Trong điều kiện có thể được, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp giải từng loại dạng, Cụ thể, sau khi học sinh đã học hết chương các phép tính về phân thức đại số ở lớp 8, giáo[r]
(1)Chuyên đề “KHAI THÁC MỘT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC THÀNH NHIỀU DẠNG TOÁN KHÁC NHAU” I ĐẶT VẤN ĐỀ: Xuất phát từ mục tiêu giáo dục là “Nâng cao dân trí, phát và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước” Theo đó, Phòng giáo dục Huyện nhà đã tích cực tổ chức đạo công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm cách thường xuyên và đặn Các trường THCS lấy đó là yếu tố cấu thành thương hiệu nhà trường Việc bồi dưỡng học sinh giỏi các trường cho học sinh là việc làm thường xuyên các khối lớp 6,7,8,9 Tuy nhiên vì nhiều lí khách quan và chủ quan người dạy cuối cùng khối lớp vất vả lẽ học sinh bị hỏng khá nhiều các kiến thức và chuyên đề Xuất phát từ sở lí luận dạy học: Các em học sinh khá giỏi phổ thông hầu hết đã nắm chương trình phổ thông SGK Qua đó dạy nâng cao việc khai thác vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác nhằm giúp các em hệ thống kiến thức, biết rõ cội nguồn các dạng toán, giúp các em hệ thống và nhớ lâu, hiểu sâu toán học phổ thông, có tảng xử lí các đề thi học sinh giỏi Hơn chúng tôi thiết nghĩ việc cung cấp kiến thức theo chương trình SGK là hình thức bổ ngang kiến thức Chúng ta dạy Toán cho học sinh theo chuyên đề là hình thức bổ dọc có mãnh kiến thức cắt nhỏ dễ tiêu hóa Xuất phát từ phương pháp dạy học cổ truyền và đại, chúng ta nhận thấy giáo viên có sử dụng phương pháp nào thì cái đích là tạo đối tượng người học có đủ khả phân tích, tổng hợp các kiến thức toán học với tư logic cao, có khả vận dụng kiến thức và các phương pháp tích lũy quá trình bồi dưỡng để giải các bài toán từ dễ đến khó cách nhanh chóng Chuyên đề sử dụng sơ đồ tư giúp học sinh biết phân tích vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác với các mức độ khác Đây là quá trình phân tích vấn đề còn quá trình ngược lại là học sinh phải biết tổng hợp các vấn đề đã học, xâu thành chuổi để tạo nên các dạng bài tập mang tính tổng hợp từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp Xuất phát từ đặc trưng phân môn đại số: Hình thành cho học sinh nhiều dạng bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, biết bài tập giải xuất phát từ kiến thức nào đã học Qua đó giúp học sinh thấy mối quan hệ logic toán học, giúp các em dễ nhớ và nhớ lâu Biết vận dụng các bài toán phụ, các bài toán gốc, các bài toán áp dụng tính chất, định lí từ quan hệ xa đến quan hệ gần (2) II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: A Bổ sung, hoàn chỉnh mạch kiến thức loại : Các em đã tiếp thu chương trình phổ thông Tuy nhiên đối tượng học sinh có chênh lệch, có em chưa lần vận dụng Khi dạy đến loại dạng toán chúng ta cần hệ thống kiến thức Qua đó giúp các em có đủ sở để giải toán, dễ tiếp thu hơn, cùng làm cho các em tăng vốn tích lũy kiến thức toán học Ví dụ dạy phương trình tích, kiến thức nhắc sơ qua là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Kế