Đối đạo hàm fréchet của ánh xạ nón pháp tuyến đối với đa diện lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ************************************ LÊ THỊ DŨNG ĐỐI ĐẠO HÀM FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN ĐỐI VỚI ĐA DIỆN LỒI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN: TS NGUYỄN THỊ TỒN NGHỆ AN, 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ CÁC KHÁI NIỆM CÁC VÍ DỤ CHƢƠNG ĐỐI ĐẠO HÀM FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN ĐỐI VỚI ĐA DIỆN LỒI KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Giải tích đa trị hƣớng nghiên cứu tƣơng đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập tập hợp Sự đời tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hƣớng nghiên cứu Vai trị giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học đƣợc cơng nhận rộng rãi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phƣơng trình vi phân, phƣơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phƣơng trình suy rộng, lý thuyết tối ƣu, lý thuyết điều khiển, tối ƣu đa mục tiêu, khoa học quản lý toán kinh tế Trong số cấu trúc vi phân suy rộng, đối đạo hàm ánh xạ đa trị đƣợc đƣợc xem nhƣ công cụ mạnh mẽ giải tích biến phân nhiều ứng dụng nó, đặc biệt vấn đề tối ƣu hóa, cân lý thuyết điều khiển Với lý nhƣ nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi ”, dựa báo chung R Henrion, B S Mordukhovich Nguyễn Mậu Nam (xem [4]), Đối đạo hàm ánh xạ đa trị đƣợc nhiều nhà toán học giới nƣớc quan tâm Sau số nhà toán học, ngƣời nghiên cứu lĩnh vực này: A L Dontchev (Mỹ), R Henrion (Đức), B S Mordukhovich (Mỹ), J.-C Yao (Đài Loan), N H Chieu (Việt Nam), B T Kien (Việt Nam), N T Toan (Việt Nam), N D Yen (Việt Nam), Mục đích khóa luận trƣớc hết thiết lập cơng thức tính tốn nón Fréchet đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi Sau đó, đƣa cơng thức tính đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi Với mục đích trên, khóa luận đƣợc chia hai chƣơng: Chƣơng Các khái niệm tính chất sở Chƣơng Đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi Phần lớn kết đƣợc trình bày khóa luận thu đƣợc tác giả tài liệu tham khảo [4] Ngồi để chứng minh khóa luận đƣợc rõ ràng tác giả đƣa số kết có chứng minh chi tiết dƣới dạng Bổ đề Tuy có nhiều cố gắng nhƣng lực thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận đƣợc lời bảo quý báu Thầy giáo, Cơ giáo góp ý bạn đọc Nhân dịp này, cho phép tác giả bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc giáo Nguyễn Thị Tồn, ngƣời hƣớng dẫn nhiệt tình tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích Khoa Tốn tận tình giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hồn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2014 Tác giả CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ SỞ CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT 1.1 Định nghĩa Cho  tập khác rỗng X Khi khoảng cách từ x  X đến  đƣợc ký hiệu dist ( x, ) cho công thức: dist ( x, )  inf x  u u Nếu    quy ƣớc dist ( x, )   1.2 Định nghĩa Cho X khơng gian Banach Khi không gian trực giao đƣợc sinh phần tử v*  X * xác định nhƣ sau  v*   x  X | v* , x  0 (1.1) 1.3 Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp bất kỳ, F : X  Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y (đƣợc ký hiệu 2Y ) Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Nhƣ vậy, với x  X , F  x  tập Y Ta sử dụng ký hiệu F: X  Y để F ánh xạ đa trị từ X vào Y 1.4 Định nghĩa Giả sử F: X  Y ánh xạ đa trị không gian Banach Ký hiệu, miền hữu hiệu đồ thị F tƣơng ứng bởi: dom F   x  X | F  x   , gph F   x, y   X Y | y  F  x  1.5 Định nghĩa Xét ánh xạ đa trị F : X   X * không gian Banach X khơng gian đối ngẫu X * Ký hiệu   lim su p F  x    x*  X |  { xk }  x, { xk* }  x*, xk*  F  xk  k   x x *   đƣợc gọi gới hạn theo dãy theo nghĩa Painlevé – Kuratowski tôpô chuẩn X tôpô yếu (đƣợc ký hiệu chữ  * ) X 1.6 Định nghĩa Cho X không gian Banach  tập khác rỗng X Khi đó, nón pháp tuyến Fréchet  x đƣợc xác định bởi:   * N ( x; )   x* X | lim sup  x  x  x*, x  x x x    0  (1.2) Chú ý tập N ( x; ) tập lồi đóng yếu X *; Ngồi ra, cịn nón pháp tuyến giải tích lồi  tập lồi 1.7 Định nghĩa Cho X không gian Banach  tập khác rỗng X Lúc đó, N ( x; )  limsup N ( x; )  x x  (1.3) đƣợc gọi nón pháp tuyến Mordukhovich  x 1.8 Chú ý Nếu   X tập lồi X khơng gian Banach N ( x; )  N ( x; ) 1.9 Chú ý Khi X  Rn , cơng thức (1.3) đƣợc diễn tả tƣơng đƣơng dƣới dạng sau:    N x;  x*R |  k 0, xk  x, k  kN cho n    k  xk  dist xk ,  ,  k ( xk  k )  x* k   1.10 Định nghĩa Cho F : X  Y ánh xạ đa trị không gian Banach Đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich F * *  x, y  gph F ánh xạ đa trị từ Y vào X đƣợc cho công thức sau:       D*F x, y  y*   x*  X * | x*,  y*  N  ( x, y); gph F    (1.4)   D* F  x, y   y*   x*  X * | x*,  y*  N ((x, y);gph F (1.5) 1.11 Chú ý Nếu F  f : X  Y ánh xạ đơn trị khả vi chặt x với đạo hàm f ( x): X  Y, có ý nghĩa nhƣ sau: lim x,u  x f ( x)  f u   f ( x), x  u 0 x u   D* f  x   y*   D* f  x   y*   f  x  y* y* Y * * y  f ( x) bị bỏ qua ký hiệu đối đạo hàm ánh xạ đơn trị 1.12 Nhận xét Từ đối đạo hàm Modurkhovich (1.5) dễ dàng thừa nhận biểu diễn giới hạn sau thông qua đối đạo hàm (1.4): D* F  x, y   y*   lim sup D* F  x, y   z*    x, y    x , y  z*   y* công thức đối đạo hàm không thay đổi thay hội tụ yếu z*  y* tiêu chuẩn sau: D* F  x, y   y*   lim sup D * F  x, y   z*    x, y    x , y  z*  y* 0 hội tụ X * yếu CÁC VÍ DỤ 2.1 Ví dụ Nếu    x  ( x1, x2 )  R2 : x2  0, x1  0 x  (0,0) , dễ thấy  tập lồi theo (1.2) ta có   * N ( x; )   x* X | lim sup  x  x  x* , x  x x x    0  Từ ta có x*, x  x lim sup  x  x x x  lim sup  x  x *, x  x 0  lim sup  x  x *, x 0 x x*  Hay N ( x, )  N ( x, )  x  ( x1, x2 )  R2 : x1  0, x2  0 2.2 Ví dụ Nếu    x  ( x1,0)  R2 : x1  0  x  (0, x2 )  R2 : x2  0 x  (0,0), ta thấy tập  khơng lồi ta có x*, x  x lim sup  x  x x x  lim sup  x  x *, x  x 0  lim sup  x  x *, x 0 x x*  Khi đó, ta có N ( x, )   x  ( x1, x2 )  R2 : x1  0, x2  0     0[0,)  N ( x, )  N ( x, )  [0, ) 2.3 Ví dụ Nếu    x  ( x1,0)  R2 :0  x1  1  x  (0, x2 )  R2 :0  x2  1, x2  x1x12  x  (0,0), ta thấy tập  khơng lồi ta có x*, x  x lim sup  x  x x x  lim sup  x  x *, x  x 0  lim sup x *, x  x  0 x x*  Khi đó, N ( x; )  x  ( x1, x2 )  R2 : x1  0, x2  0     0[0,) N ( x; )  N ( x, )  [0, ) CHƯƠNG CÁC PHÉP TÍNH TỐN ĐỐI ĐẠO HÀM FRÉCHET CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN ĐỐI VỚI ĐA DIỆN LỒI Chƣơng trình bày tính chất tài liệu tham khảo [4] chƣa đƣa hay đƣa nhƣng chƣa chứng minh chứng minh vắn tắt 2.1 Định nghĩa Cho X không gian Banach Xét tập số T  1, , m với m  hàm tuyến tính xi*  X ,* i T Khi đó, đa diện lồi  tập số hoạt I  x  ứng với x  tƣơng ứng đƣợc xác định nhƣ sau:    x  X |  xi*, x  i T , (2.1) I  x    i T |  xi*, x  0 (2.2) 2.2 Định nghĩa Cho X không gian Banach  đa diện lồi đƣợc cho (2.1) Khi đó, nón pháp tuyến nón tiếp tuyến theo nghĩa giải tích lồi  x  đƣợc xác định tƣơng ứng công thức sau:   N  x;   x* X | x*, x  x x ,    T  x ;   N *  x ;   vX |  x*, v0 x* N x; 2.3 Bổ đề (bổ đề Farkas không gian véctơ tùy ý) Cho W không gian véctơ chiều tùy ý Giả sử kéo theo sau với u W  xi*, u  i  I    x*, u  0 I  N tập số hữu hạn, với xi* x* phần tử X *, i  I Khi tồn i  i  I , cho 10  xi*, x  x  i  I ( x) Từ đó, suy đƣợc x  B Hay B   Nhƣ vậy, ta chứng minh đƣợc   B Đặt u  x  x Do u  thỏa mãn (*) nên theo Bổ đề Frakas ta có x*   i xi* iI Tức là, N  x;   cone  x , i  I  x  * i  *    i xi ,  iI  x  i   0    Vậy (i) đƣợc chứng minh (ii) Trƣớc hết, ta chứng minh T ( x; )  v  X |  xi*, v  i  I ( x) Thật vậy, lấy u T ( x; ) xi*  N  x;  i  I  x  , nên ta có  xi*, u  i  I  x  Do đó,   u  v  X |  xi*, v  i  I ( x) Hay T ( x; )  v  X |  xi*, v  i  I ( x) Ngược lại, lấy u v  X |  xi*, v  i  I ( x) Tức là,  xi* , u  0, i  I ( x) Từ đó, ta có: *  i  xi*, u  i  hay   i xi , u  i  iI  x  iI  x  Suy  x*, u  x*  N ( x; ) Mặt khác theo (2.4) ta lại có u T ( x, ) Hay T ( x; )  v  X |  xi*, v  i  I ( x) 11 Vậy (ii) đƣợc chứng minh Xét ánh xạ F : X   X * đƣợc xác định F  x   N  x ;  với  đƣợc cho nhƣ công thức (2.1) Khi đó, ta có kết sau: 2.5 Bổ đề Nếu x* N  x;    N  x*; F  x    N  x*; F  x    F  x*   x*  T  x;   x* Chứng minh (1) N  x*; F  x    N  x*; F  x   Vì F  x  tập nón lồi nên theo Chú ý 1.8 ta dễ dàng suy (1)  (2) N  x*; F  x    F  x*   x* Thật vậy, Giả sử u  N  x*; F  x  , nghĩa   u, x*  x*   x*  F  x   N x;   Do x*  N x;  F  x , nên 2x* F  x  (**) x* F  x  Chọn x  x*; x  x* lần lƣợt