Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền t[r]
(1)www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm… ta còn gặp các bài toán tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, có chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học, cao đẳng Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không khó mà còn khá hay, lôi các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức hình học túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên bài toán quen thuộc Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi trình bày chuyên đề “ Một số bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Học sinh đã trang bị kiến thức, các bài tập đã luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học và yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập - Nhiều học sinh bị kiến thức hình học không gian, không nắm vững các kiến thức hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học III NỘI DUNG Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải các bài toán đặt Nội dung Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 1/24 (2) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2.1 Nhắc lại số dạng toán hay sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên mặt phẳng (α) - Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên (α) - Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) - Tìm giao điểm H MH và (α) Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) thì ta tìm hình chiếu H M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b Tìm hình chiếu vuông góc điểm M lên đường thẳng d: - Viết phương trình tham số d - Gọi H d có tọa độ theo tham số t H là hình chiếu vuông góc điểm M lên d - ud MH - Tìm t, suy tọa độ H 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) cho k1 MA1 k2 MA2 kn MAn có giá trị nhỏ PP chung: Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n Biến đổi k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k1 + k + + k n )MI = k MI Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x- = y+1 = z và hai điểm A 0;1;5 , B 0;3;3 1 Tìm tọa độ điểm M trên đương thẳng d cho: 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - 4MB có giá trị nhỏ Tìm vị trí M MI đạt giá trị nhỏ Giải: 1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Khi đó MA + MB MI + IA + MI IB MI có giá trị nhỏ MI nhỏ M là hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d x = + t Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d: y = -1 + t z = t Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M là hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d thì IM.u hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 2/24 (3) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔBÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) 13 13 x = 0; y = , z = , J(0; ; ) 5 Khi đó MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB) 3MJ MJ có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc J lên đường thẳng d 18 17 ;t) M là hình chiếu vuông góc J 5 lên đường thẳng d thì JM.u hay 3t – = t = Vậy M( 5; 0; 1) thì MA - 4MB có giá trị nhỏ Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), JM = ( t+ 4; t - Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = và ba điểm A 1;0;1 , B -2;1;2 , C 1;-7;0 Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) cho : 1) MA + MB MC có giá trị nhỏ 2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ Giải: 1) Gọi G thỏa GA + GB +GC = thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(0;-2;1) Ta có MA + MB MC = MG + GA + MG GB MG GC = MG có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) Đường thẳng MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto phương nên phương trình tham số x = 2t MG là: y = -2-2t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: z = 1+3t 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 17t 17 t 1 Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MC có giá trị nhỏ 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IB 3IC Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) 23 23 ; z = - , I(4; ; ) 2 2 Ta có: MA -2MB 3MC = MI+IA -2(MI IB) 3(MI IC ) = 2MI có giá trị nhỏ M là x = 4; y = - hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng (α) x = 4+2t Phương trình tham số đường thẳng MI: y = 23 -2t z = +3t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2(4 2t) 2( 73 73 23 0t 2t) 3( 3t) 10 17t 2 34 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 3/24 (4) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Vậy với M( ; 245 ; 135 ) thì MA -2MB 3MC đạt giá trị nhỏ 17 34 17 Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho tổng T = k1MA1 k2 MA22 kn MAn2 đạt giá trị nhỏ giá trị lớn PP chung: - Tìm điểm I thỏa