theo bổ sung đẳng thức, đẳng thức mở rộng (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Sau đó bổ sung các tính chất tính lũy thừa a2 = b2 ⇔ a = b a3 = b3 ⇔ a = b Mở rộng cho lũy thừa bậc chẵn và bậc lẻ Các nguyên tắc toán học khác phải hình thành cho các em như: Nguyên tắc tổng các bình phương a 0 ⇔ b 0 a2 + b2 = Nguyên tắc đối lập f(x) m f(x) = g(x) = m g(x) m Các bài toán phụ hình thành Ví dụ: a + b + c = → a3 + b3 + c3 = 3abc Hằng đẳng thức mở rộng: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b) Hoặc dạng giải hệ phương trình, giáo viên cung cấp hệ thức Viet có x1; x2 mà x1+ x2 = S; x1 x2 = P thì số x1; x2 là nghiệm phương trình t2 - St + P = Các tính chất phương trình vô tỉ: g( x) 0 2k f(x ) g( x ) 2k f ( x ) g( x ) * f ( x ) 0 2k f(x ) 2k g( x ) g( x) 0 f ( x ) g( x ) * 2k+1 2k +1 f(x ) g( x ) f ( x ) g( x ) * với k N* Trên sở các tính chất áp dụng cho hệ phương trình B Các dạng bài tập cần khai thác: (3) Khai thác bài tập thành nhiều bài tập khó hơn: Trên sở cùng dạng bài tập ta biết cách khai thác bài toán trở nên phức tạp 1 Ví dụ 1: Từ phương trình: x x 18 Học sinh giải nhanh chóng, đây là dạng bài tập Cho học 1 1 sinh giải tiếp phương trình x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ 1 1 1 Sau đó sai phân: x x x x x x 18 1 Thu gọn: x x 18 Vídụ2: Tính tổng: S= + 1 + + + x + x x +3 x+ x +5 x +6 x + 99 x+ 9900 Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ 1 1 1 Sau đó sai phân: S= x − x+ + x+1 − x +2 − x +2 + x +99 − x +100 1 100 Thu gọn: S= x − x+ 100 = x ( x+100 ) Ví dụ 3: Giải phương trình: 1 + + = 10 x −7 x+ 10 x −13 x +40 x −19 x +88 Hướng giải Gợi ý học sinh biết phân tích mẫu thành nhân từ 1 Sau đó sai phân: ( x −2 ) ( x −5 ) + ( x − )( x −8 ) + ( x −8 )( x −11 ) =10 ⇔ − 1 − = (Học sinh tự giải) x −2 x −11 10 ( ) Sử dụng bài toán phụ bài toán gốc để giải bài toán mới: Đây là phương pháp rèn tính sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh thấy mối quan hệ kiến thức đã học và vận dụng nó toán học Hơn kiểm tra độ nhạy, tính sáng tạo học sinh Ví dụ 1: Từ bài toán phụ cho a + b + c = 0; chứng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc Cho học sinh giải phương trình: (x2 - 5x + 1)3 + (3x - x2)3 + (2x - 1)3 = Hướng giải quyết: Đặt a x x 1 b 3 x x a b c 0 c 2 x (4) → a3 + b3 + c3 = 3abc a 0 b 0 Mà a3 + b3 + c3 = → 3abc = → c 0 (HS tự chứng minh) x x 0 (1) (2) 3 x x 0 2 x 0 (3) → Giải các phương trình (1); (2); (3) ta có kết bài toán Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (*) Hướng giải sử dụng đẳng thức: (a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a + b) (*) ⇔ [x2 + (-3x + 2)]3 - [(x2)3 - (-3x + 2)3] = ⇔ 3x2 (-3x + 2) (x2 - 3x + 2) = ⇔ 3x2 (-3x + 2) (x - 1) (x - 2) = x 0 x ⇔ x 1 x 2 Ví dụ 3: Cho HS giải bài toán gốc: Giải phương trình x3 - x2 - x = Đây là bài toán hay Thoạt đầu các em thường nhầm lẫn bài toán đơn giản là phân tích nhân từ để đưa phương trình tích không phải phương trình này không có nghiệm hữu tỉ Như các giải riêng biệt Lời giải: ⇔ 3 x -x -x= 3x3 – 