BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HHGT OXYZ

Các hàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách, hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết đều là những hàm số mà học sinh có thể dễ dàn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG

Đạo hàm là một công cụ tốt cho việc giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số Các hàm số xuất hiện trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Hàm số khoảng cách, hàm số liên quan đến công thức tính góc hầu hết đều là những hàm số mà học sinh có thể

dễ dàng khảo sát và tìm cực trị của nó Khó khăn của học sinh là việc thiết lập các hàm số này

Thông qua việc giải quyết bài toán cực trị, học sinh có thêm định hướng và phương pháp giải quyết các bài toán khác của hình học giải tích Oxyz: Bài toán viết phương trình mặt phẳng, bài toán viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Nhằm giúp các em học sinh có định hướng tốt khi tìm lời giải, cũng như giải quyết được bài toán cực trị một cách trọn vẹn, rõ ràng và mạch lạc, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề:

“ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXYZ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Chuyên đề cung cấp cho học sinh một phương pháp để giải quyết bài toán cực trị trong hình học Oxyz, rèn luyện cho học sinh kĩ năng chuyển đổi bài toàn toán cực trị trong hình học sang bài toán cực trị trong giải tích Từ đó, với công cụ đạo hàm học sinh có thể giải quyết trọn vẹn bài toán cực trị Đồng thời, chuyên đề cũng nhằm giúp học sinh có thể giải quyết tốt các bài toán khác của hình học giải tích

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

+ Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán cực trị trong hình học giải tích Oxyz Từ đó, đề xuất phương

án giải quyết, tổng kết thành kinh nghiệm

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong bài toán cực trị của hình học giải tích Oxyz: Cực trị liên quan đến khoảng cách và Cực trị liên quan đến góc trong không gian Song ở đây, tôi chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán cực trị có thể giải quyết được bằng phương pháp khảo sát hàm số Trong chuyên đề, tôi tổng hợp và đúc rút những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này cho

5 Điểm mới của chuyên đề

+ Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kĩ năng dùng đạo hàm để giải quyết

bài toán cực trị trong hình học Oxyz

+ Đặc biệt, chuyên đề đã xây dựng một phương pháp giải toán hiệu quả đối với một lượng lớn các bài toán cực trị và giải quyết hầu hết các dạng toán đặt ra

+ Ngoài ra, chuyên đề còn cung cấp cho học sinh các phương pháp tiếp cận khác đối với bài toán cực trị và rèn luyện thêm cho học sinh phương pháp giải các bài toán khác của hình học giải tích (Thông qua các nhận xét sau mỗi ví dụ)

Gợi ý P 6t236t32 Đạt GTLN khi t 3 Khi đó, M  2;1;6

Bài toán 1.2 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;0;2, B  2;1;0, C0;0;3 và đường thẳng : 1

Bài toán 1.3 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;4;2, B  1;2;4 và đường thẳng

309 10

309 14



Trong bài toán 1.3, phương pháp sử dụng hàm số thể hiện rõ ràng tính hiệu quả của nó

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng :

t t

2 Bài toán trên có thể phát biểu dưới một hình thức khác như sau:

Bài toán 2.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1;5;0, B3;3;6 và đường thẳng

Bài toán 2.2 có bề ngoài không phải là bài toán cực trị

Nếu chúng ta giải quyết theo cách thông thường thì việc giải phương trình:

9t 20 9t 36t562 29

không hề dễ

Ở đây, để ý giá trị 2 29 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB thì ta sẽ có ngay t 1

nhờ việc giải bài toán cực trị trong bài toán 2.2

Ví dụ 3.(ĐH – A 2008) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

9( , ( )) 9

( 1)( , ( )) 9

2 2

( 1)( )

2 2'

Từ bảng biến thiên, suy ra d A ,   lớn nhất bằng 3 2 khi t 1 Khi đó,

AC B 4A

So sánh TH1 và TH2 ta thấy d A ,   lớn nhất rơi vào trường hợp 2 Do đó, phương trình mặt phẳng cần tìm là : x4y   z 3 0

Nhận xét

1 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng cho các bài toán viết phương trình

mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước:

Bài toán 3.1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

2 1 2

d     và điểm (2;5;3)

A Lập phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ

2 Trong bài toán này, biểu thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng mặc dù có ba

biến là A B C, , nhưng biểu thức trong căn lại có dạng đẳng cấp bậc hai, nhờ phép đổi biến t A

C

 chúng ta thu được hàm số chỉ còn một biến là t Điều này thuận

lợi cho việc khảo sát hàm số Các bài toán tiếp theo trong chuyên đề đều sử dụng được phương pháp này

Ví dụ 4 (ĐH – B 2009) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1, B1; 1;3  và mặt phẳng  P :x2y2z 5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song

với mặt phẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến

28 130 132'

112

1 Trong đáp án của Bộ GD – ĐT, bài này được giải bằng phương pháp sử dụng tính

chất hình học: “Độ dài đường xiên không nhỏ hơn độ dài đoạn hình chiếu của nó” Lời giải tương đối ngắn gọn Tuy nhiên, việc phát hiện ra điều này không hề dễ Hơn

nữa, nếu thay giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là nhỏ nhất” thành giả thiết “khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là lớn nhất” thì phương

pháp trên sẽ tỏ rõ hiệu quả

Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;0;1, B1; 1;3  và mặt phẳng

 P :x2y2z 5 0 Trong các đường thẳng đi qua điểm A và song song với mặt

phẳng  P , hãy viết phương trình đường thẳng  mà khoảng cách từ điểm B đến đường

thẳng  là lớn nhất

2 Phương pháp giải bài toán trên có thể áp dụng vào bài toán viết phương trình đường

thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước:

Bài toán 4.2 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P :x2y3z40 và điểm