k1 IA1 + k IA + + k n IA n - Biến đổi : T = k1MA12 k 2MA 22 k nMA n2 = = (k1 + + k n )MI + k1IA12 k 2IA 22 k n IA n2 + MI(k1 IA1 + + k n IA n ) = kMI + k1IA12 k 2IA 22 k n IA 2n Do k1IA12 k 2IA 22 k n IA n2 không đổi, Biểu thức T nhỏ lớn MI nhỏ hay M là hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ MI nhỏ - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn MI nhỏ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M trên mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2) Tìm M trên mặt phẳng (α) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn Giải: 3 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = thì I là trung điểm AB và I (2; ; ) 2 2 Ta có: MA + MB = (MI + IA) +(MI + IB) IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI Do IA + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc I lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2) Phương trình tham số MI: x = 2+t y = + 2t z = +2t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 3 t 2( 2t) 2( 2t) 9t t 1 M (1; ; ) 2 2 Vậy với M(1; ; ) thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ 2 Nhận xét: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 4/24 (5) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 AB Với I là trung điểm AB thì MA + MB = 2MI + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc I lên (α) 2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1 x; y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2 y;1 z) (0; 0; 0) 2 3 x 3 y J(3; 3; 0) z Ta có: MA2 - MB2 – MC2 = (MJ + JA) - (MJ + JB) (MJ + JC) J A JB2 JC MJ + 2MJ(JA JB JC) JA JB2 JC MJ Do JA JB JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn MJ nhỏ hay M là hình chiếu J trên mặt phẳng (α) Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α (1; 2; 2) x = 3+t Phương trình tham số MJ: y = -3+ 2t z = 2t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: t 2( 3 2t) 2.2t 9t t 23 35 M( ; ; ) 9 9 Vậy với M ( 23 ; 35 ; ) thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn 9 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: x-1 y-2 z-3 và các điểm A(0;1;-2), = = B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm tọa độ điểm M trên d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ Giải: 1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = 4 x 2) Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y; z) (0;0;0) 3 y I(4; 3;6) - 6+z 2 Ta có MA - 2MB = (MI + IA) 2(MI + IB) IA 2IB MI + 2MI(IA IB) IA 2IB2 MI Do IA - IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc I lên d x = 1+t Đường thẳng d có vtcp u (1; 2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t z = 3+ t Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 5/24 (6) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 M d M(1 t; 2t; t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M là hình chiếu vuông góc 2 I lên đường thẳng d thì IM.u 6t t M ( ; ; ) 3 3 Vậy với M( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn 3 Nhận xét:Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí điểm M Với M d M(1 t; 2t; t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t ) 6t – 8t 5, t R Đạo hàm f '(t ) 12t – 8t , f '(t ) t Bảng biến thiên T f’(t) + 23 f(t) Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn t Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn M( ; ; ) 3 33 2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = thì G(2;1;1) là trọng tâm ABC Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC) = GA GB2 GC +3MG + 2MG(GA GB GC) = GA GB GC +3MG Do GA GB2 GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc G lên đường thẳng d M d M(1 t; 2t; t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Khi M là hình chiếu vuông góc I lên đường thẳng d thì 1 GM.u 6t t M( ;1; ) 2 Vậy với M ( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ 2 Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = và hai điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M trên (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ PP chung: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 6/24 (7) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < thì A, B nằm hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ M thuộc AB hay M là giao điểm (α) và AB Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ M thuộc A’B hay M là giao điểm (α) và A’B Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – 2y – 2z + = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ Giải: Thay tọa độ A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ M là giao điểm AB và (α) Đường thẳng AB qua điểm B, nhận AB (1; 1;0) làm vecto phương x t Phương trình tham số AB: y t Tọa độ M ứng với t là nghiệm pt: z 2 + t – 2(-t)- 2.2 + = 3t t