3x2 – 3x – = ⇔ 4x3 – x3 – 3x2 – 3x – = ⇔ 4x3 – (x + 1)3 = ⇔ 4x3 = (x + 1)3 ⇔ x = (x + 1) ⇔ x x ⇔ x x 1 ⇔ x 1 (5) 41 Từ bài toán trên cho HS giải tiếp phương trình: 2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + = Hướng giải quyết: 2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + = ⇔ 2010x3 – (x – 1)3 = ⇔ 2010x3 = (x – 1)3 ⇔ x 3 ⇔ x 2010 x 1 ⇔ x 2010 x ⇔ x 2010 1 x 2010 Các bài toán sử dụng tương tự bài toán gốc trên Giải phương trình: x4 = 4x + x4 = 8x + Thêm bớt để xuất dạng: a2 = b2 ⇔ a = b x y a xy b Ví dụ 4: Từ bài toán gốc: Hệ này giải nhanh cách sử dụng hệ thức Viet đảo x y 1 5 Ta đưa thêm bài toán giải hệ phương trình: x y 31 Hướng giải quyết: Đặt x + y = u; xy = t t1 t 3 → u = và t2 – t – = ó u1 1 u 1 ; t t 3 Từ đó có hệ: x y 1 xy → Hệ cho nghiệm (-1; 2); (2; -1) x y 1 xy 3 → Hệ vô nghiệm Một bài toán xuất phát từ gốc bài toán trên x 1 y 1 8 x 1 y 1 6 Giải hệ: ⇔ (6) Đặt X = x –1; Y = y – Hệ trở thành: {XY=8 X +Y =6 từ đó tìm (x; y) Ví dụ 5: Xuất phát từ bài toán gốc có a2 + b2 = → 1 1 (1) x y z 2 4 (2) xy z Cho HS giải hệ: a 0 b 0 Sơ lược cách giải: 1 1 ⇒ 4 x y z Từ (1) 1 1 ⇔ xy z x y z ⇔ 1 2 2 2 2 2 x y z xy yz xz xy z ⇔ 1 1 0 xz z y yz z x 2 1 1 ⇔ 0 x z y z 1 x z ⇔ z óx–y=-z y x y z Thế vào ta có nghiệm: Khai thác bài tập từ tổng hợp các đơn vị kiến thức: Sau hoàn thành kiến thức chương nhiều chương, giáo viên phải xây dựng các dạng bài tập tổng hợp gom các đơn vị kiến thức đã học nhằm phục vụ cho việc giải bài tập Từ đó giúp học sinh biết hệ thống kiến thức và tổng hợp kiến thức để giải bài tập cách nhanh chóng Có thể (7) sử dụng dạng toán này các lớp cao Trong điều kiện có thể được, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp giải loại dạng, Cụ thể, sau học sinh đã học hết chương các phép tính phân thức đại số lớp 8, giáo viên có thể xây dựng thêm dạng bài tập với nội dung: Tìm các giá trị nguyên biến để biểu thức có giá trị nguyên Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho dạng: P ( x ) =A ( x ) + m R ( x) với m∈ Z ❑ Lí luận: P ( x ) ∈ Z ⇔ R ( x )=U ( m) Ư Giải các phương trình R ( x ) =m1 ; R ( x )=m2 … Với m1 , m2 ∈U ( m ) Ví dụ: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau là số nguyên: A= x+1 x −1 Biến đổi biểu thức đã cho dạng: A=2+ x − x − 1=± ⇔ x=0 ; x=2 ; x=4 ; x =−2 x − 1=± A∈Z⇔¿ Từ ví dụ trên giáo viên xây dựng các bài toán cùng yêu cầu trên với mức độ khó Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau là số nguyên: B= x3 − x 2+ x +6 x +1 Hướng dẫn giải: Biến đổi biểu thức đã cho dạng: B=( x +1 ) + x +1 x+ 1=± ⇔ x=0 ; x=2 ; x=4 ; x =−6 x+ 1=± B∈Z⇔¿ Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau là số nguyên: C= x −4 x2 +5 x +1 x − x +1 Hướng dẫn giải: Biến đổi biểu thức đã cho dạng: C=x − 2+ ( x − )2 ( x − )2=1 ⇔ x=0 ; x=2 ( x − ) =3 C ∈Z ⇔¿ Giáo viên có thể phát triển bài toán trên cho học sinh giỏi lớp sau: Tìm giá trị nguyên x để giá trị các biểu thức sau là số nguyên: (8) x +1 √ x −3 x − x + ( −2 x ) √ x a P= √ b R= E= √ x+ √ x − + √ x − √ x − 16 1+ + x x (√ x − 1) 2.Tìm giá trị nguyên x > để giá trị biểu thức sau là số nguyên: √ Khai thác các dạng bài tập từ chủ đề chương trình bồi dưỡng HSG: Ngoài việc khai thác các dạng bài tập trên, ta còn phải khai thác bài tập theo chủ đề việc bồi dưỡng học sinh giỏi Có nhiều chủ đề đây minh họa chủ đề toán định tham số m phương trình bậc hai ẩn Trước hình thành các dạng bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh hệ thống kiến thức có liên quan việc giải các dạng bài tập Phải biết xếp và phân loại bài tập từ dễ đến khó, có bài tập tương tự để học sinh tự giải CÁC DẠNG TOÁN ĐỊNH m TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC Hệ thống kiến thức cần nắm - Cho học sinh nhắc lại dạng tổng quát phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = (a 0) = b2 - 4ac ' Hoặc = b’2 - ac a) Phương trình bậc có nghiệm ⇔ 0 b) Phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > c) Phương trình bậc có nghiệm kép ⇔ = d) Phương trình bậc có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0 ⇔ P e) Phương trình bậc có hai nghiệm cùng dấu 0 ⇔ P S f) Phương trình bậc có hai nghiệm cùng dương g) Phương trình bậc có hai nghiệm cùng âm 0 ⇔ P S 0 P 1 ⇔ h) Phương trình bậc có hai nghiệm nghịch đảo i) Phương trình bậc có hai nghiệm khác ⇔ a + b + c (9) j) Phương trình bậc có hai nghiệm khác không ⇔ c Các dạng bài tập Dạng 1: Định m với khả hữu nghiệm số Ví dụ 1: Cho phương trình bậc 2: x2 - 2x + m - = Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Giáo viên hỏi: Học sinh các hệ số a, b, c phương trình Nhận xét hệ số a = Nhận xét b chẵn hay lẻ ' Lập = - m ' Lý luận PT có nghiệm kép = ó - m = ó m=2 ' b Tính nghiệm kép x1 = x2 = a = Cùng với đề ví dụ giáo viên nêu tiếp: Định m để phương trình có nghiệm phân biệt ' > ó - m > ó m < Định m để phương trình vô nghiệm ' < ó - m < ó m > Ví dụ 2: Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 + 2(m + )x + m + = Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Gợi ý giải: ' = (m +3)2 - (m - 1)(m + 5) = 2m + 14 Phương trình có nghiệm phân biệt a 0 m 0 ⇔ ' ó 2m 14 m ⇔ m Vậy: m -3; m > -7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Cho phương trình: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = m Với giá trị nào m thì phương trình đã cho có nghiệm phân biệt Gợi ý giải: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = m (x2 + 2x)(x2 + 2x - 8) = m (1) 2 Đặt y = x + 2x + = (x + 1) (10) (1) ⇔ (y - 1)(y - 9) = m ⇔ y2 - 10y + - m = (2) ' = 16 + m; P = - m’; S = 10 PT đã cho có nghiệm phân biệt 0 16 m 0 m 16 S 9 m m P m 16 Bài tập tự giải: Cho phương trình bậc hai: x2 - 10x + 3m + = (m: tham số) a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt x 1; x2 b) Tìm điều kiện m để x1 và x2 dương Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Cho phương trình: x4 - 4x3 + 8x + m = Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt (Hướng dẫn: Đưa dạng (x2 - 2x)2 - 4(x2 - 2x) + m = 0, đặt y = (x - 1) 0) DẠNG 2: ĐỊNH m LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC NGHIỆM VÀ CỰC TRỊ I Kiến thức bổ sung: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0) Có