De thi GVG Huyen

Tích luỹ chuyên môn Câu 13: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7cm và 24cm là: A.. Câu 16: Các trung điểm của bốn cạnh của hình[r]

Tích luỹ chuyên môn Đề thi lý thuyết giáo viên dạy giỏi huyện bậc THCS Câu 1: Chứng minh sau đây đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai anh (chị c) hướng dẫn học sinh chứng minh lại cho đúng? Đề : Cho đường tròn tâm O Hai đường kính AB, CD vuông góc với M, N là trung điểm AO, BO Tia CN cắt (O) I Hãy xét xem góc CMI có phải là góc vuông không? Vì sao? Chứng minh: Kẻ thêm số đường hình vẽ Giả sử góc CMI = 1v Thì sđ CBI +sđ KAE = 2v (Góc có đỉnh nằm bên đường tròn C G) (1) Mặt khác: sđ CBI + sđ DI = 2v (2) Từ (1) và (2) : sđ KAE = sđ DI Suy KI // DE K nên CMI = CED (Cặp góc đồng vị C) A Mà CED = 1v (Chắn nửa đường tròn C) M N B O E Vậy CMI = 1v là đúng Câu : I D Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau: Tìm k (nguyên n) để phương trình: kx2+ ( 2k -1 ) x + k-2 = Có nghiệm hữu tỷ Câu : Giải bài toán và hướng dẫn học sinh khái quát hoá bài toán: Cho a, b là các số thực : 0< a, b < Chứng minh hai bất đẳng thức sau không cùng xẩy ra: a (1-b ) > 1/4 ; b ( a-1 ) > 1/4 Caõu : Cho trước đoạn thẳng đơn vị (Có độ dài 1) Chỉ dùng thước và com  không? Nếu hãy trình bày pa có thể dựng đoạn thẳng có độ dài cách dựng? Tích luỹ chuyên môn Đề thi lý thuyết GVDG huyện I.Trắc nghiệm: (4 điểm) Câu1 Hai chữ số tận cùng 3999 – 2999 là: A 59 B 69 C 79 D 89 Câu2 Ký hiệu [ x ] là số nguyên lớn không vượt quá x Giá trị tổng [ √ ] + [ √ ] + [ √ ] + [ √ ] + …+ [ √35 ] là A 124 B 124 C 126 D 127 Câu3 Bán kính đường tròng nội tiếp hình thang cân biết hai đáy 16 cm và 64 cm là A √ 41 B √ 41 C √ 41 D √ 41 Câu Vĩ độ Hà Nội là 20 01’ Mỗi vòng kinh tuyến trái đất dài khoảng 40000 km Độ dài kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo là A 2222 B 2223 C 2224 D 2225 II.Tư Luận: (16 điểm1) Câu 1.( điểm) a Cho biểu thức: M = x +3+2 √ x − x − 6+ √ x − Rút gọn biểu thức M b Tìm giá trị nhỏ biểu thức H = ( x2 + )( y2 + y2 ) đó x, y là các số dương thay đổi thoả mãn: x + y = x2 *Nhiều học sinh đã giải sau √ x+3+ √( x −3) ¿ x −3+ √ √(x +3) √ x +3 √ x +3+2 √( x +3)(x − 3) a M = = ¿ √ x − √ x − 3+ √( x +3)(x − 3) √ x − 3¿ √ x +3 ¿ ¿ x +3 √ = = x+3 x −3 x−3 √ 1 x b Ta có ( x + y )2 => x2 + 2 y y 1 y ( y + x )2 => y2 + 2 x x √ Mặt khác vì x > 0; y H = ( x2 + nên suy )( y2 + y2 ) x2 Vậy GTNN H = x.y = x y y x Tích luỹ chuyên môn *Phân tích sai lầm học sinh các lời giả trên và đưa lời giải đúng Câu 2: (4 điểm4) a Tìm các số tự nhiên có chữ số dạng ab42 biết số đó chia hết cho 41 a 36 b Tìm phân số b biết phân số đó có giá trị là 45 và BCNN (a;b) = 300 Câu 3C: Cho tam giác ABC Trên BC lấy D,E cho BD = CE Qua D, E kể DF; EG song song AB ( F;G AC ) Chứng minh: AB = DF + EG - Bài toán có nhiều cách giải Anh chị hãy trình bày vài cách giải, theo anh (chị) dạy học sinh bài tập này cần đặc biệt chú ý mệnh đề nào đã học sach sgiáo khoa? Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, AD là phân giác góc A ( A BC ) Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC (Bài toán có ít cách giải hãy trình bày cách giải và nêu định hướng cho các cách khácB) - Bài số và số có liên hệ nào với không? Nếu có anh (chị) hãy liên hệ đó / Đề thi lý thuyết GVDG huyện năm học 2007 – 2008 Môn thi: toán I.Phần trắc nghiệm: Anh(Chị) hã ychọn đáp án đúng với lời dẫn các câu sau Câu1: Chữ số tận cùng số 31991 là: a b c d Câu2: Cho dãy số 7; 12; 17; 22; 27; …… Số thứ 1000 dãy là: a 5000 b 5001 c 5002 d 5003 Câu3: Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà đời sau cách mạng tháng tám năm 1945, đó là năm Dậu Hàng Can năm Dậu đó là: a Kỷ b ất c Tân d Quý 99 55 Câu4: Số dư phép chia đa thức: f(x) = x +x +x 11 +x 9+x +7 cho đa thức ( x+ ) là: a b c d x+ =3 Giá trị biểu thức x Câu5: Cho x 5+ x5 là: a 123 b 125 c 243 d Kết khác Câu6: Cho Δ ABC cân A, trên cạnh AB lấy điểm D Biết AD = DC = CB Số đo góc A tam giác là: a 340 b 370 c 360 d 350 Câu7: Δ ABC cân A có AB = 60cm Đường phân giác góc B cắt đường cao AH AK 12 K Biết: KH = a 40cm Độ dài BC là: b 50cm c 45cm d 60cm Tích luỹ chuyên môn Câu8: Trong mặt phẳng, số điểm cách các đường thẳng chữa ba cạnh tam giác là: a b c d II.Phần tự luận Câu1: Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với số tự nhiên n n+1 2 n −1 19992 1999 + Rút gọn biểu thức: P = 1+1999 + 2000 2000 Câu2: Cho x, y, z là các số dương và x+ y+ z=6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y2 z2 A= + + y + z x +z y + x Câu3: Cho Δ ABC có góc B 600, phân giác AK và CE cắt O Chứng √ minh rằng: OK = OE Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đường thẳng d Dựng đường tròn qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d Đáp án và biểu điểm môn toán I.Phần trắc nghiệm: (4điểm) Mỗi câu đúng 0, 5đ Câu Đáp án đúng b c b d a c b d II Phần tự luận: (6 điểm) Câu1: (1, 5đ) Chứng minh phân số tối giản (0, 5đ) Giả sửG: ( n+1 ; 2n2 −1 ) =d Ta cần chứng minh d=± Thật vậy: Tích luỹ chuyên môn ¿ n+1 ⋮ d n2 −1⋮ d ⇔ ¿ n +n ⋮ d 2 n −1⋮ d ⇔ ¿ 2n+1 ⋮ d n+1 ⋮ d ⇔ ¿ 2n+1 ⋮ d n+2 ⋮ d ⇔ ⋮ d ⇔ d=± ¿{ ¿ Rút gọn biểu thức (1đ) 2 2 2000 =( 1999+1 ) =1999 +2 ⋅1999+1 ⇒ 1+1999 =2000 −2 ⋅1999 19992 1999 ⇒ P= 2000 −2 ⋅1999+ + 20002 2000 1999 1999 1999 1999 ⇒ P= 2000 − + =2000 − + 2000 2000 2000 2000 ⇒ P=2000 Ta có: √ √( ) Câu2: Tìm giá trị nhỏ (1, 5đ) áp dụng bất đẳng thức Bu -nhi-a-cốp-x-ki ta có: x + √ y+z y + √x +z z √ x+ y [( ) ( ) ( ) ] ( 2 ⋅ [ ( √ y+ z ) + ( √ x + z ) + ( √ x + y ) x y z ⋅ √ y+ z + ⋅ √ x + z+ ⋅ √ x+ y √ y+ z √ x+ z √ x+ y ⇔ ( ) x2 y2 z2 + + ⋅2⋅ ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z )2 y+ z x + z x + y x2 y2 z2 x+ y+ z ⇔ + + ≥ = =3 y + z x+ z x+ y 2 ⇒ MinA =3 ⇔ x= y=z =2 ) Câu3:( 3điểm) 1.Chứng minh OE=OK (1đ) ] Tích luỹ chuyên môn X ⇒ Tứ giác ét Δ AOC có: AOC ¿ 1800 − A +C =120 ⇒ EOK=120 BEOK nội tiếp Mà EBO=KBO⇒ EO=KO ⇒EO=KO (đpcm) 2.Dựng hình (2đ) a) Phân tích: Giả sử dã dựng đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán Ta nhận thấy: IT2 =IA.IB Trong đó I là giao điểm đường thẳng AB và đường thẳng d, còn T là tiếp điểm b) Cách dựng: - Dựng giao điểm I đường thẳng d và đường thẳng AB - Dựng đoạn thẳng IT trên đường thẳng d có độ dài x cho: x2 = IA.IB - Dựng đường tròn (O) qua điểm A, B, T Đây là đường tròn phải dựng c) Chứng minh: Do IT2 =IA.IB nên đường tròn (O) tiếp xúc với d T và qua điểm A, B d) Biện luận: Trường hợp đường thẳng AB cắt đường thẳng d thì bài toán luôn có hai nghiệm hình Trong trường hợp đường thẳng AB không cắt đường thẳng d thì T là giao điểm d với đường trung trực đoạn thẳng AB và bài toán có nghiệm hình Tích luỹ chuyên môn Đề thi lý thuyết GVG môn Toán THCS Câu (3 điểm3) : Đồng chí hãy cho biết ưu điểm và hạn chế dạy học hợp tác theo nhóm Theo đồng chi môn Toán THCS dạng nào thuận lợi triển khai hoạt động dạy học hợp tác theo nhóm ? Câu (4 điểm4) : Đồng chi hãy giải các bài toán sau Từ đó hướng dẫn học sinh rút bài toán tổng quát : Tính : 1 1 5 5 A = + + + + 99 100 B = + + + + 98 100 Câu (3 điểm3) : Có học sinh giải bài toán sau : Đề : Cho tứ giác ABCD, M là trung điểm AD, N là trung điểm BC và độ dài MN= AB+ CD Chứng minh AB // DC Giải : (Giả thiết và kết luận đã ghi đúng) A B M N D C F Trên tia AN chọn điềm F cho N là trung điểm AF Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ) ¿❑ ANB = FNC (đối đỉnh) BN = CN (giả thiếtg) Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c) ¿❑ ? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng) ? CF // AB ? DF // AB? DC // AB (đpcm) Theo đồng chi bài giải trên còn sai lầm đâu? Hãy bổ sung để bài giải đầy đủ Câu (3 điểm) 1 1 Cho A= 1.2.3 .2005.2006 (1+ + + .+ 2005 + 2006 ) Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 2007 Câu (4 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + a+b − c b+c −a c+ a −b a b c Tích luỹ chuyên môn Câu (3 điểm3): Dựng tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r và góc C  ( < 90 ❑0 ) Đáp án: Câu 1: ưu điểm dạy học hợp tác theo nhóm: - Mọi học sinh làm việc, không khí học tập lớp thân thiện - Hiệu làm việc HS cao, nhiều HS dịp thể khản cá nhân và tinh thần giúp đỡ - HS không học tập kiếm thức kĩ mà còn thu nhận kết cách làm việc hợp tác cùnh Điều này góp phần thực bốn mục tiêu học tập kỷ XXI là học cách làm việc cùng Hạn chế dạy học hợp tác theo nhóm: - Hiệu học tập phụ thuộc hoạt động các thành viên, có HS nhóm bất hợp tác thì hiệu thấp - Khản bao quát GV là khó khăn, là số học sinh lớp, nhóm còn cao - Xác định nhiệm vụ nhóm và cá nhân nhóm tuỳ thuộc vào nhiều yếu tố, đó có yêu cầu chungcủa chương trình và đặc điểm cụ thể HS Đó là việc không dễ dàng Những dạng thuận lợi cho việc triển khai hoạt động dạy học hợp tác theo nhóm: - Các bài tập rèn luyện kỹ tính toán - Một số bài tập dạng trắc nghiệm - Một số hoạt động thực hành lớp dùng máy tính, đo góc - Một số hoạt động thực hành ngoài trời Câu 2: 1 1 Tính A = + + + + 99 100 1 1 1 = 1− + − + − + 99 − 100 = 1− 100 99 = 100 1 1 1 B = ( − + − + − + .+ 98 − 100 ) 1 49 49 = ( − 100 ) = 100 ¿ = 40 Qua hai bài toán trên chúng ta rút bài toán tổng quát sau: n n n n n C = a a + a a + a a + a a + + a a 2 3 4 k k+1 Tích luỹ chuyên môn Trong đó : a2 −a 1=a3 − a2=a −a3 = =ak +1 − ak Giải : Trường hợp : Nếu a2 −a 1=a3 − a2=a −a3 = =ak +1 − ak =n Bài toán này dễ dàng giải theo cách phân tích bài toán vì đó : n a1 a2 1 = a - a n ak ak +1 Cộng vế ta có C: 1 = a - a k k+ 1 a1 C = - a k+ Trường hợp : Nếu a2 −a 1=a3 − a2=a −a3 = =ak +1 − ak =b ≠ n Ta có : n b b b b b C = b ( a a + a a + a a + a a + + a a ) 2 3 4 k k+1 Bài toán này thực chất đã đưa dạng bài toán Học sinh dễ dàng tìm kết n 1 : C = b ( a - a ) k+ Câu 3: Sai lầm học sinh là đã ngộ nhận ba điểm D, C, F thẳng hàng Như ta phải chứng minh ba điểm D, C, F thẳng hàng Bài giải đầy đủ : Giải : Trên tia AN chọn điềm F cho N là trung điểm AF Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ) ¿❑ ANB = FNC (đối đỉnh) BN = CN (giả thiếtg) Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c) ¿❑ ? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng) ? CF // AB và CF = AB (cặp cạnh tương ứng) Xét? ADF có MN là đường trung bình Suy ra: AB+ CD CF+ CD mà MN= = DF MN= (theo gt và t (1)) ?DF=CF+CD ? D, C, F thẳng hàng Do: CF // AB? DF // AB? DC // AB (đpcm) Câu 4: (1) Tích luỹ chuyên môn Ta có: 1 1 1+ + + + + 2005 2006 1 1 1 ¿(1+ )+( + )+ +( + )+( + ) 2006 2005 1002 1005 1003 1004 2007 2007 2007 2007 ¿ + + .+ + 2006 2005 1002 1005 1003 1004 1 1 ¿ 2007( + + + + ) 2006 2005 1002 1005 1003 1004 Suy : A=1 2005 2006 2007( 1 1 + + + + ) 2006 2005 1002 1005 1003 1004 2006 .2006 2006 2006 + + + + ) 2006 2005 1002 1005 1003 1004 2005+1 2004 2006+ + 1001 1003 1004 1006 .2006 ¿ 2007 (¿+1 1002 1005 .2006) ¿ 2007( Vậy A là số tự nhiên chia hết cho 2007 Câu 5: Theo BĐT Cô si cho x 0, y ta có: x+ y ≥ √ x y x+ y ¿ ≥ xy Bình phương hai vế ta có: ¿ x+ y 1 ? xy ≥ x+ y ? x + y ≥ x+ y (*) Do a, b, c là ba cạnh tam giác nên: a + b- c 0; b + c - a 0; c + a - b áp dung BĐT (*)ta cót: 1 + ≥ = a+b − c b+c −a a+ b −c +b+ c − a b 1 + ≥ = b+c − a c+ a −b b+ c − a+c +a − b c 1 + ≥ = a+b − c c+ a −b a+ b −c +c +a − b a 1 1 1 Cộng các vế BĐT ta có: 2.