Hay M ( ; ;2) là điểm cần tìm 3 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ 2) MA - MC có giá trị lớn Giải: 1) Thay tọa độ A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm phía (α) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ M là giao điểm A’B với (α) Đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận n (1; 1; 2) làm vecto x 1 t phương nên phương trình tham số AA’: y t z 1 2t Tọa độ hình chiếu vuông góc H A trên (α) ứng với t phương trình 3 2 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 6t – = hay t = H( ; ; 0) x A ' = 2x H x A Do H là trung điểm AA’ nên y A ' =2y H y A A '(2; 1; 1) A’B có vtcp A'B (1;0; 3) z = 2z z A' H A x t Phương trình tham số A’B: y z 3t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 7/24 (8) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 + t – + 2(1 – 3t) = 5t t hay M(13 ;1; ) 5 Vậy với M (13 ;1; ) thì MA + MB có giá trị nhỏ 5 2) Thay tọa độ A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm hai phía (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng phía (α) Ta thấy MA - MC MA' - MC A'C Nên MA - MC đạt giá trị lớn M thuộc A’C phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm A’C và (α) Đường thẳng A’C có vtcp A'C (1; 3; 3) x t Phương trình tham số A’C: y 3t z 3t Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 4t t hay M ( ; ; ) 4 4 Vậy với M ( ; ; ) thì MA - MC có giá trị lớn 4 Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M trên đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ PP chung: Nếu d và AB vuông góc với Ta làm sau: - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d - Tìm giao điểm M AB và (α) - Kết luận M là điểm cần tìm Nếu d và AB không vuông góc với Ta làm sau: - Đưa phương trình d dạng tham số, viết tọa độ M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB - Tính giá trị nhỏ hàm số f(t), từ đó suy t - Tính tọa độ M và kết luận Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-1 = y + = z-3 và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) 2 Hãy tìm điểm M trên d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ Giải: x 2t Đường thẳng d có phương trình tham số y 2 2t z t qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp u (2; 2;1) và CD (7;5; 4) Ta có u CD = 14 -10 – = d CD Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d (P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1) làm vecto pháp tuyến Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 8/24 (9) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ M là giao điểm d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + 4t + + 4t + + t + = 9t + 18 t 2 Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ bằng: 17 Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trên trục Ox cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Giải: Ox có vtcp i (1;0;0) qua O(0; 0; 0), AB có vtcp AB (1;1; 2) và i.AB 1 Ox và AB không vuông góc Ta có [i , AB]OA = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = + +2 = nên AB và Ox chéo x t Phương trình tham số Ox: y M Ox M(t;0;0) z S = MA + MB = (t -3)2 (t -2)2 = (t -3)2 (t -2)2 Ta phải tìm t cho S đạt giá trị nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – = S = MtAt + MtBt nhỏ M là giao điểm Ox và At'Bt 3t - = hay t Vậy M ( ;0;0) là điểm cần tìm Cách khác: Ta có thể tìm điểm M phương pháp khảo sát hàm số Ta xét hàm số f t (t -3)2 (t -2)2 ( t R ) f t t 3 t 3 f t t 2 4 t 3 t 3 (t 3) t2 ; 1 t 2 t 2 4 (t 2) t 3 2 0 1 (*) với điều kiện ≤ t ≤ ta có: t 2 2 (*) t 3 [ t 1] t [ t 3 4] t [2;3] t 2(t 2) t 3 t t t 2(t 2) Bảng biến thiên hàm số f(t) : T f’(t) - + Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 9/24 (10) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 f(t) 38 10 7 Từ bảng biến thiên suy f t f = 3 38 10 38 10 , đạt t , tức là M( ;0; 0) 3 Vậy MA + MB đạt giá trị nhỏ Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : x-2 = y-2 = z -1 và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy 2 tìm điểm M trên d cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Giải: x 2t Đường thẳng d có phương trình tham số y 2t qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp z t u (2;2;1) và AB (2;3; 1) Ta có u CD = + – = ≠ d không vuông góc với AB và [u, AB]NA = (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – = d và AB chéo - Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét điểm M d M(1 2t ; 2+2t;1 t ) , ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ Xét f t MA + MB = (2t 2)2 (2t 1)2 t (2t ) (2t 2) (t 1)2 f t = 9t 12t 9t 6t = (3t 2)2 (3t 1) Có đạo hàm f '(t ) 3t 2 3t (3t 2) (3t 1)2 3t 3t 1 3t (3t 1) f '(t ) 0 với t 2 2 3 (3t 2) 1 (3t 1) (3t 2) (3t 1) (3t 2) [(3t 1) 4] (3t 1) [(3t 2)2 1] 5 t 2(3t 2) 3t 1 