Một số tính chất của phân tích hình p adic

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. MAI VĂN TƯ Nghệ An – 2014 3 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Mở đầu 2 1. Kiến thức cơ sở 4 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ ………………………… 4 1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p – adic p ¤ ………………………… 7 1.3. Một số tính chất tô pô của p ¤ ………………………….………… 11 1.4. Mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường các số p ¤ ………… 12 2. Một số tính chất của hàm phân hình p – adic 16 2.1. Hàm chỉnh hình ……………………………………………………… 16 2.2. Tương tự công thức tích phân Cauchy………………………………. 17 2.3. Định lý tích phân Cauchy ……………………………… ………… 19 2.4. Trường hàm phân hình………………………………………… 22 2.5. Định lý thác triển Riemann ……………………………… 26 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Giải tích trên trường phi Ácsimét là một chuyên ngành quan trọng của toán học, có nguồn gốc từ cuối thế kỷ 19 và phát triển mạnh mẽ trong những thập niên gần đây. Ngày nay những phương pháp và kết quả của giải tích phi 4 Ácsimét được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: giải tích, hình học, đại số, lý thuyết số, vật lý lý thuyết. Dựa trên các tài liệu [1], [5], chúng tôi tìm hiểu một số tính chất đối với các hàm chỉnh hình và phân hình trên trường phi Ácsimét. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ , xây dựng trường số hữu tỷ p – adic p ¤ , một số tính chất tô pô của p ¤ , mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường các số p ¤ nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương 2. Một số tính chất của hàm phân hình p – adic. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS. Mai Văn Tư. Tác giả xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc nhất đến thầy giáo TS. Mai Văn Tư đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cám ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại Số. Đề tài nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Kính mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn bè để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng biết ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2014 Tác giả 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 6 Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ , xây dựng trường số hữu tỷ p – adic p ¤ , một số tính chất tô pô của p ¤ và mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường các số p ¤ làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2. 1.1. Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ 1.1.1. Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập 1.1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối ν trên K là hàm số từ K vào R (ký hiệu ( ) ,x x x ν ν = ∀ ∈K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây: a. 0,x x ν ≥ ∀ ∈K và 0x ν = khi và chỉ khi 0.x = b. , ,xy x y x y ν ν ν = ∀ ∈K. . c. , ,x y x y x y ν ν ν + ≤ + ∀ ∈K. . Một hàm giá trị tuyệt đối trên trường K được gọi là hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét nếu thỏa mãn điều kiện: c’. { } max , , ,x y x y x y ν ν ν + ≤ ∀ ∈K. . Ví dụ. 1. Đặt 1, 0 ; 0 0,x x= ∀ ≠ ∈ =K ; ta được một giá trị tuyệt đối trên K . Giá trị tuyệt đối này được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường. 2. Giả sử K là trường số hữu tỷ. Khi đó giá trị tuyệt đối thông thường x trên K thỏa mãn các điều kiện a, b và c. 3. Giả sử x là một số hữu tỷ khác 0 tùy ý. Khi đó x có thể viết một cách 7 duy nhất dưới dạng: 1 2 1 2 2 , n n x p p p αα α α = ± trong đó i p là số nguyên tố lẻ và , i α α là các số nguyên. Khi đó nếu đặt 2x α − = và 0 0= , ta nhận được một giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ. Dễ thấy rằng, giá trị tuyệt đối định nghĩa trên đây thỏa mãn tiên đề c’ và đó là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét. 1.1.1.2. Chú ý - Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết x thay cho x ν và nói về . như giá trị tuyệt đối trên trường K . - Giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một mêtric. Khoảng cách giữa hai điểm ,x y thuộc K trong mêtric đó bằng x y− . Như vậy giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một tô pô. Bộ ( ) , ν K gồm trường K và hàm giá trị tuyệt đối ν trên K được gọi là trường định giá (còn gọi là trường định chuẩn). 