( a+ b −c + b +c − a + c+ a −b )≥ ( a + b + c ) 1 1 1 Suy ra: a+b − c + b+c −a + c+ a −b ≥ a + b + c (đpcm) Câu 6: Phân tích: Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp là O1 , tâm đường tròn nội tiếp là O2 Giả sử dựng tam giác ABC thoả mãn điều kiện A O bài toán Ta có A B = 2 (vì C = ) Suy ra? A O1 B dựng (vì O1 A = O1 B = R) x Ta có: A O2 α B = 90 ❑ + Tích luỹ chuyên môn (vì A O2 , B O2 O2 là tia phân C giác) O1 α Suy O2 nằm trên cung AB chứa góc 90 ❑ + và O2 cách AB khoảng r B Cách dựng: - Dựng? A O1 B có A O1 B = 2, O1 A = O1 B = R - Đường thẳng xy // AB cách AB khoảng r y α - Dựng cung AB chứa góc 90 ❑ + cắt đừng thảng xy O2 - Dựng ( O2 , r) - D ựng tiếp tuyến At và tiếp tuyến Bz cắt C Tam giác ABC là tam giác cần dựng Chứng minh: Ta có: C = 180 ❑0 -(180 ❑0 -) =  Do O1 A = O1 B = R (cách dựng) và A O1 B = 2 Nên C thuộc cung AB chứa góc  Vậy tam giác ABC đúng Biện luận: α - Đường thẳng xy cắt cung AB chứa góc 90 ❑ + tai hai điểm ta có hai nghiệm hình α - Đường thẳng xy tiếp xúc cung AB chứa góc 90 ❑ + ta có nghiệm hình α - Đường thẳng xy không cắt cung AB chứa góc 90 ❑ + bài toán vô nghiệm hình Tích luỹ phần khối Bài 1: Cho tam giác ABC lấy E, F, M thứ tự trên các cạnh AC, AB, cho EF//BC MB = MC chứng minh: CF, BE , AM đồng qui Cách giải 1:(Dùng định lý ceva) Tích luỹ chuyên môn Gọi K là giao điểm AM và EF theo định lý talet ta có: AF/BF = AK/MK (1) CE/AE = MK/AK (2) BM/CM = (3) Nhân vế đẳng thức trên ta được: AF/BF.BM/CM.CE/AE = (4) Đẳng thức (4) cùng với định lý đảo Ceva suy AM; BE; CF đồng qui Cách giải (Dùng định lý Menelauyt) Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE N, AM cắt BE I Theo định lý talet thì: AF/BF = AE/EC = AN/BC (5) BC/MC = (6) MI/AI = BM/AN (7) Nhân vế 5.6.7 ta được: AF/BF.BC/MC.MI/AI = AN/BC.2.BM/AN = Đẳng thức cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy điểm F; I; C thẳng hàng Tức là AM; BE; CF đồng qui BàI 2: Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB D,E,F Chứng minh AD , BE, CF đồng qui Giải: (Cách Dùng định lý ceva) Tích luỹ chuyên môn áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt ta có: AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy ra: AF/BF BD/CD CE/AE = AE/BD BD/CE CE/AE = áP dụng định lý Ceva cho tam giác ABC => AD; BE; CF đồng qui (Cách dùng định lý Menelauyt): Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt CF N gọi I là giao điểm AD và CF Ta có: AE/CE CB/DB DI/AI = AF/CD CB/BF CD/AN = AF/BF CB/AN = AN/BC BC/AN = áP dụng định lý Menelauyt cho tam giác ADC => điểm B, I, E thẳng hàng => AD, BE, CF đồng qui BàI 3: Cho tam giác ABC Đường cao AH lấy D, E thứ tự trên AB, AC cho AH là phân giác góc DHE.Chứng minh AH, BE, CD đồng qui Giải: (Cách dùng định lý Ceva) Từ A kẻ //BC cắt HD, HE M, N vì HA là phân giác đồng thời là đường cao nên AM = AN Ta có: Tích luỹ chuyên môn AD/BD = MA/BH; CE/AE = CH/AN => AD/BD BH/CH CE/AE = MA/BH BH/CH CH/AN = áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC ta có AH, BE, CD đồng qui (Cách dùng định lý Menelauyt) Từ A kẻ //BC cắt HD,HE,BE M, N, K gọi I là giao điểm AH và BE Ta có: AD/BD = MA/BH = AN/BH và HI/AI = BH/AK => AD/BD BH/CH HI/AI = AN/BH BC/HC BH/AK = AN/HC BC/AK = AE/CE CE/AE = áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABH ta => D, I, C thẳng hàng => AH, BE, CD đồng qui BàI 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AK dựng phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABEF, ACGH Chứng minh AK, BG, CE đồng qui GIảI: (Cách dùng định lý Cêva) Gọi D, I là giao điểm AB với CE và AC với BG Đặt AB = c; AC = b ta có: c2 = BK.BC; b2 = CK.BC => BK/CK = c2/b2 và AD/BD = b/c và CI/AI = b/c => AD/BD BK/CK CI/AI = b/c c2/b2 b/c = áp dụng định lý ceva cho tam giác ABC => AK, BG, CE đồng qui (Cách dùng định lý Menelauyt) Tích luỹ chuyên môn Từ A kẻ // BC cắt BG M gọi O là giao điểm AK và BG Ta có: AD/BD = b/c ; KO/AO = BK/AM => AD/BD BC/CK KO/AO = b/c BC/CK BK/AM = b/c BC/AM BK/CK = b/c CI/AI c2/b2 = = b/c b/c c2/b2 = áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABK => điểm D, O, C thẳng hàng => AK, BG, CE đồng qui Qua bài toán trên và với bài tôi đã đưa cách giải cách vận dụng định lý Ceva và định lý Menelauyt Liệu có phải là định lý trên là hệ nhau? Hay là CEVA <=> MENELAUYT ?các bạn nghĩ sao? Có lẽ quãng đời học sinh bạn đã giải nhiều bài toán, và đó hẳn có bài khó Tuy nhiên, có nào bạn tự hỏi: mình không tự đặt các bài toán, để đố bạn bè chẳng hạn? Nếu thắc mắc đó xuất thì đáng mừng, đó là biểu ban đầu sáng tạo Bài viết này có ý định giúp các bạn hình dung phần nào lời giải đáp cho thắc mắc trên Thật ra, đa phần bài toán mà chúng ta đã gặp không phải là từ trên trời rơi xuống, mà thường là người ta từ vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt Việc các bạn có thói quen lật lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt bài toán giúp bạn thu điều quan trọng lời giải nhiều: đó là nhận đâu là kĩ thuật chính (thay vì học thuộc hết các chi tiết cách vô nghĩa), qua đó giải thích vì giải vậy, và cao là vì nghĩ bài toán BàITOáN: Cho x,y là các số dương thoả mãn: x2+y2 = Tìm GTLN A= x + 2y nhận xét: Đây là bài toán không quá khó HS khá lớp và gặp bài toán này hầu hết HS có cách giải sau: áp dung bất đẳng thức: Ta có: Tích luỹ chuyên môn Từ đó suy ra: Lời giải nêu trên khỏi phải bàn luận thêm làm gì Ngoài cách giải trên có thể giải bài toán theo cách nào khác hay không? Nếu thay đổi GTcủa bài toán, chẳng hạn thay GT thành: Cho x, y là các số dương thoả mãn: Tìm GTLN A = x + 2y Cách giải trên có thể giải yêu cầu bài toán hay không? Bạn nghĩ nào? Đề thi chọn học sinh giỏi toán (vòng 1v) Thời gian 120 phút I Trắc nghiệm : Hãy chọn phương án đúng các câu sau: Khi rút gọn biểu thức √ 8+√ 60 ta có kết là: a √ + √ b √ 15 + c √ - √ d Một kết khác Giá trị bé biểu thức: A = √ x2 +2 x+1 + √ x +4 x +1 + √ x2 −6 x +1 là: a b c d Một kết khác Tập nghiệm phương trình: 19 ❑√ x − + ❑√ x −1 + 91 ❑√ x − x+ = là a {1;2} b {1;2;3} c {2;3} d {1} Để hàm số Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + √ x + là hàm bậc thì giá trị m phải là: a m = b m = o và m = c m = d với m thuộc R 2 Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx - m - luôn luôn qua m thay đổi có toạ độ là: a ( ; −1 ) b ( -1; 2) c ( ; ) d ( 1; 1) Tích luỹ chuyên môn Cho Δ ABC vuông A có AB = 2AC, AH là đường cao Tỷ số HB:HC là: a b c d Tam giác ABC vuông A, biết AC = 16; AB = 12 Các đường phân giác và ngoài góc B cắt AC D và E Độ dài DE là: a 28 b 32 c 34 d 30 Cho góc thoả mãn 00 < < 900 ta có các kết luận sau: a sin < cos b tg > cotg c sin <tg d Chưa thể kết luận Cho đường tròn có bán kính 12 Độ dài dây cung vuông góc với bán kính trung điểm bán kính là: a √ b 27 c √ d 12 √ 10 Cho Δ ABC cân A; đường cao AH = 2; BC = Độ dài đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: a b c 10 d 12 II Phần tự luận Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a A = √ 4+ √ - √ − √ − √2 b B = √ x − √ x − 4+ √ x + √ x − (với xv 2) Câu 2: Chứng minh a > b> thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + Câu 3: Cho Δ ABC vuông A, đường cao AH Tia phân giác góc HAC cắt HC D Gọi K là hình chiếu D trên AC a Chứng minh Δ ABD cân b Biết BC = 25 cm; DK = 6cm Tính độ dài AB ĐáP áN I Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0, điểm) Câu Đáp án a c d c a b d II Tự luận Câu 1: (2 điểm2) √7 +1¿ a Ta có: ¿ ¿ √¿ √ 4+ √7=¿ √7 − 1¿ ( 0, 25 điểm); c d ¿ ¿ ( 0, 25 điểm) √¿ √ − √7=¿ 10 C Tích luỹ chuyên môn A= √7+1 − √ 7+1 − √ √2 ( 0, 25 điểm); A= − √ = ( 0, 25 điểm) √2 x −4 x2 − x+ √ ¿ b B2 = x ¿ x − √ ¿¿ ¿ √ x − 4+ x +√ x2 − 4+2 √ ¿ B2 = x + x + √ x2 − x 2+ ( 0, 5điểm) (0, 25 điểm) B = √ 2(x+ 2) ( 0, 25 điểm) Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2a3 - 12b ( a-b) + ( 0, 25 điểm) - Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: a2 4b( a- b) (2) ⇔ ( a - 2b) 0; (đúng)  (2) đúng (0.25đ) từ (2)  3a 12b(a-b) (3) (0.25đ) Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh 2a3 - 3a2 + (4) (0.25đ) 2 ⇔ 2a 2a a + ⇔ 2a (a - 1) (a - 1)(a + 1) ⇔ (a - 1)(2a a - 1) 2 ⇔ (a - 1)(a a + a - 1) ⇔ ⇔ ( a −1 ) [ a(a −1)+(a −1)(a+ 1)] ≥0 ( a −1 ) [ ( a −1 ) (2a+ 1) ] ≥ (a - 1)2 (2a + 1) đúng (vì a > 0)  (4) đúng Vì 3a2 12b (a-b) theo (3)  2a 12b (a-b) + 2a3 3a2 + (theo (4)) Câu 3: (2, 5đ) Vẽ hình đúng (0.25đ) ⇔ (0.25đ) (0.25đ) Tích luỹ chuyên môn a) (1đ) + Vỡ  AHD =  AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn nhau) (0.25đ) D 1= ^ D (cặp góc tương ứng) + Suy ^ (0.25đ) D 1=B ^ A D (so le trong) + ^ (0.25đ) ^ D1=B A D ⇒  ABD cân B + Suy ^ (0.25đ) b) (1.25đ) + Gọi cạnh AB là y ⇒ BD = y (theo (1)) (0.25đ) + Ta có: AB2 = y2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ) Hay: y = 25y 150 (0.25đ) ⇔ y2 = 25y + 150 = ⇔ (y 10) (y 15) = (0.25đ) ⇒ AB = 10cm 15cm (0.25đ) (Học sinh có cách giải khác đúng cho điểm tối đa) Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2003 Đề thi vòng Thời gian 150 phút Câu I: 1, Giải hệ phương trình sau: ¿ ( x+ y )3=3 z ( y + z ) =3 x ( z+ x )3 =3 y ¿{{ ¿ 2, Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 + ≥3m x2 x1 Câu II: 1, Tìm tát các giá trị nguyên x và y cho: x2 + xy -3x – y – 19 = 2, Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x −2 x+2001 x2 Tích luỹ chuyên môn Câu III: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M#A, M#B) Gọi O và O’ là các đường tròn đường kính AM và BM Tiếp tuyến chung (O) và (O’) cắt (O) và (O’) tương ứng C và D (C#D) AC và BD cắt P 1, Tứ giác MCPD là hình gì? Vì sao? 2, Chứng minh PM AB 3, Tìm tập hợp tất các điểm P M di động trên đoạn thẳng AB (M#A, M#B) 4, Xác định các vị trí điểm M cho đoạn thẳng CD có độ dài cho trước Đề thi vòng năm 2003 Thời gian 150 phút ¿ x + y + xy=−1 x 2+ y 2+ ( xy ) =3 x 3+ y3 + ( xy )3=−1 ¿{ { ¿ Câu I: 1, Giải hệ phương trình : 2, Tính f(2003) biết rằng: 1 2f(x) + f( x ) = x 2+ 2x , ∀ x ≠0 2002 2003 Câu II: 1, Chứng minh rằng: A = 200312 +2004 12 − chia hết cho 13 2, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: √ x+ √ y= √ x + y +2 Câu III: Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức: a + b + c = Chứng minh rằng: √ a2 + 1 97 + b 2+ + c + ≥ a b c √ √ √ Câu IV: 1, Cho tam giác ABC, các đường phân giác AA1, BB1, CC1 cắt I Chứng minh bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác IA1B1, IA1C1 thì tam giác ABC là tam giác cân 2, Trong bảng 41 x 41 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ đến 1681 vào các ô vuông đó cách tùy ý (mỗi ô vuông đặt và sốm) Chứng minh tồn hai ô vuông kề (hai ô gọi là kề chúng có cạnh chungh) cho hiệu hai số viết hai ô đó lớn 20 Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2004 Đề thi vòng Thời gian 150 phút Câu I: 1, Tính giá trị biểu thức: P = x3 + y3 -3(x + y) + 2004 , biết rằng: 3 3 ; x=√ 3+2 √ 2+ √3 −2 √ y=√ 17+12 √ 2+ √17 − 12 √ 2, Rút gọn biểu thức sau: P= 1 1 + + + + 1+ √ √5+ √ √ 9+ √ 13 √ 2001+ √2005 Câu II: Giải phương trình sau: Tích luỹ chuyên môn 1, x + √ x +2004=2004 ; 2, x −3 √ x2 +3 x + √ 2=0 Câu III: Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a, b, c và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2).