Qua phần trình bày trên đây, ở nhiều bài tập: giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhiều hàm số, giải bất đẳng thức…chúng ta thấy được việc sử [r]
(1)MỤC LỤC
Nội dung Trang
Mục lục
1.Tóm tắt đề tài
2 Giới thiệu
2.1 Lí chọn đề tài
2.2 Giải pháp thay 3
2.3.Vấn đề nghiên cứu 3
2.4 Giả thuyết nghiên cứu 3
3 Phương pháp 3
3.1 Khách thể nghiên cứu 4
3.2 Thiết kế nghiên cứu 4
3.3 Quy trình nghiên cứu 4
3.3.1 Giai đoạn 4
3.3.2 Giai đoạn 21
3.4 Đo lường 21
4 Kết 21
5 Bàn luận 22
6 Kết luận – Khuyến nghị 22
7 Tài liệu tham khảo 23
8 Kế hoạch dạy thực nghiệm “Sử dụng biệt thức Delta vào giải một số dạng toán”
(2)Chuyên đề
SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA VÀO GIẢI TỐN 1 Tóm tắt chun đề
“ Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục quốc sách hàng đầu” chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng Nhà nước ta; khẳng định tầm quan trọng giáo dục đất nước; lẽ giáo dục đóng vai trị định đến thành cơng cơng xây dựng đất nước, xây dựng CNXH
Đặc biệt giai đoạn phát triển khoa học công nghệ nay, trình độ tri thức người phát triển rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập người dân, nguồn lực phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học nhân dân Vì dạy học người giáo viên cần phát triển học sinh “ những lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn nhận vấn đề góc độ khác Tìm tịi cũ mới” Để phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh người giáo viên phải đặt học sinh vào tình có vấn đề tạo cho em thách thức trước vấn đề
Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai nội dung bản, quan trọng chương trình đại số
Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải số dạng toán khác nào? Điều nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đề
cập Song trình thực cịn tùy thuộc vào trình độ học sinh điều kiện giáo viên Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều, việc thử nghiệm nội dung giảng dạy không nhằm rút kinh nghiệm cho thân mà làm sở thực tiễn để đồng nghiệp bàn luận nhằm xây dựng phương án giảng dạy thích hợp Việc xây dựng chuyên đề chuyên mơn cần thiết nhằm hệ thống hóa tập phương pháp giải giúp học sinh nắm kiến thức sâu rộng chắn Trong vấn đề “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán” chuyên đề mà thân cố gắng lựa chọn phân loại tập để chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh trực tiếp giảng dạy Trong chuyên đề xin phép giới thiệu số dạng tập quen thuộc thường xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện…Trong q trình giảng dạy tơi tiếp tục thu thập tài liệu dạng toán tập phong phú giải sử dụng Delta để chuyên đề thêm phong phú sâu rộng
2 Giới thiệu.
2.1 Lý chọn đề tài.
(3)thức bậc hai có dạng:
- Giải phương trình hệ phương trình có nhiều ẩn số - Giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên - Chứng minh bất đẳng thưc
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị hàm số…
Đây nội dung khó chương trình tốn Khi giải tập dạng học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc dẫn đến khơng hứng thú, em chưa tìm phương pháp thích hợp Mặt khác cơng cụ giải tốn cịn nhiều hạn chế Khơng mà giáo viên xem nhẹ dạng mà giáo viên cần phải đâu, dẫn dắt để em khơng ngại Chính vậy, giáo viên cần đưa em từ toán đơn giản đến phức tạp hệ thống câu hỏi thích hợp
Trong chương trình tốn THCS có nhiều dạng tập liên quan đến sử dụng biệt thức delta , xong đưa vào số tập điển hình Tơi nghĩ q trình giảng dạy vận dụng biệt thức Delta chất lượng học sinh tốt nhiều
2.2 Giải pháp thay thế:
Để Giáo viên học sinh nắm dạng toán biết thêm nhiều tập “Sử dụng biệt thức Delta vào giải toán”
Để tất em học sinh có điều kiện nắm chức cách “Sử dụng biệt thức Delta vào giải tốn”.
Tạo khơng khí thi đua học tập sơi hơn, giáo dục cho em ý thức tự vận dụng kiến thức học vào thực tế công việc ứng dụng thành khoa học đại vào đời sống
Tạo nguồn HSG cho năm tiếp sau
2.3.Vấn đề nghiên cứu.