hai nghiệm x1; x2 Không giải phương trình hãy tính các biểu thức sau theo hệ số a; b; c 3 a x + x e x1 x 2 b x1 x2 2 c x1 x f x1 - x2 3 g x1 x (Với x1 > x2) (Với x1 < x2) 1 x1 x x x x d h x1 Giáo viên hướng dẫn học sinh tính các biểu thức nghiệm trên Giáo viên kiểm tra lại: b a x1 + x2 c x1 x2 a (11) b2 c b 2ac 2 x12 x 22 = (x + x )2 - 2x x a a a2 2 1 x1 x b x1 x x 1x c b b 2ac a a a2 c x13 x 32 = (x + x )( x12 x 22 - x x ) 2 x12 x 22 2x1x |x1 - x2| = b 2ac c b 4ac a2 a a2 Nếu x1 > x2 => x1 - x2 = 2 x13 x 32 =(x x )( x1 x +x x2 ) = - b 4ac b 2ac c a2 a2 a x1 x x12 x 22 b 2ac a(b 2ac) c x x1 x1 x c a II Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + m2 - m - = a) Tìm m để phương trình đã cho có tích hai nghiệm 37 b) Với giá trị nào m thì biểu thức E = x + x2 - x1x2 đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó Hướng dẫn giải: ' Câu a: Cho học sinh lập = m + ' Điều kiện 0 ⇔ m + ⇔ m -5 Lập x1x2 = m2 - m - Theo đề ta có: m2 - m - = 37 ⇔ m2 - m - 42 = m 7 ⇔ m Kết hợp với điều kiện ta chọn m = Câu b: Học sinh khác lập E = x1 + x2 - x1x2 = -(m2 - 3m - 5) 29 29 m 2 Đưa dạng: E = 29 ⇔ Emax = m = (thỏa mãn điều kiện m -5) Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x - 2mx + 2m - = (12) 1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x = ' Hướng dẫn: Lập = m2 - 2m + = (m - 1)2 + > m Do x1; x2 => 2m - => m 1 1 x x1 x1 x x1 x = 2m ⇔ 2m = m = (nhận) Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x + (m + 1)x + m = a Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm với m 2 b Tìm m để F = x1 x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó ⇔ Hướng dẫn: a) Lập = m2 - 2m + = (m - 1)2 Phương trình luôn có nghiệm với m b) Ta có: x1+ x2 = - m - x1.x2 = m 2 F = x1 x = (x1+ x2)2 - 2x1.x2 = (- m - 1)2 - 2m = m2 + Fmin = ⇔ m = Ghi nhớ: ' o Lập đặt điều kiện để phương trình có nghiệm o Xác lập biểu thức nghiệm theo yêu cầu đề o Lập phương trình theo m o Giải và đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm (Vận dụng bài toán tìm cực trị tam thức bậc 2) Bài tập tự giải: Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 - = a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm b) Tìm m để A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn Tìm giá trị đó Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - = Tìm m để 3 phương trình có hai nghiệm x ; x thỏa mãn | x1 x | = 50 DẠNG 3: ĐỊNH m ĐỂ BIỂU THỨC NGHIỆM THỎA MÃN BẤT ĐẲNG THỨC I Kiến thức bổ sung: Tam thức bậc 2: ax2 + bx + c = (a 0) ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1; x2 là nghiệm tam thức (x1 < x2) Nếu a > => ax2 + bx + c > ⇔ x < x1 x > x2 (13) Nếu a < => ax2 + bx + c < ⇔ x2 > x > x1 Ví dụ: 3x2 - 2x - < ⇔ x 1 ⇔ 3x2 - 2x - x x Tính chất giá trị tuyệt đối: |A| < m mà m > => m > A > -m |A| > m mà m > => A < -m A > m Cách giải các bất phương trình bậc và xét dấu nhị thức II Các bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình bậc hai: 3x2 - mx + = 2 Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x < Hướng dẫn: o Lập = m2 – 24 ĐK: ⇔ m2 - 24 ⇔ m2 24 ⇔ m m 2 2 o Xác lập biểu thức: x1 x = (x1+ x2)2 - 2x1.x2 2 m m 12 m 2 3 9 = m 12 1 Từ đó suy ra: m2 - 12 < ⇔ m2 < 21 ⇔ 21 m 21 (loại) Vậy: Không tìm m thỏa mãn đề bài Bài 2: Cho phương trình: x2 - 5x + m = Tìm m để phương trình có hainghiệm x1; x2 thỏa mãn bất đẳng thức: 1 + − >2013 x x x x2 Hướng dẫn: 25 ĐK: 0 ó 1 x x1 x x x x x x m m 2 m 2 Theo đề ta có: m >2013 ⇔ m −2013>0 ⇔ −2013 m > ⇔0<m< m 2013 (14) Kết hợp với ĐK: m 25 25 m Ta suy ra: < Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 +mx + = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 nghiệm đúng bất đẳng thức 2 x1 x 7 x x1 (1) Theo định lý Viet ta có: x1 x m x1x 1 x x x x ⇔ 7 x x1 x x1 (1) x x ⇔ 3 x x1 2 ⇔ ( x1 x )2 > 32 (vì x x = 1) 2 2 ⇔ x1 x > (vì x1 x 0 ) S2 - 2P > m2 - > m2 > ⇔ m > m < - ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn ĐK m 2 m - 2) Vậy: m > m < - Bài 4: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm thỏa mãn -2 < x < Hướng dẫn: ' Lập = m2 - (m2 - 1) = > m Suy PT có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với x1 = m + 1; x2 = m Để các nghiệm thỏa mãn -2 < x < ta phải có: m m 1 m m m Bài 5: Cho phương trình bậc hai: (m + 1)x2 - 2mx + m + = Định m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn: Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nhỏ ⇔ x1 x2 < (15) a 0 ' 0 x1 x ó m 0 m (m 1)(m 5) 0 (x1 2)(x 2) > (x1 2) + (x 2) < m m m 4m m m 1 2m m Vậy: m < -9 -1 < m m m m m m m m 5 1 m 5 Bài tập tự giải: Cho phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ 2 Cho phương trình: (|m - 2009| + |m - 2010|)x2 - x - = Tìm các giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm x 1; x2 mà tích chúng đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giả sử x1; x2 là nghiệm phương trình x2 + 2kx + = Tìm tất 2 x1 x 3 x x các giá trị k cho có bất đẳng thức DẠNG 4:TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ HAI NGHIỆM THỎA MÃN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p; q biết phương trình có x1 x 5 x1 x 32 35 hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn giải: Lập = p2 - 4q ĐK: 0 ⇔ p2 4q (1) x1 x p x x q (2) Định lý Viet cho ta: (3) x1 x 5 x1 x 32 35 (4) Theo giả thiết: (16) 5 p (5 p) Từ (1) và (3) x1 = và x2 = Thay x1; x2 vào (2) tính p - 4q = 25 (5) 3 2 Từ (4) ta có: x1 x = 35 ⇔ (x1 - x2)( x1 x + x1x2 ) = 35 ⇔ 5(p2 - q) = 35 ó p2 - q = (6) Từ (5) và (6) ta có hệ sau: q p 4q 25 q p 1 q p q 7 p 1 p Thử lại với điều kiện cặp giá trị (p;q) thỏa mãn Vậy: ( p = 1; q = -6) và (p = -1; q = -6) Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x2 + mx + n = x1 x 1 x x 32 7 Tìm m, n biết hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ: Hướng dẫn giải: Cho học sinh giải tương tự trên Giáo viên kiểm tra và nhận xét Đáp số: (m = 3; n = 2) và ( m = -3; n = 2) Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 5x + m = x1 x 1 x x 32 27 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn Hướng dẫn giải: = 25 - 4m 25 ⇔ ĐK: 0 m Theo đề ta có: x13 x 32 27 (1) (2) x1 x 1 x x 5 (3) ⇒ Từ (2) và (3) => x1 = 3; x2 = Thay x1; x2 vào (1) thỏa mãn c Lại có: x1x2 = a = m ó 2.3 = m (thỏa mãn ĐK) Vậy: m = (17) Bài 4: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2mx + (m - 1)3 = Xác định m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, đó nghiệm bình phương nghiệm còn lại Hướng dẫn giải: ' Lập = m2 - (m - 1)3 ' ĐK: > ⇔ m2 - (m - 1)3 > (*) Giả sử phương trình có hai nghiệm là t, t thì ta có: t t 2m (1) (2) t t (m 1) Từ (2) => t = m - Thay vào (1) ta (m - 1) + (m - 1)2 = 2m ⇔ m2 - 3m = ⇔ m = m = Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện (*) ứng với t = -1 và t = DẠNG 5: TÌM m KHI HAI PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM CHUNG Bài 1: Cho hai phương trình x2 + x + a = 0; x2 + ax + = Tìm các giá trị a hai PT trên có ít nghiệm chung Hướng dẫn giải: Giả sử hai phương trình đã có nghiệm chung x = x0 Ta có: x + x + a = (1) x + ax + = 0 Lấy (2) trừ cho (1) ta được: (a - 1)x0 + - a = (2) a 1 x 1 (a - 1) (x0 - 1) = Nếu a = hai phương trình đã cho trở thành x2 + x + = vô nghiệm Nếu x0 = hai phương trình đã cho trở thành x2 + x - = và x2 - 2x + = x 1 ⇔ x và x = Suy nghiệm chung là x = Vậy: Hai phương trình có ít nghiệm chung và a = -2 Bài 2: Cho hai phương trình x2 - (2m +3)x + = và 2x2 + x + m - = Tìm m để hai phương trình đã cho có đúng nghiệm chung Hướng dẫn giải: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung ⇔ ⇔ (18) x2 - (2m +3)x + = (1) 2x + x + m - = (2) Thay m = -2x - x + vào (1) ta 4x3 + 3x2 - 7x + = ⇔ (x +2)(4x2 - 5x + 3) = ⇔ x = -2 => m = -1 Thay m = -1 ta (1) và (2) có nghiệm chung là x = -2 m = -1 Bài tập tự giải: Bài 1: Tìm giá trị m để hai phương trình: x2 + x + m - = và x2 + (m - 2)x + = có nghiệm chung Bài 2: Cho phương trình: x2 - ax + a - = có hai nghiệm x1; x2 3x12 3x 22 2 a) Tính giá trị biểu thức: A = x1 x + x x1 2 b) Tìm a để B = x1 x đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2(m +1)x + 2m + 10 = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x 2 x x1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 nghiệm đúng bất đẳng thức x1x2 - 2(x1 + x2) Bài 4: Cho PT bậc 2: x2 - (2m - 1) + m2 -m - = có hai nghiệm x1x2 2 a) Tìm m để x1 x = b) Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 Bài 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m - = a) Với giá trị nào m thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương III KẾT LUẬN: Việc khai thác vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác là việc làm công phu và tùy theo trình độ học sinh và yêu cầu kì thi mà giáo viên linh hoạt soạn hệ thống bài tập mức độ thích hợp để học sinh dễ tiếp thu Nên nhiều bài tập tương tự để học sinh tự giải và rèn luyện kỉ nhạy bén Chuyên đề này có thể áp dụng khai thác phân môn hình học, số học tạo thành tập tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Trên đây là số kinh nghiệm đã đúc kết thời gian giảng dạy Chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp chân thành quý đồng nghiệp, chân thành cảm ơn./ Người thực hiện: Phan Văn Thông (19) Tổ toán tin trường THCS Lê Quý Đôn Tháng 03 năm 2013 (20)