(ha2 + hb2 + hc2) 36 Dấu đẳng thức xẩy nào? ❑ Câu IV: Cho tam giác ABC có A =60 , AC = b, AB = c (với b > c) Đường kính EF đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC M Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC 1, Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp 2, Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK 3, Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c 4, Tính IH +JK theo b, c Đề thi vòng năm 2004 Thời gian 150 phút Câu I: 1, Tìm các giá trị tham số m để tập nghiệm phương trình sau có đúng phần tử 2 x −2 m x − 2m −7 m +6 =0 x +7 x +12 2, Giải hệ phương trình: ¿ 1 51 x+ y+z+ + + = x y z 1 771 x 2+ y + z + + + = x y z 16 ¿{ ¿ Câu II: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = x – y + 2004 , đó các số thực xvà y thỏa mãn hệ thức: x2 y2 + =36 16 Câu III: Chứng minh tồn các số tự nhiên a, b, c nghiệm đúng phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz, và thỏa mãn điều kiện: Min(a, b, c) > 2004 Câu IVC: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, P, N, Q là các trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh MN qua trung điểm PQ và MN //CD Câu V: Cho đường thẳng xy và điểm A ccó định nằm ngoài đường thẳng Điểm M chuyển động trên xy Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I cho AI.AM = k2, đó k là số dương cho trước và k nhỏ khoảng cách từ A đến đường thẳng xy Dựng hình vuông AIJK Tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K Đề thi vòng năm 2004 Thời gian 150 phút Tích luỹ chuyên môn Câu I: Ch biểu thức: P = 1 + + + 1+ √ √ 3+ √ √2 n+1+ √ n+3 1, Rút gọn biểu thức P; 2, Tìm số nguyên dương n để P = 23 Câu II: 1, Giải phương trình: √ x+ √2004 − x −3 √ x (2004 − x )=√ 2004 2, Giải hệ phương trình: ¿ x + y=4 ( x+ 1) ( y +2)=12 ¿{ ¿ Câu III: Giả sử các số thực dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 1 1 Chứng minh rằng: a + b + c ≥ Dấu đẳng thức xẩy nào? Câu IV: Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b, hai đường chéo AC và BD ❑ cắt O cho AOB=600 1, Chứng minh các tam giác AOB, COD là tam giác đều; 2, Tính độ dài các cạnh AD, BC và các đường chéo AC, BD hình thang ABCD theo a, b 3, Gọi M, N và P tương ứng là trung điểm AO, OD và BC Chứng minh tam giác MNP là tam giác 4, Tính diện tích hình thang ABCD và diện tích tam giác MNP theo a và b Đề toán rút gọn Câu 1: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Lê Hồng Phong Năm 2003-2004) a Thu gọn biểu thức: √2 −2 √ A= √ − √ 3 √ 2+2 √3 b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= √ x −1 −2 √ x −2+ √ x +7 −6 √ x − Câu 2: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHQG Hà nội Năm 2004-2005) Cho biểu thức: x √ x + x − √ x x +√ x x −1 x − ⋅ + √ M= x −1 x+ √ x −1 √ x −1 x √ x −1 a Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M b Với giá trị nào x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ và tìm giá trị nhỏ đó M ? Câu 3: Cho biểu thức: √ ( ) Tích luỹ chuyên môn x − √x x + √ x ( x −1 ) − + N= x + √ x+ √x √ x −1 a Rút gọn N b Tìm giá trị nhỏ N x c Tìm x để biểu thức B= √ nhận giá trị nguyên N Câu 4: Rút gọn biểu thức sau: A= 8+ √ 15 + − √ 15 Câu 5: √ √ √ Cho biểu thức: T= b √ ab − √ a2 − a a a Tìm điều kiện a,b để biểu thức T xác định b Rút gọn biểu thức T Câu 6:Cho biểu thức: 1 x + − √ Q= Với x và x#4 −x 2+ √ x − √ x a Rút gọn biểu thức Q b Tìm giá trị x để Q= Câu 7: Cho biểu thức: x − √ x x −1 + P= √ x √ x −1 a Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa b Rút gọn biểu thức P c Tìm x để giá trị biểu thức P là Câu 8: Cho biểu thức: a − a − √ a+3 + R= √a − √ a −1 a Tìm điều kiện để biểu thức R có nghĩa b Rút gọn biểu thức R c Tìm a để R<3 Câu 9: Cho biểu thức: x − 2√ x ÷ ( x −1 ) + F= x +1− √x − √ x +1 a Tìm điều kiện để biểu thức F có nghĩa b Rút gọn biểu thức F Câu 10: Cho biểu thức: 1− √ a a −1 ÷ √a − H= √ a+ với a>0; a#1 a+ √ √a a Rút gọn biểu thức H b Tìm giá trị a để H=2 ( ( ) )( ) Tích luỹ chuyên môn Câu 11: Cho biểu thức: T= ( √xx−1−1 − √ √x+x ): ( x+√ x√ x ) a Tìm điều kiện để biểu thức T có nghĩa b Rút gọn biểu thức T Câu 12 Rút gọn biểu thức: √ 17− 12 √ √17+12 √ Câu 13: Rút gọn biểu thức: √ a− − √ a+2 √ a − √ 15+ √12 − a b √ a+2 √ a −2 √a √5 − 2 − √ Câu 14: Rút gọn biểu thức: ( E= |x − 3|+ √ Câu 15: )( Câu 16: Với 0<a#4 x −6 x +9 x−3 Thu gọn các biểu thức sau: A= ( √ 4+ √6 − √5 ) ( √ 10 − √ ) ; C= ) √ 15 − √ 12 − ; −√3 √ −2 Thu gọn các biểu thức sau: √ a− + √a+ − 2 B= Với 0<a#1 a+1 √ a+1 √ a −1 √ a− − √ a+2 √ a − D= Với 0<a#4 √ a+2 √ a −2 √a 2 x+ √ x+ − A= √ x −2 √ x +2 ( ( ( )( )( ) ) ) a, Tìm TXĐ rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x=3+ √ ; c, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên ? x √ x −1 x √ x +1 x +1 − + Câu 17: Cho biểu thức: B= x−√ x x +√ x √ x a, Rút gọn B; b, Tìm x để B= Câu 18: ( Cho biểu thức: C= √ x −1 − √ x +1 − √ x √ x+ √ x − √ x )( a, Rút gọn C; b, Tìm x để ) T √x >2 √ x 1+ √ x3 − √ x Câu 19: Cho biểu thức: D= √ x −1 x + √ x+1 1+ √ x a, Rút gọn D; b, Tìm x để D=3; √ x + x+ : √ x +1 − Câu 20: Cho biểu thức: E= 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x a, Rút gọn E b, Tìm x cho E<-1 ( √ a+ √ b ) −4 √ ab a √ b+b √ a Câu 21: Cho biểu thức: F= − √a − √ b √ ab ( x +1 )( − ( )( ) với ) x#1 với 0<x#9 Tích luỹ chuyên môn a, Tìm điều kiện để F có nghĩa; b, Khi F có nghĩa, chứng tỏ giá trị F không phụ thuộc vào a x−y x √ x − y √ y ( √ x +√ y ) − Câu 22: Cho biểu thức: A = x− y x √ x+ y √ y √x −√ y a, Tìm tập xác định A; b, Rút gọn A; c, Chứng minh A 0; (Tương tự chứng minh : A < 1) d, So sánh A với (Tương tự so sánh: A với √ A ) 3 x x+x + + √ Câu 23: Cho biểu thức: B = √ x − − √ x √ x −3+ √ x √ x +1 a, Tìm TXĐ B; b, Rút gọn B; c, Tìm x để B > 2; ( ) d, Tính giá trị B x = 61 ; 9+2 √5 e, So sánh B với 1,5; g, Tìm giá trị nhỏ B √ x −2 − √ x+2 1− x Câu 24: Cho biểu thức: C = x −1 x +2 √ x +1 √2 a, Tìm TXĐ C; b, Rút gọn C; c, Với giá trị nào x thì C = 0; C > 0; C < 0; d, Tính giá trị C x = 4+2 √ ; e, Tìm giá trị lớn C 2√ x−9 x +3 √ x+ −√ − Câu 25: Cho biểu thức: D = x −5 √ x+6 √ x −2 − √ x a, Tìm x để D có nghĩa; b, Rút gọn D; c, Tìm x để D < 1; d, Tìm giá trị nguyên x để D nhận giá trị nguyên 1 x+1 + : √ Câu 26: Cho biểu thức : E = x − √ x √ x −1 x − √ x+ a, Tìm TXĐ và rút gọn E; b, Tính giá trị E với x = 0,25 c, Tìm giá trị x để E > -1 a a− √ a − Câu 27: Cho biểu thức: F = √a − a − √ a a, Tìm TXĐ rút gọn F; b, Tính giá trị F với a = 3- √ ; c, Tìm a để F < ( ( )( ) ) Tích luỹ chuyên môn √ x + √ x −1 Câu 28: Cho biểu thức G = x √ − √x − x a, Tìm TXĐ G; b, Rút gọn G; c, Tính giá trị G x = 6+ √ 20 ; d, Tìm x để | A|> A ; e, Tìm x để A > ; A < Câu 29: Cho biểu thức : M = ( √ x1−3 − √ x1+3 ) : √ x3−3 a, Tìm TXĐ rút gọn M; b, Tìm x để M > ; c, Tìm x để M đạt giá trị lớn Câu 30: Cho biểu thức : N = ( 1+ 1 √ x −1 x − √ x ) a, Tìm TXĐ và rút gọn N; b, Tính giá trị N x = 25; c, Tìm x để N √ 5+2 √6 ( √ x −1 )2 =x −2007+ √ 2+ √ Tích luỹ chuyên môn Toán giải và biện luận phương trình bậc Câu 1: Với giá trị nào m thì phương trình: x2-4x+3m-2=0 có nghiệm là: -2 Câu 2: Với giá trị nào m thì phương trình: x2-2x+3m=0 có hai nghiệm phân biệt Câu 3: Với giá trị nào m thì phương trình: 3x2-2x+4m-1=0 có hai nghiệm là hai số nghịch đảo Câu 4: Với giá trị nào m thì phương trình: x2-3x+m+1=0 có hai nghiệm x1,x2và x12+x22=5 Câu 5: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình đó là: √5 − √2 √ 5+ √ x ❑1 = và x ❑2 = √ 5+ √ √5 − √2 Câu 6: Với giá trị nào m thì phương trình: x2-(m+1)x+2m-3=0 có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 và x ❑1 +x ❑2 +x ❑1 x ❑2 =11 Câu 7: Tìm m để phương trình: x2-5x+4m-3=0 có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: x ❑1 =4 x ❑2 ¿ x+ y=−7 xy=12 ¿{ ¿ Câu 8: Tìm x, y biết: Câu 9: Giá trị nào a để đường thẳng (d): y=a+x tiếp xúc với Parabol (P): y=x2 Câu 10: Tìm tọa độ giao điểm (d): y=2x-3 và (P): y=-x2 Câu 11: Biết x ❑1 =-3 là nghiệm phương trình: x2+2x-m+3=0 Tính nghiệm thứ hai x ❑2 và m Câu 12: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương: x2-2(m+2)x+4m+5=0 Câu 13: Với x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm phương trình: x2-Sx+P=0 thì các hệ thức sau, hệ thức nào đúng: a x12+x22=S2-2P 3 S b x + x = P 2 c x ❑ + x =S (S − P) d 1 S2 −2 P + = x 21 x 22 P2 Câu 14: Cho phương trình: mx2+(4-m)x+2m=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: 2(x12+x22)- x ❑1 x ❑2 =0 Câu 15: Cho phương trình: x2-(m-1)x+5m-6=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: 4x ❑1 +3x ❑2 =1 Câu 16: Cho phương trình: x2-2(m+1)x+m2+3=0 Tìm m cho các nghệm x ❑1 ,x ❑2 phương trình thoả mãn: 2(x ❑1 +x ❑2 )-3 x ❑1 x ❑2 +9=0 Câu 17: Gọi x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm phương trình: 2x2-3mx-2=0 Tìm giá trị m để: S= x12+x22 đạt giá trị nhỏ Tích luỹ chuyên môn Câu 18: Gọi x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm phương trình: x2+ 1 + giá trị biểu thức: x1 x2 √ x- √ =0 Hãy tính Câu 19: Cho phương trình : x2+2(m+2)x-4m-12=0 (1) a, Giải phương trình m=2; b, Tìm m để phương trình luôn có nghiệm; c, Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, x thỏa mãn x 1=x 22 Câu 20: Cho phương trình : x2-5mx-4m = có hai nghiệm phân biệt x 1, x a, Chứng minh : x 21+5 mx − m>0 ; b, Xác định giá trị m để biểu thức: x +5 mx +12 m m2 + A= x +5 mx +12 m m2 đạt giá trị nhỏ Câu 21: Cho phương trình : x2 – 2x + m = a, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 và x2 dương; x1 x2 10 b, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x + x =− 2 Câu 22: Cho phương trình : x – ( m + ) x + m – = (1) a, Giải phương trình với m = 1; b, Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m; c, Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình (1), Chứng minh A = x1 ( - x2) + x2 ( - x1 ) luôn không phụ thuộc vào m Câu 23: Cho phương trình bậc hai ẩn là x: x2 + ( m – ) – 2m + = a, Giải và biện luận phương trình theo m x1 x2 b, Tìm m biết x1 , x2 là nghiệm phương trình thỏa mãn x + x =2 c, Tìm m cho A = 12 – 10 x1x2 – (x12 + x22) đạt giá trị lớn Câu 24: Cho phương trình : mx2 – (m – 2)x + m + = a, Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm phương trình đã cho nó có nghiệm; b, Tìm m để phương trình có nghiệm dương Câu 25: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – = (1) a, Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm ∀ m; b, Gọi A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 +, Tìm giá trị lớn A +, Tìm m để A = 27 Tích luỹ chuyên môn Giải bài toán cách lập phương trình và hệ phương trình Câu 