2 4(3t 2) (3t 1) t 2(3t 2) 3t t Bảng biến thiên hàm số f(t) : T f’(t) - + f(t) 32 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 10/24 (11) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ t = 3 Hay với M( ; ; ) thì MA + MB đạt giá nhỏ Nhận xét: Trong dạng toán này ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm t đơn giản Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm các điểm M d1, N d2 là chân đoạn vuông góc chung hai đường trên PP chung: - Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số Lấy M d1 và N d ( tọa độ theo tham số) - Giải hệ phương trình MN.u1 và MN.u - Tìm tọa độ M, N và kết luận u ( , u là các véctơ phương d1 và d2 ) Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d1 : x-5 = y+1 = z -11 , d : x+ = y-3 = z - -1 7 1) Chứng minh d1, d2 chéo 2) Tìm điểm M d1 và N d cho độ dài MN ngắn Giải: 1) d1 qua M1(5; -1; 11), có vtcp u1 (1;2; 1) d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u (7; 2;3) Ta có [ u1, u ] M1M = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 Hay d1 và d2 chéo 2) M d1 và N d cho độ dài MN ngắn và MN là độ dài đoạn vuông góc chung d1 và d2 Phương trình tham số hai đường thẳng x t x 4 t d1: y 1 2t , d2: y 2t z 11 t z 3t M d1 nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N d nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; + 3t’) MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7) MN.u1 6t ' 6t t Ta có 62t ' 6t 50 t ' 1 MN.u Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn 21 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 11/24 (12) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x t Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M z 2 trên d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Giải: - Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên AB Tam giác MAB có diện tích S = AB.MH đạt giá trị nhỏ MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung AB và d Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0) AB qua A(1; 2; 3) và AB (0; -2;-2) = 2u1 với u1 (0;1;1) là véc tơ phương AB x Phương trình tham số AB y t ' z t ' M(2 + t; 4+ t; -2) d ,H(1; 2+ t’;3+t’) AB , MH ( -t -1; t’ – t -2; t’ +5) t ' 2t t ' MH.u Ta có 2t ' t 3 t MH.u1 Vậy M(-1; 1; -2), H(1; -1; 0) đó MH = , AB = 2 Diện tích S MAB AB.MH x Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: y t Trong các mặt cầu tiếp xúc với hai đường z t thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Giải: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d M, tiếp xúc với Ox N Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ là 2R = MN và MN nhỏ hay MNlà đoạn vuông góc chung d và Ox Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1) , Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0) [ u, i ] OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 nên d và Ox chéo Với M(0; t; 2- t) d, N(t’; 0; 0) Ox và MN ( t’; -t; t – 2) - Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 12/24 (13) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MN.u t t t Ta có t ' t ' MN.i Vậy M(0; 1; 1), N(0; 0; 0) ≡ O 1 Mặt cầu (S) có tâm I (0 ; ; ) , bán kính R = MN 2 2 1 Phương trình mặt cầu (S): x ( y )2 ( z ) 2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí đường thẳng, mặt phẳng Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A và cách B khoảng lớn PP chung: Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên mặt phẳng (α), đó tam giác ABH vuông H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α)) lớn AB A ≡ H, đó (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; 1; -2) khoảng lớn Giải: (α) cách điểm I(3; -1; -2) khoảng lớn (α) là mặt phẳng qua D và vuông góc với DI (α) nhận DI (2; 1; -5) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 2x + y – 5z + 15 = Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn Giải: Mặt cầu (S) có bán kính R = d(A; (α)) lớn (α) qua B và vuông góc với AB BA (1; 2; 2) là véctơ pháp tuyến (α) Phương trình (α): 1(x -1) + 2(y +1) +2( z – 1) = x + 2y + 2z – = 1 1 R = d(A; (α)) 3 2 2 2 Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không qua A Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α) lớn PP chung: Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc A lên ∆ Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn thì H ≡ K, đó (α) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 13/24 (14) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C khoảng lớn Giải: Mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và cách C khoảng lớn (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC) AB (1; 1; 1) , AC (2; 3; 2) (ABC) có véctơ pháp tuyến n [AB, AC] (1;4; 5) (α) có véctơ pháp tuyến n [n, AB] ( 9 6; 3) 3(3; 