Ngọc huyền LB công thức giải nhanh hàm số

Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB CÁC CƠNG THỨC GIẢI NHANH VỀ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Vấn đề 01: Số điểm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Số điểm cực trị hàm số y  f  x  tổng số điểm cực trị hàm số y  f  x  số nghiệm đơn (nghiệm bội lẻ) phương trình f  x   Hay nói cách khác: Bằng tổng số điểm cực trị hàm số y  f  x  số lần đổi dấu hàm số y  f  x    Số điểm cực trị hàm số y  f x 2a  1, a số điểm cực trị dương hàm số y  f  x Nếu hàm số y  f  x  có n điểm cực trị đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y  có tối đa n  giao điểm Từ hàm số y  f  x  có tối đa 2n  điểm cực trị      Vấn đề 02: Hàm số bậc ba y = f x = ax +bx +cx +d, a  có đồ thị C Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị: y  b2  3ac  Hàm số đồng biến    b2  3ac  0, a   y nghịch biến  a  b  0, c     b2  3ac  0, a   y  a  b  0, c  a  a  Đồng biến đoạn có độ dài  :  nghịch biến đoạn có độ dài  :   x2  x1    x2  x1   Phương trình đường thẳng qua hai cực trị: y   Định lí Vi-et với hai điểm cực trị: x1  x2    b2  3ac 9a  x  d  bc , hay 9a y  f  x  f   x  f   x  18 a b c x1 x2  3a 3a Khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d  4e  16 e b2  3ac , e  9a a Nếu hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d  a   có hai điểm cực trị x1 , x2 thì: a Hàm số y  f  x  có n điểm cực trị: + n   f  x1  f  x2   + n   f  x1  f  x2     có n điểm cực trị: b Hàm số y  f x + n   PT y  có hai nghiệm dương phân biệt + n   PT y  có hai nghiệm x1 , x2 : x1   x2 Trong tiếp tuyến  C  , tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ a  0; tiếp tuyến có hệ số góc lớn a  LOVEBOOK.VN| 185 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The Best or Nothing Điều kiện để hàm số có a hai điểm cực trị x1 , x2 trái dấu phương trình y  có hai nghiệm phân biệt trái dấu, tức ac  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt y  b2  3ac   dấu, tức  c 0  P  x1 x2  3a  b hai điểm cực trị x1 , x2 dấu * Nếu hai điểm cực trị dấu dương bổ sung thêm điều kiện S  x1  x2   2b 0 3a * Nếu hai điểm cực trị dấu âm bổ sung thêm điều kiện S  x1  x2   c hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1    x2  x1    x2     d hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2     x1    x2        x1      x2     e hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2   x1    x2        x1      x2     2b 0 3a 10 Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị * Điều kiện nằm phía a A  xA ; y A  B  xB ; yB  nằm phía, khác phía so với đường thẳng  : ax  by  c   ax A  byA  c  axB  byB  c   * Điều kiện nằm khác phía  ax A  byA  c  axB  byB  c   * Điều kiện nằm phía: Hàm số có hai điểm cực trị dấu hay phương trình y  có hai b nằm phía, khác phía so với trục Oy nghiệm phân biệt x1 , x2 dấu (công thức 6.b) * Điều kiện nằm khác phía: Hàm số có có hai điểm cực trị trái dấu hay phương trình y  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu (công thức 6.b) phương trình y  có hai nghiệm phân biệt c hai điểm cực trị nằm phía trục Ox  y y  x1 , x2  CĐ CT  yCĐ  yCT  phương trình y  có hai nghiệm phân biệt d hai điểm cực trị nằm phía trục Ox LOVEBOOK.VN| 186  y y  x1 , x2  CĐ CT  yCĐ  yCT  Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB phương trình y  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 yCĐ yCT  ; e hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục Ox đồ thị hàm số cắt trục Ox ba điểm phân biệt  Phương trình hồnh độ giao điểm f  x   có ba nghiệm phân biêt f hai điểm cực trị A B đối xứng