1: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường PTTH Thanh Chương I Năm: 2004-2005) Nhân dịp kỷ niệm 32 năm ngày giải phóng Miền Nam thống đất nước, 180 học sinh khối trường điều tham gia diễu hành Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh thì phải điều ít dùng loại xe nhỏ là Biết rằng, xe lớn có nhiều xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, xe đó huy động ? Câu 2: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không thay đổi Tính chu vi mảnh đất lúc ban đầu Câu 3: Hai thành phố A và B cách 48km, gió thổi từ A đế B với vận tốc không đổi 6km/h Lúc giờ, người mô tô từ A đến B, nghỉ ngơi 30 phút trở lại lại A, anh đến A lúc 10 50 phút Vận tốc mô tô cộng thêm trừ bớt vận tốc gió, tùy theo mô tô chạy xuôi chiều hay ngược chiều gió Hãy tính riêng vận tốc mô tô (tốc độ mô tô tốc độ gió 0) Câu 4: Trong phòng học có số ghế dài Nếu xếp ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ Nếu xếp ghế bốn học sinh thì thừa ghế Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? Câu 5: Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống va 40 lúa giốn cũ Thu hoạch tất 460 thóc Hỏi suất loại lúa trên là bao nhiêu, biết trồng lúa thu hoạch ít trồng lúa cũ là Câu 6: Hai thợ cùng xây tường 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển) Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì hai xây tường Nếu người làm mình thì bao lâu xây xong tường? Tích luỹ chuyên môn Câu 7: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách 750 km và ngược chiều nhau, sau 10 chúng gặp Nếu xe thứ khởi hành trước xe thứ hai 45 phút thì sau xe thứ hai chúng gặp Tính vận tốc xe Câu 8: Trong phòng họp có 360 ghế xếp thành các dãy và số ghế dãy Có lần phòng họp phải xếp thêm dãy ghế và dãy tăng thêm ghế (số ghế dãy nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu Hỏi bình thường phòng có bao nhiêu dãy ghế ? Câu 9: Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn thì sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng vòi thì vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai là Hỏi mở riêng vòi thì vòi chảy bao lâu đầy bể ? Câu 10: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5 km trên mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng trên hồ biết vận tốc nước chảy sông là km/h Hình học Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB=6cm, AC=8cm ❑ ❑ a, Tính BC, B ,C b, Phân giác góc A cắt BC D Tính BD, CD c, Từ D kẻ DE và DF vuông góc với AB và AC Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a, CE=CF; b, AC là tia phân giác góc BAE; c, CH2=AH.BF Câu 3: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) a, Chứng minh OA vuông góc với MN b, Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC// AO c, Tính độ dài các cạnh tam giác AMN biết OM= 3cm, OA= 5cm Câu 4: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ các đường kính AOB, AO’C Gọi DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn, D (O), E (O’) Gọi M là giao điểm BD và CE a, Tính số đo góc DAE b, Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao? c, Chứng minh MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn Câu 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm A và O Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB Tích luỹ chuyên môn a, Kẻ dây DE đường tròn (O) vuông góc với AC trung điểm H AC Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì ? b, Gọi K là giao điểm DB và đường tròn (O’) Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng c, Chứng minh HK là tiếp tuyến đường tròn (O’) Câu 6: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB Vẽ đường tròn (M, MH) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H) a, Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến đường tròn (O) b, Chứng minh điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi c, Giả sử CD và AB cắt I Chứng minh tích OH.OI không đổi Câu 7: Cho hai đường tròn (O, 16cm) và (O’,9cm) tiếp xúc ngoài A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn (B (O), C (O’)) Kẻ tiếp tuyến chung A cắt BC M a, Tính góc OMO’ b, Tính độ dài BC c, Gọi I là trung điểm OO’ Chứng minh BC là tiếp tuyến đường tròn tâm I, bán kính IM Câu 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt E Kẻ EF vuông góc với AD Gọi M là trung điểm DE Chứng minh rằng: a, Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được; b, Tia CA là tia phân giác góc BCF; c, Tứ giác BCMF nội tiếp Câu 9: Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB Gọi I là giao điểm AC và DE, K là giao điểm BC và DF Chứng minh rằng: a, Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp ; b, CD2 = CE.CF; c, Tứ giác ICKD nội tiếp; d, IK CD ❑ Câu 10: Cho tam giác cân ABC có đáy BC và A =200 Trên nửa mặt phẳng bờ AB ❑ không chứa điểm C lấy điểm D cho DA = DB và DAB = 400 Gọi E là giao điểm AB và CD a, Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp ❑ b, Tính AED Câu 11: Cho góc xAy = 600 Một đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh Ax và Ay B và C Gọi M là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến M với đường Tích luỹ chuyên môn tròn cắt AB và AC E và F Gọi P là giao điểm BC với OE, gọi Q là giao điểm BC với OF a, Chứng minh tam giác ABC b, Chứng minh tứ giác OBEQ nội tiếp c, Chứng minh EF = 2PQ Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB D Vẽ đường tròn (K) đường kính CH cắt AC E Chứng minh rằng: a, AD.AB = AE.AC b, DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) và (K) c, Diện tích tứ giác DEKI nửa diện tích tam giác ABC Câu13: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc ngoài (O’;r) A Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) B và C Vẽ AH BC a, Tính độ dài BC b, Chứng minh rằng: ba đường OC, O’B và AH đồng quy trung điểm AH Câu 14: Cho (O;R) và điểm A ngoài đường tròn Từ diểm M di động trên đường thẳng d OA A Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Dây BC cắt OM và OA H và K a, Chứng minh rằng: OA.OK không đổi, từ đó suy BC luôn qua điểm cố định b, Chứng minh rằng: H di động trên đường tròn cố định c, Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tính giá trị nhỏ đó Câu 15: Cho (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đường kính AB lấy điểm E cho AE = R √ Vẽ dây CF qua E tiếp tuyến đường tròn F cắt đường thẳng CD M, vẽ dây AF cắt CD N Chứng minh rằng: a, MF//AC ❑ b, Tia CF là phân giác BCD c, MN, OD, OM là đọ dài cạnh tam giác vuông Câu 16: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) tia phân giác góc A cắt BC E và cắt đường tròn M a, Chứng minh OM vuông góc với BC; b, Dựng tia phân giác ngoài Ax góc A; Chứng minh Ax luôn qua điểm cố định; c, Kéo dài Ax cắt BC F; Chứng minh FB.EC = FC.EB; d, gọi giao điểm OM và BC là I; Chứng minh góc AMI=góc AFC Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2007-2008 Phần I Trắc nghiệm (2 điểm) Tích luỹ chuyên môn Em hãy chọn phương án trả lời đúng các phương án (A, B, C, D) câu sau, ghi phương án đã chọn vào bài làm Câu Đồ thị hàm số y= 3x – cắt trục tung điểm có tung độ là: A 2; Câu Hệ phương trình A (2; 1) ; Câu Sin300 bằng: B -2; ¿ x − y=1 x + y=3 ¿{ ¿ B (3; 2) ; C 3; D có nghiệm là: C (0; 1) ; D (1; 2) 1 A ; B √ ; C √ ; D 2 √ ❑ Câu Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) Biết MNP =70 Góc MQP có số đo là: A 1300 ; B 1200 ; C 1100 ; D 1000 Phần II Tự luận (8 điểm) Câu (3 điểm) Cho biểu thức A = ( √ x√−1x − x −1√ x ): √ x1−1 a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b, Tìm tất các giá trị x cho A < c, Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình A √ x=m− √ x có nghiệm Câu (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A đến B Xe máy thứ có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai Tính vận tốc trung bình xe máy, biết quảng đường AB dài 120km Câu (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm H nằm hai điểm A và B (H không trùng với O) Đường thẳng vuông góc với AB H, cắt nửa đường tròn trên điểm C Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC a, Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao? b, Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp c, Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB Chứng minh DE = 2KO Tích luỹ phần Toán Chương 1: Phép nhân và phép chia đa thức Tìm chữ số tận cùng P = {(77)7:(76)6}6}6 Tích luỹ chuyên môn Chứng minh biểu thức z2 + y( 2x –y) – x2 chia hết cho biểu thức x – y + z Tìm a, b, c cho đa thức x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 3)3 Tìm giá trị nguyên biểu thức để giá trị biểu thức x – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá biểu thức x2 + x +1 Phân tích đa thức sau thừa số: a4 + 8a3 + 14a2 – 8a -15 Chứng minh đa thức sau ( a2 + 3a + 1)2 – chia hết cho 24 với a là số tự nhiên Chứng minh hiệu số lẻ thì chia hết cho 8 Chứng minh biểu thức 10n + 18n -1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên Chứng minh m 10 Chứng minh 25n4 + 50n3 – n2 -2n chia hết cho 24 n là số nguyên dương tuỳ ý 11 Chứng minh 20 + 21 + 22 +…+ 25n-2 + 25n-1 chia hết cho 31 n là số nuyên dương b thì m = a4 + không thể là số nguyên tố kì 12 Chứng minh a và b không chia hết cho thì a6 – b6 chia hết cho 13 Chứng minh 4a2 + 3a + chia hết cho a là số nguyên không chia hết cho không chia hết cho 14 Hai lần số lẻ bất kì có thể là hiệu bình phương số nguyên không? 15 Tìm số tự nhiên liên tiếp biết tổng các tích cặp hai số số 242 16 Chứng minh số chính phương tận cùng thì chữ số hàng chục là chữ số 17 Chứng minh các số tự nhiên có tổng thì n tận cùng 25 Số n2 có thể t cùng 125 không? 18 Chứng minh tổng số nguyên chia hết cho thì tổng các lập phương chúng ch hết cho 19 Phân tích thành nhân tử: a, 4x2 -3x -1 b, 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 20.Giả sử a, b, c là các số nguyên Chứng minh {(a- c)2 + ( b – d)2 } (a2 + b2) – (ad –bc)2 là số chính phương 21 Cho x + y =1; x3 + y3 = a; x5 + y5 = b Tích luỹ chuyên môn Chứng minh rằng: 5a(a + 1) = 9b + 22 Chứng minh tổng lập phương số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 23 Tìm các số tự nhiên n cho n2 + 3n + 39 và n2 + n + 37 chia hết cho 49 Chương II Phân thức đại số Rút gọn phân số 19 99 95 với n chữ số tử và n chữ số mẫu (n là số tự nhiênn) Tính số trị phân thức sau cách nhanh 2 a − a −a+ với a =102 a − a +14 a− Số nào lớn hơn: 1981− 1980 1981 −1980 hay 1981+ 1980 19812 +19802 Số nào lớn hơn: 101979 +1 101980 +1 hay 1981 ? 