Một số tính chất của phân tích hình p adic

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Nghệ An – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS MAI VĂN TƢ Nghệ An – 2014 MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ 1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p – adic 1.3 Một số tính chất tơ pơ 1.4 Mở rộng đóng đại số đầy đủ p p ………………………… ………………………… ………………………….………… p trường số p ………… Một số tính chất hàm phân hình p – adic 11 12 16 2.1 Hàm chỉnh hình ……………………………………………………… 16 2.2 Tương tự cơng thức tích phân Cauchy……………………………… 17 2.3 Định lý tích phân Cauchy ……………………………… ………… 19 2.4 Trường hàm phân hình………………………………………… 2.5 Định lý thác triển Riemann ……………………………… 26 22 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Giải tích trường phi Ácsimét chuyên ngành quan trọng tốn học, có nguồn gốc từ cuối kỷ 19 phát triển mạnh mẽ thập niên gần Ngày phương pháp kết giải tích phi Ácsimét ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: giải tích, hình học, đại số, lý thuyết số, vật lý lý thuyết Dựa tài liệu [1], [5], chúng tơi tìm hiểu số tính chất hàm chỉnh hình phân hình trường phi Ácsimét Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung Luận văn gồm hai chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ trường số hữu tỷ p – adic đại số đầy đủ p p , số tính chất tô pô của trường số p p , xây dựng , mở rộng đóng nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương Một số tính chất hàm phân hình p – adic Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo TS Mai Văn Tư Tác giả xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Mai Văn Tư tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập làm đề tài Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cám ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại Số, thầy giáo Khoa Tốn trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại Số Đề tài nghiên cứu khơng tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp ý kiến quý thầy bạn bè để đề tài hồn thiện Xin trân trọng biết ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2014 Tác giả CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức Giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ tính chất tơ pơ p p , xây dựng trường số hữu tỷ p – adic mở rộng đóng đại số đầy đủ p p , số trường số làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương 1.1 Giá trị tuyệt đối trƣờng số hữu tỷ 1.1.1 Định nghĩa, phụ thuộc độc lập 1.1.1.1 Định nghĩa Giả sử K trường, giá trị tuyệt đối  K hàm số từ K vào R (ký hiệu   x   x  , x  K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a x   0, x  K x   x  b xy   x  y  , x, y  K c x  y   x   y  , x, y  K Một hàm giá trị tuyệt đối trường K gọi hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét thỏa mãn điều kiện: c’ x  y   max  x  , y   , x, y  K Ví dụ Đặt x  1,   x  K;;  0, ta giá trị tuyệt đối K Giá trị tuyệt đối gọi giá trị tuyệt đối tầm thường Giả sử K trường số hữu tỷ Khi giá trị tuyệt đối thơng thường x K thỏa mãn điều kiện a, b c Giả sử x số hữu tỷ khác tùy ý