Từ việc nghiên cứu vấn đề, giúp thân phát phương pháp hay có hiệu để vận dụng vào trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nhằm đạt kết cao
2.4 Giải thuyết nghiên cứu
Trong mơn tốn có nhiều dạng tập giải cách sử dụng biệt thức Delta Tuy nhiên chuyên đề đưa số tập thuộc dạng sau
- Giải phương trình hệ phương trình có nhiều ẩn số - Giải phương trình nghiệm nguyên
- Chứng minh bất đẳng thức
- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị…
(4)3.1 Khách thể nghiên cứu
Giáo viên: Hà Minh Tâm – giáo viên trường THCS Chấn Hưng trực tiếp nghiên cứu áp dụng
Nhóm học sinh lớp 9A Trường THCS Chấn Hưng - Huyện Vĩnh Tường -Tỉnh Vĩnh Phúc
3.2 Thiết kế nghiên cứu
-Thời gian nghiên cứu: Hai năm học kì năm học thứ ba Bắt đầu từ năm học: 2015-2016
Kết thúc học kì I năm học: 2016-2017
- Đúc rút phần kinh nghiệm qua đồng nghiệp thân tìm hiểu tham khảo nhiều tài liệu liên quan sách, mạng internet, đề thi cấp
3.3 Quy trình nghiên cứu
3.3.1 Nghiên cứu dạng toán
Xuất phát từ toán gốc:
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1)
Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2 – 4ac ≥ ( ∆’ = b’2 - ac ≥ )
*/ Các dạng toán:
Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN
Để giải toán dạng học sinh thường phân tích vế trái thành nhân tử đưa vế trái thành tổng bình phương cịn vế phải 0, hay phương pháp loại trừ…Các phương pháp học sinh biến đổi thường gặp nhiều khó khăn dẫn đến toán bế tắc Nhưng sử dụng biệt thức Delta việc giải tốn trở nên dễ dàng
Bài tốn 1: Giải phương trình
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = (1)
Cách 1: Ta phân tích vế trái thành tổng bình phương 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = 0
(x2 + y2 + – 2xy + 2x – 2y ) + (x2 – 4xy + 4y2 )= (x – y + 1)2 + (x – 2y)2 =
x – y + = x – 2y = Tìm (x, y)
+ Phương pháp nhiều thời gian tốn công để nhẩm, ghép số hạng cho trở thành bình phương tổng
+ Nhằm khắc phục khó khăn giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hướng để giải tốn tiết kiệm nhiều cơng sức
(5)ẩn y
Cách 2: Sử dụng biệt thức Delta
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = 0
5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + = (2)
(2) phương trình bậc hai ẩn y có: ∆’ = (3x + 1)2 – 5(2x2 + 2x + 1)
= 9x2 + 6x + – 10x2 – 10x – 5
= - x2 – 4x –
= -(x + 2)2 ≤
(2) có nghiệm x + = x = -2
Thay x = - vào (1) y = -1
Cách 3: Để giải toán (1) ta cịn biến đổi (1) dạng phương trình bậc hai ẩn với ẩn x, sử dụng biệt thức Delta để giải
* Như ta sử dụng công cụ biệt thức Delta để giải phương trình nhanh hơn, đồng thời học sinh dễ hiểu áp dụng tốt
Ta xét toán
Bài toán 2: Giải hệ phương trình
¿
x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1) 4x2+4 xy+y2−2x − y −56=0(2)
¿{
¿
Hệ phương trình nhiều ẩn khơng phải hệ bậc nhất, khơng học sinh lúng túng để tìm cách giải Nhiều học sinh phân tích, nghĩ đến phương pháp cộng thế.Tuy nhiên việc làm nhiều thời gian, gây khó khăn khó nhớ Nếu hướng dẫn học sinh sử dụng biệt thức Delta hầu hết em giỏi đưa phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn x ẩn y để áp dụng Delta