101980 +1 10 +1 a+ b Tìm số trị của: a− b với 2a2 + 2b2 = 5ab và b > a > Chứng minh nếu: c2 + 2(ab – ac – bc) = 0, b c , a+b ≠ c thì Rút gọn phân thức sau: a−c¿ ¿ b−c¿ ¿ b +¿ a 2+ ¿ ¿ (x 2+ a)(1+ a)+a2 x2 +1 ( x − a)(1− a)+a2 x2 +1 Chứng minh phân thức trên không p thuộc vào x, có nghĩa với x và a Chứng minh x = by +cz (1), y = ax + cz (2), z = ax + by (3) và x + y + z 1 + + =2 1+ a 1+b 1+ c Thực phép tính 1 + + 2 2 (b − c)(a + ac −b − bc) (c − a)(b + ab− c − ac) (a −b)(c + bc − a − ab) Chương III Phưng trình bậc ẩn 0t Tích luỹ chuyên môn Cho 10 + 11 + 12 =13 + 14 Hỏi ngoài số trên có số nguyên nào có tính ch 2 2 không? Chứng minh nghiệm phưng trình sau là số nguyên x − 29 x − 27 x − 25 x −23 x −21 x −19 + + + + + 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x −1970 x −1972 x − 1974 x −1976 x −1978 x −1980 ¿ + + + + + 29 27 25 23 21 19 Đầu năm học tổ học sinh mua số sách và phải trả 72 đồng Nếu bớt ngư thì người còn lại phải trả thêm đồng Hỏi tổ đó có bao nhiêu người Giải phương trình: ||x −2|−3|=1 Một số bài toán khác Có số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức 15x2 – 7y2 = không? Tìm số tự nhiên biết ta bỏ đI chữ só cuối cùng số đó thì ta số m lập phương nó chính số cần tìm chứng minh phương trình n + S(n) = 1982 Với S (n) là tổng các chữ số n (n là nguyên không âmn) Tổng chữ số không âm tích chúng Tìm số đó Cặp số 44 và 18 có tính chất sau Tổng và hiệu chúng là số có chữ số, vị trí đổi ch Hãy tìm các cặp số mà số có hai chữ số có tính chất trên Cho biểu thức: P = ( x −3 x −8 21+2 x − x2 + − ): +1 x − 12 x +5 13 x −2 x −20 x − x2 + x − a, Tìm điều kiện x để biểu thức có ngiã b, Rút gọn P Chứng minh x + y + z = thì x3 + y3 + z+z3 = 3xyz Tính giá trị biểu thức: M= bc ca ab 1 + + biet + + =0 a b c a b c ( a, b, c 0) Giả sử x, y, z thoả mãn x.y.z = 1992 Chứng minh 1992 x y x + + =1 xy +1992 x+1992 yz+ y +1992 xz+ z +1 10.Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x6 – x4 +2x3 + 2x2 = y2 Tích luỹ chuyên môn 11.Cho biểu thức: A = x +15y + xy + 8x + y +1992 Tìm giá trị nhỏ A 2 12.Chứng minh aC, b, c, là các số dương và a + b + c = thì 1+ 13.Giải bất phương trình: >1992 1+ 1 b+ ¿2 +( c+ )>33 b c a+ ¿ 2+¿ a ¿ 1+ 1+ x 14.Chứng minh a, b là số dương thì a2 – 3ab2 + 2b2 là số dương 15.Chứng minh số có chữ số chia hết cho 101 thì viết chữ số cuối cùng lên đầ số có chữ số chia hết cho 101 16.Cho tổng số nguyên Chứng minh tổng các luỹ thừa bậc số nguyên chia hết cho 15 1 17.Thực phép tínhT: (1− 1+2 )(1− 1+2+3 ) (1 − 1+2+3+ +1986 ) 18.Chứng minh rằng: 40 +514 +91 402 +512+ 912 = 794 79 19.Chứng minh x C + y = và xy thì: 2(x − y) y x − = 2 x −1 y −1 x y +3 20.So sánh hai biểu thức A và B: 1 1 1 A = 124( 1985 + 1986 + .+ 16 2000 ), B= 17 + 18 + + 1984 2000 21 lần Có tồn số nguyên dương nào mà ta bỏ chữ số đầu tiên thì số đó giảm đi: a, b, 58 lần 22 Cho số a, b, c, d cho ab = 1, ac + bd = Chứng minh 1- cd không thể là số âm 23 Tìm x biết: 1985 x −1986 −1987 + x −1985 − 1987 x − 1985− 1986 + =3 1986 1987 Tích luỹ chuyên môn 24 25 Tìm x biết: x −1986 ¿ ¿ x −1986 ¿ ¿ 1985− x ¿ −(1985 − x)( x −1986)+¿ ¿ 1985− x ¿ 2+(1985 − x)( x −1986)+¿ ¿ ¿ c d Cho số a, b, c, d khác đó c + d =1 và a + b =ac + bd chứng minh a = b 26 Chứng minh bất đẳng thứcC: x21 + x22 + x23 + x42 + x52 27 Cho 28 Chứng minh nn – n2 – chia hết cho ( n- 1)2 với số nguyên n lớn x1(x2 +x3 + x4 + x5) x x2 =a TinhP= theo a x + x+ x − x2 +1 Chứng minh ràng đa thức PC (x) = x5 – 3x4 + 6x3 + 6x2 + 9x – không thể có nghiệ 29 nguyên 30 31 Xét biểu thức: S= Xét hai biểu thức: 1992 + + + 1991 2 Chứng minh S < 2 x y z x y z P= + + ,Q= + + y + z z+ x x + y y+z x+z x+ y a, Chứng minh P = thì Q = b, Nếu Q = thì thiết P = không? Phần Hình học Cho tứ giác lồi ABCD Kéo dài hai cạnh AC và BD cùng phía gặp E Kéo d hai cạnh AB và CD cùng phía gặp tai M Kẻ hai đường phân giác hai góc CED BMC gặp K Tính góc EKM theo các góc tứ giác lồi ABCD Cho tam giác ABC, N là điểm AB, M là điểm AC, P và Q năm trên BC s cho BP = PQ = QC BM cắt NP và AQ K và L So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích ta giác ABC Tích luỹ chuyên môn Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ BC Từ I là điểm chính CD kẻ Ix song song với A Từ A và B kẻ AH và BE vuông góc với Ix Chứng minh diện tích tứ giác ABEH diện tích hìn ABCD Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B nằm góc đó Hãy tìm trên Ox và Oy các điểm C và cho ABCD có chu vi nhỏ Lấy cạnh AB tam giác ABC (góc BAC g 600) dựng các tam giác ABD và ACE phía ngoài góc A Lấy AD và AE làm cạnh, dựng hình bình hành ADFE Chứng minh tam gi FBC Chứng minh hai trung tuyến tam giác (p và q) vuông góc với thì trun tuyến thứ là cạnh huyền tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hai trung tuyến Cho tam giác ABC các đường cao AK và BD cắt G, vẽ đường trung trực HE, HF c AC và BC Chứng minh BG = 2HE, AG = 2HF Cho hình vuông ABCD, đặt hình vuông A’B’C’D’ cho tâm hai hình vuông đó trùn Chứng minh trung điểm AA’, BB’, CC’, DD’ là đỉnh hình vuông khác Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC = b, và hai đường chéo AC = c, BD = d v α là góc xen hai đường chéo AC và BD 10.Cho hình vuông ABCD Gọi MN là trung điểm AB, AD Nối BN, CM, chúng cắt nh P Chứng minh rằng: a BN vuông góc CM b DP = DC 11 Cho hình bình hành ABCD Trên BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng với C qua E Q F, kẻ Fx song song AD, Fy song song AB, Fx cắt AB I, Fy cắt AD K Chứng minh I, K E thẳng hàng 12 Cho tứ giác ABCD, điểm M nằm tứ giác cho diện tích ABM diện tích ADM diện tích BCM diện tích CDM Chứng minh có đường chéo tứ giác qua M 13 Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy qua A Gọi E là điểm nằm trên x Tìm liên hệ diện tích các tam giác ABE, ACE, ADE 14 Tích luỹ chuyên môn Cho tam giác ABC vuông B, trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy AN = 1/3AC Đườn thẳng qua N song song với AM cắt BC tai P Chứng minh rằng: a 2AM = 3NP b 2AM = BN 15 Cho hình thang ABCD có đáy lớnCD Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC Qua vẽ đường thẳng BI song song với AD BI cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng: a EF son song với AB b AB2 = CD EF 16 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH 10cm, đường cao BK 12cm Tính đ dài các cạnh tam giác ABC Tích luỹ chuyên môn Chương I: phép nhân và phép chia đa thức Câu 1: P = 7343: 7126= 7127= 74.31+3 = 74k+3( k=31)= (74)k.72 mà 74= 2401 nên) (74)k tận cùng Còn 73= 243 tận cùng Do đó P tận cùng Câu 2: Cách 1: z2 + y(2x- y)- x2= z2+ 2xy- y2- x2= z2-(x2- 2xy+ y2)=z2- (x-y)2=(z+x-y)(z- x+ y), đó biểu thức trên chia hết cho x - y+ z Cách 2: z2+ y(2x- y)- x2= z2+ 2xy- y2- x2 z2 + 2xy –y2 –x2 x–y+z z2 + xz – yz z+y–x 2xy – y2 – x2 –xz + yz xy – y2 + yz xy – x2- xz xy – x2 –xz Do đó biểu thức z2+ y(2x- y)- x2 chia hết cho x – y + z Câu 3: Chia đa thức x4 +ax2 + bx + c chia cho ( x-3) thương là x +9 và còn dư ax + 54x2 bx -216x +243 +c Muốn đa thức x4 +ax2 + bx + c chia hết cho ( x-3) thì số dư phải tức l ax2 + 54x2 + bx -216x +243 +c = với x Từ đso suy ra: a = -54; b = 216; c = - 243 Bài 4: Thực phép chia x3 – 3x2 - 3x -1 x2 +x +1 x3 + x2 + x x–4 - 4x2 -4x -1 - 4x2 -4x - Suy x3 – 3x2 - 3x -1 chia hết cho x2 +x +1 chia hết cho x2 +x +1 đó x2 +x +1 = ± Câu 5: a4+ 8a3+ 14a2- 8a- 15 Tích luỹ chuyên môn = a + 8a +16a -a - 8a- 16- a2+ 2 =(a4+ 8a3+16a2)- (a2+ 8a+16)-(a2-1) = (a4+4a)2- (a+ 4)2- ( a2- 1) = a2( a+4)2- (a+ 4)2- (a2- 1) = (a+4)2(a2- 1)- (a2- 1) =(a2- 1) [ ( a+ ¿ −1 ) ] =(a- 1)( a+1)(a+ 3)(a+ 5) Câu 6: Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử: (a2+ 3a+ 1)2- 1= (a2+ 3a+ 1+1)(a2+ 3a+ 1- 1) =( a2+ 3a+ 2)( a2+ 3a)= (a+2)(a+1)(a+3)a =a(a+1)(a+2)(a+3) Như đa thức đã cho là tích số tự nhiên liên tiếp Ta biết rằng: a) Trong ba số tự nhiên liên tiếpắt có số chia hết cho 3, đa thức đã cho chia hết cho b) Trong bốn số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp nên hai số đó ch hết cho và số còn lại chia hết cho 4, đa thức đã cho chia hết cho Nhưng (3, 8)= 1, nên tích số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 24, đó (a 2+ 3a+ 1)2+ chia hết cho 24 Câu 7: Gọi số lẻ là 2p+1 và 2q+ với p, q là hai số nguyên Ta phảI chứng (2p+ 1)2- (2q+ 1)2 chia hết cho Thực (2p+ 1)2- (2q+ 1)2= 42+ 4p+1- 4q2- 4q- 1= 4p(p+1)- 4q(q+1) P(p+1) q (q+1) chia hết cho và biểu thức đã cho chia hết cho Câu 8: Ta có: 10n- 1= 99 ⏟ n (n chữ số 9n) Vậy 10n+ 18n- 1= 99 ⏟ n Tích luỹ chuyên môn 11 ⏟ + 9.2n = 9( +2n) n Tích này chia hết cho vì thừa số là Cần chứng minh tổng ngoặc chia hết cho Biến đổi tổng ngoặc: 11 ⏟ n 11 ⏟ +2n = n - n + 3n Số n và số các chữ số có cùng số dư phép chia cho (Theo dâu hiệu chia hết cho 3T) n 11 ⏟ n - n chia hết cho Vậy 10n + 18n -1 chia hết cho 27 Câu9 Bằng cách thêm bớt hạng tử ta có: M = a4 + 4a2 + – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a2)2 = ( a2 + 2a + 2)( a2 -2a + 2) = {(a+1)2 + 1}{(a-1)2 + 1} G trị nhỏ thừa số thứ là a = -1, giá trị nhỏ thừa số thứ hai là a = Còn tất các trường hợp khác thì tích lớn Vậy ta có thể nói ngoài trường hợp a = a = -1(khi đó m k = 5) thì m có thể phân tíc thành tích hai thừa số khác 1, cho nên m không thể là số nguyên tố Câu 10 25n4 + 50n3 – n2 -2n = n(25n3 + 50n2 – n – 2) = n(n+2)(25n2-1) = n(n+2)24n2 + n(n+2)(n2= 24n3(n+2) + (n-1)n(n+1)(n+2) Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ chia hết cho 24 Còn số hạng thứ hai là tích nguyên liên tiếp phải chia hết cho 1.2.3.4 = 24 Câu 11 Nhóm số hạng đặt thừa số chung nhóm: 20+ 21+ 22+…+ 25n-3+ 25n-2+ 25n- = 1+2+ 22+ 23+ 24+ 25(1+2+ 22+ 23+ 24) + 25.2(1+2+ 22+ 23+ 24)+…+ 25(n-1) (1+2+ 22+ 23+ 24) = ( 1+2 22+ 23+ 24)(1+ 25+ 25.2+…+ 25(n- 1)) = 31(1+ 25+ 25.2+…+ 25(n- 1)) Vậy 20+ 21+ 22+…+ 25n-3+ 25n-2+ 25n- chia hết cho 31 Câu 12: Trước hết phân tích đa thức đã cho a6- b6= (a2- b2)[(a2- b2)2+ 3a2b2] vì a và b không chia hết cho 3, cho nên: a= 3p ± 1, b= 3q ± 1, Tích luỹ chuyên môn a = 3p’+ 1, b = 3q’+ Ta thấy hai thừa số chia hết cho nên tích chia hết cho Vậy a và b không chia hết acho thì a6- b6 chia hết cho Câu 13: Trước hết, ta biến đổi đa thức đã cho: 4a2+ 3a+ 5= (a+1)(4a- 1)+ Dựa vào tính chất chia hết tổng cho số, ta cần chứng minh (a+1)(4a- 1) chia h cho Đặt A = (a+1)(4a- 1) - Nếu a = 2k thì A = (2k+1)(8k- 1) Cả hai thừa số A là lẻ nên tích lẻ Một số không chia hết cho nên tích không chia hết cho - Nếu a = 3k thì A = (3k+1)(12k- 1) = 36k2 + 9k -1 Ta thấy36k2 chia hết cho 9k – không chia hết cho Vậy A không chia hết cho - Nếu a = 6k + thì A = (6k+2)(24k+ 3) = 144k + 64k +6Các số hạng A chia hết cho Vậy A chia hết cho - Nếu a = 6k - thì A = 6k(24k -5) Có thừa số chia hết cho Vậy A chia hết cho Vậy 4a2 +3a +5 chia hết cho A là số nguyên không chia hết cho không chia h cho Câu 14 Giả sử được, ta gọi số lẻ bất kì là 2a + 1và có (2a + 1) = b – c2 = ( b-c)(b+c) với a, b là số nguyên Ta thấy (2a+1) chia hết cho không chia hết cho đó ( b-c)(b+c) chia hết cho nhưn không chia hết cho (1) a, Nếu b, c là số chẵn thì ( b-c)(b+c) chẵn đó ( b-c)(b+c) chẵn và chia hết cho 4, này mâu thuẫn với (1) b, Nếu b chẵn, c lẻ (hoặc ngược lạih) thì ( b-c), (b+c) đó ( b-c)(b+c) lẻ Vậy ( b-c)(b+c) khôn chia hết cho Điều này mâu thuẫn với (1) c, Nếu b và c là số lẻ thì ( b-c), (b+c) chẵn và ( b-c)(b+c) chia hết cho Điều này mâu thuấ với (1) Vây hai lần số lẻ bất kì không thể là hiệu bình phương hai số nguyên Tích luỹ chuyên môn Câu 15 Giải tương tự bài 22 Đáp số 8,9, 10 Câu 16 Tương tự bài 72 Câu 17 Số