Khi x viết cách dạng: x   2 p1 p2 pn , pi số nguyên tố lẻ  ,  i n số nguyên Khi đặt x  2  , ta nhận giá trị tuyệt đối trường số hữu tỷ Dễ thấy rằng, giá trị tuyệt đối định nghĩa thỏa mãn tiên đề c’ giá trị tuyệt đối phi Ácsimét 1.1.1.2 Chú ý - Khi làm việc với giá trị tuyệt đối ta viết x thay cho x  nói giá trị tuyệt đối trường K - Giá trị tuyệt đối trường K xác định mêtric Khoảng cách hai điểm x, y thuộc K mêtric x  y Như giá trị tuyệt đối trường K xác định tô pô Bộ  K,  gồm trường K hàm giá trị tuyệt đối  K gọi trường định giá (còn gọi trường định chuẩn) 1.1.1.3 Định nghĩa Hai giá trị tuyệt đối trường K gọi phụ thuộc (còn gọi tương đương) chúng xác định tô pô K Trong trường hợp trái lại, chúng gọi độc lập (còn gọi không tương đương) Định lý sau nêu lên tiêu chuẩn cần đủ để hai giá trị tuyệt đối trường K phụ thuộc lẫn (hay chúng tương đương với nhau) 1.1.1.4 Định lý Giả sử     hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trường K Chúng phụ thuộc lẫn từ hệ thức x  suy x  Nếu chúng phụ thuộc tồn số thực    cho x  x với x  K Định lý sau nêu lên điều kiện tương đương giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trường K 1.1.1.5 Định lý Giả sử  K,  trường định chuẩn với đơn vị e, điều kiện sau tương đương: a phi Ácsimét b x  K : x  1  x  K : e  x  1   c Tập số tự nhiên bị chặn d 2e  1.1.1.6 Nhận xét Trong định lý 1.1.1.4, thu điều kiện mạnh mà giá trị tuyệt đối tương đương thỏa mãn Bây giờ, đưa điều kiện mà giá trị tuyệt đối độc lập nghiệm 1.1.1.7 Định lý (Định lý xấp xỉ Artin – Whepern) Giả sử K trường, , , s , giá trị tuyệt đối không tầm thường, đôi độc lập K Nếu x1 , , xs phần tử thuộc K ,   tồn phần tử x  K cho: x  xi i   , với i  1, 2, , s 1.1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trƣờng số hữu tỷ Q Giả sử  x Q , x viết dạng: x   p11 p22 pkk , p j , j  1, 2, , k số nguyên tố, đôi khác  j số nguyên Các số nguyên  j gọi số lũy thừa số nguyên tố p j có mặt phân tích số hữu tỷ x Giả sử p số nguyên tố Kí hiệu ord p x   j , j  1, 2, , k , ord p x  p  p j j Đặt x p  p  ord p x x  p  1.1.2.1 Ví dụ Với p  , ta có: 2  , 12  ,  Mệnh đề sau chứng tỏ p xác định giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trường số hữu tỷ Q 1.1.2.2 Mệnh đề Hàm p xác định hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, p số nguyên tố Người ta gọi p giá trị tuyệt đối p – adic 1.1.2.3 Nhận xét Trên trường số hữu tỷ Q , giá trị tuyệt đối tầm thường giá trị tuyệt đối thông thường   , họ giá trị tuyệt đối p – adic Vấn đề đặt Q có tồn giá trị tuyệt đối khác hay không? Định lý Ostrowski trả lời cho câu hỏi 1.1.2.4 Định lý (Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường Q tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, p số nguyên tố bất kỳ, p   1.2 Xây dựng trƣờng số hữu tỷ p-adic p 10 1.2.1 Dãy Cauchy (dãy bản) Giả sử p số nguyên tố cố định Dãy  xn  số hữu tỷ gọi dãy theo giá trị tuyệt đối p – adic p với   , tồn số tự nhiên n0 cho với m, n  n0 ta có: xm  xn   1.2.2 Quan hệ tƣơng đƣơng Gọi X tập hợp dãy số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic p Ta xác định quan hệ hai X sau: a  an   X ; b  b j   X a b  lim a j  b j  j  Rõ ràng " " quan hệ tương đương X Đặt p    ,  X /  a  aj   a  b j   X : lim a j  b j  0   j  Đặc biệt, với x Q ta kí hiệu  x dãy Cauchy x x ' x  x ' Giá trị tuyệt đối p – adic p p cảm sinh giá trị tuyệt đối Q Nếu a  a j  , ta định nghĩa a p  lim a j p , a j  phần tử đại j  diện lớp tương đương a Mệnh đề sau khẳng định định nghĩa giá trị tuyệt đối p hợp lý   a  dãy 1.2.3 Mệnh đề Tồn giới hạn dãy a j số hữu tỷ p j 18 CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 2.1 Hàm chỉnh hình Ta định nghĩa hình cầu mở bán kính R B R  z  F : z  R Ta sử dụng ký hiệu B  F cho trường hợp tồn trường Hình cầu đóng bán kính R định nghĩa B R  z  F : z  R} Nếu R  B R B R tập hợp vừa mở vừa đóng tơ pơ F Vành hàm chỉnh hình B R , kí hiệu A  R  , định nghĩa   A[ R]   an z n  F  z  : lim an R n  0 n   n 0  Tương tự, vành hàm chỉnh hình B R , kí hiệu A  R  , định nghĩa sau:   A( R)   an z n  F  z  : lim an r n  0, r  R  n   n 0  Các phần tử A    , tức chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ vô cùng, gọi hàm nguyên Những định nghĩa dễ dàng chuyển sang cho chuỗi Laurent Cụ thể ta xét kiểu vành khăn sau: A r1 , r2    z  F : r1  z  r2  , 19 A  r1 , r2   z  F : r1  z  r2  , A r1 , r2   z  F : r1  z  r2  , A  r1 , r2   z  F : r1  z  r2  Và vành hàm chỉnh hình đó:    A  r1 , r2     an z n  F  z  : lim an r n  0, r1  r  r2  n  n      A  r1 , r2     an z n  F  z  : lim an r n  0, r1  r  r2  n  n      A  r1 , r2     an z n  F  z  : lim an r n  0, r1  r  r2  n  n      A  r1 , r2     an z n  F  z  : lim an r n  0, r1  r  r2  n  n   Chú ý tất vành hàm chỉnh hình miền nguyên Phần tử trường thương vành gọi hàm phân hình Ta dùng ký hiệu M  r1 , r2  để trường thương vành A  r1 , r2  , tức trường hàm phân hình 2.2 Tƣơng tự cơng thức tích phân Cauchy Ta biết rằng, định lý Cauchy cơng thức tích phân Cauchy vấn đề quan trọng hàm biến phức Vì trường hợp p – adic, cố gắng tìm kiếm tương tự kết Có thể thấy rằng, tích phân Shnirelman khái niệm tương đối thích hợp để thực mục tiêu Chúng tơi bắt đầu với việc trình bày tính chất 20 tích phân Shnirelman áp dụng chúng để xây dựng số tương tự p – adic kết lý thuyết hàm biến phức 2.2.1 Định nghĩa Giả sử n  số nguyên với n p  Ký hiệu qua 1( n ) , 2( n ) , , n( n ) bậc n đơn vị trường F Giả sử a, r phần tử F , đồng thời hàm f xác định điểm có dạng a  rk( n ) với n   k  n Ta định nghĩa tích phân Shnirelman hàm f vịng tròn z  a  r giới hạn sau đây, tồn tại:  z a  r f ( z )dz  lim n  n 1 r n  f  a  r   n (n) k k 1 (n) k Trong trường hợp giới hạn tồn tại, hàm f gọi khả tích Shnirelman vịng trịn z  a  r 2.2.2 Mệnh đề Nếu  tồn f ( z )dz z a  r  z a  r f ( z )dz r max f ( z) , với giả z a  r thiết vế phải xác định 2.2.3 Mệnh đề Nếu chuỗi f j hội tụ z  a  r đến f hàm f j khả tích Shnirelman z  a  r f khả tích Shnirelman z  a  r  z a  r f ( z )dz   j  f j ( z )dz z a  r Chứng minh Giả sử   Do giả thiết tính hội tụ tổng, ta có: f ( z)   f j ( z)  j  r 21 với j đủ lớn với z cho z  a  r Như vậy, với n cho n  