Giải:
¿
x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1) 4x2+4 xy+y2−2x − y −56=0(2)
¿{
¿
Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) dạng phương trình bậc hai với ẩn x
x2
(6) x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 =
∆ = (1- 4y)2 – 4(4y2 – 2y - 2)
= – 8y + 16y2 – 16y2 + 8y + 8
=
x1=2y −2
¿
x2=2y+1
¿ ¿ ¿ ¿
Tương tự ta đưa PT (2) dạng phương trình bậc hai với ẩn x 4x2
+4 xy+y2−2x − y −56=0
4x2 + 2(2y - 1)x + y2 – y -56 =
∆’ = (2y - 1)2 – 4(y2 – y - 56)
= 4y2 – 4y + – 4y2 + 4y + 224 = 225 = 152
x3=8− y
¿
x4=−7− y
¿ ¿ ¿ ¿
Để (x;y) nghiệm hệ
x1=x3
¿
x1=x4
¿
x2=x3
¿
x2=x4
¿ ¿ ¿ ¿
Giải ta có nghiệm hệ phương trình : (2,8; 2,4) ; (-3,2; -0,6)
(3,4; 1,2) ; (-2,6; -1,8)
Một số tập tương tự:
Giải phương trình hệ phương trình sau:
(7)2) x2 – 4xy + 5y2 – 2y + = 0
3)
¿
x2−4 xy+y2=1 y2−3 xy=4
¿{
¿
4)
¿
x+y+z=√3 x2
+y2+z2=1
¿{
¿
Xuất phát từ toán (2) ta đặt tốn
Bài tốn 3:Tìm nghiệm ngun hệ phương trình
¿
x2
+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1)
x2
+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2)
¿{
¿
HS lúng túng gặp phải dạng tốn giải hệ phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên với việc sử dụng biệt thức Delta giải tốn học sinh dễ dàng nhớ phương pháp giải toán nhanh gọn
Giải:
¿
x2
+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1) x2
+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2)
¿{
¿
Xét phương trình (1), ta đưa phương trình (1) dạng phương trình bậc với ẩn x
x2+4y2+x −4 xy−2y −2=0(1) x2 + (1- 4y)x + 4y2 – 2y -2 =
∆ = (1- 4y)2 – 4(4y2 – 2y - 2)
= – 8y + 16y2 – 16y2 + 8y + 8
=
x1=2y −2
¿
x2=2y+1
¿ ¿ ¿ ¿
(8)Tương tự đưa phương trình dạng phương trình bậc hai với ẩn x
x2+y2+2 xy−2x −2y+1=0(2) x2 + 2(y - 1)x + y2 – 2y + =
∆’ = (y - 1)2 – y2 + 2y – =
x3 = x4 = – y
Để hệ phương trình có nghiệm x1 = x3 = x4 x2 = x3 = x4
Ta được: (x; y) = (1; 0) (x; y) = (0; 1) nghiệm nguyên hệ phương trình cho
+ Tiếp tục khám phá ta thấy biệt thức Delta có ứng dụng để giải phương trình nghiệm ngun
Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
PHƯƠNG PHÁP:
Ta viết phương trình f(x,y,z,…) = dạng phương trình bậc hai với ẩn đó(ẩn x) ẩn lại coi tham số (y,z,…là tham số)
Để phương trình bậc hai có nghiệm ngun ta cần điều kiện:
¿
a ≠0 Δ≥0 Δ=k2 k∈N
¿{ { {
¿
Bài tốn 4:Tìm nghiệm ngun phương trình 2x2 + xy + y2 – = (1)
HS giải toán giống toán
Giải:
Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆ = y2 – 8(y2 - 4)
= - 7y2 + 32 ≥ 0
7y2 ≤ 32 y2 ≤
Vì y Z y = 0; ± 1; ±
Với y = -2 thay vào (1) ta 2x2 – 2x = 0
(9)
x=0
¿
x=1
¿ ¿ ¿ ¿
Với y = -1 x = -1 x = 3/2 (loại)
Với y = x = ± √2 (Loại)
Với y = x = x = 3/2 (loại)
Với y = x= hoặcx = -1
Đáp số: (0; -2) ; (1; -2) ; (-1; -1); (1; 1); (0;2); (-1;2) nghiệm nguyên phương trình (1)
Bài tốn 5:Tìm nghiệm ngun phương trình: x2 + 2x – 4y2 + = (1)
Giải:
Để phương trình (1) có nghiệm thì: ∆’= + 4y2 –
= 4(y2 - 2) ≥0
y2 ≥ |y|≥√2
Đến học sinh thấy bế tắc không đưa kết
GV hướng dẫn học sinh: để phương trình có nghiệm ngun ngồi điều kiện ∆’ ≥ ta cần thêm điều kiện ∆’ số phương
4(y2 – 2) phải số phương
