Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳngP qua một điểm vuông góc với đường thẳng.. Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT..[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP& ĐẠI HỌC Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng Kiến thức cần nhớ: n - Vectơ pháp tuyến mặt phẳng: Vectơ 0 đgl vectơ pháp tuyến mp(P) n (P) giá n vuông góc với (P), viết tắt là - Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song nằm trên mp(P) n P a, b thì mp(P) có vectơ pháp tuyến là: - Phương trình tổng quát mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A B2 C2 0 - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ pháp tuyến n P A;B;C có dạng: A x x B y y C z z 0 Cần nhớ: - moät ñieåm M(x ;y ;z ) thuoäc mp moä t VTPT n P A;B;C Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm vuông góc với đường thẳng M(x ;y ;z ) và Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) HD VTPT n P ad d Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP đt làm VTPT Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: x 1 2t y 3t z 2 Ñieåm ñi qua A(2;2-1) HD VTPT n P ad Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P ad 2; 3;0 Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 - x y z 1 0 2x 3y 0 2x 3y 0 Cần nhớ: - Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến (2) Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng x y 2 z 2 d: Ñieåm ñi qua A(2;2-1) HD VTPT n P ad Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P ad 1;2; - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x y z 1 0 x 2y 2z 0 x 2y 2z 0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC Ñieåm ñi qua B(0;2;0) HD VTPT n P AC Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P AC 2;0;2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x y z 0 x + 2z = x+z=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC B Ñieåm ñi qua B(0;2;0) HD VTPT n P BC Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P BC 0; 2;2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x y z 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB (3) Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2) HD VTPT n P AB Bài giải - Gọi (P) là mp trung trực đoạn thẳng AB I 2;2;2 - Gọi I là trung điểm AB - Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P AB 2;2;2 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x y z 0 y+4+2z=0 y+2z+4=0 Cần nhớ: Mp trung trực đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB trung điểm I đoạn thẳng AB Kiến thức cần nhớ: - Trục Ox có VTCP là i 1;0;0 - Trục Oy có VTCP là j 0;1;0 k 0;0;1 - Trục Oz có VTCP là n i, j k 0;0;1 - Mp (Oxy) có VTPT: n i, k j 0;1;0 - Mp (Oxz) có VTPT: n j, k i 1;0;0 - Mp (Oyz) có VTPT: Bài 5: Cho điểm M(1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P i 1;0;0 Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có VTPT là - n P i 1;0;0 Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y z 0 x-1=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P j 0;1;0 Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P j 0;1;0 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 (4) x 1 1 y z 3 0 y-2=0 Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P k 0;0;1 Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P k 0;0;1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y 1 z 0 z =0 k Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z ) VTPT n P AB,AC HD Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Ñieåm ñi qua A HD AB,AC VTPT n P Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0) - - n P AB,AC Mặt phẳng (P) có VTPT là AB 1;1;0 Với AC 1;0;1 n P AB,AC 1;1;1 Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 1 y 1 z 0 x y z 0 x y z 0 Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN) HD Ñieåm ñi qua O, VTPT n P OM,ON Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P OM,ON (5) - OM 1;1;1 Với ON 1; 1;1 n P OM,ON 2;0; Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x y z 0 x 2z 0 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua điểm song với mp(Q) M(x ;y ;z ) và Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) HD VTPT n P nQ Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0 Ñieåm ñi qua A(1;2;3) HD VTPT n P n Q Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3) - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P n Q 2;2;1 - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y 1 z 3 0 x 2y z 0 x 2y z 0 Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC) Ñieåm ñi qua M HD VTPT n n P ABC AB,AC Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - - n P AB,AC Mặt phẳng (P) có VTPT là AB 1;1;0 AB,AC 1;1;1 n P Với AC 1;0;1 Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 1 y 1 z 0 x y z 0 x y z 0 n ABC AB,AC Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy) song (6) Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P i, j k 0;0;1 Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) - n P i, j k 0;0;1 Mặt phẳng (P) có VTPT là Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y 1 z 3 0 z-3=0 Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz) - Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P i, k j 0;1;0 Bài giải Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) n i, k j 0;1; Mặt phẳng (P) có VTPT là P Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 1 y z 3 0 y-2=0 Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz) - Ñieåm ñi qua M(1;2;3) HD VTPT n P j,k i 1;0;0 Bài giải Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) n P j, k i 1;0; - Mặt phẳng (P) có VTPT là - Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y z 0 x-1=0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q) Ñieåm ñi qua A HD AB,n Q VTPT n P Bài 1: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0 Ñieåm ñi qua A HD VTPT n P AB,n Q Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1) - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: (7) AB 1; 2;5 n Q 2; 1;3 - : n AB,n Q 1;13;5 Mặt phẳng (P) có VTPT là P Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 3 13 y 1 z 1 0 x-13y-5z+5=0 Bài 2: Viết pt mp(P) qua điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy) Ñieåm ñi qua A VTPT n P AB, k Bài giải HD - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1) - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: AB 1; 2;5 k 0;0;1 - n AB,k Mặt phẳng (P) có VTPT là P =(-2;1;0) Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 3 1 y 1 z 1 0 x+y+5=0 Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz) Ñieåm ñi qua O HD VTPT n P OA,i Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0) - Hai vectơ không cùng phương có giá song song nằm trên (P) là: OA 1;1;1 i 1;0;0 - n OA,i Mặt phẳng (P) có VTPT là P =(0;1;-1) Pt mp(P) : A x x B y y C z z 0 x 1 y 1 z 0 y-z=0 Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng Kiến thức cần nhớ: - Vectơ phương đường thẳng là vectơ có giá song song với đường thẳng trùng với đường thẳng - Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z ) có vectơ phương ad a; b;c : Có pt tham số: x x at y y bt z z ct (8) Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B Ñieåm ñi qua A HD VTPT aAB AB AB Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ phương là vectơ Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4) Ñieåm ñi qua A HD VTPT aAB AB Bài giải - Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3) - a Đường thẳng AB có vectơ phương là: AB AB =(1;-1;1) x x at x 1 t y y bt y 2 t z z ct z 3 t - Pt tham số AB là: Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG Ñieåm ñi qua O HD VTPT a OG OG Bài giải - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0) - Đường thẳng OG có vectơ phương là: aOG OG =(2;3;4) x x at x 0 2t x 2t y y bt y 0 3t y 3t z 0 4t z 4t - Pt tham số OG là: z z ct Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ phương là OG Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) Ñieåm ñi qua M HD VTPT a d n P Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0 (9) Ñieåm ñi qua M HD VTPT a d n P Bài giải - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad n P =(1;-2;-1) x x at x 1 t y y bt y 2 2t z z ct z 3 t - Pt tham số d là: Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT mp là VTCP Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC) Ñieåm ñi qua O VTPT a n d ABC AB,AC Bài giải HD - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0) - ad n ABC AB,AC Đường thẳng d có vectơ phương là: =(1;1;1) x x at x t y y bt y t z z ct z t - Pt tham số d là: Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy) Ñieåm ñi qua M VTPT a d i, j k Bài giải HD - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) - Đường thẳng d có vectơ phương là: ad k =(0;0;1) x x at x 1 y y bt y 2 z z ct z 3 t - Pt tham số d là: (10)