Toàn bộ công thức giải nhanh hàm số lớp 12

MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 19 I Tính đơn điệu hàm số 19 A Lý thuyết tính đơn điệu hàm số 19 B Các dạng tốn tính đơn điệu hàm số 20 Dạng 1: Bài tốn khơng chứa tham số 20 Bài tập rèn luyện kĩ 26 Dạng 2: Bài toán chứa tham số 28 Bài tập rèn luyện kĩ 38 II Cực trị hàm số 40 A Lý thuyết cực trị hàm số 40 B Các dạng toán liên quan đến cực trị 42 Bài đọc thêm: Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh tập định tham số m để hàm f(x) đạt cực đại (cực tiểu) x0 64 Bài tập rèn luyện kĩ 66 III Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 70 A Lý thuyết giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 70 B Các dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 73 Bài đọc thêm 1: Phương pháp giải nhanh tập tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ đoạn [a; b] 82 Bài đọc thêm 2: Phương pháp giải nhanh tập xác định m để hàm số đạt giá trị lớn – giá trị nhỏ đoạn [a; b] 18 Bài tập rèn luyện kĩ 85 C Ứng dụng GTLN, GTNN vào thực tiễn, giải vấn đề tối ưu 88 Bài tập rèn luyện kĩ 94 IV Đường tiệm cận 98 A Lý thuyết đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số 98 B Lý thuyết đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 101 C Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số phân thức bậc bậc 105 Bài tập rèn luyện kĩ 109 V Các dạng đồ thị hàm số thường gặp 113 Bài tập rèn luyện kĩ 121 VI Sự tương giao hai đồ thị hàm số 127 Bài tập rèn luyện kĩ 136 VII Một số dạng toán vận dụng cao hàm số 137 A Bài toán hàm đạo hàm, hàm tổng, hàm hợp 137 B Bài toán biến đổi đồ thị 157 VIII Bài toán VD-VDC Hàm số ứng dụng đạo hàm 185 Các công thức giải nhanh hàm số ứng dụng đạo hàm 196 Bài kiểm tra chủ đề - số 203 Bài kiểm tra chủ đề - số 207 Bài kiểm tra chủ đề - số 211 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 215 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 257 I Lũy thừa – Hàm số lũy thừa 257 A Khái niệm lũy thừa 257 B Hàm số lũy thừa 258 II Logarit – Hàm số logarit 259 A Logarit 259 B Hàm số logarit 259 III Hàm số mũ 260 Một số toán liên quan đến đồ thị hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số logarit 261 IV Ứng dụng hàm số mũ, hàm số logarit thực tế 270 Bài tập rèn luyện kĩ 280 V Phương trình mũ phương trình logarit 285 A Đưa số logarit hóa – mũ hóa 286 B Phương pháp đặt ẩn phụ (dạng 1) 291 C Phương pháp đặt ẩn phụ (dạng 2: đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) 296 D Phương pháp logarit hóa, mũ hóa 297 E Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 299 VI Các toán biến đổi logarit 300 A Tính logarit theo logarit cho 300 B Tính logarit theo hai logarit cho 300 Bài tập rèn luyện kĩ 302 Dạng 1: Các dạng tốn tìm tập xác định, tốn đồ thị tính chất hàm logarit 302 Dạng 2: Các phép biến đổi mũ, logarit 305 Dạng 3: Giải phương trình bất phương trình mũ, logarit 307 VII Bài toán VD-VDC Lũy thừa, mũ, logarit 310 Các công thức giải nhanh lũy thừa – mũ logarit 315 Bài kiểm tra chủ đề - số 317 Bài kiểm tra chủ đề - số 320 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 323 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 341 I Nguyên hàm tính chất 341 II Hai phương pháp để tìm nguyên hàm 342 III Các dạng toán nguyên hàm 345 IV Bổ sung số vấn đề nguyên hàm 350 Bài tập rèn luyện kĩ 356 V Khái niệm tính