2;1) Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 3x + 2y + z – 11 = x y 1 z 1 x y z 1 , d2 : 2 2 4 1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với 2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) cho khoảng cách d2 và (α) là lớn Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng d1 : Giải: 1) d1 qua M1(2; 1; -1), có vtcp u1 (1;2; 2) d2 qua M2(0; 3; 1), có vtcp u ( 2; 4; 4) Ta thấy u2 2u1 và M1 d nên hai đường thẳng song song với 2) Xét(α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp tuyến n1 [ u1 , M1M ] (8; 2;6) 2(4;1;3) n Khoảng cách d2 và (α) là lớn (α) phải vuông góc với (α1) Do đó (α) nhận [u1 , n ] (8; 11; 7) là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α) qua A và cách B khoảng lớn nhất, nhỏ PP chung: Gọi H là hình chiếu B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm (α) và vuông góc với AB Gọi K là hình chiếu vuông góc B lên (α) đó d(B; (α)) = BH ≥ BK Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ K ≡ H hay ∆ là đường thẳng qua hai điểm A, K Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 14/24 (15) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = và điểm A (-3; 3; -3) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) khoảng : 1) Nhỏ 2) Lớn Giải: Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến n (2; 2;1) 1) Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên (α) x t Phương trình BH: y 2t z t Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm phương trình: 2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + + t + 15= t 2 hay H(-2; 7; 3) Ta thấy d(B; ∆) nhỏ ∆ qua hai điểm A, H AH (1; 4;6) là véc tơ phương ∆ Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3 2) Ta có: d(B; ∆) lớn ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc AB ∆ có véctơ phương u [AB, n ] (16;11; 10) Phương trình ∆: x+3 y-3 z +3 16 11 10 Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với đường thẳng d: x-3 y+2 z +5 và cách điểm D(4; -2; 1) khoảng lớn Giải: Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận u d (1;2; 3) làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm (α) Do d(D; ∆) lớn ∆ nằm (α), qua C và vuông góc với CD ∆ có véctơ phương u [CD, n ] (1; 8;5) Phương trình ∆: x-2 y+1 z -3 8 x t Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d: y z t 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua d và B 2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn 3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ Giải: 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp ud (1;0; -1) , MB (2;2;0) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 15/24 (16) SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 www.VNMATH.com [ u d , MB] (2; 2; 2) 2(1;1;1) 2n (α) qua B nhận n (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ ∆1 qua hai điểm B,H x t Phương trình tham số AH: y t z 1 t Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 4 + t + + t -1 + t – = 3t t H( ; ; ) 3 3 4 4 4 BH ( ; ; ) (2; 1; 1) u1 ∆1 nhận u1 làm véc tơ phương 3 3 Ta thấy u1 và u d không cùng phương nên d và ∆1 cắt (do cùng thuộc mp (α)) Vậy phương trình ∆1: x+1 y-2 z 1 1 3) Gọi K là hình chiếu A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn K ≡ B hay ∆2 nằm (α)và vuông góc với AB Ta có [ n , AB] (0; 4;4) 4(0;1; 1) 4u2 ∆2 nhận u làm véc tơ phương, mặt khác u và u d không cùng phương nên d và ∆2 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) x 1 Phương trình ∆2: y t z t Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý và ý ví dụ Gọi ∆ là đường thẳng tuỳý qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d điểm N(1+t, 0;-t), đó ∆ có véc tơ phương NB (2 t;2; t ) Ta có AB ( 3;1;1) , [NB, AB] (2 t;2 2t;4 t ) [ NB, AB ] 3t 10t 12 (2 t )2 (2 2t ) (4 t ) Và d(A;∆) = = t 2t NB ( t ) 2 (t ) 16t 64t 3t 10t 12 Xét hàm số f (t ) có f '(t ) , với t R t 2t (t 2t 4) t f '(t ) t 2 Bảng biến thiên f (t ) t -2 f’(t) + - + 11 f(t) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 16/24 (17) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 3 Từ bảng biến thiên ta thấy: d(A;∆) lớn 11 t = -2 N(-1; 0;2); NB (0;2; 2) 2(0;1; 1) x 1 và đường thẳng cần tìm có phương trình là: y t z t t = N(3; 0;-2); NB (4;2;2) 2(2; 1; 1) x+1 y-2 z và đường thẳng cần tìm có phương trình là : 1 1 d(A;∆) nhỏ Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm trên (α) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua A cho khoảng cách ∆ và d là lớn PP chung: Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm d với (α) Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc B lên (P) và d1 Ta thấy khoảng cách ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH lớn I ≡ H, đó ∆ có vtcp u [BI, n ] Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 , mặt phẳng (α): 2x – y – z + = và 1 điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua A cho khoảng cách ∆ và d là lớn Giải: Đường thẳng d có vtcp u (1; 2; -1), (α) có vtpt n (2; -1; 1) x t Phương trình tham số d: y 2t z t Gọi B là giao điểm d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = t = -1 B(0; 0; 4) Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d x 1 t Phương trình tham số đường thẳng d1: y 2t z t Gọi I là hình chiếu vuông góc B lên d1 Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 17/24 (18) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I(-1 + t; + 2t; – t), BI (-1 + t; + 2t;-5– t) Ta có BI.u -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = t = -1 I(-2; -1; 2) Đường thẳng ∆ có vtcp u [BI, n ] = (-5; -10; 4) nên phương trình ∆: x+1 y-1 z -1 5 10 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆ : x+1 = y = z-4 Trong các đường thẳng qua A và song song song với (P), hãy 3 viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d và ∆ lớn Giải: Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có pt: x + y – z + 2= d nằm trên (α) n u (2;1;-3), (α) có vtpt Đường thẳng ∆ có vtcp (1;1;-1) x 1 2t Phương trình tham số ∆: y t z 3t Gọi B là giao điểm ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: -1+ 2t + t – (4- 3t) + = t = 1 B(0; ; ) 2 Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ x t Phương trình tham số đường thẳng ∆1: y 1 t z 3t Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên ∆1 H(1 + 2t; -1 + t; – 3t), BH (1 + 2t; t - ; -3t) Ta có BI.u + 4t + t - + 9t = t = 28 13 43 1 ) = (26; -43; 3) = u1 BH =( ; ; 14 28 28 28 28 Đường thẳng d có vtcp u d [ u1 , n ] = (40; 29; 69) Phương trình d : x-1 y+1 z -2 40 29 69 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 góc lớn Lời giải: Vẽ đường thẳng ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 M Gọi I là điểm cố định trên ∆3 và H là hình chiếu vuông góc I lên mp(α), kẻ IJ ∆1 Góc (α) và ∆2 là góc IMH = HM MJ không đổi Trong tam giác vuông HMJ có cos IMH IM IM Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 18/24 (19) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 lớn MJ = MI hay H ≡ J, đó IMH =(∆1,∆2) và (α) là mặt Suy góc IMH góc với mặt phẳng (∆1,∆2) phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông Khi đó (α) nhận [ u 1 ,[ u 1 , u ]] làm véctơ pháp tuyến Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x-2 y+1 z-1 và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4) 1 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d góc lớn Giải: Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp u (2; 1; 1) , AB (1;1;2) => n = [u, AB ] (3; 3;3) 3(1;1; 1) Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận [ n, AB] (3; 3;0) 3(1; 1;0) làm vecto pháp tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = Khi đó cos((α),d) = 1 5 Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong các mặt phẳng qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn Giải: Mp(p) có vecto pháp tuyến n P (2; 1; 2) Xét đường thẳng d qua A và vuông góc với (P), d có véctơ phương n P (2; 1; 2) , Oy có véctơ phương j (0;1;0) nên d và Oy không song song Theo bài toán (α) tạo với trục Oy góc lớn thì (α) chứa d và vuông góc với mp(d,Oy), đó (α) nhận [ n P ,[ n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song nằm trên (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ PP chung: Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc B lên (α) và ∆ Ta có góc (d, ∆) = BAH = BH ≥ BK Do góc (d, ∆) nhỏ và sin(d, ∆) = sin BAH AB AB K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 19/24 (20) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Góc (d, ∆) lớn 900 ∆ d và ∆ có vtcp u [u d , n ] Giải: Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d: x+2 y-1 z -3 1 1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), qua A và tạo với d góc lớn 2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), qua A và tạo với d góc nhỏ (α) có vectơ pháp tuyến n (2; 2; -1) , d có vectơ ud (1;1;1) qua điểm M(-2; 1; 3) Ta thấy A (α) mặt khác n u d nên d không song song nằm trên (α) 1) ∆1 tạo với d góc lớn ∆1 d Do đó ∆1 có vectơ phương u1 [ud , n ] = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) x t Phương trình tham số ∆1: y t z 2 2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d Phương trình d1: x-1 y-2 z +2 , lấy điểm B(2; 3; -1) d1 1 x t Gọi K là hình chiếu vuông góc B lên (α) Phương trình tham số BK y 2t z 1 t Tọa độ K ứng với t là nghiệm phương trình: 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t)- (- 1- t) - = 9t + = hay t = 10 19 5 K( ; ; ) 9 9 1 13 ∆2 tạo với d góc nhỏ nó qua hai điểm A và K, AK ( ; ; ) 9 ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ phương u 9.AK (1;1;13) x-1 y-2 z +2 Phương trình ∆2 : 1 13 Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB góc nhỏ Giải: Đường thẳng d có vectơ u d (2;1;1) Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d ∆ nằm trên (α) (α) nhận u d (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = Gọi H là hình chiếu vuông góc B lên (α), BH có vectơ u d (2;1;1) Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 20/24 (21) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x 2t Phương trình tham số BH y 2 t , z t tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: 4t -2 + t + t – = 6t – = t 4 hay H( ; ; ) 3 3 4 ∆ tạo với AB góc nhỏ nó qua hai điểm A và H, AH ( ; ; ) 3 ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ phương u 3.AH (1; 4; 2) Phương trình ∆ : x-1 y z 4 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M trên (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ 2) Tìm điểm N trên (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ 3) Tìm điểm S trên (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn 4) Tìm điểm P trên (α) cho PA +2PB 4PC có giá trị nhỏ Bài 2: Cho đường thẳng d : x-2 = y + = z+2 và hai điểm A(3; 1; 1), -1 B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M trên d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho đường thẳng d : x-2 = y - = z-2 và hai điểm A(0; 1; 1), 2 B(1; 2; 3) Tìm điểm M trên d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x 3t x-1 y-2 z +1 d2 : Trong các mặt cầu tiếp Bài 4: Cho đường hai thẳng d1: y 2t z 2t xúc với hai đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình x-1 y- z +1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là 2 1 lớn Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 21/24 (22) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x t Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: y (1 m)t , với t và m là tham số z mt 1) Chứng minh họ dm luôn qua điểm cố định và nằm mặt phẳng cố định 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ 3) Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn 4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình x-3 y+2 z -1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với 1 2 trục Oy và tạo với d góc Nhỏ Lớn Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng x-1 y-2 z -3 d: Trong các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết phương 1 trình mặt phẳng (α) tạo với d góc lớn Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆ : x+1 = y = z-4 , 3 x y 1 z d1: = , d2: x+3 = y+1 = z-4 = 1 3 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong các đường thẳng qua A và nằm trên (P), hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d và ∆ lớn Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2) 1) Tìm điểm M cho MA + MB MC MD có giá trị nhỏ 2) Tìm điểm N trên mặt phẳng (ABC) cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn 3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), các đường thẳng qua D trên mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách d và trục Oz lớn Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z-3 = = 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: x-2 = y-2 = z-3 2 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 22/24 (23) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) và tạo với Oz góc lớn Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình x-1 y+1 z-1 x-2 y-1 z+3 ∆ 1: , ∆2: Trong các đường thẳng qua A và cắt ∆1 hãy = = = = 1 1 viết phương trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách ∆ và ∆2 là lớn Bài 15: Trong các mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ IV KẾT LUẬN Chuyên đề này đã thực giảng dạy tôi tham gia dạy 12NC và Luyện thi Đại học Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Dạng toán cực trị hình học giải tích không gian nói chung đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề này mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan Bằng chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy số năm, tôi đã hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Một bài toán có thể có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là việc không dễ Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm các kiến thức sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết các ví dụ, bài toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này đầy đủ hoàn thiện Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 23/24 (24) www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 V TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Đồng Hới, ngày 12 tháng 05 năm 2013 Người thực Hoàng Thị Hồng Cầm Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB Trang 24/24 (25)