∆’ = 4y2 – = k2 ( k N)
4y2 – k2 =
( 2y – k )(2y + k) =
Vì 2y – k + 2y + k = 4y số chẵn nên 2y – k 2y + k tính chẵn, lẻ Và ( 2y – k )(2y + k) = ( chẵn ) nên 2y – k 2y + k chẵn
¿
2y − k=2 2y+k=4
⇒ ¿y=3
2 k=1
¿{
¿
(10)Hoặc
¿
2y − k=−2 2y+k=−4
⇒ ¿y=−3
2 k=−1
¿{
¿
(loại)
Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun
Từ tốn ta thấy vai trị biệt thức Delta vô quan trọng Khi giải em phải xem xét tình xảy ra, cần vận dụng kiến thức cách linh hoạt
Một số tập tương tự:
Tìm nghiệm nguyên phương trình sau
1) 4xy – y + 4x – = 9x2
2) x2y2 – y2 – 2y + = 0
3) y2 – 2xy + 5x2 = x +1
4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1)
* Trở lại với toán
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = (1)
Bây ta thay hạng tử tự PT (1) số tốn
Bài tốn 6:Giải phương trình
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + = (2)
HS giải tương tự toán
Giải:
Biến đổi PT (2) dạng phương trình bậc hai ẩn y 5y2 – 2(3x + 1)y + 2x2 + 2x + = (2’)
∆’ = (3x + 1)2 – 5(2x2 + 2x + 2) = 9x2 + 6x + – 10x2 – 10x – 10
= - x2 – 4x – = - (x + 2)2 – < 0
Vì ∆’< nên PT (2’) vơ nghiệm Vậy PT (2) vô nghiệm
Không dừng lại đó, sử dụng biệt thức Delta cịn giúp ta giải số tốn cịn khó thường xuyên xuất câu khó đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi khảo sát đội tuyển đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào trường chuyên, lớp chọn chứng minh bất đẳng thức
Dạng 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1)Cho tam thức bậc hai
(11) f(ax)=x+b a x+
c a=(x+
b 2a)
2 −b
2 −4 ac 4a2 =(x+
b 2a)
2 − Δ
4a2 ì Nếu ∆ < f(ax) > f(x) dấu với a
Nếu ∆ = f(ax) = (x+ b 2a)
2
≥ f(x) dấu với a (trừ x =
− b 2a )
Nếu ∆ > f(ax) = (x – x1)(x – x2) Giả sử x1 < x2 f(x) trái dấu với a x1 < x < x2
hoặc f(x) dấu a x < x1 x > x2 2) Cho tam thức bậc hai
f(x) = ax2 + bx + c (a >0)
+ f(x) ≥ với x R ∆ = b2 – 4ac ≤ 0
+ f(x) ≥ với x ≥
¿xct≤0(b ≥0) f(0)≥0(c ≥0)
¿ ¿ ¿
xct≥0(b ≤0)
¿
f(xct)≥0(Δ≤0)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vận dụng kiến thức ta giải tốn sau: Ta xét toán
Bài toán 7:
Chứng minh bất đẳng thức:
5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y + > với (x,y)
Vận dụng kết toán học sinh dễ dàng giải toán 7:
Giải:
Đặt f(y) = 5y2 – 6xy + 2x2 + 2x – 2y +
Ta có ∆’ = - (x+2)2 – < với x
(12)Qua toán ta thấy biệt thức Delta lại có vai trị quan trọng việc chứng minh bất đẳng thức
Bài toán 8:
Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0
Dấu “=” xảy nào? Khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài toán lớp em học sinh giỏi chứng minh, ta chứng minh cơng cụ biệt thức Delta
Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc dạng 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0
Đặt f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2
Ta có ∆’ = b2 + 2bc + c2 – 2(b2 + c2 ) = - (b - c)2 ≤ 0
Nếu ∆’ = - (b - c)2 = b = c tam thức bậc f(a) có nghiệm
Trong tam thức f(a) có hệ số a = > f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ với
mọi a, b, c
Dấu đẳng thức xảy a = b = c tam giác ABC tam giác
Bài toán 9:
Cho số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: p2 + q2 > a2 + b2 + c2 + d2