chất tích phân 358 VI Hai phương pháp để tìm tích phân 359 VII Ứng dụng hình học tích phân 362 VIII Một số dạng tích phân thường gặp 367 Bài tập rèn luyện kĩ 384 IX Ứng dụng nguyên hàm, tích phân thực tế 388 Bài tập rèn luyện kĩ 391 X Một số dạng tích phân vận dụng cao 393 XI Bài tốn VD-VDC Ngun hàm, tích phân ứng dụng 406 Các công thức giải nhanh nguyên hàm – tích phân ứng dụng 415 Bài kiểm tra chủ đề - số 421 Bài kiểm tra chủ đề - số 424 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 429 CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 443 I Khái niệm số phức 443 II Các phép toán với số phức 444 Bài đọc thêm 1: Giới thiệu số tính tính tốn số phức máy tính Casio 445 Bài tập rèn luyện kĩ 450 Bài đọc thêm 2: Các toán số phức vận dụng cao 454 Bài tốn tìm số phức liên quan đến mơđun 454 Biểu diễn hình học số phức, quỹ tích phức 461 Một số dạng toán nâng cao số phức 464 III Giải toán cực trị số phức phương pháp hình học giải tích 478 IV Bài toán VD-VDC Số phức 491 Các công thức giải nhanh số phức 495 Bài kiểm tra chủ đề 496 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 499 CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ KHỐI ĐA DIỆN QUEN THUỘC 506 I Khái niệm hình đa diện khối đa diện 506 II Khối đa diện lồi khối đa diện 509 III Thể tích khối đa diện 510 Bài tập rèn luyện kĩ 523 Các công thức giải nhanh khối đa diện 529 Bài kiểm tra chủ đề 532 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 536 CHỦ ĐỀ 6: MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN 550 I Mặt cầu, khối cầu 550 Bổ sung số vấn đề mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình đa diện 553 Bài tập rèn luyện kĩ 562 II Mặt nón, hình nón, khối nón 564 Một số dạng tốn cơng thức giải tốn mặt nón thường gặp 569 III Mặt trụ, hình trụ, khối trụ 571 Một số dạng toán cơng thức giải tốn mặt trụ thường gặp 574 Bài tập rèn luyện kĩ 576 IV Bài tốn VD-VDC Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón 580 Các công thức giải nhanh mặt cầu – mặt trụ – mặt nón 584 Bài kiểm tra chủ đề 589 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 594 CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 606 I Hệ tọa độ không gian 606 II Phương trình mặt phẳng 608 III Phương trình đường thẳng 613 Bài đọc thêm 1: Bài tốn cực trị khơng gian 618 Bài tập rèn luyện kĩ 627 IV Mặt cầu 636 Bài tập rèn luyện kĩ 639 Bài đọc thêm 2: Ứng dụng phương pháp tọa độ hóa giải tốn hình học khơng gian 642 V Bài toán VD-VDC Phương pháp tọa độ không gian 651 Các công thức giải nhanh phương pháp tọa độ không gian 658 Bài kiểm tra chủ đề 660 Hướng dẫn giải chi tiết chủ đề 665 TRA CỨU THUẬT NGỮ 683 Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Toán Chủ đề Vấn đề cần nắm: I Tính đơn điệu hàm số II Cực trị hàm số III GTLN, GTNN hàm số ứng dụng IV Đường tiệm cận V Các dạng đồ thị VI Tương giao Ngọc Huyền LB HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I Tính đơn điệu hàm số A Lý thuyết tính đơn điệu hàm số Hàm số đồng biến nghịch biến K (với K khoảng (đoạn), nửa khoảng) gọi chung hàm số đơn điệu K Tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm Định lý Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K a Nếu f   x   với x thuộc K hàm số f  x  đồng biến K b Nếu f   x   với x thuộc K hàm số f  x  nghịch biến K Chú ý Tóm lại, K: f   x   f  x  đồng biến Nếu f   x   f  x  