Từ việc ứng dụng định lí thực tế đơn giản: Nếu tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnh đó hay hình thang nội tiếp được trong một đường[r]
(1)MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP A - ĐẶT VẤN ĐỀ + Khi học tứ giác nội tiếp và các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, học sinh thường không biết vận dụng lợi ích tứ giác nội tiếp để giải số yêu cầu đề bài đặt Lợi ích việc chứng minh tứ giác nội tiếp đóng vai trò là đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung hình học lớp Đa số các em biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp ,còn việc vận dụng nó để giải số yêu cầu khác đề bài thường các em không thành thạo +Trong PPCT, học sinh học vỏn vẹn có tiết + tiết ôn tập chương chính vì mà số lợi ích việc chứng minh tứ giác nội tiếp sách giáo khoa đưa vài ứng dụng đơn giản đó là: Tính số đo góc, chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai đường thẳng song song, các đường thẳng đồng qui với các bài tập đơn giản Do đó , với các đề toán yêu cầu vận dụng cao ứng dụng tứ giác nội tiếp các em thường vấp phải và không giải yêu cầu đề bài các kì thi thi học kì II, thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên, thi vào lớp chọn đầu năm vào lớp 10 + Chính vì lí trên, đợt sinh hoạt cụm lần này tổ toán trường chúng tôi đưa chuyên đề : Một số ứng dụng tứ giác nội tiếp để các thầy cô cụm chúng ta cùng tham khảo, góp ý cho chuyên đề hoàn thiện B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I Nhắc lại số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc a B A B A M M D Hình 1a C D Hình 1b C Tứ giác ABCD có AC và BD cắt điểm M bên hay bên ngoài đường tròn và MA MC = MB MD thì ABCD là tứ giác nội tiếp Sau chứng minh tứ giác nội tiếp, cho tứ giác nội tiếp, thông thường đề bài thường có câu hỏi mà học sinh biết vận dụng tứ giác nội tiếp thì giải dễ dàng - (2) II Một số lợi ích việc vận dụng tứ giác nội tiếp sách giáo khoa qua tiết luyện tập và ôn tập Sách giáo khoa toán tập phần hình học đã đưa số ứng dụng đơn giản tứ giác nội tiếp đó là: + Tính số đo góc (bài tập 53,55,56 SGK trang 89) + Chứng minh hai đoạn thẳng (bài tập 59 SGK trang 90) + Chứng minh hai đường thẳng song song (Bài tập 60 trang 90 , Bài tập 15 trang 136) + Chứng minh các đường thẳng đồng qui (Bài tập 54 SGK trang 89) + Chứng minh tia phân giác góc (bài tập 97 tr 105) + Dùng tứ giác nội tiếp để xác định tâm đường tròn qua các đỉnh tứ giác, tam giác (bài tập 58 trang 90 SGK) 1) Dạng 1: Tính số đo góc Từ việc ứng dụng định lí thực tế đơn giản: Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn thì tổng số đo hai góc đối diện 1800 sách giáo khoa đưa các bài toán vận dụng đơn giản (bài 53, 55) đến bài toán phức tạp (Bài 56 ) tiết luyện tập Dạng toán Vận dụng lợi ích tứ giác nội tiếp để tính số đo góc từ sách giáo khoa Ví dụ (bài tập 56, tr.89 SGK) Xem hình 47 Hãy tìm số đo các góc tứ giác ABCD Phân tích: Rõ ràng học sinh phát các tam giác AED và ABF tam giác 0 biết góc đó biết tổng hai góc còn lại, A + D 140 và A + B 160 , và hiển nhiên thì B + D 180 , làm nào để biết quan hệ các góc B và D với các góc E và F Như việc ứng dụng tứ giác nội tiếp cần khai thác thêm mối quan hệ các B và D E F với các góc và qua việc vận dụng tính chất góc ngoài tam Egiác với hai góc đối đỉnh đỉnh C thì giải bài toán cách dễ dàng 40 Lời giải: Đặt BCE = DCF x Áp dụng tính chất góc ngoài tam giác ta được: Mà B ABC x 400 và ADC x 200 ABC + ADC 1800 x C (do ABCD nội tiếp) x 40 x 20 180 Suy 0 x 600 O A ABC 1000 , ADC 800 , BCD 1200 , BAD 600 Từ đó tính Với bài toán này có thể khai thác cách giải khác cách vận dụng định lí tổng ba góc tam giác cùng với định lí tổng các góc đối tứ giác D 20 Hình 47 F x y 1800 nội tiếp để đưa về hệ x y 20 với x, y là số đo hai