Chứng minh rằng:
(p2 – a2 – b2)(q2 – c2 – d2) ≤ (pq – ac - bd)2 Giải:
Từ giả thiết suy : (p2 – a2 – b2) + (q2 – c2 – d2) >0
p2 – a2 – b2 > q2 – c2 – d2 >
+ Nếu p2 – a2 – b2 > 0, suy p ≠ , xét tam thức bậc hai
f(x) = (p2 – a2 – b2 )x2 – 2(pq – ac - bd)x + q2 – c2 – d2
= p2x2 – 2pqx + q2 - [(a2
+b2)x2−2(ac+bd)x+c2+d2] = (px –q)2 – (ax - c)2 – (bx - d)2
Tại x = qp ta có f( qp ) = −(aq p − c)
2 −(bp
p −d)
≤0
Do: p2 – a2 – b2 > theo định lý đảo tam thức bậc hai, tam thức f(x) có
nghiệm, đó:
(13)Ta điều phải chứng minh
+ Nếu q2 – c2 – d2 > 0, suy q ≠ 0, xét tam thức bậc hai
f(x) = (q2 – c2 – d2 )x2 – 2(pq – ac - bd)x + p2 – a2 – b2
= (qx - p)2 – (cx - a)2 – (dx - b)2
Và có f(p
q)≤0⇒Δ
'≥0
ta điều phải chứng minh
Bài toán 10:
Cho a, b, c dương :
Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc +1 ≥ 2(ab + bc + ca)
Đây toán tiêu biểu cho bất đẳng thức khơng khơng có điều kiện HS lúng túng khó có PP giải
GV hướng dẫn đưa tam thức bậc hai ẩn a
Giải:
Đặt f(a) = a2 + 2(bc – b - c)a + (b – c)2 +1
∆’ = (bc – b - c)2 – (b - c)2 – 1
= bc(b – 2)(c – 2) – + Nếu bc – b – c ≥ đpcm
+ Nếu bc – b – c ≤ (b - 1)(c - 1) ≤
- Có hai số b, c lớn 2, số lại nhỏ Ta thấy ∆’≤
- Cả hai số b, c nhỏ Theo AM-GM ta có b(2 - b) ≤ 1; c(2 – c) ≤ => ∆’≤
Vậy BĐT chứng minh
Bài toán 11: Chứng minh bất đẳng thức:
x2 + 5y2 + 2z2 – 4xy - 2yz - 2z +1 ≥ với x, y, z
Với kiến thức có sẵn học sinh khơng bất ngờ trước tốn 11, học sinh giải toán cách đơn giản
Giải:
Đưa vế trái dạng tam thức bậc hai với ẩn x f(x) = x2 – 4xy + 5y2 + 2z2 – 2yz -2z +
∆’ = 4y2 – 5y2 – 2z2 + 2yz + 2z –
= - (y - z)2 – (z - 1)2 ≤ với y, z
f(x) ≥ với x, y, z ( điều phải chứng minh)
Ta giải tốn nhiều cách khác
(14)nhu cầu giải tốn với mức độ khó Ta xét toán sau:
Bài toán 12: Cho đẳng thức:
x2 – x + y2 – y = xy (1) Chứng minh rằng: (y - 1)2 ≤
3 ; (x - 1)2 ≤
( Có thể học sinh cho toán lạ giải gặp nhiều khó khăn )
GV hướng dẫn học sinh biến đổi toán 12 dạng quen thuộc
Giải:
Đưa đẳng thức (1) dạng phương trình bậc ẩn x x2 – x + y2 – y = xy (1)
x2 – (y + 1)x + y2 – y =
∆ = (y +1)2 – 4(y2 – y)
= - 3y2 + 6y + 1
Để PT bậc hai có nghiệm ta phải có ∆ ≥ tức 3y2 – 6y – ≤
3y2 – 6y + ≤ 3(y - 1)2 ≤
Do vai trò x y đẳng thức (1) Vậy ta có: (x - 1)2 ≤
3 Bài 13:
Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = xy – x + 2y Chứng minh rằng; −2√3
3 ≤ x ≤ 2√3
3
Giải: Ta có x2 + y2 = xy – x +2y y2 – (x + 2)y + x2 + x = (*)
Ta xem (*) phương trình bậc hai ẩn số y Phương trình (*) có nghiệm khi:
∆ = (x + 2) 2 – 4(x2 + x) ≥ 0
3x2 ≤ x2 ≤ 43 −23√3≤ x ≤23√3
Bài 14:
(15)ỹx3≤125 64 Giải:
+ Nếu x = y = 0, ta có: x3 = < 125
64 (đúng)
+ Nếu x > 1, ta có: y2
√x −1+√x −1=y √x −1 y2− y+√x −1=0 (*)
Xem (*) phương trình bậc hai với ẩn số y Phương trình (*) có nghiệm khi:
∆ ≥ – 4(x -1) ≥ – 4x + ≥ x ≤ 54
Với ≤ x ≤ 54 x3 ≤ 12564
Bài 15: Cho số thực x, y, z ≠ thỏa mãn điều kiện:
¿
x+y+z=xyz x2=yz
¿{
¿
Chứng minh rằng: x2 ≥ 3. Giải:
Ta có:
¿
x+y+z=xyz x2=yz
¿{
¿
¿
y+z=xyz− x=x3− x yz=x2
¿{
¿
Vậy số y, z nghiệm phương trình: t2 - (x3 - x)t + x2 = (*)
Do tồn x, y, z thỏa mãn u cầu tốn nên phương trình (*) có nghiệm