nghịch biến khơng đổi K Định lý mở rộng Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm khoảng K a Nếu f   x   với x  K f   x   số hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K b Nếu f   x   với x  K f   x   số hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K c Nếu f   x   với x  K hàm số khơng đổi K Giả sử hàm số f  x  liên tục đoạn a; b có đạo hàm khoảng  a; b  Nếu f   x   (hoặc f   x   ) với x   a; b hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) đoạn a; b - Nếu hàm số đồng biến K đồ thị hàm số lên từ trái sang phải y - Nếu hàm số nghịch biến K đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải (hình 1.1) Ví dụ: Hàm số có đồ thị hình 1.1 nghịch biến khoảng  ; a  , không đổi khoảng  a , b  đồng biến khoảng  b;   Ta nói hàm số có đồ thị hình 1.1 nghịch biến  ; a Hằng x O Hình 1.1 f  x   với x   ; a dấu xảy x  a (tức hữu hạn nghiệm) Lí giải: Ở phần cách xác định tính đơn điệu hàm số đạo hàm phải có điều kiện dấu xảy hữu hạn nghiệm bởi: Nếu vơ hạn nghiệm, xảy tồn khoảng  f   x  0, x  K  hàm số khơng cịn tính đơn điệu nữa, mà hàm khơng đổi khoảng Ví dụ hàm số có đồ thị hình 1.1  a; b hàm số hàm LOVEBOOK.VN| 19 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The Best or Nothing Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f  x  STUDY TIP Với hàm sơ cấp, để xét dấu đạo hàm khoảng  x i ; x i   vừa tìm a Tìm tập xác định b Tính đạo hàm f   x  Tìm điểm xi  i  1, 2, 3, n làm cho đạo hàm được, ta cần xét dấu đạo hàm điểm khoảng hàm khoảng  xi ; xi 1  không xác định (điểm tới hạn hàm số) c Sắp xếp điểm tìm theo thứ tự tăng dần x1  x2   xn xét dấu đạo d Nêu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Điểm tới hạn: Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  a; b điểm x0   a; b  Điểm x gọi điểm tới hạn hàm số đạo hàm f   x  không xác định B Các dạng tốn tính đơn điệu hàm số Bài tốn khơng chứa tham số Dạng Ví dụ 1: Hàm số y  x  x2 nghịch biến khoảng  1 B  ;   2 1  A  ;  2  STUDY TIP Ở ta chọn STEP C   ;  D 1;   Đáp án A Phân tích: Ta tìm nghiệm phương trình y   giá trị làm cho  ba  STEP   với 10   phương trình y   khơng xác định, từ tìm khoảng đồng biến,  a; b khoảng cần xét nghịch biến hàm số Lời giải 0.1 khoảng nhỏ, ta cần xét tính đồng biến nghịch biến khoảng Cách 1: Điều kiện: x  0;1  2 x  1 Ta có: y   x  x2  ; y   x   0;1 2 x  x2 2x  1 1  Ta có: y       x  hàm số nghịch biến  ;  2 2  xx   1 1   0;   ;1    2  y  Hình 1.2 đồ thị hàm số y  x  x2 , ta thấy làm xác định Cách 2: Nhận thấy điều kiện x  0;1 , loại C D Ở B A, đầu mút khoảng cách 0,5 đơn vị, ta chọn STEP sử dụng TABLE máy tính Giải thích: O Hình 1.2 x Lệnh TABLE máy tính dùng để tính giá trị hàm số vài điểm Ta sử dụng chức tính giá trị hai hàm số f  x  g  x  , hàm f  x  qwR52 Bởi vậy, sử dụng TABLE việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng dễ dàng, ta cần xét xem giá trị hàm số tăng hay giảm x chạy khoảng thơi Sử dụng máy tính Sử dụng lệnh TABLE để liệt kê giá trị hàm số cho x chạy khoảng cần xét với bước nhảy định LOVEBOOK.VN| 20 Thao tác: Ấn w7, nhập hàm số cần tính giá trị Ở chế độ mặc định w7được thiết lập mặc định dạng nhập hai hàm số f  x g  x  , ấn qwR51để trở dạng nhập hàm số f  x  START? Nhập x đâu END? Nhập x kết thúc đâu STEP? Bước nhảy giá trị, tính từ điểm đầu mút Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB Áp dụng