1.1.1.3. Định nghĩa. Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định cùng một tô pô trên K . Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương). Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương với nhau). 1.1.1.4. Định lý. Giả sử 1 1 . . υ = và 2 2 . . υ = là hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trên trường K . Chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức 1 1x < suy ra 2 1x < . Nếu chúng phụ thuộc thì tồn tại số thực 0 λ > sao cho 1 2 x x λ = với mọi x∈K . 8 Định lý sau đây nêu lên các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường K . 1.1.1.5. Định lý. Giả sử ( ) , .K là trường định chuẩn với đơn vị e, khi đó các điều kiện sau là tương đương: a. . phi Ácsimét. b. { } { } : 1 : 1 .x x x e x∈ < ∩ ∈ − < = ∅K K c. Tập số tự nhiên ¥ bị chặn. d. 2 1e ≤ . 1.1.1.6. Nhận xét. Trong định lý 1.1.1.4, chúng ta thu được một điều kiện khá mạnh mà các giá trị tuyệt đối tương đương thỏa mãn. Bây giờ, chúng ta đưa ra một điều kiện mà giá trị tuyệt đối độc lập nghiệm đúng. 1.1.1.7. Định lý (Định lý xấp xỉ của Artin – Whepern) Giả sử K là một trường, 1 . , , . , s là các giá trị tuyệt đối không tầm thường, từng đôi một độc lập trên K . Nếu 1 , , s x x là các phần tử thuộc K , 0 ε > thì tồn tại phần tử x∈ K sao cho: i i x x ε − < , với mọi 1,2, , .i s= 1.1.2. Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ Q Giả sử 0 x≠ ∈Q , khi đó x có thể viết dưới dạng: 1 2 1 2 k k x p p p α α α = ± , 9 trong đó , 1,2, , j p j k= là các số nguyên tố, đôi một khác nhau và j α là các số nguyên. Các số nguyên j α được gọi là chỉ số lũy thừa của số nguyên tố j p có mặt trong sự phân tích trên của số hữu tỷ x. Giả sử p là một số nguyên tố. Kí hiệu , 1,2, , , or 0 j x p j p ord x j k d α = = = nếu j p p≠ . Đặt or x p d p x p − = nếu 0x ≠ và 0 0 p = . 1.1.2.1. Ví dụ. Với 2p = , ta có: 2 2 2 1 1 2 , 12 , 3 1 2 4 = = = . Mệnh đề sau đây chứng tỏ . p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối phi Ácsimét trên trường các số hữu tỷ Q . 1.1.2.2. Mệnh đề. Hàm . p xác định như trên là một hàm giá trị tuyệt đối phi Ácsimét, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ. Người ta gọi . p là giá trị tuyệt đối p – adic. 1.1.2.3. Nhận xét. Trên trường số hữu tỷ Q , ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối thông thường . . ∞ = , chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p – adic. Vấn đề đặt ra là trên Q có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không? Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó. 1.1.2.4. Định lý (Ostrowski). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q đều tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc p = ∞ . 1.2. Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic p ¤ 10 1.2.1. Dãy Cauchy (dãy cơ bản). Giả sử p là một số nguyên tố cố định. Dãy { } n x các số hữu tỷ được gọi là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p – adic . p nếu với mọi 0 ε > , luôn tồn tại số tự nhiên 0 n sao cho với mọi 0 ,m n n > ta có: m n x x ε − < . 1.2.2. Quan hệ tương đương. Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p – adic . p . Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau: { } { } ; lim 0. n j j j j a a X b b X a b a b →∞ = ∈ = ∈ ⇔ − = : Rõ ràng " ": là quan hệ tương đương trên X. Đặt { } { } / , p j X a a = = = ¤ : trong đó { } : 0 . lim j j j j a b X a b →∞   = ∈ − =     Đặc biệt, với x ∈ Q ta kí hiệu { } x là dãy Cauchy hằng và { } { } 'x x: khi và chỉ khi 'x x = . Giá trị tuyệt đối trên p ¤ được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p – adic . p trên Q . Nếu { } j a a = , ta định nghĩa lim j p p j a a →∞ = , trong đó { } j a là phần tử đại diện của lớp tương đương .a Mệnh đề sau khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên p ¤ như trên là hợp lý. 1.2.3. Mệnh đề. Tồn tại giới hạn của dãy { } j p a trong đó { } j a là dãy cơ bản các số hữu tỷ. [...]