thay vào (**) ta thu đƣợc: 1 u, x*   u,  x*   2 Hay u, x*   u, x*    Suy u, x*   Hay u  x* (2’) Từ (*) ta lại có u, x*  x*   Suy u, x*   u, x*   x* F  x  Do đó, u  F  x * (2’’)  Từ (2’) (2’’) suy u  F  x *   x*  u  F  x *   x* Ngƣợc lại, lấy 12 Khi đó, u  F  x     Suy u  x  *  u, x*  x F  x   * u, x  * Từ đó, ta đƣợc u, x*  x*   x* F  x  Do vậy, u  N  x*; F  x   Vậy (2) đƣợc chứng minh   (3) F  x*    x*  T  x;    x* Theo giả thiết ta có   F  x *  N * x;  T  x;  Vậy (3) đƣợc chứng minh 2.6 Bổ đề Cho v  T  x;  x*, xk  x  k 1v, k  N xi* đƣợc xác định Định nghĩa 2.1 Khi đó, ta có khẳng định sau:  xi*, xk    xi*, x  k 1 xi*, v  k 1 xi*, v  i  I  x  k  N Chứngminh Thật vậy, thay xk  x  k 1v, k  N vào  xi*, xk  ta có  xi*, xk    xi*, x  k 1v   xi*, x  k 1xi*, v   xi*, x  k 1 xi*, v i  I  x  k  N Với i  I  x  ta có  xi* , x  Do vậy,  xi* , x  k 1 xi* , v  k 1 xi* , v Mặt khác, v T  x;  nên theo (2.4) ta có  xi* , v  i  I  x  Từ đó, k 1  xi*, v  i  I  x  , k  N Vậy  xi*, xk    xi*, x  k 1 xi*, v  k 1 xi*, v  i  I  x  k  N Nhƣ vậy, Bổ đề đƣợc chứng minh 13 2.7 Bổ đề Nếu x* N  x;    T  x;       N ( x; )   x  * *  Chứng minh  T  x;    x   N ( x; )  x  *    N ( x; )   * x  * x  Lấy x*  N ( x; )  xn*  N ( x; )  x* * * x  * Khi đó, tồn dãy cho xn*  x* Ta giả sử rằng, xn*  yn*  tn x* với  yn*  N ( x; ) tn  Lấy x T  x;   x* Nghĩa  x  T ( x;  )  Do đó,  *  x  x     yn* , x   *  x, x   Mặt khác, ta lại có  xn* , x   yn*  tn x*, x   yn*, x  tn  x*, x  Cho n   ta đƣợc,   x* , x  x T  x;    x*   Bởi vậy, x   T  x;   x*  Từ suy ra:     * N ( x; )  * x  *    T  x;    Ngược lại, ta chứng minh N ( x; )  x  *    x  * *    T  x;       x  * *  Đặt Q  I ( x), P  i0'  i0   Q Xét hệ  xi*, x, i Q ta có  C  T  x;    x*  x  X |  xi*, x  i  I  x   Q;  x*, x  0 Đặt   C Khi đó, C     x  X | ui*, x  i T  P  Q, 14 u*  x* i  Q  i* i * Chọn xo   Lúc đó, u   x  i  P   i I  xo   i T | ui*, xo   0  T Do vậy,       C T ( xo, )  v  X | ui*, v  i T  I x o Từ đó, ta có:  C*  T  xo ,     N  xo ,    cone ui*: iT *         iui* , i  i T     iui*   i ui* , i  i  Q  iT   iP    iQ         i ui*   i ui* , i  iQ   cone xi*: iI  x   io x* iQ io P  o  N ( x; )  io x*  N ( x; )  x  * Vậy đẳng thức đƣợc chứng minh  Hơn nữa, dễ dàng chứng minh đƣợc N ( x; )  x* nên N ( x; )  tập đóng x   N ( x; )  x  Nhƣ vậy, chứng minh Bổ đề đƣợc * * hoàn thành Khi đó, đẳng thức sau đúng: 2.8 Mệnh đề Cho  x, x*   gph F N  x, x ; gph F  *       T  x;   x*    T  x;   x*        * Chứng minh Lấy x  N ( x; ) cặp  x* , u   N ta chứng minh      x , u   T  x;   x*    T  x;   x*      *    Tức ta cần chứng minh *      x, x ; gph F  Bây * 15    x   T  x;   x*  u T  x;   x*   *   *   Thật vậy, từ Định nghĩa (1.6) ta có  x* , x  x  u, u*  x*  limsup  x ,u    x , x  * gph F * x  x  u*  x* 0 (2.5) Đặt x  x vào (2.5), ta đƣợc  x* , x  x  u, u*  