vào toán ta được: Ấn w7, nhập f  x   X  X ấn = START? Nhập = END? Nhập = STEP? Nhập 0.1 = Sau nhập máy hình bên: Nhận thấy từ x chạy từ đến 0,  giá trị hàm số tăng, tức hàm  1 số đồng biến  0;  Còn với x chạy từ đến giá trị hàm số giảm,  2 1  tức hàm số nghịch biến  ;1  Chọn A 2  Xét toán tổng quát sau: Xét biến thiên hàm số y  ax  bx  c , a   Lời giải Ghi nhớ TXĐ: D  Từ toán tổng quát bên, ta đưa kết luận sau biến thiên hàm số * Trường hợp - Với hàm số đồng biến nghịch biến - Với biến hàm số nghịch Ta có y  4ax3  2bx ; x  x  y    x ax  b     x   b ax  b    2a b +) TH1:  a    b x    b 2a * Với  a  (hay a  0; b  ) 2ax  b     a b x   2a  Lúc ta có bảng xét dấu: x b b      2a 2a f   x   0   Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax4  bx2  c ,  a   nghịch biến đồng biến     b b  b  b    ;     0;   ; hàm số đồng biến    ;    ;       2a a  2a  a        b x    b 2a * Trường hợp * Với  a  (hay a  0; b  ) 2ax  b     a b x   - Với hàm số nghịch 2a  biến đồng biến Lúc ta có bảng xét dấu: - Với biến biến hàm số đồng x    nghịch f   x  b 2a    b 2a   LOVEBOOK.VN| 21 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The Best or Nothing Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax4  bx2  c ,  a   nghịch biến    b b   b     ;    ;   ; hàm số đồng biến  ;       2a a   a      b   0;    2a   +) TH2: b b  phương trình 2ax  b  : +) vô nghiệm  a a +) có nghiệm x  b  a * Với a  ta có bảng xét dấu:  x  f   x   Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax4  bx2  c ,  a   nghịch biến  ;0  ; hàm số đồng biến  0;  * Với a  ta có bảng xét dấu:  x f   x  0   Từ bảng xét dấu ta có hàm số y  ax4  bx2  c ,  a   nghịch biến  0;  ; hàm số đồng biến  ;0  Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  x  Chọn khẳng định A Hàm số đồng biến khoảng  2;0   2;   B Hàm số đồng biến khoảng  ; 2   0;  C Hàm số nghịch biến khoảng  ; 2   2;   STUDY TIP Với hàm số bậc bốn trùng phương có dạng y  ax4  bx2  c  a   b  thì: a Với a  đồ thị hàm số có dạng chữ W * Nếu Với a  đồ thị hàm số có dạng chữ M (chỉ mẹo nhớ đồ thị) b * Nếu  thì: a Với a  đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm lên Với a  đồ thị hàm số có dạng Parabol quay bề lõm xuống D Hàm số nghịch biến khoảng  2;0   2;   Đáp án A Phân tích x 2x2 Hướng tư 1: Ta thấy hàm số y - Hệ số a 0; b a ta có hàm số y nên áp dụng kết toán tổng quát phía x 2x2 đồng biến  2;   2;  ; nghịch biến  ; 2   0;  x  Hướng tư 2: Xét phương trình y '   x3  4x    Như giới  x  2 thiệu cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số a  0 nên ta xác định nhanh hàm số đồng biến  2;0   2;   , hàm số nghịch biến  ; 2   0;  LOVEBOOK.VN| 22 có: Chinh phục Tốn 12 – Cơng Phá Tốn Ngọc Huyền LB Hướng tư 3: Sử dụng lệnh TABLE Sử dụng lệnh TABLE với START -5 END 5, STEP ta xác định được: giá trị hàm số tăng x chạy từ  đến từ đến 5, giá trị hàm số giảm x chạy từ -5 đến -2 từ đến Do ta xác định hàm số đồng biến  2;   2;   Hàm số nghịch biến  ; 2   0;  STUDY TIP Với hàm số dạng ax  b y ; cx  d  ad  bc  0;c   ; y'  ad  bc  cx  d  , đặt   ad  bc thì: a Với   hàm số đồng biến khoảng xác định b Với   hàm số nghịch biến khoảng xác định x3 Khẳng định sau khẳng định đúng? x3 A Hàm số đồng biến Ví dụ 3: Cho hàm số y  B Hàm số đồng biến khoảng  ; 3   3;  C Hàm số nghịch biến khoảng  ; 3   3;   D Hàm số nghịch biến Đáp án B \3 Tập xác