... a1 p + a2 p 2 + + ak p k + , 0 ≤ a j < p, ∀j ∈ ¥ 1.2.12 Hệ quả Mọi số p – adic có dạng α = p mε , trong đó m ∈ ¢, ε là phần tử khả nghịch 1.3 Một số tính chất tô p của ¤ p Theo cách xây dựng, có thể xem ¤ p là một mở rộng của trường số hữu tỷ ¤ Ta đã biết trường số thực ¡ cũng là một mở rộng của trường số hữu tỷ ¤ Tuy nhiên giá trị tuyệt đối trên ¤ p là phi Ácsimet nên có nhiều tính chất t p của. .. tả bởi định lý sau 1.4.3 Định lý 17 i C p đóng đại số và đầy đủ ii £ p là ¤ p - không gian vectơ vô hạn chiều iii £ p không compact địa phương iv £ p tách được v Trường các l p thặng dư của £ p là trường đóng đại số của trường có p phần tử vi Nhóm giá trị của £ p là compact 18 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P – ADIC 2.1 Hàm chỉnh hình Ta định nghĩa hình cầu mở bán kính R bởi B< R = { z... đó 1.4.2 Định lý C p là trường đóng đại số Như vậy mỗi phần tử của C p là giới hạn của một dãy cơ bản các phần tử của ¤ p Nếu α = lim xn , thì giá trị tuyệt đối trên C p được định nghĩa như n →∞ sau: α p = lim xn n →∞ p Ngoài ra, hàm ord p x trên ¤ p được mở rộng thành hàm số cho bởi công thức: ν ( z ) = − log z , z ∈ £ p Cuối cùng, một số tính chất đại số và tô p của trường C p được mô tả bởi định... 1.2.10 Mệnh đề ¢ p là vành con của ¤ p , không chứa ước của 0 13 1   * Đặt ¢ p = a ∈ ¢ p : ∈ ¢ p  là nhóm nhân các phần tử khả nghịch Các phần tử  a  * của ¢ p còn gọi là các phần tử đơn vị (hay phần tử khả nghịch) của vành ¢ p Kết quả sau đây cho chúng ta dấu hiệu nhận biết một số nguyên p - adic là đơn vị 1.2.11 Mệnh đề Số nguyên p – adic a ∈¢ p là đơn vị khi và chỉ khi a0 ≡ 0(mod p ) , trong... của số hữu tỷ p – adic a ∈ ¤ p Chúng ta đặt ¢ p = { a ∈ ¤ p : a ≤ 1} , rõ ràng ¢ p là t p h p tất cả các số thuộc ¤ p mà trong biểu thức xác định chúng không chứa lũy thừa âm của số nguyên tố p Mỗi phần tử của ¢ p được gọi là số nguyên p – adic Vậy a ∈ ¢ p ⇔ a = a0 + a1 p + a2 p 2 + + ak p k + , 0 ≤ a j < p, ∀j và ∞ a = ∑aj p j j =0 −m suy ra a p = p , trong đó m = min { j : a j ≠ 0} Chúng ta dễ... trên ¡ và trên ¤ p khác nhau nên tô p trên chúng cũng khác nhau Mặt khác, bao đóng đại số của ¡ là một trường đầy đủ, còn bao đóng đại số của ¤ p không có tính chất đó Trong mục này chúng tôi dẫn ra một số kết quả của quá trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ của trường ¤ p Ký hiệu ¤ p là bao đóng đại số của ¤ p Nếu α ∈ ¤ p , thì α là nghiệm của đa thức bất khả quy f ( x) ∈ ¤ p [ x ] : f ( x )... kiếm những tương tự của các kết quả đó Có thể thấy rằng, tích phân Shnirelman là một khái niệm tương đối thích h p để thực hiện mục tiêu trên Chúng tôi sẽ bắt đầu với việc trình bày những tính chất cơ bản của tích phân Shnirelman và p dụng chúng để xây dựng một số tương tự p – adic của những kết quả trong lý thuyết hàm một biến phức 2.2.1 Định nghĩa Giả sử n ≥ 1 là một số nguyên với n p = 1 Ký hiệu qua... chỉnh hình trên đây đều là các miền nguyên Phần tử của trường các thương của những vành này gọi là hàm phân hình Ta dùng ký hiệu M ( r1 , r2 ] để chỉ trường các thương của vành A ( r1 , r2 ] , tức là trường các hàm phân hình 2.2 Tương tự công thức tích phân Cauchy Ta biết rằng, định lý Cauchy và công thức tích phân Cauchy là những vấn đề quan trọng nhất của hàm biến phức Vì thế trong trường h p p – adic, ... Ph p toán trên ¤ p Giả sử a = { a j } , b = { b j } ∈ ¤ p Ta xây dựng hai ph p toán sau: { } a + b = a j + bj , { } ab = a j b j 1.2.5 Mệnh đề Các ph p toán trên không phụ thuộc vào phần tử đại diện 1.2.6 Định lý ¤ p cùng hai ph p toán được xây dựng như trên l p thành một trường gọi là trường các số hữu tỷ p – adic và ¤ p là trường mở rộng của trường các số hữu tỷ ¤ 1.2.7 Bổ đề Nếu x ∈ ¤ và x p. .. hệ đếm cơ số p, nghĩa là: a 'j = b0 + b1 p + + b j −1 p j −1 , trong đó b j là các chữ số, 0 ≤ bi < p, i = 1, 2, , j − 1 a 'j +1 = b0 + b1 p + + b j −1 p j −1 + b j p j và Như vậy với mọi a ∈ ¤ p đều có dạng: a= b− m b− m+1 + m−1 + + b0 + b1 p + b2 p 2 + (*) m p p trong đó b j là các chữ số, b j ∈{ 0,1, , p − 1} Biểu thức (*) được gọi là biểu diễn chính tắc của số hữu tỷ p – adic a ∈ ¤ p Chúng . PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO XUÂN PHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P. các số p ¤ ………… 12 2. Một số tính chất của hàm phân hình p – adic 16 2.1. Hàm chỉnh hình ……………………………………………………… 16 2.2. Tương tự công thức tích phân Cauchy………………………………. 17 2.3. Định lý tích phân. trình bày một số kiến thức về Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ , xây dựng trường số hữu tỷ p – adic p ¤ , một số tính chất tô p của p ¤ và mở rộng đóng đại số đầy đủ p £ của trường