x*  limsup  x ,u    x , x*  * gph F x  x  u*  x*   u , u *  x*  limsup u *  x*  x ,u    x , x*  * gph F  Tức là, u, u*  x*   Hơn nữa, ta lại có u*  F  x  nên u  N  x*; F  x   Sử dụng cấu trúc F  x  tập nón lồi kết Bổ đề 2.5 ta suy đƣợc   N  x*; F  x    N  x*; F  x    F  x*   x*  T  x;   x*  Suy u T  x;    x* Vậy rõ ràng để chứng minh bao hàm thức “  ”   Mệnh đề 2.8 ta cần kiểm tra x   T  x;   x*  , nghĩa mối     * * quan hệ sau   x*, v   v T  x;    x* (2.6)  Lấy v T  x;   x* dãy  xk   x  k 1v, k  N Theo Bổ đề 2.6, ta có  xi*, xk    xi*, x  k 1 xi*, v  k 1 xi*, v  i  I  x  k  N, với xi*  N ( x; ) i  I  x  Điều kéo theo xk  k  N đủ lớn,   xi*, x  i T \ I ( x) Hơn nữa, x*  N ( x; ) v  x* , suy  x*, x  xk    x*, x  x  k 1v   x*, x  x  k 1 x*, v   x*, x  x  x  16 Do đó, x* F ( xk ) Nghĩa là, ( xk , x* )  gph F k  N đủ lớn Rõ ràng ( xk, x* )  ( x, x* ) k   Đặt ( xk, x* ) cho ( x, u* ) (2.5) đó,  x*, xk  x  u, x*  x*  limsup xk  x  x*  x*  xk , x    x , x  * * gphF  x*, xk  x  x*, k 1v  x, v  limsup    1 * * gph F x  x k v v k  xk , x    x, x  * Suy  x*, v  Nhƣ vậy, từ (2.6) ta có bao hàm thức “  ” Mệnh đề 2.8 Ngược lại Tức là, lấy         x , u   T  x;   x*    T  x;   x*  x,u *   N ( x; )       * *   phần tử tùy ý cho ( x, u* )  ( x, x* ) lấy x   đủ gần với x cho N ( x; )  N ( x; ) Từ u*  N ( x; ) Ta chứng minh  x*, u   N  x, x* ; gph F  Tức là, ta cần chứng minh giới hạn sau đúng:  x*, x  x  u, u*  x*  limsup  x ,u*    x , x*  gph F xx  u x *  * Thật vậy, x* F  x  nên theo Bổ đề 2.7 ta có   T  x;       N ( x; )   x  * * x   N ( x; )  x  * * Do đó, x*  xo*   x* với xo*  N ( x; )   Suy  x*, x  x  u, u*  x*   xo*   x*, x  x  u, u*  x*   xo* , x  x   x*, x  x  u, u*  u, x*    x*, x  x    x*  u*, x  x (2.5’) 17  Vì u T  x; , xo*  N ( x; ), u*  x* u*  N ( x; ) nên u, u*   0,  xo* , x  x  0, u, x*   u*, x  x  x  Nhƣ vậy, *  x* , x  x  u, u*  x*     x* u * , x  x   x u* x  x x  x  u*  x* x  x  u *  x* x  x  u*  x *     max u*  x* , x  x Cho limsup  x, u*    x, x*  ta đƣợc (2.5’) Do đó, ta có  x*, u   N  x, x* ; gph F  Vậy bao hàm thức “  ” Mệnh đề 2.8 ta hoàn thành chứng minh Mệnh đề Kết Mệnh đề (2.8) đƣa biểu diễn nón pháp tuyến Fréchet (1.6) Kết mục thiết lập biểu diễn chi tiết nón pháp tuyến Fréchet với kiện ban đầu đa diện lồi (2.1) Để chứng minh giới thiệu hai tập sau không gian X X * tƣơng ứng với công thức thông qua phần tử xi* (2.1) tập tập số T (2.1) 2.9 Định nghĩa Cho P  Q  T, ta định nghĩa tập A B Q,P Q,P xác định tƣơng ứng nhƣ sau:     A  cone xi | iQ \ P + span xi | iP Q,P * * (2.6)   B  xX |  xi , x0 iP,  xi , x iQ \ P Q,P * * (2.7) Đây mối liên quan đối ngẫu tập sử dụng chứng minh kết mục 18 2.10 Định nghĩa Cho N  x;   đƣợc xác định nhƣ Định nghĩa 2.2 x* N  x;  Lúc đó, J  x, x*  đƣợc gọi tập số nhân tử dương với J  x, x*  đƣợc xác định bởi:    J  