qua  yI  kxI  e  I  xI ; yI   d    2  b2  c  (Gọi I trung điểm AB I điểm uốn đồ  AB  d   3a  k  1    thị hàm số bậc ba) đường thẳng d : y  kx  e Phương trình bậc có ba nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x   số nhân nghiệm x   b ; lập thành cấp 3a d a 10 Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y Giao Oy: y = d Điểm uốn: b x=– 3a Hình dáng đồ thị cho dấu tham số a O x1 x2 = c 3a x K a Để xác định a ta ý đến hình dáng đồ thị hàm số Đồ thị lên  bên phải a  Đồ thị xuống  bên phải a  b Để xác định dấu b ta ý vào vị trí điểm uốn hoành độ tương ứng x   b 3a c Nếu hai cực trị có hồnh độ 3a dấu a , c dấu ngược lại hai cực trị có hồnh độ trái dấu a , c trái dấu c Để xác định dấu c ta xét tích hai hoành độ cực trị x1 x2  d Để xác định dấu d ta xét vị trí tương giao đồ thị với trục tung Oy, tung độ giao điểm y  d để xét dấu LOVEBOOK.VN| 187 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The Best or Nothing   Vấn đề 03: Hàm số bậc bốn trùng phương y  f x  ax  bx  c, a   Điều kiện có ba cực trị: ab  ( a , b trái dấu); điều kiện có cực trị: ab  a  * Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu:  b  y a  * Hàm số có cực trị cực trị cực đại:  b  a  * Hàm số có hai điểm cực tiểu điểm cực đại:  b  A O a  * Hàm số có điểm cực tiểu hai điểm cực đại:  b  B C Với ab  đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  b   b  A  0; c  , B    ;   , C   ;    2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác cân A 3 ̂   cot    b cos   b  8a Đặt BAC 8a b3  8a Độ dài cạnh: AB  AC  b4 b b  ; BC   2a 2a 16a 2   2   Phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC x2  y     c  y  c      b 4a   b 4a  Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC tính theo cơng thức R  r  abc , bán kính đường trịn nội tiếp 4S 2S , a, b, c độ dài cạnh tam giác abc Một số điều kiện tam giác ABC Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab  a Tam giác ABC vuông cân A a  b3  b Tam giác ABC 24a  b3  c Tam giác ABC có diện tích SABC  S0 cho trước d Tam giác ABC có diện tích lớn 32 a 3S02  b5  Tìm maxS0 với S0   r e Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r f Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R LOVEBOOK.VN| 188 b2  b3   a 1    8a    R b3  8a 8ab b5 32 a Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB g Tam giác ABC có độ dài cạnh BC  m0 cho trước am02  2b  h Tam giác ABC có độ dài cạnh AB  AC  n0 cho trước 16 a n02  b  ab  i Tam giác ABC có hai điểm B, C  Ox b2  4ac   b 8a  b3  j Tam giác ABC có ba góc nhọn b2  6ac k Tam giác ABC nhận O làm trọng tâm b3  8a  4ac  l Tam giác ABC nhận O làm trực tâm b2  2ac m Tam giác ABC điểm O tạo thành hình thoi n Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn nội tiếp b3  8a  4abc  o Tam giác ABC nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp b3  8a  8abc    b3 k  8a k   p Tam giác ABC có cạnh BC  kAB  kAC q Trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích b2  ac b2  8ac r Tam giác ABC có điểm cực trị cách trục hồnh Đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng 9b2  100ac (thử lại m) y O x K Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần diện tích phần 5b2  36ac (thử lại m) Vấn đề 04: Hàm số phân thức y  Tập xác định: D  ax  b , c  0;ad  bc  cx  d   d d \   ; tiệm cận đứng: x   ; tiệm cận c  c  y  d a a ngang: y  Điểm I   ;  tâm đối xứng đồ thị hàm số c  c c d Hàm số đồng biến D ad  bc  0,   D nghịch c d biến D ad  bc  0,   D c Tiếp tuyến với tiệm cận I B M O A x K * Tiếp tuyến M thuộc đồ thị hàm phân thức cắt tiệm cận A B M trung điểm AB * Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng: d1  cxM  d c LOVEBOOK.VN| 189 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm * Khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang: d2  The Best or Nothing ad  bc c cxM  d * Tổng khoảng cách ngắn từ điểm M đến hai đường tiệm cận: dmin  * IA  ad  bc c cxM  d IB  ad  bc c2 cxM  d với I giao điểm hai đường tiệm cận c * Diện tích tam giác IAB không đổi SIAB  ad  bc c2 * Khoảng cách ngắn hai điểm E, F thuộc hai nhánh đồ thị: EFmin  2 ad  bc c2 * Khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng k lần khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang  k   y  xM   k * Khoảng cách từ điểm M đến I ngắn y  xM   IM  ad  bc c2 * Điểm M thỏa mãn yếu tố: Tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất/ Khoảng cách IM ngắn nhất/ Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến M đạt GTLN/ Tiếp tuyến M vng góc với IM/ Tam giác IAB vuông cân/ Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất/ AB nhỏ nhất/ Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/ Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ điểm M phải thỏa mãn tính chất IA  IB  y  xM     cxM  d   ad  bc * Các tốn: - Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác  C  cho MN nhỏ - Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác  C  cho tiếp tuyến  C  M, N song song khoảng cách hai tiếp tuyến lớn  Đều có chung lời giải trắc nghiệm giải phương trình y   Tìm hoành độ M, N Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc bậc a * Tiệm cận ngang: y  Nếu tiệm cận ngang nằm Ox c ac  cịn nằm ac  d * Tiệm cận đứng x   Nếu tiệm cận đứng nằm Oy c cd  cịn bên phải cd  b * Giao Oy: y  Nếu giao điểm nằm Ox bd  d cịn nằm bd  b * Giao Ox: x   Nếu giao điểm nằm bên trái Oy a ab  cịn bên phải ab  LOVEBOOK.VN| 190 y O x K Công Phá Toán Ngọc Huyền LB Vấn đề 05: Các kiến thức phương trình, bất phương trình ax2  bx  c  0, x     0, a  ax2  bx  c  0, x     0, a  ax2  bx  c  0, x     0, a  a, b, c  ax2  bx  c  0, x     0, a  a, b, c  ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt dương   0, S  0, P  ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt âm   0, S  0, P  ax2  bx  c  có hai nghiệm trái dấu P  ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1  x2     0,  x1    x2     0, x1  x2  ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt   x1  x2   0,  x1    x2     0, x1  x2  ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1    x2   0,  x1    x2      a f     f  x   ax2  bx  c a f      ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1      x2   a f      a f     ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt x1    x2     a f      a f     ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt   x1    x2   a f       ax2  bx  c  có hai nghiệm phân biệt   x1  x2   a f        x1  x2     m  f  x  có nghiệm D m   f  x  ; max f  x   ; m  f  x  có nghiệm D m  f  x  D D  D  m  f  x  có nghiệm D m  max f  x  D m  f  x  , x  D m  max f  x  ; m  f  x  x m  f  x  D D LOVEBOOK.VN| 191 ... ab  a  * Hàm số có cực trị cực trị cực tiểu:  b  y a  * Hàm số có cực trị cực trị cực đại:  b  a  * Hàm số có hai điểm cực tiểu điểm cực đại:  b  A O a  * Hàm số có điểm cực... thị hàm số bậc ba) đường thẳng d : y  kx  e Phương trình bậc có ba nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x   số nhân nghiệm x   b ; lập thành cấp 3a d a 10 Cách nhận diện đồ thị hàm số. .. nằm phía: Hàm số có hai điểm cực trị dấu hay phương trình y  có hai b nằm phía, khác phía so với trục Oy nghiệm phân biệt x1 , x2 dấu (công thức 6.b) * Điều kiện nằm khác phía: Hàm số có có