CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

1

2

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HAY GẶP

dx x C 

1

x

1



 

1



 



x

lna

lna



dx ln x C x 0

e dx e C

cosxdx sin x C 

sin xdx cosx C

cos kx

k

k



2

1 dx cotx C

 2

1 dx tanx C

 CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

d ax b ax b C

a

   

e dx C

k

 



1

ax b

a













      



a

dx 1

ln ax b c

ax b  a  



a



 1

dx

ax b ax b

a

   

 tgax bdx 1ln cosax b c

a

 1

dx

ln

px q px q

p a

 cotgax bdx 1ln sinax b c

a



2 2

dx 1

arctgx c

a x  a a 



sin ax b a ax b c







3

2 2

dx 1

ln

2

a x

c

a x a a x



cos ax b  a ax b c





 2 2

2 2

dx ln x x a c

x a    





2 2

dx arcsin x c

a





2 2

dx 1arccos x c



2



2 2

2 2

dx 1ln a x a c

x x a

 



2



ln ax b dx x b ln ax b x c

a

 

      

 

ax b c

ax b a







2 2 2

2 2 dx arcsin

x a x a x

a



 sindxax b 1aln tgax b2 c

2 2

sin cos sin dx

ax

a b





cos sin cos dx

ax

a b







CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I Phương pháp đổi biến số dạng 1

Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau

1/ Quy tắc :

 Bước 1: Đặt x=v(t)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận

 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

v b b

v b

f x dx g t dt G t

v a

 Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( )

( )

v b

G t

v a 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )

* Chú ý :

a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

4

2 2

ost 0 t

x a c



     







2 2

x  a

 

;

0; \

a

t a

c

 





   



  

 



2 2

a  x

2 2 cot 0;

x a t t

x a t t

 



     



   



a x a x

a x a x

  

x=a.cos2t

x a b x     x=a+b a  sin 2 t

b Quan trọng nhất là nhận ra dạng :

- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :

2

a x+

2a 2

a

     

 

2a 2

a

* áp dụng để giải bài toán tổng quát :

 2 22 k 1 

dx

k Z

a x







II Đổi biến số dạng 2

1 Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )

 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx

 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

u b b

u b

f x dx g t dt G t

u a

 Kết luận : I= ( ) ( )

( )

u b

G t

u a

2 Nhận dạng :

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

A DẠNG : I= ( )  0

ax+b

P x

dx a









* Chú ý đến công thức : ln ax+b

ax+b

dx a











 Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta

5

dx Q x dx Q x dx m dx

B DẠNG : 2 ( )

ax

P x dx

bx c



1 Tam thức : f x ( ) ax  2  bx c  có hai nghiệm phân biệt

Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( )

( )

u x

dx u x

u x













Ta có hai cách

Cách 1: ( Hệ số bất định )

Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )

2 Tam thức : f x ( ) ax  2  bx c  có hai nghiệm kép

Công thức cần chú ý : '( ) ln ( ) 

( )

u x dx

u x

u x













Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t

3 Tam thức : f x ( ) ax  2  bx c  vô nghiệm :

Ta viết : f(x)=

2

2

b

u x

a u k

  



        

       

Khi đó : Đặt u= ktant

C DẠNG : 3 ( )2

ax

P x

dx

bx cx d



1 Đa thức : f(x)=ax 3  bx 2  cx d a    0 có một nghiệm bội ba

Công thức cần chú ý : 1 1 . 11

1

















2 Đa thức : f(x)=ax 3  bx 2  cx d a    0 có hai nghiệm :

Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

3 Đa thức : f(x)=ax 3  bx 2  cx d a    0 có ba nghiệm

 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ

I KIẾN THỨC

1 Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :

2 ( )

f x

dx f x C



2

1 dx ln x x b C

x b    





2

'( ) ln ( ) ( ) ( )

u x du u x u x b C





6

ax

bx c





 



a Lý thuyết :

Từ :

2 2

2

2 f(x)=ax

2

b

K a

  



    

         





Khi đó ta có :

- Nếu   0, a   0 f x ( )  a u 2  k 2 f x ( )  a u 2  k 2 (1)

- Nếu :

0 ( )

2

2

a b

f x a x a u a

a







           

- Nếu :   0

+/ Với a>0 : f x ( )  a x x  1x x  2 f x ( )  a x x  1x x  2 (3)

+/ Với a<0 : f x ( )   a x 1  x x 2  x f x ( )   a x 1  x x 2  x (4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

b Cách giải

* Trường hợp :   0, a   0 f x ( )  a u 2  k 2 f x ( )  a u 2  k 2

Khi đó đặt :

2 2

2

2

2

;

2

,

.