1, ta có: r n r n J  (n) (n) f a  r    f j  a  r k( n )   k( n )     k  k n k 1 n k 1 j 0 với j đủ lớn Do f j hội tụ đến z  a  r nên từ Mệnh đề 2.3.2 suy ra:  J   j 0 z  a  r f j  z  dz    j 0 z  a  r f j  z  dz   với j đủ lớn Cố định j đủ lớn cho bất đẳng thức nghiệm Do tính khả tích f j , tồn số N cho với n  N n  , ta có: J r n J   n  n f a  r    f j ( z )dz    j k k  n k 1 j 0 j 0 z  a  r   Như vậy, n  N n  1,  r n (n) ( n) f ( a  r  )     k k  f j ( z)dz   n k 1 j 0 z  a  r  2.3 Định lý tích phân Cauchy 2.3.1 Bổ đề Giả sử  j  n số nguyên (trong j ký hiệu trị    n tuyệt đối thông thường số j) Khi ta có k 1 (n) k j  22  Chứng minh Do 1 n , , n n   1 n  , , n n  1 1  cần xét j  Giả sử x1 , x2 , , xn biến Khi x1j  x2j   xnj đa thức hàm đối xứng sơ cấp: 1  x1 , x2 , , xn  ,   x1 , x2 , , xn  , ,  j  x1 , x2 , , xn  từ số Do  i  x1 , x2 , , xn   0,   i  n, nên suy Bổ đề  2.3.2 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử B R (a)  z  F : z  a  R hình cầu đóng bán kính R, tâm a Giả sử f chỉnh hình B R (a) Giả sử r F với r  R Khi hàm f khả tích Shnirelman z  a  r , đồng thời  f ( z )dz  z a  r Chứng minh Không giảm tổng qt, giả thiết a=0 Do tính tuyến tính Mệnh đề 2.2.3 cần chứng minh định lý cho trường hợp hàm f ( z )  z j với j  Khi định lý suy từ Bổ đề 2.3.1 biểu thức giới hạn định nghĩa tích phân Shnirelman triệt tiêu n  j  Cho chuỗi lũy thừa hình thức f ( z)   a j z j Ta định nghĩa đạo hàm Hasse thứ k f công thức:   j  j j! k D  f  z    a j   z j k ,    j k k   k  k ! j  k ! 23 Khi trường có đặc số 0, đạo hàm Hasse thứ k, D k  f , đơn giản f k  Việc k! sử dụng đạo hàm Hasse thứ k có ích lợi chủ yếu làm việc với trường có đặc số dương  2.3.3 Định lý (Cơng thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm f chỉnh hình B R (a) , r F với r  R , wF với w  a  R n  Khi  D n f (w) w  a  R f ( z) dz     n 1 w  a  R 0 z  a  r ( z  w) Chứng minh Từ định nghĩa Bổ đề 2.3.1 ta thấy k số nguyên 1 k  1 k z dz    0 k  1 zr (1) Không giảm tổng quát, ta xem a=0 viết f dạng chuỗi lũy thừa:  f  z  aj z j j 0 Nếu w  định lý suy từ (1) Mệnh đề 2.2.3  k  w  Nếu  w  R     k n  n   z   k n hội tụ đến 1/ 1  w / z  n 1 z  R Do 24  f ( z)   z  w zr  dz   wk  n n 1 k  n j 0 k  a j   z j  k 1dz n zr   k    ak wk  n   k n n n  D f ( w), đẳng thức thứ hai suy từ (1) Nếu W  R ta sử dụng lập luận tương tự  z  w n 1  1  n 1 wn 1  k  z      k n  n   w   k để đến kết luận tích phân 0, khơng có lũy thừa âm  z 2.3.4 Định lý (Định lý thặng dư) Giả sử a r phần tử F Giả sử f(z) chỉnh hình za  r có:  z a  r , P(z) đa thức khác không z  a  r , R( z )  R( z )dz   f ( z) Khi ta P( z ) Re s( R, b) ba r Chứng minh Khi khai triển R(z) thành phân thức đơn giản ta R( z )  g ( z )  A1,1 z  b1   A1,m1  z  b1  m1   An,1 z  bn   An,m n  z  bn  mn , g chỉnh hình z  a  r Định lý suy từ định lý 2.3.3 2.4 Trƣờng hàm phân hình 2.4.1 Trƣờng lớp thặng dƣ  25 Nếu F trường định chuẩn (định giá) phi Ácsimét tập hợp O   z  F : z  1 lập thành vành vành F Vành O gọi vành số nguyên F , ký hiệu M   z  F : z  1 Dễ thấy rằng, M iđêan cực đại O , O vành địa phương Ký hiệu qua F vành O / M ta gọi trường lớp thặng dư F Với phần tử a O , ta ký hiệu a ảnh F 2.4.2 Mệnh đề Nếu F đóng đại số F đóng đại số 2.4.3 Giá trị tuyệt đối phi Ácsimét vành hàm chỉnh hình Giả sử r1  r2 , ký hiệu qua A*  r1 , r2  vành hàm chỉnh hình vành khăn   r1 , r2  Các phần tử A*  r1 , r2  chuỗi Laurent có dạng f ( z)   c z n  n n , cho lim cn r n  với r1  r  r2 n  Với r nằm r1 r2 ta định nghĩa f r  sup cn r n Nhận xét Với hàm f cố định, dễ thấy r hàm liên tục r Nếu r1  , chuỗi Laurent khơng có số hạng lũy thừa âm, f r hàm không giảm r Nhận xét Ta thấy r giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trường hàm phân hình vành khăn Trước tiên, ta thiết lập dạng nguyên lý mô đun cực đại 26 2.4.4 Mệnh đề Nếu hàm f chỉnh hình   r1 , r2  z0 điểm thuộc   r1 , r2  f  z0   f z0 Hơn nữa, z  z0 f ( z )  f z0 z thuộc z0 tập hợp hữu hạn lớp thặng dư F Chứng minh Bất đẳng thức f ( z0 )  f z0 trực tiếp suy từ bất đẳng thức tam giác phi Ácsimét Ta cần chứng minh đẳng thức xảy tập hợp hữu hạn phần tử F Ta viết f ( z )   c z n  n n giả sử c phần tử F cho c  f ( z0 ) Đặt g ( z )    bn z n , bn  n  cn z0n Nhận thấy sup bn  c đặc biệt hàm g có hệ số O Đặt g ( z)   b z n n , với ý g không đồng Khi n  từ định nghĩa suy z  z0 f ( z )  f z0  z     z0  ta có g  bn  nên g có hữu hạn hệ số khác 0, suy có hữu hạn Do lim n  khả z z0 2.4.5 Hệ Nếu hàm f chỉnh hình   r1 , r2  tập nội  f r : r1  r  r2  giới f giới nội   r1 , r2  2.4.6 Mệnh đề Giả sử f g hàm chỉnh hình   r1 , r2  Khi ta có: 27 (i) f  g r  max  f r , g r  (ii) fg r  f r gr Chứng minh Bất đẳng thức (bất đẳng thức tam giác) rõ ràng Nếu r thuộc F* tính chất nhân suy từ Nguyên lý mô đun cực đại Nếu r khơng thuộc F* , ta tìm dãy rn thuộc F* cho rn  r Mệnh đề suy từ tính liên tục r theo r Như vậy, Mệnh đề chứng tỏ r chuẩn phi Ácsimét vành hàm chỉnh hình đường trịn  z : z  r , với giả thiết r   2.4.7 Mệnh đề Vành hàm chỉnh hình   r1 , r2  đầy đủ với chuẩn f sup  supsup f r Chứng minh Giả sử f n ( z )   an,m z m dãy Cauchy Khi với   tùy ý m n, n ' đủ lớn ta có :   f n  f n ' sup  supsup an,m  an ',m r m (2) Từ suy với m cố định, dãy hệ số am,n dãy Cauchy, hội tụ đến bm Giả sử f ( z )  F   z, z 1   Trước tiên ta cần chứng tỏ f r   với r1  r  r2 Do an,m  bm nên bm  an,m  bm với m đủ lớn Như bm r m  an,m r m  f n r  f n sup  sup f n sup   Bất đẳng thức cuối suy từ giả thiết f n dãy Cauchy Tiếp theo, ta cần chứng minh f  f n  Do an,m  bm nên với nm đủ lớn (phụ thuộc m) ta có: sup bm  an,m r m   28 Mặt khác, f n dãy Cauchy nên với n ' đủ lớn độc lập với m, bất đẳng thức (2) thỏa mãn Do   supsup bm  an,m r m  supsup max bm  an,m r m , an,m  an ',m r m    Mệnh đề chứng minh Do tính chất nhân thiết lập Mệnh đề 2.5.3 ta thác triển r lên trường hàm phân hình 2.4.8 Mệnh đề Giả sử hàm f chỉnh hình B r với r1  f (0)  Giả sử r2  sup r  r1 : f r  f (0)  0 Khi tồn hàm chỉnh hình g B cho fg  B Chứng minh Tính g rõ ràng Do bất đẳng thức tam giác trường hợp phi Ácsimét cách chọn phần tử r2 ta có: 1 Do  f   1   f (0)  j 0   f 1 f (0) r với r  r2 j hội