định D  Ta có y  3.1   3   x  3 Lời giải   x  3  với x  D Vậy hàm số đồng biến khoảng xác định Tức hàm số đồng biến khoảng  ; 3  STUDY TIP Các mệnh đề nói hàm số đồng biến hay nghịch biến tập số không liên tục, bị gián đoạn mệnh đề sai  3;  Lưu ý: Ta nói: “Hàm số đồng biến khoảng  ; 3   3;   ” Mà khơng thể nói “Hàm số đồng biến  ; 3   3;  ” “Hàm số đồng biến tập xác định.” Ví dụ 4: Cho hàm số y  x2   x  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho đồng biến khoảng  ;0  B Hàm số cho đồng biến khoảng  2;   C Hàm số cho đồng biến khoảng  0;  STUDY TIP Với hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx2  cx  d  a   Nếu phương trình y'  có hai nghiệm phân biệt: Nếu a  đồ thị hàm số có dạng chữ N, tức hàm số có hai khoảng đồng biến khoảng nghịch biến Còn a  ngược lại D Hàm số cho đồng biến khoảng  ; 3 Đáp án C Lời giải x  Ta có y   3x2  x    x  Vì hàm số bậc ba, có hệ số a  1  nên hàm số đồng biến  0;  Nhận xét: Việc nhớ dạng đồ thị giúp ta làm nhanh tốn đơn điệu mà khơng cần vẽ bảng biến thiên Ví dụ 5: Trong hàm số sau hàm đồng biến ? x1 A y  x4  x2  B y  x3 C y  x2  D y  x3  x Đáp án D LOVEBOOK.VN| 23 Chủ đề 1: Hàm số ứng dụng đạo hàm The Best or Nothing Lời giải Ta loại ln phương án A, B, C do: Hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến nghịch biến Tương tự hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol nên ln có khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến Còn phương án B: Hàm phân thức bậc bậc y  x  3 , hàm số khơng thể ln đồng biến x1 gián đoạn x3 mà đơn điệu khoảng xác định Qua toán ta rút kết sau: Kết 1: Hàm số bậc bốn trùng phương ln có điểm cực trị x  0, hàm số bậc bốn trùng phương ln có khoảng đồng biến, nghịch biến Kết 2: Hàm bậc hai ln có điểm cực đại điểm cực tiểu, nhớ nôm na đồ thị hàm bậc hai parabol, hàm bậc hai đơn điệu Kết 3: Hàm phân thức bậc bậc đơn điệu hàm số bị gián đoạn giá trị làm cho mẫu số khơng xác định, ta nói hàm số đơn điệu khoảng xác định khơng nói đơn điệu tập xác định đơn điệu Kết 4: Để hàm số bậc ba có dạng y  ax3  bx2  cx  d  a  0 đơn điệu phương trình y   3ax  2bx  c  (có   b2  3ac ) vơ nghiệm có nghiệm nhất, tức    b2  3ac  (trong công thức a, b, c hệ số hàm bậc ba ban đầu) Lúc dấu hệ số a định tính đơn điệu hàm số a Nếu a  hàm số nghịch biến b Nếu a  hàm số đồng biến Ví dụ 6: Khẳng định sau khẳng định sai hàm số y  A Hàm số đồng biến  1;   2x  ? x1 B Hàm số đồng biến C Hàm số khơng có cực trị D Hàm số đồng biến  ; 1 Đáp án B Lời giải Từ kết Ví dụ ta chọn ln B Ví dụ 7: Hỏi hàm số y  x2  4x  đồng biến khoảng nào? B  ; 3 A  2;   C  ;1 D  3;  Đáp án D Tập xác định: D   ;1  3;   Ta có y   2x  x  4x   Lời giải x2 x  4x  , x   ; 1   3;   y    x  2, kết hợp với điều kiện xác định hàm số đồng biến  3;   LOVEBOOK.VN| 24 ... (trong công thức a, b, c hệ số hàm bậc ba ban đầu) Lúc dấu hệ số a định tính đơn điệu hàm số a Nếu a  hàm số nghịch biến b Nếu a  hàm số đồng biến Ví dụ 6: Khẳng định sau khẳng định sai hàm số. .. hàm số đơn điệu K Tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm Định lý Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm K a Nếu f   x   với x thuộc K hàm số f  x  đồng biến K b Nếu f   x   với x thuộc K hàm số. .. đạo hàm 185 Các công thức giải nhanh hàm số ứng dụng đạo hàm 196 Bài kiểm tra chủ đề - số 203 Bài kiểm tra chủ đề - số 207 Bài kiểm tra chủ đề - số