góc B và D tứ giác ABCD 2) Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Từ việc ứng dụng định lí thực tế đơn giản: Nếu tứ giác nội tiếp đường tròn thì góc ngoài đỉnh góc đối đỉnh đó hay hình thang nội tiếp đường tròn thì hình thang đó cân , SGK đưa bài tập chứng minh hai đoạn thẳng Ví dụ Cho hình bình hành ABCD Đường tròn qua ba đỉnh A, B,AC cắt đườngB thẳng CD P khác C Chứng minh AP = AD C A B P Phân tích: Với bài toán này học sinh có thể không D sử dụng kiến thức tứ giác nội tiếp giải được, Tuy nhiên có thể vận dụng lợi ích tứ giác D C P hình 2a hình 2b (3) nội tiếp để chứng minh AD = AD 3) Dạng 3: Chứng minh hai đoạn thẳng song song Vận dụng tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đường thẳng song song qua bài tập 60 trang 90 SGK Ví dụ Xem hình 48 chứng minh QR // ST (Bài tập 60 tr 90) Phân tích: Q Chỉ cần phát các tứ giác nội tiếp các đường tròn cách nối dây cung chung các đường tròn (O 1) S O1 và (O2); (O2) và (O3) thì việc ứng dụng lợi ích tứ giác nội B tiếp thấy rõ ràng R Lời giải: Các tứ giác STAI, APBI, BQRI nội tiếp từ đó suy I O3 O2 S A , A1 B1 và B1 R Từ đó S R => đpcm T A P hình 48 sgk 4) Dạng 4: Chứng minh nhiều đường thẳng đồng qui Lợi ích việc chứng minh tứ giác nội tiếp ta có thể suy các đường trung trực các đường trung trực các dây cùng qua điểm từ bài tập sách giáo khoa Ví dụ (bài tập 54 trang 89 SGK) A B Tứ giác ABCD có ABC ADC 180 Chứng minh các đường trung trực AC, BD, AB cùng qua điểm O Phân tích: Lợi dụng điều kiện ABC ADC 180 để suy tứ giác ABCD D C nội tiếp đường tròn (O) Từ đó suy các đường trung trực AC, BD, AB cùng qua O, đó là điều phải chứng minh hình 5) Dạng 5: Xác định tâm đường tròn qua bốn đỉnh tứ giác nội tiếp: Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm 1 DCB = ACB D cho DB = DC và a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp b) Xác định tâm đường tròn qua bốn điểm A, B, D, C 6) Dạng 6: Chứng minh tia phân giác góc: Lợi ích việc chứng minh tứ giác nội tiếp , chứng minh tia phân giác góc từ bài tập sách giáo khoa Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S Chứng minh rằng: a) ABCD là tứ giác nội tiếp b) ABD ACD c) CA là tia phân giác góc SCB Phân tích: Từ đề bài có thể xảy với hai vị trí điểm S A S D D A M S M C B B - C Hình 4a Hình 4b (4) S nằm A và D (hình 4a) D nằm A và S (hình 4b) - a) Tứ giác ABCD nội tiếp BAC BDC 90 b) Thấy ABD ACD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung) c) + Vận dụng thêm tứ giác MSDC nội tiếp để chứng minh ACB ACS (cùng SDM ) (hìn 4a) từ đó suy đpcm + Vận dụng thêm tứ giác MDSC nội tiếp để chứng minh ACB ACS (cùng ADM ) (hìn 4b) từ đó suy đpcm III Một số lợi ích việc vận dụng tứ giác nội tiếp khác sách giáo khoa mức độ khó: 1) Dạng 7: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ các đường cao BD, CE tam giác ABC Chứng minh AO vuông góc ED Phân tích: Bài toán có nhiều cách giải, khai thác tốt việc ứng dụng tứ giác nội tiếp thì có nhiều hướng giải khác thể qua hình 5a, 5b, 5c y A A A x D K E D O E C B Hình 5a N O B / M \ D E O B C M C Hình 5c Hình 5b Dạng 8: chứng đường thẳng qua điểm cố định, đường tròn qua điểm cố định, Ví dụ Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A và C Một đường tròn (O) thay đổi qua B và C Vẽ đường kính MN vuông góc với BC D (M nằm trên cung nhỏ BC) Tia AN cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là F Hai dây BC và MF cắt E a) Chứng minh tứ giác DEFN nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng MF qua điểm cố định đường tròn (O) thay đổi Phân tích: Tứ giác DEFN nội tiếp cho ta kết quen thuộc N AD AE = AF AN và có AF AN = AB AC => AD AE = AB AC AB.AC Từ đó AE = AD không đổi => E cố định F O Ví dụ Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính (C khác O) Điểm M E A D C B chuyển