tận cùng có dạng 10A + (A là số chụcA) Xét n2 = (10a+5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25 Vậy n2 tận cùng 25, còn số trăm là chẵn vì a (a+1) là tích hai số nguyên liên tiếp, nên n2 có thể tận cùng 125 Câu 18 Gọi hai số đó là a và b ta có a + b chia hết cho Ta có a3 + b3 = (a+b) ( a2 – ab+b2)= (a+b){(a+b)2 – 3ab} chia hết cho Câu 19 a, (x-1)(4x+1) b, (3x-y-1)(x-7y-1) Cau 20 P = {(a2 + b2) + ( c2 + d2) -2(ac + bd)}( a2+b2) – (ad-bc)2 = {(a2 + b2) – 2(a2 + b2)(ac + bd) (c2 + d2)}(a2 + b2) – (ad –bc)2 Biến đổi hai hạng tử cuối thành ( ac + bd) đó P = {(a2 + b2) – ( + bd)}2 = ( a2 + b2 –ac –bd)2 Câu 21 Ta có: (x+y)3 = x3 + y3 + 3xy(x+y) nên 1−a = a =3xy ⇒ xy= x5 + y5 = x5 + y5 + x2y3 + x3y2 – x2y3 –x3y2 = x2(x3 + y3) + y2(x3 + y3) – x2y2(x+y) = (x2 +y2)(x3 +y3) – x2y2(x+y) Do đó: b = {(x+y)2 -2xy}a - −a ¿ 2( 1− a) 1−a ¿ = 1− a−¿ 3 ¿ [ ] Rút gọn biểu thức trên ta điều phải chứng minh Câu 22 Xem bài 79 Câu 23 Đặt A = n2 + 3n + 39 = (n+5)(n-2) + 49, A chia hết cho 49 ⇔ n + và n +2 chia hết cho ⇔ n = 7k + (1) Đặt B = n2 + n + 37 = (n + 4)(n- 3) + 49 B chia hết cho 49 ⇔ n + và n – chia hết cho ⇔ = 7m + (2) Từ (1) và (2) suy A, B không đồng thời chia hết cho 49, đó không tồn số tự nhiên n để A B cùng chia hết cho 49 Chương II Phân thức đại số Tích luỹ chuyên môn 199 Câu 1: Cách 1: Nếu lấy mẫu chia cho tử thì đúng lần Vậy 99 95 = Cách 2: 19 = 20 -1 = 2.10 -1 199 = 200 -1 = 2.102 – … 199…9 = 2.10n – 195 = 100 -5 = 102 -5 = 101 +1 -5 995 = 1000 – = 103 – 5= 102+1 -5 … 99…95 = 10n + – 199 10 n −1 = = 99 95 10n+1 −5 Vậy: 2(10 n − ) = 10 (10n − ) Câu 2: Phân tích tử và mẫu thành tử a3 - 4a2 - a - = a( a2 - 1) - 4(a2 - 1) = (a2 - 1)(a - 4) = (a - 1)(a+1)(a-4) a3 – 7a2 + 14a -8 = (a-2)(a2+2a+4) – 7a(a-2) = (a-2)(a-1)(a-4) Suy a −4 a −a−4 a+ = a − a +14 a− a −2 Tính = ….= 1,03 Câu Theo tính chất phân thức ta có: 1980+1981¿ ¿ ¿ Từ bài toán trên ta suy bài toán tổng quát sa 2 1981− 1980 1981 −1980 1981−1980 1981 − 1980 = = ¿ 1981+ 1980 1981+1980 1980+1981 Số nào lớn hơn: x−y x2 − y2 hay 2 x+ y x +y Câu Còn với x > y > 1979 1979 101979 +1 (10 +0,1)+0,9 (10 +0,1)+ 0,9 0,9 = = = + 1980 1980 1980 1979 10 10 +1 10 +1 10 +1 10( 10 +0,1) 1980 1980 101980 +1 (10 +0,1)+0,9 (10 +0,1)+ 0,9 = = = + 1981 1981 1981 1980 10 10 +1 10 +0,1 10 10( 10 +0,1) 10 +1 So sánh phân số cùng tử ta có Tích luỹ chuyên môn 1979 1980 10 +1 10 +1 < 1981 1980 10 +1 10 + Từ bài toán trên ta suy bài toán tổng quát sau Số nào lớn hơn: 10n +1 10n +1+1 hay 10n+1 +1 10n +2+ với n là số tự nhiên? Câu 2a2 + 2b2 = 5ab suy 2a2 – 5ab + 2b2 = suy ( 2a-b)(a-2b)= Vì b>a>0 nên a a+ b a+2 a 3a thoả mãn (1) thì b = 2a Vậy a− b = a −2 a = − a =−3 Câu Cộng hai vế c2 + 2(ab – ac – bc) = lấn lượt với a2, b2 ta có a2 = c2 + 2ab -2ac-2bc+ a2 = (a-c)2 + 2b(a-c) (1) b2 = c2 + 2ab-2ac-2bc+ b2 = (b-c)2 + 2a(b- c) (2) Từ (1) và (2) vế trái đẳng thức cần chứng minh có dạng: a − c ¿2 ¿ b − c ¿2 ¿ a − c ¿2 ¿ b − c ¿2 ¿ a − c ¿ +2 b(a −c ) ¿ b − c ¿2 +2 a(b −c ) ¿ 2¿ 2¿ b − c ¿ +2 a( b− c )+¿ ¿ a − c ¿2 +2 b( a− c )+ ¿ ¿ b2 +¿ a2 +¿ ¿ (đpcm) Câu 2 ( x + a)(1+ a)+ a x +1 =¿ ( x −1)(1 −a)+a x 2+ 2 2 x + x a+ a+a 2+ a2 x +1 x ( a + a+1)+( a + a+1) ( x +1)(a +a+1) a2+ a+1 = = = x2 − x a− a+ a2 x +1 x2 (a2 − a+1)+( a2 − a+1) (x2 +1)(a2 − a+1) a2 −a+ 2b Đ Tích luỹ chuyên môn x +1#0, Rõ ràng phân thức a + a+1 a − a+1 không phụ thuộc x Điều đó chứng tỏ phân thức đã cho không phụ thuộc vào x Xét mẫu a - a+ 1= (a- )2 + 2 cho nên phân thức a + a+1 a − a+1 ( x2 +a ) (1+a)+a x 2+ a hay có ngh ( x − a ) ( 1− a ) +a x 2+ với x và a Câu 8: Cộng vế với vế (1), (2),( 3) được: x+ y+ z= by+ cz+ ax+ +cz+ ax+ by= 2(ax+ by+ cz) Thay z= ax+ by vào vế phải đẳng thức trên x+ y+ z= 2(z+ cz)= 2z(1+ c) suy ra: 2z = 1+c x+ y+ z với x + y+ z # Tương tự được: 2x = 1+ a x + y + z 2y = 1+b x + y + z Cộng vế với vế ba đẳng thức trên ta được: + 1+ c 1 + = 1+b 1+ c 2( x+ yu+ z ) = (đpcm®) x+ y+z Câu 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: a2+ ac- b2- bc = a(a+c)- b(b+ c) = a( a+b+ c)- b(a+b+ c)= (a-b)( a+b+ c) b2+ ab- c2- ac = b(b+c)- c(c+a) = b(a+b+ c)- c( a+b + c) = (b- c)( a+b+ c) c2+ bc – a2- ab = c(c+ b)- a(a+ b) = c( a+b+ c)- a(a+b+ c)= (c-a)( a+b+ c) Mẫu chung (MC): (a- b)(b- c)(c- a)(a+ b + c) Điều kiện: a+ b+ c # 0, a #b # c # a Quy đồng mẫu các phân thức trên được: c−a a−b b−c + + =0 MC MC MC Tích luỹ chuyên môn Chương III: phương trình bậc ẩn Câu 1: Gọi số nguyên liên tiếp là x - 2, x- 1, x+ 1, x+ thì (x- 2)2+ (x- 1)2 + x2 =(x-+1)2+ (x+2)2 Sau rút gọn và chuyển vế x2 -12x = ⇔ x(x-2) = ⇔ x = 0; 12 Vậy ngoài năm số trên thì còn số sau có tính chất đầu bài: -2, -1, 0, 1, 2, Câu 2: Nhận xét tất các số hạng hai vế, ta cộng mẫu với số trừ tử 199 vì tất các số hạng hai vế trừ để tử x -1999 Chuyển các số hạng vế phải san vế trái và đặt x -1999 làm nhân tử chung ta được: 1 1 1 (x-1999)( 29 + 27 + + 19 − 1970 − 1972 − − 1980 ¿ Nhân tử thứ hai không thể Vậy x -1999 = ⇒ x = 1999 Câu Gọi x là số người tổ đó (x nguyên dươngx) 72 Ta có phương trình: ( x-3)( x +4 ¿ = 72 x = 9; x = -6(loạil) Vậy số người tổ đó là người Câu Xét hai trường hợp: a, TH1 |x +2|−3=1 b, TH2: |x +2|−3=−1 ⇔ x = 2; x=-6 ⇔ x = 0; x=- Một số bài toán khác Câu Từ 15x2 – 7y2 = suy y2 = 15 x −9 Ta thấy 15x2 tận cùng là nên 15x2 -9 tận cùn là hay Do đó y2 tận cùng là hay (vì 8.7 v= 56 và 3.7 = 21) Nhưng số chính phương không tận cùng là hay Vậy không có số nguyên x, y nào thoả mãn đẳng thức trên Câu 2: số đó phải có chữ số vì chữ số mà bỏ chữ số thì số còn lại lớn là mà 93 = 729, có chữ số GiảI thích tương tự nếulà chữ số Tích luỹ chuyên môn Gọi số cần tìm là z = abcde Đạt ab = x, cde =y thì z = x3 đó 1000x + y = x3, suy 1000x x , nên 1000x x , x > 31 (1) Vì y <1000 nên x3 – 1000x < 1000 hay x(x2 -1000) < 1000 Với x 33 thì x (x2 -1000) 33.89 = 2937 >1000 nên ta có x < 33 (2) Từ (1) và (2) ta có x = 32 Vậy số đó là z = x3 =323 = 32768 Câu Vì n 1982 nên n có nhiều là chữ số Gọi chữ số đó là x, y, z, t với ≤ x , y , z ,t ≤ Ta có xyzt + x + y + z + t =1982 (1) Do ≤ x + y +z +t ≤ 36 nên từ (1) ta suy ra1982- 36 xyzt 1982 suy x =1; y =9 Thay vào (1) ta có 19 zt + +9 + z + t = 1982, hay zt + z + t = 72 hay 11z + 2t = 72 (2) 10 Do ≤t ≤ nên ≤2 t ≤ 18 suy 72− 18≤ 11 z +2t ≤72 ⇔ 11 ≤ z ≤ 11 suy z = hay = Thay vào (2) với z =5 thì t = 8,5(loạil) Z =6 thì t = Vậy n = 1963 Câu Nếu số đó có số thì tích Như tổng số nên số Gọ số tự nhiên tăng dần là ≤ a ≤b ≤ c ≤d ≤ e ≤ g Theo đầu bài ta có abcdeg = a + b + c + d + e + g 6g (1) Suy abcdeg (vì g v > )) Không thể có số lớn vì 2.2.2 = > 6, đó có nhiều hai số lớn Vậy a = b= c= Thay vào (1) ta có deg = 3+d+ e + g (2) Và deg Nếu d = thì (2) là eg = 4+ e+ g eg- e- g + 1= (e- 1)(g- 1)= Suy e- 1= 1, g- 1= 5, đó e = 2, g= 6, Nếu d = thì (3) nên e = = Nếu e = thì 4g= 7+ g ⇒ 3g= 7, loại Nếu e = thì (3) là 6g= 8+ g ⇒ 5g= 8, loại Nếu d thì e 3, trái với (3) Kết luận: các số đó là (0,0,0,0,0,0) và (1,1,1,1,2,6) Tích luỹ chuyên môn Câu 5: Gọi số phải tìm là A và B Ta có: A+ B = 10x+ y, A- B = 10y+ x với Suy A= x y (1) 11(x + y ) =¿ 11a với a = Error! Objects cannot be created from editing field codes (2) B= 9( x − y) = 9b với b = x−y Vì A, B có hai chữ số và y # nên (3) a b Từ (2) và (3) suy = a+ b, y= a- b Nếu a + b= thì a = 7, b=2, A= 77, B= 18 a= 7, b=2, A= 66, B= 27 a=57, b=4, A= 55, B= 36 Nếu a + b= thì a = 6, b=2, A= 66, B= 18 a= 5, b=3, A= 55, B= 27 Nếu a + b= thì a = 5, b=2, A= 55, B= 18 a= 4, b=3, A= 44, B= 27 Nếu a + b= thì a = 4, b=2, A= 44, B= 18 Nếu a + b= thì a = 3, b= 2, A= 33, B= 18 Vậy có cặp số trên (kể 44 và 18) Câu a) Phân tích 4x2- 12x+ 5= (2x- 1)(2x- 5) 13x- 2x2- 20= (x- 4)(5- 2x) 21+ 2x- 8x2= (3+ 2x)(7- 4x) 4x2+ 4x- 3= (2x- 1)(2x+ 3) Điều kiện để P có nghĩa: x # , x# , x # (4) Tích luỹ chuyên môn , x# x#- x−3 b) Kết rút gọn: P= x − Câu 7: Xem ví dụ 27 Câu 8: 1992 x 1992 Nhận xét: xy +1992+1992 = y +1992+1992/ x = 1992 z yz , = = y +1992+ yz xy + z +1 xyz +yz + y yz 1992+ y+ yz Vậy P = 1992 y + 1992+ y+ yz y +1992+ yz yz = 1992+ y+ yz Câu Ta có Error! Objects cannot be created from editing field codes.+ Error! Objects cannot be created from editing field codes.+Error! Objects cannot be created from editing field codes.= ⇒ 6y+ 6x+ 1= xy ⇒ (x- 6)(y- 6)= 37 Giả sử x ¿ x −6=−1 y − 6=−37 hoac y thì: ¿ x − 6=37 y −6=1 ¿{ ¿ Trường hợp đầu loại trường hợp sau cho x = 43, y = 7: Câu 10: Biến đổi vế trái: M = x6 – x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x+1)2{(x-1)2 + 1} Nếu x = thì (x-1)2 + không chính phương Nếu x =1 thì M = suy y = Nếu x thì (x-1)2 + không chính phương Câu 11 A = (x2 + xy + 59 y2 ) + y + 8x + y +1992 = ( x + y 59 ¿ + y + 8x + y +1992= Tích luỹ chuyên môn y 59 ¿ + y -3y +1992 -16 = (x+4+ y 59 12 x+ +4 ¿ 2+ ( y − y)+1976=¿ ¿ ¿ +1976 − 59 59 y 59 x+ + ¿ + ¿ ¿ y− = 50 Vậy A = 1975 59 ⇔ y=59 , x=− 59 Câu 12: Nếu A, B, C > thì A2 + B2 + C2 > AC + BC + CA A +B+ C ¿2 ¿ ¿ A + B+C ¿2 ⇒ A2 + B2 +C2 ≥ ¿ 2 ⇒ 3( A + B +C )≥ ¿ 1 Đặt A=a+ a ; B=b+ b ; C=c+ c vế trái là P ta có: a+b+ c a+b+ c a+b+ c + + ¿ a b c 1 1 = a+ +b+ +c + ¿2 = ¿ a b c P> ¿ a+b +c + b c a c a b 1+1+ + + +1+ + + + 1¿ a a b b c c Chú ý ¿ +6 ¿2= P a b + ≥2 b a (với av, b > 0) nên 100 >33 ¿ x +3 Câu 13: Biến đổi thành: x +2 >1992 Câu 14: M = a2 – 3ab2 + 2b2 = a(a2 – b2) + 2b2(b –a ) = (a –b)(a2 + ab - 2b2) = (a- b)2(a + 2b) Do a, b nên M Câu 15 Gọi số gồm chữ số đầu là a, chữ số thứ là b, ta có 10a + b chia hết cho 101 Viết chữ số cuối lên đầu ta 107b + a Ta có: 107b + a = 10b(106 + 1) +101a – 10(10a + b) = 10b 101.9901 + 101a - 10(10a + b) ⋮ 101 Câu 16 : Goi năm số nguyên là a, b, c, d, e Ta có: a +b +c + d + e = ta có Tích luỹ chuyên môn a + b + c + d + e = a – a + b - b + c5 – c + d5 – d + e5 – e Chứng minh dâu ngoặc 5 5 5 chia hết cho 15: 1+1986 ¿ 1986 1− )= 1 A=(1 − )(1− ) ¿ (1+ 2)2 (1+3) 2 Câu 17: 10 18 1987 1986 −2 = 12 20 1986 1987 1987 1986 − 10 1986 1987 (1) Xét 1987.1986 – = 1986(1988 -1) + 1986 – 1988 = 1986( 1988 – + 1) -1988 = 1988 ( 1986 – 1) = 1986 -1985 (2) Từ (1) và (2) ta có 4.1 5.2 6.3 1988 1985 (4 1988)(1 .1985) 1988 994 A = 1986 1987 = (2 .1986)(3 1987) =1986 =2979 Câu 18: Đặt 40 = a, 51 = b 91 = a + b Ta có: a4 + b4 + (a + b)4= a4 + b4 + a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 2(a2 + ab + b2)2 = 794 Câu 19: Biến đổi: −( x − 1) y y = = =− 2 x −1 (x − 1)( x + x +1) (x −1)(x + x +1) x + x +1 Tương tự Ta có: x =− y −1 y + y +1 y x − =¿ x −1 y −1 − (điều kiện x® # 1) (điều kiện y ® # 1) + x + x +1 = y + y +1 2( x − y ) x y 2+ Câu 20: 1 1 1 1 1 1 A = 124 1984 (1 − 1985 + − 1986 + + 16 − 2000 )=16 (1+ + + 16 )−( 1985 + 1986 + .