Hoạt động 3 20 phút: Bài tập 1 SGK Hoạt động của giáo viên và học sinh GV: Yêu cầu học sinh đọc đề bài 1 SGK trang 82 và lên bảng trình bày lời giải.. Nội dung chính a Chứng minh rằng:.[r]
(1)CHÖÔNG III: DAÕY SOÁ CAÁP SOÁ COÄNG VAØ CAÁP SOÁ NHAÂN §1 Phương pháp quy nạp toán học Tiết PPCT: 37 – 38 Ngày soạn: 16/11/2013 Ngày dạy:……/……/2013 Tại lớp: 11A8 - @&? I Mục tiêu Về kiến thức - Biết rõ nội dung phương pháp quy nạp toán học Về kỹ - Biết cách giải số bài toán đơn giản phương pháp quy nạp toán học Về thái độ - Tập trung, cẩn thận tính toán - Biết quy lạ quen, hình thành khả tự học II Chuẩn bị giáo viên và học sinh Chuẩn bị giáo viên: giáo án, sách giáo khoa, thước thẳng Chuẩn bị học sinh: xem, chuẩn bị bài trước III Phương pháp: Đàm thoại vấn đáp, diễn giải IV Tiến trình bài dạy Ổn định lớp Kiểm tra bài cũ Nội dung bài Hoạt động (15 phút): Tìm hiểu phương pháp quy nạp toán học Hoạt động giáo viên và học sinh Nội dung chính GV: Yêu cầu học sinh thực hoạt động sách I Phương pháp quy nạp toán học giáo khoa Xét hai mệnh đề chứa biến: P (n) : "3n < n + 100" và Q(n) : "2n > n " HS: Thực hoạt động GV: Cho học sinh điền vào bảng n 3n P (n) : "3n < n + 100" n + 100 Tính Đ-S P (n) Q(n) : "2n > n " (2) n 2n n Tính Đ-S Q(n) HS: Thực GV: Từ kết trên, các em hãy cho biết: Để chứng minh mệnh đề đúng với n Î ¥ * ta làm sau : - Kiểm tra mệnh đề đúng với n = - Giả sử mệnh đề đã cho đúng với số tự nhiên bất " n Î ¥ * , P(n) đúng hay sai? Vì sao? n = k (k ³ 1) kì (ta gọi là giả thiết quy nạp) " n Î ¥ * , Q(n) đúng hay sai? Vì sao? Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + HS: Học sinh dự đoán * Chú ý : Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với GV: Để chứng minh mệnh đề đúng với n ³ p thì : n Î ¥ * (ta không thể thử trực tiếp tất các các số B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p được) người ta dùng phương pháp gọi là n = p(k ³ p) B2: Giả sử mệnh đề đúng với , ta phương pháp quy nạp toán học n = k + chứng minh mệnh đề đúng với Hoạt động (25 phút): Rèn luyện kỹ chứng minh số bài toán đơn giản phương pháp quy nạp toán học Hoạt động giáo viên và học sinh Nội dung chính GV: Để giải bài toán này ta dùng phương pháp gì? II Áp dụng * HS: Dùng phương pháp quy nạp * Ví dụ: Chứng minh với n Î ¥ thì: GV: Phương pháp quy nạp gồm bước? a) + + + L + (2n - 1) = n (1) HS: Gồm hai bước GV: Yêu cầu học sinh nhắc lại phương pháp và b) n3 - n chia hết cho (2) thực bước Giải HS: Nhắc lại bước phương pháp a) Với n = ta có: VT =VP = GV: Yêu cầu học sinh kiểm tra bước n =1 HS: n = 1, VT = 1, VP = Vậy công thức trên Vậy mệnh đề (1) đúng với S đúng Đặt vế trái n S GV: Bước 2: Đặt VT n Giả sử (1) đúng với Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k ( k ³ 1) Tức là : n = k ³ 1, đó ta điều gì? Sk = + + + L + (2k - 1) = k2 HS: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ³ 1, nghĩa là: Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + Tức là chứng minh: Sk = + + + + ( 2k - 1) = k (giả thiết quy ù= (k + 1)2 Sk+1 = 1+ + + L + (2k - 1) + é ê ë2(k+ 1) - 1ú û nạp) Thật vậy, ta có: GV: Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + là ù= k2 + 2k + Sk+1 = k2 + é cần chứng minh điều nào? ê ë2(k + 1) - 1ú û HS: =2 (k + 1) ù Sk+1 = + + + + ( 2k - 1) + é k + 1 = k + ) ûú (Suy ra) (1) đúng với n = k + ê( ë * Vậy (1) đúng với n Î ¥ b) Đặt GV: Hướng dẫn, gợi ý học sinh giải ví dụ b An = n3 - n A = 0M3 Với n = 1, ta có (đúng) Vậy mệnh đề (2) đúng với n = (3) HS: Chú ý GV: Cho học sinh thảo luận bài giải HS: Thảo luận GV: Gọi học sinh lên trình bày HS: Trình bày GV: Gọi học sinh khác nhận xét HS: Nhận xét bài làm GV: Nhận xét và sửa bài Giả sử mệnh đề đúng với n = k ( k ³ 1) A = k3 - k M3 Tức là k Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + Tức là chứng minh : ùM3 Ak+1 = é ê(k + 1) - (k + 1)û ú ë Thật vậy, ta có : Ak+1 = (k + 1)3 - (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1- k - ( ) Ak M3 3(k3 + k)M3 ; A M3 Nên k+1 Suy (2) đúng với n = k + * Vậy (2) đúng với n Î ¥ Vì Hoạt động (20 phút): Bài tập SGK Hoạt động giáo viên và học sinh GV: Yêu cầu học sinh đọc đề bài SGK trang 82 và lên bảng trình bày lời giải Hướng dẫn: + Kiểm tra với n = + Giả sử với n k 1 ta có: Nội dung chính a) Chứng minh rằng: + + +8L + 3n - = n ( 3n + 1) (1) Giải Với n = 1, VT có số hạng là 2, VP k (3k 1) (3k 1) 1) 1.( 3.1 + 1) =2 + Ta phải chứng minh : 2 (3k 1) (3k 2) Vậy, hệ thức (1) đúng với n = (k 1)(3k 4) S Đặt VT n HS: Theo dõi và làm theo hướng dẫn giáo Giả sử (1) đúng với n = k ( k ³ 1) Tức là: viên k ( 3k + 1) Sk = + + + + 3k - = Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: Sk+1 = + + + + 3k - + é k + 1) - 1ù ê ú ë( û é ù ( k + 1) êë3( k + 1) + 1úû ( k + 1) ( 3k + 4) = = 2 3k2 + 7k + = Thật vậy, ta có: ù Sk+1 = + + + + 3k - + é ê3( k + 1) - 1û ú ë k ( 3k + 1) = + 3k + 2 GV: Yêu cầu học sinh khác nhận xét bài làm 3k2 + k + 6k + 3k2 + 7k + = = bạn trên bảng 2 HS: Nhận xét bài làm é ù k + k + + ( ) êë ( ) úû GV: nhận xét, khái quát lại bài tập = Suy (1) đúng với n = k + (4) Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = (2) đúng hay sai + Bớc 2: Giả sử (2) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (2) víi n = k + GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm bạn trên bảng HS: Nhận xét bài làm GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập HS: Theo dõi và ghi nhận Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = (3) đúng hay sai + Bớc 2: Giả sử (3) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (3) víi n = k + * Vậy, (1) đúng với n Î ¥ b) Chứng minh rằng: 1 1 2n - + + + + n = 2n (2) Giải 21 - 1 VT = ; VP = = 2 21 Với n = 1, ta có: Vậy, hệ thức (2) đúng với n = S Đặt VT n Giả sử (2) đúng với n = k ( k ³ 1), tức là: 1 1 2k - Sk = + + + + k = 2k Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: 1 1 2k+1 - Sk+1 = + + + + k + k+1 = 2 2k+1 Thật vậy, ta có: 2k - 1 Sk+1 = Sk + k+1 = + k+1 k 2 k+1 2k - 1 - 2+1 = + k+1 = k 2.2 2k+1 k+1 - = 2k+1 Suy (2) đúng với n = k + ( ) * Vậy, hệ thức (2) đúng với n Î ¥ c) Chứng minh rằng: n ( n + 1) ( 2n + 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = (3) Giải n = 1, VT = 12 = 1; Với ta có: 1( + 1) ( 2.1 + 1) VP = =1 Vậy, hệ thức (3) đúng với n = S Đặt VT n Giả sử (3) đúng với n = k ( k ³ 1), tức là: k ( k + 1) ( 2k + 1) Sk = 12 + 22 + 32 + + k2 = Ta phải chứng minh (3) đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: (5) Sk+1 = 12 + 22 + 32 + + k2 + ( k + 1) = ( k + 1) ( k + 2) ( 2( k + 1) + 1) ( k + 1) ( k + 2) ( 2k + 3) = GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm bạn trên bảng HS: Nhận xét bài làm GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập HS: Theo dõi và ghi nhận Ta có: Sk+1 = 12 + 22 + 32 + + k2 + ( k + 1) = k ( k + 1) ( 2k + 1) + ( k + 1) 2 ék ( 2k + 1) ù ú = ( k + 1) ê + k + ê ú ê ú ë û é2k2 + 7k + 6ù ú = ( k + 1) ê ê ú ë û é æ 3÷ ứ ê2( k + 2) ç ú ÷ k + ç ÷ ê ú ç ÷ è ø ú = ( k + 1) ê ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ( k + 1) ( k + 2) ( 2k + 3) = Suy (3) đúng với n = k + * Vậy, hệ thức (3) đúng với n Î ¥ Hoạt động (20 phút): Bài tập SGK Hoạt động giáo viên và học sinh GV: Yêu cầu học sinh đọc đề bài SGK trang 82 và lên bảng trình bày lời giải Hướng dẫn: + Kiểm tra với n = + Giả sử với n k 1 ta có: (3k 1) k (3k 1) 1) + Ta phải chứng minh : (3k 1) (3k 2) Nội dung chính a) Chứng minh n + 3n + 5n chia hết cho Giải A = n + 3n + 5n Đặt n A = M3 Với n = 1, ta có: Giả sử với n = k ³ , n + 3n + 5n chia hết cho 3, nghĩa là ta có: Ak = k3 + 3k2 + 5k M3 ( ) (k 1)(3k 4) A M3 Ta phải chứng minh k+1 HS: Theo dõi và làm theo hướng dẫn giáo Thật vậy, ta có: viên Ak+1 = ( k + 1) + 3( k + 1) + 5( k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 3k2 + 6k + + 5k + = k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + = Ak + 3k2 + 9k + ( = Ak + k2 + 3k + ) (6) Vì GV: Yêu cầu học sinh khác nhận xét bài làm bạn trên bảng HS: Nhận xét bài làm GV: nhận xét, khái quát lại bài tập Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = (2) đúng hay sai + Bớc 2: Giả sử (2) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (2) víi n = k + ( ) Ak = k3 + 3k2 + 5k M3 Nên và ( ) k2 + 3k + M3 Ak+1 M3 A = n3 + 3n2 + 5n Vậy, n chia hết cho với * nÎ ¥ n b) Chứng minh + 15n - chia hết cho Giải n A = + 15n - Đặt n A = 18 M9 Với n = 1, ta có: n Giả sử với n = k ³ , + 15n - chia hết cho 9, nghĩa là ta có: Ak = 4k + 15k - M9 ( ) A M9 Ta phải chứng minh k+1 Thật vậy, ta có: Ak+1 = 4k+1 + 15( k + 1) - GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm bạn trên bảng HS: Nhận xét bài làm GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập HS: Theo dõi và ghi nhận Hướng dẫn: + Bớc 1: Kiểm tra với n = (3) đúng hay sai + Bớc 2: Giả sử (3) đúng với n k 1 - Khi đó ta có điều gì? - H·y kiÓm tra (3) víi n = k + = 4.4k + 15k + 14 ( ) = 4k + 15k - - 45k + 18 = 4.Ak - 9( 5k - 2) Vì ( ) Ak = 4k + 15k - M9 Nên Ak+1 M9 Vậy, An = 4n + 15n - 9( 5k - 2) M9 * chia hết cho với n Î ¥ c) Chứng minh n + 11n chia hết cho Giải A = n + 11n Đặt n A = 12 M6 Với n = 1, ta có: Giả sử với n = k ³ , n + 11n chia hết cho 6, nghĩa là ta có: Ak = k3 + 11k M6 Ta phải chứng minh Thật vậy, ta có: GV: Yêu cầu HS khác nhận xét bài làm bạn trên bảng HS: Nhận xét bài làm GV: Nhận xét, khái quát lại bài tập HS: Theo dõi và ghi nhận và Ak+1 M6 Ak+1 = ( k + 1) + 11( k + 1) = k3 + 3k + + 11k + 11 ( ) ( ) = k3 + 11 + k2 + k + ( ) = Ak + k + k + (7) Ak = k3 + 11k M6 Vì và k + k + = k ( k + 1) + ( ) là số chẵn nên Ak+1 M6 Vậy, An = n3 + 11n * chia hết cho với n Î ¥ Củng cố (8 phút) - Nhắc lại các chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học - Bài tập: Chứng minh rằng: + + 14 + L + 5n - = n(5n + 3) Dặn dò (2 phút) - Xem lại bài - Làm lại các bài tập Rút kinh nghiệm sau tiết dạy: DUYỆT GVHD NGƯỜI SOẠN NGUYỄN VĂN THỊNH CAO THÀNH THÁI (8)