0; 2;0

M  Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P , đi qua điểm M

sao cho khoảng cách từ điểm N1;2;3 đến d bằng 14

2 2 1



Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt  tại điểm B , đồng thời khoảng 1

cách giữa hai đường thẳng d và  là lớn nhất 2

Lời giải

Điểm B thuộc đường thẳng  nên tọa độ điểm B có dạng: 1 B 1 2 ; ;2t t t

VTCP của đường thẳng d là AB   1 2 ;1t  t; t

VTCP của đường thẳng  là 2 u  2; 2;1 

Ta có:  AB u,   1t;1 4 ; 6 t  t

Lấy điểm C5;0;0AC 5;1; 2 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và  là: 2

( 2)( )

Nhận xét Với bài toán này, phương pháp khảo sát hàm số có lẽ là tối ưu nhất

1.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng : 1 2

và mặt phẳng  P :x2y  z 3 0 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt 1

phẳng  P , vuông góc với đường thẳng d và cách M một khoảng nhỏ nhất

Bài 5 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;2;0, B1;2; 5  và đường thẳng

II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

2.1 Kiến thức cơ sở

Các công thức về góc trong không gian:

 Góc giữa hai đường thẳng:

.cos u u

Lại do, mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d nên 2ABC  0 C 2AB

cos

5 4 26

( 1)( )

So sánh hai trường hợp trên, suy ra cos lớn nhất bằng 3

2 , đạt được khi t 0 Khi đó,

Gọi N là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng  P Ta có phương trình:

Gọi  là giao tuyến của hai mặt phẳng  P và  Q Lấy I 1; 1;3d

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng  P và đường

thẳng  Khi đó, HK   Do đó, góc giữa hai mặt phẳng  P và  Q là góc IKH

  nên góc IKH nhỏ nhất khi K trùng N

Gọi ' là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng  P Phương trình đường thẳng

1' : 1 2

A  Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , song song với mặt phẳng

Oyz và tạo với mặt phẳng  P một góc lớn nhất

sin

t t



Xét hàm số

2 2

( 1)( )

So sánh hai trường hợp trên, suy ra sin lớn nhất bằng 2 2

3 , đạt được khi t  1 Khi đó,

Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P :xy  z 1 0 và đường thẳng

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O, song song với

mặt phẳng  P và tạo với đường thẳng  một góc nhỏ nhất

Giả sử VTCP của đường thẳng d là u1 A B C; ; 

Do hàm số y cos nghịch biến trên đoạn 0;

3.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A2;0;5, B1; 2;3  và đường thẳng

b) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và 1

tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất

III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ VÀO THỰC TẾ

Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một số vấn đề cần chú ý như sau

1/ Phương pháp sử dụng đạo hàm có giải quyết hết các bài toán cực trị của hình học giải tích không? Còn dạng toán nào mà phương pháp hàm số chưa giải quyết

được?

Mỗi bài toán đều có nhiều cách giải quyết khác nhau Phương pháp sử dụng đạo hàm chỉ cung cấp cho chúng ta một phương pháp có hiệu quả để giải quyết bài toán cực trị Trong chuyên đề còn chưa xét tới các bài toán tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn tính chất cực trị nào đó Tuy nhiên, hãy lưu ý tới những hướng giải quyết khác mà chuyên đề đã có trình bày ở mục nhận xét sau mỗi ví dụ

2/ Qui trình giải bài toán cực trị bằng phương pháp sử dụng đạo hàm là thế nào?

Qua các ví dụ cụ thể trong chuyên đề, chúng ta có thể trình bày qui trình của việc giải bài toán cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:

Bước 1 Dựa vào gia thiết bài toán thiết lập các điều kiện tương đương Từ đó, dẫn đến hàm số cần khảo sát để tìm cực trị

Bước 2 Khảo sát hàm số tìm được trong bước 1 để tìm cực trị

Bước 3 Chuyển bài toán cực trị của hàm số đã xét trở lại bài toán cực trị trong hình học

IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ

Trong chuyên đề chỉ mới đề cập đến các biểu thức thường gặp trong bài toán cực trị Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng theo hướng thay đổi các biểu thức để tìm cực trị, thay đổi các giả thiết khi viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng thỏa mãn tính chất cực trị nào đó

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã đem vấn đề trên áp dụng vào một buổi dạy tăng cường dành cho các học sinh ôn thi ĐH – CĐ Kết quả cụ thể như sau:

Nội dung kiểm tra Lớp 12B9

(Chưa được học tăng

cường)

Lớp 12B10 (Đã được học tăng cường)

Không có học sinh nào giải quyết trọn vẹn bài toán

30/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán

Trong không gian Oxyz , cho

đường thẳng

1: 22

điểm M thuộc đường thẳng

 sao cho tam giác MAB có

15/40 học sinh không xây dựng được công thức diện

tích tam giác MAB mà mất

thời gian đi tìm vị trí điểm

M từ hình vẽ

7/42 học sinh tính được diện

tích tam giác MAB theo

công thức

1

, 2

MAB

Nhưng không đưa được về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của d M AB , 

35/42 học sinh chuyển được

về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của d M AB ,  30/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán nhờ xét hàm số

46 212 686

D KẾT LUẬN

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy Về cơ bản chuyên đề hoàn thành các mục tiêu đề ra Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các Thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tiếp tục thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các bài toán nói chung và kĩ năng giải bài toán cực trị trong hình học Oxyz nói riêng

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2013

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU ………1

B NỘI DUNG ………3

I BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH………3

II BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN GÓC………13

III MỘT SỐ CHÚ Ý KHI ÁP DỤNG CHUYÊN ĐỀ……….19

IV HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA CHUYÊN ĐỀ………19

C KIỂM NGHIỆM QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY……… 20

D KẾT LUẬN……… 21