∆ = (x3 - x)2 – 4x2 ≥ (1 – x2)2 ≥ (do x ≠ 0)
1− x2≤ −2
¿
1− x2≥2
¿ ⇔x2≥3
¿ ¿
(16)biểu thức |x − y| Giải:
Đặt A = x – y y = x – A Ta có:
9x2 + y2 =
9x2 + (x - A)2 = 10x2 – 2Ax + A2 – = (*)
Do tồn x, y, z thỏa mãn yêu cầu toán nên phương trình (*) có nghiệm
∆’= -9A2 + 10 ≥ 9A2 ≤ 10 A2 10
9 ⇔|A|≤
√10
Dấu “=” xảy
9x2+y2=1
10(x − y)=x
⇔ ¿9x2+y2=1
y=−9x
⇔ ¿ ¿
x= 3√10 y= −3
√10
¿ ¿ ¿
x= −1 3√10
¿
y=
√10
¿ ¿
Vậy: max |x − y|=√10 Bài 17:
Cho a, b hai số thỏa mãn a2 + 4b2 = Chứng minh rằng
|a − b|≤√5 Giải:
Đặt a – b = x => a = x + b Thay a = x + b vào a2 + 4b2 = ta được:
(17)Xem (*) phương trình bậc hai ẩn b Phương trình (*) có nghiệm ∆’ ≥ - 4x2 + ≥ x2 ≤
4⇔|x|≤
√5
Vậy |a − b|≤√5
Các tập tương tự
1) Chứng minh với a, b, c ta có
a a4+b2+c2≥ab−ac+2 bc
b a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c
2) Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [−1;2] thỏa mãn a + b + c = 0
Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6
3) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)
b a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
* Nhận xét : từ toán 11ta khai thác đặt toán
Bài toán 18: Tìm GTNN biểu thức
A = x2 + 5y2 + 2z2 – 4xy - 2yz - 2z + 1(1)
Giải:
(1) A = x2 – 4xy + 5y2 + 2z2 – 2yz - 2z +
∆’ = 4y2 – 5y2 – 2z2 + 2yz + 2z – 1
= -(y - z)2 – (z - 1)2 ≤ với y, z
A ≥ với x, y, z
A = x = 2, y = z =1
Từ toán 13 ta đặt toán thú vị sau:
Bài tốn 19: Tìm giá trị lớn của
(18)Bài toán sử dụng kiến thức lớp nhiều em giỏi biến đổi phân thức tìm GTLN B Tuy nhiên giải biệt thức Delta tốn trở nên đơn giản nhanh chóng nhiều, nhiều em HS trung bình làm
Giải:
Biến đổi biểu thức dạng phương trình bậc hai ẩn x, xem B tham số
B= x x2
+1
(x2 + 1)B = x
Bx2 – x + B = (1)
- Nếu B = x =
- Nếu B ≠ ta có : ∆ = – 4B2
Để B có GTLN phương trình (1) phải có nghiệm x
∆ ≥ – 4B2 ≥ B2 ≤ 14 −12≤ B ≤12
Vậy maxB = 12 x =
* Như khám phá ta lại thấy biệt thức Delta cịn ứng dụng để giải tốn tìm GTLN, GTNN, tìm miền giá trị hàm số
Dạng 4: TÌM GTLN, GTNN, TÌM MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
PP chung để giải:
- Giả sử cho trước hàm số: y = f(x) ta xét phương trình f(x) = a Phương trình có nghiệm a thuộc miền giá trị hàm số Như ta chuyển toán dạng tam thức bậc hai, cơng cụ để giải biệt thức Delta
Bài tốn 20: Tìm GTLN, GTNN biểu thức: A=x
2− x +1 x2+x+1
(19)đặt a=x
− x+1 x2
+x+1 (1)
Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x có nghiệm Do x2 + x + ≠ nên (1) ax2 + ax +a = x2 – x +1
(a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = (2)
Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =
Trương hợp 2: Nếu a ≠ để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ ∆ ≥
(a + 1)2 – (a - 1)2 ≥
(a + + 2a - 2)(a + – 2a + 2) ≥ (3a – )(a + 3) ≥
1/3 ≤ a ≤ (a ≠ 1)
Với a = 1/3 x = a = x = - Kết luận: gộp hai trường hợp (1) (2) ta có
min A = 1/3 x =
max A = x = -1
Phương pháp giải gọi PP miền giá trị hàm số Đoạn [13;3] miền giá trị hàm số A
Qua toán 20: Giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải
Muốn sử dụng biệt thức Delta làm cơng cụ ta cần chuyển tốn dạng liên quan đến tam thức bậc hai
