CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan 1| Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HAY GẶP  dx  x  C  du  u  C x 1  C    1  1 ax x a dx   C   a  1  ln a dx  x  ln x  C  x   x x  e dx  e  C u1  C    1  1 au u a dx   C   a  1  lna du  u  ln u  C  u   u u  e du  e  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C   x dx   sin kxdx    sin x  cos x cos kx C k   u du   cos kxdx  dx   cot x  C  cos dx  tan x  C  sin u u sin kx C k du  tan u  C du   cot u  C CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG  d  ax  b    ax  b   C a kx  e dx   1  ax  b     ax  b  dx  a     dx  ax  b  a ln ax  b  c e ax  b a px  q dx  dx  c ax  b e c a a px  q  c p ln a dx x  a  x  a arctg a  c  c ,   1 e kx C k  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c  sin  ax  b  dx  1 cos  ax  b   c a  tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c  cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c dx 1  sin  ax  b   a cotg  ax  b   c 2| Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan a   x dx ax  ln c x 2a a  x dx x a 2 dx a x 2  ln  x  x  a   c  arcsin dx x a  cos  x c a x x x b  ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c ax  e sin bx dx  x a  x2  c x a a2  x2  c  arctg a dx  x arctg a  ln  a a  x2  a2   c  x x  a a ln x  x  arccos a dx  x arccos a  dx a  x dx  dx  tg  ax  b   c  ax  b  a  arcsin a dx  x arcsin a  x arccos  c a a  x a2  x2 a2 x  arcsin  c 2 a e ax  a sin bx  b cos bx  c a  b2 x x a  x2   c  arc cotg a dx  x arc cotg a  ln  a dx ax  b c dx ax  b c  sin  ax  b   a ln tg  sin  ax  b   a ln tg ax  e cos bx dx   x2   c e ax  a cos bx  b sin bx  c a  b2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN  PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I Phương pháp đổi biến số dạng Để tính tích phân dạng , ta cần thực theo bước sau 1/ Quy tắc :  Bước 1: Đặt x=v(t)  Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận  Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt  Bước 4: Tính v (b ) b  a f ( x)dx   g (t ) dt  G (t ) v(a )  Bước 5: Kết luận : I= G (t ) v(b) v(a ) v(b) v(a ) 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường : Dấu hiệu Cách chọn 3| Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan a2  x2     x  a sin t    t    x  a cost   t   x2  a2  a     t   ;  x  sin t  2   a    t   0;   \   x  cost 2  a2  x2      x  a tan t  t    ;      x  a cot t  t   0;   ax ax  ax a x x=a.cos2t x=a+  b  a  sin t  x  a  b  x  b Quan trọng nhận dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :    1 1 * dx       dx   du 2 a u k   ax  bx  c  b       a  x+       2a   2a     b  Với :  u  x+ , k  , du  dx  2a 2a    * áp dụng để giải toán tổng quát :   dx a x  2 k 1 k  Z  II Đổi biến số dạng Quy tắc : ( Ta tính tích phân phương pháp đổi biến số dạng theo bước sau : )  Bước 1: Khéo léo chọn hàm số u(x) đặt t : t=u(x)  Bước 2: Tính vi phân hai vế đổi cận : dt=u'(x)dx  Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt  Bước 4: Tính u (b ) b  f ( x)dx   a  Kết luận : I= G (t ) g (t )dt  G (t ) u(a) u (b) u ( a) u (b) u (a) Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ  P( x) dx  ax+b  a  0 A DẠNG : I=   * Chú ý đến công thức : m m  dx  ln ax+b Và bậc P(x) cao hoắc ta   a  ax+b 4| Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan   B DẠNG :   ax    P( x) m  ax+b dx   Q( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx chia tử cho mẫu dẫn đến P ( x) dx  bx  c Tam thức : f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt  Cơng thức cần lưu ý : u '( x)  dx  ln u ( x)    u ( x) Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Tam thức : f ( x)  ax  bx  c có hai nghiệm kép  Cơng thức cần ý :    u '( x)dx  ln  u ( x)   u ( x) Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t Tam thức : f ( x)  ax  bx  c vô nghiệm : b  u  x  P( x) P( x) 2a  Ta viết : f(x)=  ; 2 2  b      a  u  k  k    a  x        2a 2a   2a     Khi : Đặt u= ktant  C DẠNG :   ax P( x) dx  bx  cx  d Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a   có nghiệm bội ba  Công thức cần ý :   x m dx  1  m1 1 m x  Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a   có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định phương pháp nhẩy tầng lầu Đa thức : f(x)= ax  bx  cx  d  a   có ba nghiệm  PHÂN THỨC HÀM VƠ TỶ I KIẾN THỨC Cần nhớ số cơng thức tìm nguyên hàm sau : f '( x ) dx  f ( x)  C f ( x) -  dx  ln x  x  b  C x b u '( x) - Mở rộng :  du  ln u ( x)  u ( x)  b  C u ( x)  b - 2 5| Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan  Tích phân dạng : I    ax  bx  c  a  0 dx a Lý thuyết : b  x u   b     2a Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x        du  dx 2a  4a     K  2a Khi ta có : - Nếu   0, a   f ( x)  a  u  k   f ( x)  a u  k (1) a  b    - Nếu :    f ( x)  a  x     (2) b 2a    f ( x)  a x  2a  a u  - Nếu :   +/ Với a>0 : f ( x)  a  x  x1  x  x2   f ( x)  a  x  x1  x  x2  (3) a  x1  x  x2  x  (4) +/ Với a