2

t c

bx c t ax

bx c t a x

t a x t a

b a

   

     



* Trường hợp :

0 ( )

2

2

a b

f x a x a u a

a







           



Khi đó :

1

1

a









  





* Trường hợp :   0, a  0

2

ax bx c a x x x x x x t

x x t





      





* Trường hợp :   0, a  0

2

ax bx c a x x x x x x t

x x t





      





ax

mx n

bx c







 



7

Phương pháp :

ax

A d bx c

f x

 



b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B

b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

2

1

2 ax

ax

bx c









  

 

ax bx cdx a







 

3 Tích phân dạng :

1

0 ax

mx n bx c







Phương pháp :

b.1 Phân tích :

m



 

 

(1)

2

1

ax

n

n x

      

 



   

             

 b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :

' 2 '

dy I

Ly My N





 

 

 Tích phân này chúng ta đã biết cách tính

I R x y dx R x dx

x



( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và    , , , là các hằng số đã biết ) Phương pháp :

b.1 Đặt : t=m x

x



 (1) b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x  t

b.3 Tính vi phân hai vế : dx=' t dt  và đổi cận

'

R x dx R t t t dt

x



*) Tính tích phân: I 2mx n dx ,  a 0 







(trong đó f x ( ) mx n2





  liên tục trên đoạn    ; )

8

c bx ax

B c

bx ax

b ax A c bx ax

n mx





















2 2

2

) 2 (

+)Ta có I= 



dx c bx ax

B dx

c bx ax

b ax A dx c bx ax

n mx























2

) 2







Tích phân dx

c bx ax

b ax A







 2

) 2 (







c bx ax

Tích phân

2

dx



*) Tính tích phân ( )

( )

b a

P x

Q x

 với P(x) và Q(x) là đa thức của x

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, , ,2 nthì đặt

( )

( )

n

n

A

P x

+ Khi Q x ( )   x     x2  px q   ,   p2  4 q  0thì đặt

2

( )

( )



( )

Q x  x   x   với    thì đặt

( ) ( )

A

Q x  x  x  x

 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên   a b ; thì:

( ) ( )'  ( ) ( ) ( ) ( )'

b

a

hay

b

a

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

9

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx  ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx  '( )

 Bước 2: Tính du u dx  ' và v dv v x dx'( )

uv

a

 Bước 5: Áp dụng công thức trên

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

( )

b

x a

P x e dx

b

a

b

a

b x a



Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

'

dv v dx  thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx  ' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm

số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: eax, cos , sin ax ax thì ta thường đặt

'( ) ( )

du P x dx

u P x







 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì

( )

du Q x dx

u Q x









10

 Nếu tính tích phân I eaxcos bxdx









ax

u e

b









cos

ax

u e

b









 

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính

 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

1 Tính

cos

dx I





Phương pháp:

tan



t

sin

1

t x

t



 và

2 2

1 cos

1

t x

t







2

I

2 Tính

dx I





Phương pháp:

 sin2 sin cos  cos2

dx I





2 2

cos





dx x

cos

dx

x

dt I

 

11



Phương pháp:

+)Tìm A, B, C sao cho:

m x n  x p   A a x b  x c   B a x b  x  C  x+) Vậy











c x b x a

dx C

dx c x b x a

x b x a B

dx

A

cos sin

cos sin

sin cos

Tích phân dx tính được

c x b x a

x b x







cos sin

sin cos

Tích phân  a sin x  dx b cos x  ctính được

Nguyên hàm dạng  R  sin ,cos x x dx  , với R  sin ,cos x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết

cách tính tích phân

 Trường hợp chung: Đặt

2

2 tan



t

Ta có

2



 Những trường hợp đặc biệt:

+) Nếu R  sin ,cos x x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R   sin , cos x  x   R  sin ,cos x x thì đặt t  tan x hoặc t  cot x, sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R  sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin ,cos x x    R  sin ,cos x x thì đặt t  cos x

+) Nếu R  sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

12

R  sin , cos x  x    R  sin ,cos x x thì đặt t  sin x

TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1.Cho hàm số y f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn  a a ;  Khi đó

( ) 0

a

a



2.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn   a a ;  Khi đó

0

a



0

( ) ( ) ( )

I f x dx f x dx f x dx

Ta tính

0

( )

a



 bằng cách đặt x   t  0   t a   dx   dt



Thay (2) vào (1) ta được

0

a



3.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn: Khi đó

 















dx x f dx

a

x f

2

1 1

) ( Chứng minh: Đặt t= -x  dt= - dx

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a a



Khi x= -  thì t =  ; x = thì t =- 























dt t f a

a dt

a

t f a dx

a

x f

t t

t

1

1 1 1

) ( 1

) (























I dx x f dt a

t f dt t

1

) ( )

(

13















dx x f dx

a

x f

2

1 1

) (

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;

2



  Khi đó

2 2

(sin ) (cos )

f x dx f x dx



Chứng minh:

Đặt

2

t     x dx   dt

Khi x = 0 thì

2

t  

, khi

2

x  

thì t = 0

2

2





Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức

*Nếu f(x) liên tục trên   0;1 thì (sin ) (sin )

2

xf x dx f x dx





*Nếu f(x) liên tục trên   0;1 thì 2 xf(cos )x dx 2 f(cos )x dx



14