Xét tiếp tốn sau:
Bài tốn 21: Tìm miền giá trị hàm số
A= x x2+1
(20)phương trình f(x) = a, tốn phát triển dạng sau: Với giá trị a phương trình:
x
x2+1=a (*) có nghiệm
Tiếp theo GV hướng dẫn học sinh chuyển phương trình (*) dạng phương trình bậc hai ẩn x tham số a: ax2 – x + a = (1)
Đến cơng việc trở nên đơn giản + Nếu a = (1) có nghiệm x =
+ Nếu a ≠ ta xét phương trình bậc hai với ẩn x ∆ = – 4a2 = (1 – 2a)(1 + 2a)
Để (1) có nghiệm ∆ ≥ (1 – 2a)(1 + 2a) −12≤ a ≤12
Vậy miền giá trị A là: −1 2≤ A ≤
1
* Qua toán GV dẫn dắt học sinh đưa đến toán
Bài toán 22: Tìm GTLN, GTNN của A= x
x2+1
Từ tốn 21 HS dễ dàng tìm kết toán 22 maxA = 1/2 x =
minA = -1/2 x = -1
Từ tập 17 ta phát biểu toán dạng
Bài toán 23: Chứng minh rằng : −1
2≤ x x2+1≤
1
Nếu chưa làm 21 gặp tốn HS lúng túng, xong với việc sử dụng biệt thức Delta phương pháp miền giá trị hàm số học sinh dễ dàng giải kiểu
(21)1) Tìm GTLN, GTNN biểu thức sau:
A=2x
−4x+5 x2
+1 B=
x2−2x+2 x2
+2x+2 C=x
2
−xy+y2 x2
+xy+y2
2) Tìm GTNN biểu thức:
A = (x + 2)(x + 3)(x + )(x + 5) -
Bài tập bổ sung: I) Dạng 1
Giải phương trình hệ phương trình sau:
1) x2 + 2y2 - 2xy + 2y – 4x + = 0
2) x2 – 4xy + 5y2 – 2y + = 0
3)
¿
x2−4 xy
+y2=1 y2−3 xy=4
¿{
¿
II) Dạng 2
Tìm nghiệm nguyên phương trình sau
1) 4xy – y + 4x – = 9x2
2) x2y2 – y2 – 2y + = 0
3) y2 – 2xy + 5x2 = x +1
4) (x + y + 1)2 = 3(x2 + y2 + 1) ¿
x+y+z=√3 x2+y2+z2=1
¿{
¿
Dạng 3:
1) Chứng minh với a, b, c ta có
(22)b a2 + 4b2 + 3c2 + 14 > 2a + 12b + 6c
2) Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [−1;2] thỏa mãn a + b + c = 0
Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≤ 6
3) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
a a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca)
b a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
3.3.2Giai đoạn 2
-Tiến hành thực nghiệm dạy học lớp với nhóm học sinh giỏi lớp 9A
-Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoach dạy học nhà trường theo thời khóa biểu nhà trường phân cơng
3.4 Đo lường
Kết kiểm tra qua lần khảo sát đội tuyển nhà trường tổ chức
4.Phân tích liệu kết
* Khi chưa thực chuyên đề học sinh gặp nhiều khó khăn tập số tập tương đối dễ mà hầu hết em học sinh không định hướng cách giải quyết; tập lại em hồn tồn bế tắc có bài, câu hỏi tưởng chừng không với phần lý thuyết học 3, 9, 10, bài13 học sinh làm giáo viên chữa khó khăn phải diễn giải nhiều có kiến thức sử dụng biệt thức Delta dẫn tới học sinh khó tiếp thu, sợ tập
* Sau nghiên cứu xếp hệ thống tập trình bày đây, áp dụng cho học sinh thấy học sinh hiểu hơn, say mê học với bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, phương trình hệ phương trình nghiệm ngun…Và đó, em tự giải tập Đồng thời phần trình bày em ngắn gọn, dễ hiểu, dễ ghi
* Ngồi tập tơi đưa nhiều tập nữa, thấy em áp dụng tốt đặc biệt có em trình bày lời giải ngắn gọn, xúc tích, dễ theo dõi, góp phần rèn KN giải tốn, lực hoạt động trí tuệ cho học sinh Học sinh khơng cịn hiểu vấn đề theo kiểu máy móc, dập khn Vì khơng có điều kiện trình bày hết tất tập, chuyên đề đưa VD tiêu biểu để minh họa
Bàn luận.