x, x*   iI x | i 0 (2.8) Chú ý rằng, nhân tử i (2.8) không xác định, ngoại trừ phần tử sinh  xi* | i  I  x  (2.1) độc lập tuyến tính Nhƣ vậy, tập số nhân tử dƣơng (2.8) không cần Nó dễ thấy tất cấu trúc dãy kết liên quan đến J  x, x*  bất biến với cách chọn nhân tử i tập số J  x, x*  nói Đây mối liên quan đối ngẫu tập sử dụng chứng minh kết mục 2.11 Bổ đề Cho P  Q  T tập B đƣợc xác định Định Q,P nghĩa 2.9 Khi đó, ta có biểu diễn sau:     B*    i xi*   i xi* | i  0, i  0 Q,P iQ iP   xi*, x Chứng minh Dễ thấy  *  xi , x iP tƣơng đƣơng với: iQ \ P  xi*, x  i  Q  x*, x  i  P Và  i tƣơng đƣơng với  x*, x  i  Q  i  xi*, x   xi*, x   xi*, x   xi*, x  i  P  Q Do đó, dễ thấy từ (2.7) tập B biểu diễn Q,P   B  xX | xi , x iQ,  xi , x iP Q,P * * 19 Lấy P ' đẳng cấu với P ; P '  io'   P  io   Q đặt T  Q  P ' Đặt B   Khi đó, Q,P B     x  X | ui* , x  i T , Q, P * *  ui  xi i  Q  * Chọn xo    B * Q, P  ui   xi i  P ' Đặt I  xo   i T | ui*, xo   0  T Theo (2.4) Mệnh đề 2.4 ta có:       BQ,P T ( xo , )  v  X | ui*, v  i T  I x o Lúc đó,  B*  T x ,   N  xo ,    cone ui : iT Q, P   o   *    iT   iQ *      iui* , i  0   iui*   i (ui* ), i  0  iP '     iui*   (i )ui* , i  0  iQ  iP ' Đặt i  i Khi đó,     B*    i xi*   i xi* | i  0, i  0 Q,P iQ iP  Nhƣ vây, Bổ đề đƣợc chứng minh 2.12 Mệnh đề Cho P  Q  T tập A , B đƣợc xác định Q,P Q,P Định nghĩa 2.9 Khi đó, B* A Q,P Q,P Chứng minh Theo Bổ đề 2.11, ta có:    * * B*Q,P     i xi   i xi |i  0, i    iQ  iP   20      i xi*   i xi*   i xi* |i  0, i   iP   iQ \ P  iP       cone xi* | i  Q \ P  span xi* | i  P  A Q,P Vậy B* ta hoàn thành chứng minh Mệnh đề A Q,P Q,P Bây ta thiết lập cấu trúc nón pháp tuyến Fréchet (1.5) đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến với phần tử tập đa diện lồi (2.1) Lấy  x, x*   gph F ta biểu diễn N  x, x ; gph F  thông qua tập AQ.P * B từ (2.7) (2.8), tƣơng ứng với tập số Q P xác định cặp Q.P  x, x  Đặc biệt từ Q * lấy tập số hoạt I ( x) xác định (2.2) 2.13 Định lý (tính tốn nón pháp tuyến Fréchet đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến) Cho tập số I  I  x , J  J  x, x*  đƣợc xác định (2.2), (2.3) tƣơng ứng tập A , B xác định Định nghĩa 2.9 I ,J I ,J Khi đó, nón pháp tuyến Fréchet đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến   F  x   N  x ;  x, x*  gph F đƣợc biểu diễn bởi: N  x, x ; gph F  * A I ,J B I ,J Chứng minh Để chứng minh Định lý ta cần chứng minh  T  x;    x*  B I ,J (2.9) Vì theo Mệnh đề 2.8 Mệnh đề 2.12 ta có N  x, x ; gph F  *       T  x;   x*    T  x;   x*        *   B*I , J  AI ,J  Trƣớc hết, ta chứng minh T  x;    x*  B Thật vậy, theo (2.7) ta có I ,J 21   B  xX |  xi*, x0 iI  I ( x),  xi*, x iI \ J I ,J Do x  BI , J , nên  xi* , x  i  I \ J  I ( x)  xi* , x  i  J  I Hay, x T ( x; )   i xi*, x  0, i  i  J  I iJ Do x*  N  x;  nên theo 2.3 Mệnh