsinx sin dx xxsinxcosx C .

Câu 13 [2D3-1.3-3] (Chuyên KHTN) Cho hàm số ( )f x liên tục  có

0

( )

f x dx  

0

( ) f x dx  

Tính

1

( 1)

f x dx



 

A

4 B

11

4 C 3 D 6

Lời giải

Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.

Chọn C

Ta có

1

1

1

1

4

( 1) ( 1) ( 1)

f x dx f x dx f x dx

 

    

  

1

1

1

4

(1 ) (4 1)

f x dx f x dx



   

I J  

+) Xét

1

(1 )

I f x dx

  

Đặt t 1 4x dt4 ;dx

Với

1

1 5;

4

x  t  x  t

1

0 5

4

1 0

1 1

(1 ) ( )( ) ( ) ( )

4 4

I f x dx f t dt f t dt f x dx



+) Xét

1

(4 1) J f x dx

Đặt t4x 1 dt4 ;dx

Với

1

1 3;

4

x  t  x  t

1 3

1 0

4

1 1

(4 1) ( )( ) ( ) ( )

4 4

J f x dxf t dt  f t dt  f x dx

Vậy

1

( 1)

f x dx



 



Câu 14. [2D3-1.3-3] (Yên Phong 1) Cho hàm số f x  liên tục tập  thỏa mãn   2  

f x x   x f x 

f x    1, f  0  Tính f  3

A B 9. C 3. D 0.

Lời giải

Tác giả: Hồng Văn Thơng; Fb: Thơng Hồng

Chọn C

Cách 1.

Với điều kiện toán

Ta có    

2 1 2 1

f x x   x f x 

 

 

2 1

f x x f x x



 

 

Suy

 

  d d

2 1

f x x

x x

f x x





 

   f x  1 x2 1 C

Với f  0  ta có 10  C  C 0

Khi  

2

1

f x   x   f x  x2

Vậy f  3 3

Cách 2.

Từ giả thiết ta suy

 

   *

2 1

f x x f x x





 

Ta có

   

3

2

0

d d

2 1

f x x

x x

f x x





 

    3

2

0

1

f x x

   

 3  0 1

f f

      f  3  1  f 3 3

Câu 15. [2D3-1.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Tìm nguyên hàm hàm số f x  xtan2 x

A

2

tan d tan ln cos

x x x x x x x  C

 . B

2

tan d tan ln cos

x x x x x x x  C

 .

C

2

tan d tan ln cos

x x x x x x x  C

 . D

2

tan d tan ln cos

x x x x x x x  C

 .

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu

Phản biện: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le

Chọn D

2

2 2

1

tan d d d d d

cos cos cos

x x x

x x x x x x x x x

x x x

 

       

 

    

Tính cos2 d x

x x

 Đặt

d d

1

tan

d d

cos

u x u x

v x

v x

x  

  



 



 

 

2

sin

d tan tan d tan d

cos cos

x x

x x x x x x x x

x x

       

  d cos

tan tan ln cos

cos

x

x x x x x C

x

    

Vậy

2

tan d tan ln cos

x x x x x x x  C

 .

Câu 16. [2D3-1.3-3] (Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm hàm số y3x x cosx A x33 sinx xcosxC B x3 sinx xcosxC C x33 sinx x cosxC D x3 sinx x cosxC

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng

Chọn A

Phương pháp: Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần.

Ta có: yf x 3x x cosx Đặt I f x x d

I =3x x cosx xd = 3 dx x2 + 3 cos dx x x =x3C1 + 3.I (với 1 I1xcos dx x).

Đặt d cos d u x

v x x

  

 

d d

sin

u x

v x

   



 .

1 cos d sin sin d sin cos

I x x x x x x x x x x C

       

I

 = x3C1 + sinx xcosx C 2 =   3 sin cos x  x x x C

(với C C 13C2).

Câu 17. Cho hàm số ye sinx x Họ nguyên hàm hàm số

A

1

e cos e sin

2

x x

x x C

B

1

e cos e sin

2

x x

x x C

  

C

1

e cos e sin

2

x x x x C

 

D

1

e cos e sin

2

x x x x C

  

Câu 18. Biết

d tan cos

x x a C x  b



 Giá trị S a b  là

Câu 19. [2D3-1.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Cho hàm số yf x  có đạo hàm cấp hai 0; 

thỏa mãn 2xf x  f x  x2 xcos ,x  x 0;;f 4 0 Giá trị biểu thức 9 

f  là:

A 0 B 3  . C   . D 2  .

Lời giải

Tác giả: Quang Pumaths ; Fb: Quang Pumaths

Chọn B

Với x 0; , ta có

   

   

   

2

2 cos

1

cos

2

cos sin cos

2 2

xf x f x x x x

x f x f x

x x

x x

f x x x f x x x x

C

x x

  

 

 



 

       

  .

Mà f 4  suy 

1

C

Vậy  

sin cos

2 2

x x x

f x     x

  .

Suy f 9 3 

Câu 20. [2D3-1.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Tất nguyên hàm hàm số f x( )=xtan2x khoảng ;0

2

p

æ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗố ứ là

A. ( ) ( )

2

tan ln cos

2 x

F x =x x+ x - +C

B. ( ) ( )

2

tan ln cos

2 x

F x =- x x+ x - +C

C. ( ) ( )

2

tan ln cos

2 x

F x =x x- x - +C

D. ( )

2

tan ln cos

2 x

F x =x x- x - +C

Lời giải

Tác giả:Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu

Chọn A Gọi

( ) ( ) ( )

2

tan d tan 1 d tan d d d d

cos x

F x x x x x x x x x x x x x x x

x

=ò =ò + - =ò + - ò =ò - ò

Đặt

d d

1 tan

d d

cos

u x

u x

v x

v x

x ì =

ïï ìï =

ï Þ ï

í í

ï = ï =ïỵ

ïïỵ

Khi đó: ( )

2

sin

d d tan d

cos cos

x x x

F x x x x x x x

x x

=ò - ò = - ò

-( ) 2

d cos

tan tan ln cos

cos 2

x x x

x x x x x C

x

Vì

;0

xẻ -ổỗỗỗố p ửứữữữ

nờn cosx>0, suy ln cosx =ln cos( x)

Vậy:

( ) tan ln cos( ) x