+ 2000 ) [ 1 1 1 B = 16 (1 − 17 + − 18 + + 1984 − 2000 )=¿ 1 1 1 (1+ + + )−( + + + ) 16 1984 17 18 2000 [ ] ] Tích luỹ chuyên môn 1 1 1 1 1 = 16 (1+ + + 16 )+ 17 + + 1984 − 17 − 18 − − 1984 −( 1985 + + 2000 ) [ = 1 1+ + + 16 1 1 ( ¿ −( + + + )) 16 1985 1986 2000 [ ] ] Vậy A = B Câu 21: Gọi a là chữ số đầu tiên số A có n chữ số Gọi B là chữ số sau đã bỏ chữ số a, ta c A = a.10n- + B (1) a, Nếu A = 57B thì theo (1) có: a.10n – = 56B = 7.8B (2) Giả sử a = thì: 10 n− 10n − 53 =125 10n −4 10n – = 8B ⇒ B= = 10 Vậy số nguyên dương dạng 7125.10k ( k 0) mà bỏ chữ số thì số đó giảm 57 lần b, Nếu A = 58B thì từ (1) có: a.10n – = 57B = 3.19B Bế trái a.10n – không chia hết cho 19 vì a là số có chữ số Vậy không có sô nguyên dương nào mà bỏ chữ sốđầu tiên thì giảm 58 lần Câu22: Vì a.b = nên ta có: ac + bd = = 2ab = ab + ab ⇒ ac − ab=ab − bd ⇒ a (c − b)=b (a − d) Tích hai số không thể là số âm nên: ab( c − b)(a −d )≥ ⇒ac + bd −ab − cd ≥ ⇒1 −cd ≥ Câu 23: Trừ vào phân thức vế trái: Kết x = 5958 Câu 24: Theo t/c tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số nhau: a c a c a+b a − b a+b c + d = ⇒ = = = ⇒ = b d c d c+ d c −d a− b c − d áp dụng nhận xét trên ta có: Tích luỹ chuyên môn x − 1986 ¿ 1985− x ¿ +¿ ¿ x − 1986 ¿2 ¿ 1985− x ¿ 2+¿ ¿ ¿ 2¿ ¿ Lại áp dụng nhận xét trên ta có: −1 ¿2 ¿ 3971− x ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ c b bc+ ad = ⇒abc 2+ b2 cd +a cd +abd − ab=0 Câu 25: a + d =ac + bd ⇒ ab ac+ bd ⇒ cd (a 2+ b2)+ab (c +d − 1)=0 (1) Từ c + d = 1, bình phương hai vế ta được: 2 2 c + d + 2cd=1 ⇒ c +d −1=− cd Từ (1) và (2) suy ra: (2) a −b ¿ 2=0 cd (a2 +b 2)−2 abcd=0 ⇒ cd ¿ Do c ≠ , d ≠ 0⇒ a=b Câu 26: Xét hiệu: x 21+ x 22 + x 23+ x21 + x 25 - ( x1x2+ x1x3+ x1x4+ x1x5) Vì x ❑12 = 4( x1 x x x x ) ❑2 nên hiệu trên bằng:( − x )2+ ( − x )2+( − x )2+( − x )2 2 2 x Vậy dấu xẩy ⇔ =x 2=x 3=x =x Câu 27: Nếu a = thì x =0, P = 1 1 Nếu a # thì P có nghĩa và P # Tính: a = x + x+ 1⇒ x + x = a −1 Tích luỹ chuyên môn Mặt khác: 1 −2 a −2 a −1 ¿2 −3= a a 1+ ¿ −2 −1=¿ x 1 =x + −1=¿ P x Do đó P = a2 −2 a −2 a 2 (1) Với biểu thức (1) a = ta có P = Vậy P = a2 −2 a −2 a với giá trị a = x x + x+ Câu 28: Với n =2 thì nn – n2 + n -1 =1, chia hết cho (n-1)2 = (2 -1)2 = Với n >2 ta có A = nn – n2 + n -1 = ( nn-2-1)n2 +(n-1) = (n-1)(nn-3+…+1)n2 + ( n-1) = (n-1)(nn-1+…+n2 + 1) Xét tổng B = nn-1+…+n2 + 1, B có n – số hạng có thể viết: B = ( nn-1 -1) + (nn-2-1) +… +(n2-1) + (1-1) +(n-1) Mỗi hiệu ngoặc chia hết cho n -1 Vây A chia hết chia cho ( n-1)2 Câu 29: với x Z có P(x) = x5- 3x4+ 6x3- 3x2+ 9x- Nếu x chia hết cho thì năm số hạng đầu P (x) x chia hết cho 9, còn không chia hết cho 9, d đó P (x) không chia hết cho 9, nghĩa là P (x) # Nếu x không chia hết cho thì x không chia hết cho 3, còn các số hạng khác P (x) chia h cho 3, đó P (x) không chia hết cho 3, nghĩa là P ( x) # Vậy P (x) # với ∀ x Z Câu 30: Nhân vế S với 2: 2S= 4 1991 1992 + + + + + 1989 + 1990 2 2 2 1991 = 4+ ( ( + )+( + )+¿ …( 1990 + 1990 ) 2 2 Tích luỹ chuyên môn 1 1991 1992 1992 = +( + + + + 1990 + 1991 )− 1991 + 2 2 2 1 + + + 1990 2 2 1989 ¿ ¿ =3 −¿ 1992 + S − 1991 + ¿ 2 1990 ¿ =3 1992 + S − 1991 + −¿ 2 1990 ¿ ⇒ S= 4<4 1992 − ¿ 21991 Câu 31 Nhân vế P với x, y, z được: Px = x xy xz + + y+z z+x y+x P ❑y = yx y yz + + y+z z+x y+x zx zy z + + P ❑z = y+z z+x y+x Suy ra: P(x+ y+z)= x2 y2 z2 + + + y+z z+x y+x y ( x+ z ) z ( x+ y) x( y+z) + + x+ z x+ y y+z = Q+ (x+ y+ z) Do đó (P- 1)(x+ y+ z)= Q ( 1) a) Nếu P= thì từ (1) ta có Q = b) Nếu Q = thì có thể P # mà x + y+ z = 0, chẳng hạn với x = 1, y= -2, z= -3 ta có: x y z P= − x + − y + − z = -3 # Vậy Q = thì không thiết P = Đề kiểm định chất lượng - Năm học 2007-2008 Tích luỹ chuyên môn Môn toán Khối Phần trắc nghiệm Câu 1: Cho M= 4a2b2 - (a2 +b2 - c2 )2Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Mthoả mãn: a M > b M = c M < d Một kết khác Câu 2: Trong cac đẳng thức sau, đẳng thức nào sai: a (x-1) (x2 +x +1) = x3 -1 b 9x2-6x +1 = (3x-1)2 1 c x - x + = (x- )2 1 d 25x - 2x + 25 = (5x - )2 2 Câu 3: Thương (4x5+2x4 + 4x3-x -1) : (2x3 +x -1) có giá trị nhỏ là: a b - c d - Câu : Cho biểu thức : 3 P =(1- 2.4 ) (1- 2.5 ) (11 a p < b p > 3 4.6 )… (1- n(n  2) ) với n thuộc tự nhiên, n 1 c p < d p > Câu 5: Một đa giác có 170 đường chéo số cạnh đa thức đó là: a 18 b 20 c 22 d 24  Câu 6C: Cho số a, b, c, d biết: a+d = b+c a + b > c+d c>b+d Kết số a, b, c, d là: a a> b > c > d b a > c > b >d c b > a > d > c Câu 7CCho tam giác ABC, BC = a, CA = b , AB = c , góc A = 2góc B, góc B = góc C a, b, c có quan hệ là: 1 a a + b < c 1 a + b > c 1 a + b = c b c Câu 8: Mệnh đề nào đúng các mệnh đề sau: a Hình thang có hai cạnh nên là hình thang b Tập hợp các hình bình hành là tập tập hợp các hình thoi c Giao ccủa tập hợp các hình chữ nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình vuông Câu 9: Cho a là số nguyên lẻ, a > thì (a - ) (a - 1) -1 chia hết cho a a - b a - c a+ d a và c Câu 10: Trung điểm cạnh hình thoi là: a Các đỉnh hình bình hành b Các đỉnh hình thang cân c Các đỉnh hình chữ nhật d Các đỉnh hình vuông Phần tự luận (6 điểm 6) Câu : a, Tìm các cách viết phân số dạng tổng hai phân số Tích luỹ chuyên môn 1 a + b với a, b tự nhiên 1 b, CMR các cách viết a + b = Nếu a, b, có ưới chung lớn là thì a +b là số chính phương Câu 2C: Cho sáu số tự nhiên có tổng 55 Chứng minh tồn số số đó có tổng không nhỏ 33 Câu 3: 1, Cho hình thoi ABCD có AB = AC Một đường thẳng qua B cắt tia đối tia AD E, cắt tia đối cuả tia CD F Gọi là giao điểm AF và CE CMR: a, Tích AE CF không đổi b, Tam giác AEC đồng dạng tam giác CAF c, Góc EOF có số đo không đổi 2, Dựng tam giác ABC biết góc B = 60 0, đường cao AH = 2cm, trung tuyến BM = 3cm Biểu điểm và đáp án Môn toán I Trắc nghiệm 4đ Mỗi câu 0, 4đ II Tự luận Câu 1: 2đ Mỗi ý 1đ Câu 2: 1đ Câu 3: 3đ: - ý 1: 2đ a 0, 5đ - ý 2: 1đ b 0,75 c 0,75 Đáp án Câu a c c d b b c c b 1 Câu1 aC, a + b =  6a + 6b = ab   ab - 6a - 6b =  a ( b - ) - ( b - ) = 36  (b - ) ( a - ) = 36 Giả sử a b thì a -  b - Ta có: a-6 b -6 a b 36 42 18 24 12 18 10 15 6 12 12 10 c Tích luỹ chuyên môn 1 1 b, Các cách viết để (a, b, ) = là: + 42 , 10 = 15 Ta có: + 42 = 49 = 72 ; 10 + 15 = 25 = 52 Câu 2C: Giả sử số đã cho là a, b, c, d, e, g đó a  b  c  d  e  g Ta xét hai trường hợp: Nếu c  10 thì b  11 , a  12 đó: c + b + a  10 + 11 + 12 = 33 Nếu c  thì d  , e  , g   d + e + g  + + =21  a + b + c  34 Vậy hai trường hợp tồn số a, b, c có tổng không nhỏ 33 AE AB Câu C; a,  AEB đồng dạng  CBF ( g,g )  BC = CF  AE CF =AB BC = AB2 (không đổi k) b, Tam giác ABC là tam giác AE CE AC Từ trên  AE CF = AC  AC AC = CF B Mặt khác góc EAC = góc ACF = 120 nên  AEC đồng dạng  CAF (g, c, g ) E O có góc CAF = góc AEC (cp góc tam giác đồng dạng c) A xét tam giác EOF có góc EOF x = góc EAO +góc AEO góc EAO +góc OAC = góc EAC =1200 không đổi 2, Phân tích: Giả sử tam giác ABC đã dựng có góc B = 600 , đường cao AH =2cm , trung tuyến BM =3cm Kẻ MK  BC , tamgiác AHC có AM =MC , MK // AH A nên MK là đường trung bình  MK = AH = B Tam giác BMK dựng (biết cạnh huyền H K và cạnh góc vuông) Điểm Athuộc tia Bx cho góc KBx = 600 và thuộc đường thẳng song song với BK và cách BK 2cm sau đó dựng điểm C - Cách dựng: - Dựng tamgiác BMK có góc K = 900 , MK =1cm , BM = 3cm - Dựng tia Bxtạo với BK góc 600 c, Ta C Tích luỹ chuyên môn - Dựng đường thẳng a song song BK và các BK khoảng 2cm Alà giao a với Bx AM cắt BK C Chứng minh ; Theo cách dựng tam giác ABC có góc B = 600 CK MK tam giác CAH đồng dạng tàgiác CMK  CH = AH =  K là trung điểm CHvà KM AH  M là trung điểm AC  BM là trung tuyến tamgiác ABC Biện luận: Bài toán có nghiệm hình Đề thi kiểm định chất lượng toán Năm học 2007 - 2008 Thời gian 120 phút I Trắc nghiệm: Hãy chọn phương án đúng các phương án sau: (Khi không có giải thích gì thêmK) Câu 1: Tìm chữ số tận cùng 31991 A 3; B 5; C 7; D 30 100 Câu 2: So sánh: 10 và A 1030 < 2100 B 1030 > 2100 C 1030 = 2100 D Không xác định x y z Câu 3: Biết = = và 3x + y -2z =14 Giá trị x, y, z là A 6; 16; 10 B 6; 16; 13 C 5; 16; 10 D 16; 12; Câu 4: Tìm x biết: x − 29 x − 27 x − 25 x −23 x −21 x −19 + + + + + 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x −1970 x −1972 x − 1974 x −1976 x −1978 x −1980 ¿ + + + + + 29 27 25 23 21 19 A 1997 B 1998 C 1999 D 2000 Câu 5: Cho biểu thức E = 4x + 4x + Khi đó: A E > với x B E với x C E > với x > D E > với x 2 Câu 6: Nếu a + b + c = ab + bc + ca thì: A a = b = - c B a = - b = c C – a = b = c D a = b = c Câu 7: Cho đa giác cạnh, số đường chéo đa giác cạnh đó là: A 12 B 14 C 11 D Một kết khác ^ = 300, AB = cm; BD là đường phân giác Câu 8: Cho tam giác ABC vuông đỉnh A có C góc B, D thuộc AC Độ dài cạnh AD là: A 12 cm B √ C D Một kết khác: Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chọn phương án sai các phương án sau: Tích luỹ chuyên môn A AB2 = AH BH B 1 = 2+ 2 AH AB AC C AB2 = BC BH D AH.BC = AB.AC Câu 10: Cho tam giác ABC cân A Đường cao AH = 10cm đường cao BK = 12cm Tính độ dài các cạnh tam giác ABC A AB = AC = 12,5 cm ; BC = 15cm B AB = AC = 15cm; BC = 12.5cm C AB = AC = 14 cm; BC = 12.5cm D Một đáp án khác II Phần tự luận: Câu 1: Cho biểu thức: P = ( x −3 x −8 21+2 x − x2 + − ): +1 x − 12 x +5 13 x −2 x −20 x − x2 + x − a, Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa b, Rút gọn P Câu2: a, cho a, b > Chứng minh a+b ¿ ≥ ab ¿ b, áp dụng: Cho < a, b, c, d < Chứng minh có ít các bất đẳng thứ sau là sai: 2a(1 – b ) > 1; 3b(1 – c) > 2; 3b(1 – c) >2; 8c(1 – d)> 1; 32d( 1- a) > Tìm giá trị nhỏ A = x2 +15y2 + xy + 8x + y +1992 Câu 3: Gọi H là trực tâm tam giác ABC, đường cao AD Lấy điểm M bất kì thuộc cạn BC Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu M trên AB, AC Gọi I là trung điểm AM a, Xác định dạng tứ giác DEIF b, Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy ^ Dựng tam giác ABC biết AC = b, AB = c, B^ − C=α Tích luỹ chuyên môn Đáp án và biểu điểm I Phần trắc nghiệm: (4điểm4, câu 0.4 đ) Câu Đáp án C A A C A D B II Phần tự luận: Câu 1: a) Phân tích 4x2- 12x+ 5= (2x- 1)(2x- 5) 13x- 2x2- 20= (x- 4)(5- 2x) 21+ 2x- 8x2= (3+ 2x)(7- 4x) 4x2+ 4x- 3= (2x- 1)(2x+ 3) Điều kiện để P có nghĩa: x≠4 x x −2 x x B A 10 A Tích luỹ chuyên môn b) Kết rút gọn: P= x−3 x−5 Câu 2: a Đây chính là BĐT Cô si b Chứng minh phương pháp phản chứng: Giả sử bất đẳng thức đúng, nghĩa là: 2a(1 – b ) > 1; 3b(1 – c) > 2; 3b(1 – c) >2; 8c(1 – d)> 1; 32d( 1- a) > Vì < a, b, c, d < nên Nhân vế với vế bđt trên ta có 2a(1 – b ).3b(1 – c) 3b(1 – c).8c(1 – d).32d( 1- a) > ⇔ a(1 – b ).b(1 – c) b(1 – c).c(1 – d) d( 1- a) > 256 áp dụng câu a ta có a+1 −a a(1- a) ( )= Nên ta có 1 ; b(1- b) ; c(1 – c) ; d( 1- d ) 256 a (1 – b ).b(1 – c) b(1 – c).c(1 – d) d( 1- a) Điều này mâu thuẩn với giả sử Suy đpcm A = x +15y2 + xy + 8x + y +1992 = { x + 2x( y 1992 = = ( x + +4 ¿ 50 Vậy A = 1975 59 + 59 (y ⇔ x=− ¿ 59 y+8 y+8 y+8 2 ) + ( ) } +15y ( ) +y 2 50 + 1975 59 50 1975 59 ; y= 59 59 Câu 3:1 a, Ta chứng minh DIE và DIF Suy DIEF là hình thoi b Gọi O là giao điểm ID và IE Cần chứng minh M, O, H thẳng hàng Gọi N là trun điểm AH Chứng minh OH và MH cùng song song với IN (sử s dụng t /c đường trung bình Tích luỹ chuyên môn A N I F G E B M C H y A D c x b α m B C n a, Phân tích: ^ Giả sử đã phân tích G ABC có AC = b, AB = c, B^ − C=α Kẻ Ax // BC, kẻ tia Cy cho B C^ y= ^B (Cy và A cùng phía BCC) ABCD là hình