đề 2.4 ta có: x*   i xi* với i  i  J  J  x, x*   I iJ  (2.10)  Từ suy  x*, x  Hay x  x* Vậy x T  x;   x*  Ngược lại, lấy v T  x;   x* Khi đó,  xi*, v  i  I  I ( x) ( từ (2.5) mệnh đề 2.4) Hơn từ (2.10) ta có  x*, v    i xi*, x  i  J  I iJ Suy  xi* , v  i  J  J  x, x*  ,  i  Hay v  B Vậy T  x;    x*  B Nhƣ vậy, Định lý I ,J I ,J đƣợc chứng minh Cuối cùng, đƣa cơng thức để tính tốn đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến F  x   N  x ;  22 2.14 Hệ Với giả thiết nhƣ Định lý 2.13 Ta có biểu diễn sau:     cone x* | i  I \ J  span x* | i  J i i   ' D* F x, x* u    nêu xi*, u   i  J xi* , u   i  I \ J  '  ' nêu u khơng thc tính chât    Chứng minh Sử dụng định nghĩa 1.10 kết định lý 2.13   D* F  x, x*  u   x*  X | x* , u  N (( x* , x* );gph F   = x*  X | x* , u  A  B I ,J I ,J Điều tƣơng đƣơng với      x* AI , J cone xi*: iI \ J span xi*: iJ   * *  uBI , J  xX ; xi , x 0, iJ , xi , x 0, iJ    Tức là,     cone x* | i  I \ J  span x* | i  J i i   ' D* F x, x* u    nêu xi*, u   i  J xi* , u   i  I \ J  '  ' nêu u khơng thc tính chât    Vậy Hệ đƣợc chứng minh 23 KẾT LUẬN Một số vấn đề mà khóa luận đạt đƣợc: Đƣa chứng minh số kết nhƣ: Bổ đề 2.5, Bổ đề 2.6, Bổ đề 2.7 Bổ đề 2.11 Chứng minh chi tiết lại số kết nhƣ: Mệnh đề 2.4, Mệnh đề 2.8, Mệnh đề 2.12, Định lý 2.13 Hệ 2.14 Có thể phát triển kết khóa luận nhƣ sau: Đƣa kết bổ trợ để hình thành cơng thức tính đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi đƣợc nêu khóa luận Ngồi ra, việc ứng dụng cơng thức đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi cần đƣợc tìm hiểu 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Đơng n, Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, 2007 Tiếng anh [2] B S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer-Verlag, Berlin, 2006 [3] B S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation, II: Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2006 [4] R Henrion, B S Mordukhovich and N M Nam, “Second-order Analysis of Polyhedral Systems in Finite and Infinite Dimensions with Applications to Robust Stability of Variational Inequalities”, SIAM Journal on Optimization, 20, pp 2199-2227, 2010 ... tính đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi đƣợc nêu khóa luận Ngồi ra, việc ứng dụng cơng thức đối đạo hàm Fréchet đối đạo hàm Mordukhovich ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi. .. thiết lập cơng thức tính tốn nón Fréchet đồ thị ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi Sau đó, đƣa cơng thức tính đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi Với mục đích trên, khóa luận... chọn đề tài nghiên cứu ? ?Đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến đa diện lồi ”, dựa báo chung R Henrion, B S Mordukhovich Nguyễn Mậu Nam (xem [4]), Đối đạo hàm ánh xạ đa trị đƣợc nhiều nhà toán