tụ đến hàm chỉnh hình h B Ở sử dụng kiện dãy hàm hội tụ A(r2 ) dãy hội tụ A(r ) với r  r2 Cuối cùng, cần đặt g  h f (0)  2.5 Định lý thác triển Riemann Trong phần ta rằng, tương tự phi Ácsimét định lý Liouville định lý thác triển Riemann dễ suy từ tính chất trị tuyệt đối r Vì chứng minh hai định lý tương tự nên trước tiên phát biểu hai định lý sau cho chứng minh chung 29 2.5.1 Mệnh đề (Định lý Liouville) Giả sử f hàm nguyên, f r giới nội Khi f số Ta nói hàm chỉnh hình f A r1 ,  chỉnh hình vơ hàm f (1/ z) chỉnh hình  0,1/ r1   * 2.5.2 Mệnh đề (Định lý thác triển Riemann) Giả sử hàm f chỉnh hình A r1 ,  tập hợp f r : r  r1 giới nội Khi hàm f chỉnh hình vơ Chứng minh mệnh đề 2.5.1 2.5.2 Giả sử hàm f có khai triển thành chuỗi lũy thừa dạng f ( z)   cn z n Để chứng minh Mệnh đề, ta cần tồn số n0  cho cn  mâu thuẫn với tính giới nội f r Thật vậy, số n0  tồn f r  cn0 z n0   r   Hàm chỉnh hình f A r1 ,  gọi phân hình vơ hàm z  m f ( z ) hàm chỉnh hình vơ với số ngun khơng âm m Nếu hàm chỉnh hình f A r1 ,  khơng phân hình vơ ta nói f có kỳ dị cốt yếu vơ Ta f r tăng chậm r   khơng thể có kỳ dị  cốt yếu vô 2.5.3 Mệnh đề Giả sử f hàm chỉnh hình A r1 ,  limsup r  log f log r r   Khi f phân hình  Chứng minh Đặt g ( z)  z  m f ( z) Khi g(z) chỉnh hình A r1 ,  30 Chọn m lớn so với limsup r  log g r log r Khi ta có limsup log g r   r  Như g hàm chỉnh hình vơ cùng, Mệnh đề 2.5.2  31 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau đây: Bước đầu tìm hiểu lý thuyết hàm phân hình p – adic Chứng minh số kết hàm phân hình p – adic thể qua định lý ( Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3, Định lý 2.5.2 …) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Mai Văn Tư (2013) Lý thuyết hàm trường phi Ácsimét, Nhà xuất đại học Vinh Tiếng Anh [2] W.W Adam and E.G Straus (1971) Non-Archimedean analytic functions taking the same values at the same points, Illinois J Math 15 418 – 424 [3] Hu, P.C and Yang(2000),C.C Meromorphic functions over nonArchimedean fields, Kluwer [4] Ha Huy Khoai (1983) On p – adic meromorphic function Duke Math J Vol 50 [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p – adic Nevanlinna – Cartan Theorem, Internat J Math, Vol.6, No.5, 710 – 731 [6] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang p – adic Nevanlinna Theory Lecture Not-es in Math 1351,138 – 152 [7] N I Koblitz (1987) P – adic numbers, p – adic analusis and Zeta – functions Springer – Verlag ... trường số hữu tỷ 1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p – adic 1.3 Một số tính chất tơ p? ? 1.4 Mở rộng đóng đại số đầy đủ p p ………………………… ………………………… ………………………….………… p trường số p ………… Một số tính chất hàm phân. .. tách v Trường l? ?p thặng dư p phần tử vi Nhóm giá trị p compact trường đóng đại số trường có p 18 CHƢƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 2.1 Hàm chỉnh hình Ta định nghĩa hình cầu mở bán... không chứa lũy thừa âm số nguyên tố p Mỗi phần tử a  p p a  aj p j j 0 p p gọi số nguyên p – adic Vậy  a  a0  a1 p  a2 p   ak p k  ,  a j  p, j suy a p  p  m , m   j : a j