thang cân nên: ^ D=B C ^ D − BC ^ A= B ^ A=α Tam giác ACD dựng (biết hai cạnh và ^ −BC CD = AB = c, A C ứoc xen giữab) Điểm B thoả mãn điều kiện: ^C Nằm trên đường thẳng qua C song song với AD và D ^A B=A D b Cách dựng ^ D=α - Dựng ACD có AC = b, CD = c; A C - Qua C dựng đường thẳng Cm //AD D C , cắt Cm B - Dựng tia An cho D ^A n= A ^ c Chứng minh ^ C nên là hình thang cân, đó AB = CD = c, Tứ giác ADCB có ADT //BC, D ^A B=A D ^ ^ ^ ^ B= A C ^ D=α Bài toán dựng thoả mãn ^ C=D C B Ta có A B ^ C − A C B=D C B − A C AB d Biện luận Bài toán có nghiệm hình b > c và α < 1800 đề kiểm định chất lượngtoán 8: năm học 2007-2008 môn toán: thời gian làm bài 90 phút I phần trắc nghiệm: hãy chọn các phương án đúng các câu sau: Tích luỹ chuyên môn Câu 1: So sánh A = 2002 2004 và B = 20032 ta được: A A < B B A > B C A = B Câu 2: Giá trị biểu thức A = x – 17x +17x – 17x + 20 x = 16 là: A B C D Câu 3: Số a để 4x – 6x + a chia hết cho x – là: A 18 B 16 C –18 D –16 71071071 Câu 4: Cho phân số 211211211 chọn kết luận đúng: A Phân số trên tối giản B phân số rút gọn là 71 21 71 C Phân số rút gọn là 211 D Một kết khác x  x x Câu 5: Cho phân thức: 3x  x  với x <0, chọn kết luận đúng A Phân thức không rút gọn B Phân thức rút gọn  3x C Phân thức rút gọn 3x  3x  D Phân thức rút gọn 3x  x 1 Câu 6: Cho hai số tự nhiên Số thứ chia cho dư 1, số thứ hai chia cho dư Tổng các bình phương hai số này chia cho dư: A B C D 13   Câu 7: Điều kiện xác định phương trình ( x  3)(2 x  7) x  x  là: A x3 B x-3,5 C x3 và x -3 Câu 8: Nghiệm phương trình: x(x-5)+x-5=0 là: A x= 0; x=5 B x=-5; x=1 x=5 D x3 ; x-3 và x -3,5 C x=0; x=-1 D x=-1; 2x  x 6x    Câu 9: Phương trình x  ( x  1)( x  2) x  có nghiệm là: A x=0 B x=1 C x=0 và x =1 D x=-1 12 x  36 x  39 Câu 10: Giá trị lớn biểu thức: A= x  12 x  11 là: A B C D Câu 11: Một tứ giác có nhiều góc vuông: A B C D Câu 12: Cho tứ giác ABCD biết A: B : C: D= 1:2:3: Số đo các góc tứ giác laà: A 340; 680; 1020; 1360 B 360; 720; 1080; 1440 C 320; 640; 960; 1280 D 380; 760; 1140; 1520 Tích luỹ chuyên môn Câu 13: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông có các cạnh góc vuông 7cm và 24cm là: A 12cm B 12,5cm C 13cm D 13,5cm Câu 14: Nếu cạnh hình chữ nhật giảm 10% thì diện tích hình chữ nhật giảm: A 22% B 20% C 19% D 18% Câu 15: Nếu  ABC thì  ABC A 15  A B C’ theo tỷ số và  A’B’C’ ’ ’  A’’B’’C’’ theo tỷ số: B 6 C  A’’B’’C’’ theo tỷ số 15 D Câu 16: Các trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật là các đỉnh của: A Hình thoi B Hình bình hành C.Hình vuông D Hình chữ nhật II Tự luận x5  x  x3  x  3x  x2  x  A= Câu 1: Cho biểu thức: a Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa? b Tìm các giá trị x để A =0 148  x 169  x 186  x 199  x    10 23 21 19 1, Giải phương trình: 25 Câu 2: 2, Cho a + b + c = và abc  Rút gọn biểu thức: C= ab bc ca  2  2 2 a  b  c b  c  a c  a  b2 Câu 3: 1, Cho hình bình hành ABCD Trên các cạnh AB và CD lấy các điểm M và N cho AM =DN Đường trung trực BM cắt các đường thẳng MN và BC E và F Chứng minh rằng: a E và F đối xứng qua AB b Tứ giác MEBF là hình thoi c Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để BCNE là hình thang cân 2, Dựng hình thang ABCD (AB CD) biết hai đáy AD = 2cm; BC= 4cm và hai đường chéo AC =7cm; BD =5cm (Cán coi thi không giải thích gì thêm) Tích luỹ chuyên môn Đáp án và biểu điểm: TOáN I Trắc nghiệm (4 điểm) Mỗi câu đúng 0, 25 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Phương án a b c c b a d d a c d b b c a a II tự luận (6 điểm) Câu 1: (1, 25 điểm): a Phân tích (0, 25 điểm): x2 + 2x – = (x - 2)(x +4) Điều kiện A có nghĩa: x  và x  - b (1 điểm): Tìm x để A = : Để A = thì x5 – 2x4+ 2x3 – 4x2 –3x + = và x2 +2x –  A = x = x = -1 Câu 2: (1, điểm: Mỗi câu 0, 75 điểm): 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 Giải phương trình: 148  x 169  x 186  x 199  x (  1)  (  2)  (  3)  (  4) 0 23 21 19  25 1 1    ) (123 – x ) ( 25 23 21 19 =  123 – x =  x = 123 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =123 Cho a + b + c = và abc  Rút gọn biểu thức: ab bc ca  2  2 2 2 C= a  b  c b  c  a c  a  b Từ a + b + c =  a + b = - c Bình phương hai vế ta có (a + b)2 = c2 dẫn đến a2 + b2 – c2 = -2ab Tương tự b2 + c2 – a2= -2bc ; c2 + a2 – b2 = -2ac ab bc ca 1 1       Do đó C =  2ab  2bc  2ca 2 Câu 3: (3, điểm) 1.a.(1, Điểm) : Gọi H là giao điểm MB và EF Tứ giác AMND có: D MN=ND (gt) AM ND (gt)  AMND là hình bình hành E A M H B N C Tích luỹ chuyên môn AD MN  MN BC NE BC  MHE  BHF Có C (g.c.g) Suy EH = FH (1) Mặt khác AB  EF (gt) (2) Từ (1) và (2) suy E và F đối xứng qua AB b (0, 25 điểm) : Tứ giác MEBF có MH = HB (gt) EH = EH (cm trên)  MEBF là hình bình hành Hình bình hành MEBF có MB  EF nên là hình thoi c (0, điểm) Có BC NE C (cm trên) nên BCNE là hình thang Hình thang BCNE là hình thang cân  C = CBE  C = 2CBA  CBA = 600 Vậy hình bình hành ABCD có CBA = 600 thì BCNE là hình thang cân + Cách dựng: (1, Điểm) y -Dựng DBE có ba cạnh: x A D BD =5cm; DE = cm: BE = cm -Trên tia BE dựng điểm C cho BC = cm - Dựng tia Dx BE - Dựng tia Cy BE Dx cắt Cy A Nối AB Tứ giác ABCD là hình thang cần dựng B C E + Chứng minh (0, 25 Điểm): Theo cách dựng , tứ giác ABCD có AD BC nên là hình thang BC = cm , BD = cm Theo tính chất đoạn chắn song song: AD = CE = BE – BC = – = (cm) và AC = DE = 7(cm) Vậy hình thang ABCD thoả mãn đầu bài toán Đề thi học sinh giỏi khối Đề năm học: 2000-2001 Thời gian: 120 phút Câu 1: Cho m và n là hai số tự nhiên có tổng 2000 2001 Chứng minh rằng: m3 + n3 chia hết cho Câu 2: Giải phương trình sau: a, 2x2 – 5x + = b, x3 + 2x2 – x – = Câu 3: Chứng minh với hai số a và biểu thức ta có: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) (a8 + b8 )(a4 + b4 ) ❑ ❑ Câu 4: Tứ giác ABCD có AB = b, CD = a, AD = BC, ADC +BCD =900 Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, CD, AC, BD a, Chứng minh tứ giác MPNQ là hình vuông b, Gọi S là diện tích tứ giác MPNQ Chứng minh rằng: S ( a −b )2 Tích luỹ chuyên môn Trong trường hợp nào thì có dấu “=” ? Câu 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Gọi D và E là hai điểm thuộc hai cạnh BC AB và AC cho BD.EC = ❑ DEC ❑ Chứng minh rằng: các đường phân giác A và gặp trên cạnh BC Đề năm học 2002 – 2003 Thời gian 120 phút Câu 1: Cho biểu thức P = |x+ 5| x + x − 20 x a, Tìm tập xác định P b, Rút gọn P c, Với x > -5 Tìm giá trị lớn P Câu 2: a, Giải phương trình: 3|x − 2|+2| x −3|=13 b, Cho x > 1, y > 1, z > Chứng minh bất đẳng thức: 2xyz + > xy + yz + zx Câu 3: Cho a, b, c là số đôi khác thỏa mãn điều kiện: ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 Tính giá trị biểu thức: P = 2 a b c + + a +2 bc b +2 ac c +2 ab Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD, có M và N là trung điểm các đường chéo BD và AC Gọi A’, B’ , C’ , D’ là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC a, Chứng minh A’C’ và B’D’ chia đoạn thẳng MN thành đoạn thẳng b, Chứng minh đoạn thẳng: AA’ , BB’ , CC’ , DD’ cùng qua điểm Đề thi năm học 2003 – 2004 Thời gian 120 phút Câu 1: a, Số điện thoại nhà bạn Nam là số tự niên có chữ số; chữ số đầu tiên là và hai chữ số kề thì tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 23 Hãy tìm số điện thoại nhà bạn Nam b, Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 2xy + x + y = 21 Câu 2: a, Cho a, b, c là số đôi khác Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c: A= a2 b2 c2 + + ( a −b ) ( a − c ) ( b −a )( b − c ) ( c −a )( c −b ) b, Chứng minh với hai số dương a, b ta luôn có: a3 + 2b3 3ab2 Tích luỹ chuyên môn c, Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 x y z + 2+ 2 y z x P= Câu 3: Cho hình bình hành ABCD; trên các cạnh BC, DC lấy các điểm M, N tương ứng BM DN cho BC =DC Các đoạn thẳng AM và AN cắt BD E và F a, Chứng minh BE = DF b, Chứng minh MF và NE cắt trên đường chéo AC ❑ Câu 4: Cho tam giác vuông cân ABC ( A =900 ) Hãy dựng tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông nằm trên cạnh AC, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh AB và BC cho diện tích nó nhỏ -Đề thi khảo sát chát lượng Đề thi cuối năm 2001-2002 Thời gian 60 phút Câu 1: Đánh dấu x vào ô thích hợp: Nội dung Đúng Sai (x – 1) = x + 2x + 4x2 – 16 = (4 + 2x).(2x – 4) Trong hình thang cân, cạnh bên Hình thang có cạnh bên là hình thang cân Câu 2: Rút gọn tính: a, (x + 1)2 + 2(x2 – 1) + (x – 1)2 Tại x = -1 b, y + 3y +3y + Tại y = Câu 3: Cho tam giác ABC cân A Gọi D, E là trung điểm AC, AB a, Chứng minh BCDE là hình thang cân b, Gọi M là giao điểm BD và CE Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực cạnh BC Câu 4: Cho x + y + z = 0; x, y, z khác Tính giá trị biểu thức: (1+ xy ).( 1+ yz ) (1+ zx ) -Đề thi cuối năm 2001-2002 Thời gian 60 phút Phần I Trắc nghiệm (2 điểm): Trong câu (từ đến 4) có các phương án trả lời A, B, c, D đó có phương án đúng Em hãy ghi chữ cái đứng trước phương án đúng vào bài làm Tích luỹ chuyên môn x Câu 1: Điều kiện xác định phương trình: x +1 − x −1 = ( x +1)(x −1) là: A x # B x # ± C x # -1 D x # 0; x # ± Câu 2: Tập nhgiệm phương trình: x2 – x = 3x – là: A {3} B {0; 1} C {1; 3} D Một kết khác Câu 3: Số nào đây là nghiệm bất phương trình: -11x < 5: A -1 B C - D Câu 4: Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC M, N Ta có tỷ lệ thức: MA AN A MB = AC AM MN AM NC B AB =BC C AB = AC Phần II: Tự luận (8 điểm) MN NA D BC =NC Câu 5: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số a 3x – b, – 2x < x + 13 Câu 6: Giải bài toán cách lập phương trình: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km /h Cùng lúc đó xe máy từ A đến B với vận tốc 35 km /h nên đến B sau ô tô 30 phút Tính quảng đường AB Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm; AD = cm Kẻ AH vuông góc với BD a Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBA b Tính độ dài đoạn BD; AH c Gọi K là trung điểm HD, I là trung điểm BC Chứng minh AK IK -Chào bạn Bạn có muốn giỏi tiếng Anh? Bạn có muốn làm thêm nhà vào lúc thời gian rảnh? Hãy tham gia vào MẠNG Xà HỘI HỌC THUẬT HELLOCHAO để học giỏi tiếng Anh lên ngày và tham gia chương trình để kiếm thêm thu nhập http://www.hellochao.vn/lop-hoc-tieng-anh-truc-tuyen/?_r=27359952 Tham gia Lớp Học tiếng Anh giao tiếp 360 là cách để giỏi tiếng Anh, Tích luỹ chuyên môn phương pháp đã chứng minh và với 200,000 thành viên theo học: http://www.hellochao.vn/index.php?_r=27359952 http://www.hellochao.vn/tu-dien-tach-ghep-am/?_r=27359952 Tham gia chương trình Kiếm tiền online cùng HelloChao, giúp các bạn sinh viên động có thể kiếm thêm thu nhập nhà, cú click chuột là có thể tham gia chương trình, không gì mà có lợi Chưa đến 10 ngày triển khai chương trình số bạn đã đạt doanh số trên triệu đồng: http://www.hellochao.vn/lop-hoc-tieng-anh-truc-tuyen/?_r=27359952 Chúc bạn học thật giỏi cùng HelloChao! -http://www.hellochao.vn/index.php?_r=27359952 http://www.hellochao.vn/lop-hoc-tieng-anh-truc-tuyen/?_r=27359952 http://www.hellochao.vn/tu-dien-tach-ghep-am/?_r=27359952