(23)việc tư duy, khả khái quát hóa em cịn hạn chế
Do để giải tập khó cơng việc nặng nề em tập bất đẳng thức địi hỏi người giáo viên đầu tư lớn việc nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, hệ thống tập áp dụng tập nâng cao Từ xây dựng thành chuyên đề nhằm giúp học sinh có lực độc lập tư duy, khái quát hóa kiến thức Từ mà lực trí tuệ em rèn luyện nâng cao Trong chương trình học khơng phải nội dung kiến thức có lý thuyết bổ sung nằm tiềm ẩn bên biệt thức Delta Điều quan trọng tâm huyết người giáo viên nghề nghiệp
Chỉ qua ví dụ sử dụng biệt thức Delta ta thấy rút nhiều điều bổ ích cho việc giải tập bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, giải phương trình hệ phương trình có nghiệm ngun…
Nếu tiến hành nội dung kiến thức khác chắn kết giáo dục ngày nâng cao, đào tạo nhiều nhân tài cho đất nước Đó đích cuối nghề dạy học
6.Kết luận kiến nghị * Kết luận
Qua phần trình bày đây, nhiều tập: giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhiều hàm số, giải bất đẳng thức…chúng ta thấy việc sử dụng sáng tạo biệt thức Delta để giải nhanh gọn dạng toán cách dễ dàng đặc biệt giúp cho học sinh hiểu sâu kiến thức cụ thể dấu tam thức bậc hai Những tập giúp cho học sinh rèn tư kỹ biến đổi, áp dụng kiến thức biết
* Kiến nghị
Qua số tập dạng toán chuyên đề nhận thấy : giáo viên tâm huyết với nghề, tận tâm học sinh có chun đề sát thực bổ ích nhằm thúc đẩy khả tư khả tự học phát triển tư tốt học sinh
Qua chuyên đề nhận thấy giáo viên xây dựng cho số chuyên đề thiết thực, cụ thể, phù hợp để giảng dạy hiệu Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức chuyên đề chuyên môn, phù hợp, hiệu quả, thúc đẩy cố gắng giáo viên giảng dạy theo chuyên đề Nên có đợt tập huấn giảng dạy theo chuyên đề kiến thức, theo dạng để giáo viên giảng dạy có hiệu
(24)kiến thức biệt thức Delta để giải nhanh gọn
Tuy chuyên đề xem xét ứng dụng xong khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót, mong góp ý cấp đạo chuyên môn, bạn đồng nghiệp giàu kinh nghiệm, bạn đọc chuyên đề bổ sung góp ý chân thành để chuyên đề hoàn thiện ứng dụng nhiều hơn!
7.Tài liệu tham khảo
- 23 Chuyên đề 1001 toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Hồng ) - Nâng cao phát triển Toán ( Vũ Hữu Bình )
- Sách giáo khoa,sách giáo viên, sách tập Toán – tập ( NXBGD) - Trọng điểm đại số ( Ngô Long Hậu – Trần Luận )
- Tuyển chọn 400 toán ( Phan Thế Thượng ) - Tuyển chọn năm tạp chí tốn học tuổi trẻ
8.Phụ lục
Tiết dạy thực nghiệm