động trên đường tròn Đường vuông góc với AB M C cắt MA, MB theo thứ tự E và F Chứng minh đường tròn Hình E ngoại tiếp tam giác AEF luôn qua điểm cố định khác A Phân tích: Chỉ cần đặt giao điểm đường tròn (AEF) với đoạn thẳng AB là K Sử dụng tứ giác nội tiếp AEFK , chứng M F A Hình O K C B = FKB minh FBK (cùng AEC ) => Tam giác FKB cân Từ đó sử dụng tính chất tam giác cân => K là điểm cố định IV Kết luận: Sử dụng tứ giác nội tiếp để giải vấn đề khác đặt theo yêu cầu chứng minh hình học vô cùng phong phú và đa dạng và tương đối khó các kì thi Chuyên đề này nêu vài ứng dụng , đó chắn không (5) tránh khỏi thiếu sót, mong các trường dự sinh hoạt cụm chuyên môn lần này, trường đóng góp dạng toán ứng dụng tứ giác nội tiếp để chuyên đề trở thành kho tư liệu bổ ích cho các đồng nghiệp giảng dạy Xin chân thành cảm ơn - hết Tiết 49 Tuần :28 LUYỆN TẬP Soạn: 27.2-14 Dạy : 10.3.14 I/ MỤC TIÊU : - Củng cố định nghĩa, tính chất và cách chứng minh tứ giác nội tiếp - Rèn kĩ vẽ hình, chứng minh, sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp để tính góc tứ giác và số bài tập có liên quan - Giáo dục tính linh hoạt và sáng tạo giải bài toán hình học II/ ĐỒ DÙNG DẠY HỌC : (6) GV : Thước, compa, bảng phu (hay Projecter)û bút dạ, phiếu học tập HS : Thước, compa, bảng nhóm III/ TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: Kiểm tra bài cũ: - Nêu định nghĩa vă tính chất tứ giác nội tiếp.Trả lời bài tập 57/89 SGK Bài : HOẠT ĐỘNG THẦY VÀ TRÒ HĐ 1) HS hoạt động nhóm em (5’) để lăm băi tập 56 /89 SGK -GV giao phiếu học tập cho câc nhóm vă gợi ý: Gọi sđ B C^ E = sđ D C^ F = x (hoặc sđ B ^A D=x ) Tìm mối liên hệ DC với x để tính x vă A B^ C ; A ^ suy các góc tứ giác ABCD ? E 40o B x C x .O A Bài 56 / 89 SGK : tứ gíac ABCD nội tiếp => · · ABC + ADC = 180O · · = 40O + x và ADC = 20O + x (góc Mà ABC ngoài tam giác) 40o + x + 20o + x = 180o x = 60o · ABC = 40o + x = 100o · ADC = 20o + x = 80o · BCD = 180o x = 120o · · BAD = 180O - BCD = 60O 20 D GHI BẢNG o F Bài 58/90: 1· · Sau 5’ mời nhóm lín bảng trình băy DCB = ACB gt ABC đều; DB=DC; GV yíu cầu HS câc nhóm khâc nhận xĩt kl a) Tứ giác ABDC nội tiếp kết lăm băi HS b) Xác định tâm đường tròn (ABDC) GV đânh giâ kết Chứng minh: HĐ 2) Bài 58 tr 90 SGK ¶ ¶ a) ABC đều=> B1 = C = 60 GV hướng dẫn HS vẽ hình và ghi GT;KL 1· · DCB = ACB A H:Để c/m t/g ABDC nội tiếp ta cần c/m điều gì? =300 Tính các góc ACD;ABD suy điều cần c/m O HĐ 3) Bài 59 tr 90 SGK - HS đọc đề vă nêu GT;KL B C - GV hướng dẫn HS vẽ hình - GV HD Chứng minh AP = AD D GV: nhận xét gì hình thang ABCP ? - HS: hình thang ABCP là hình thang cân - GV: Tìm cách chứng minh khác? DB=DC=>DBC cân, - GV chốt lại các cách chứng minh ¶ = C¶ = 300 B tứ giác nội tiếp : => 1) Tứ giác có tổng hai góc đối diện · · 180o thì nội tiếp đường tròn => DCA = DBA = 90 (7) 2) Tứ giác có góc ngoài góc đỉnh đối diện thì nội tiếp đường tròn 3) Tứ giác có hai đỉnh kề cuing nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại hai góc thì nội tiếp đường tròn 4) Tứ giác là Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông thì nội tiếp đường tròn HĐ 4) Dặn dò : Nếu còn thời gian thì GV hướng dẫn bài 60/90 sgk - Giải các bài tập 39,40,41,42/79 SBT -Đọc trước §8: Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp - Ôn lại tính chất đa giác (lớp 8), cách vẽ tam giác đều, hình vuông, lục giác đều; tỉ số lượng giác các góc 45o, 30o, 60o · · + DBA = 180 => DCA Vậy tứ giác ABDC nội tiếp b) Vì DBA vuông B nội tiếp đường tròn nên đường kính là AD và tâm O là trung điểm AD Bài 59/90: A B D P C ❑ ❑ C1: Ta có D = B (tính chất h.b.h) ❑ ❑ Có P1 + P2 = 180o ( kề bù) ❑ ❑ + P2 = 180o (tính chất tứ giác nội tiếp) ❑ ❑ ❑ P1 = B = D ADP cân AD = AP ❑ ❑ -C2: Hình thang ABCP có A = P1 = ❑ B nên là hình thang cân => AP = BC = AD B (8)