*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó..[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA Đề chính thức ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN Năm học 2013 – 2014 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề) a c Câu 1:( 5điểm): Cho c b chứng minh rằng: a) a c c b a c c b b) a2 c2 a b2 c b b2 a b a 2 a c a b) Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết: 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Câu 3:(4 điểm) 1 1 1 100 a).Chứng minh : 6 b) Tìm số nguyên a để: 2a 5a 17 3a a a a là số nguyên Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A x 1996 1997 Câu 5: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, có góc C=300, đường cao AH Trên đoạn HC lấy điểm D cho HD=HB Từ C kẻ CE vuông góc với AD Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác b) AH = CE c) EH song song với AC Hết -(Cán coi thi không giải thích gì thêm) (2) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học 2013 – 2014 Câu 1:( 5điểm) a) Từ a c a c a c c b c b c b (0,5điểm) a c c b a c c b (0,5điểm) a c b) Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b (0,5điểm) (0,5 điểm ) a ( a b) a = b( a b) b ( điểm) a2 c2 a b2 c2 b 2 2 c) Theo câu b) ta có: b c b a c a b2 c b b2 c b 1 2 2 a từ a c a a c 2 (0,5điểm) (0,5điểm) b c a c b a 2 a c a hay b2 a2 b a 2 a a c (0,5điểm) (0,5điểm) Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 (0,5điểm) 2y 2y x x 12 => => -x = 5x -12 => x = Thay x= vào trên ta (0,5điểm) (3) 1 3y y y 12 (0,5điểm) =>1+ 3y = -12y => = -15y 1 => y = 15 (0,5điểm) 1 Vậy x = 2, y = 15 thỏa mãn đề bài Câu 3:(4 điểm) 1 1 1002 §Æt : A = a) Ta cã : 1 1 1 1 1 1 99.100 = 5 99 100 = 100 * A < 4.5 5.6 6.7 1 1 1 99.100 100.101 101 * A > 5.6 6.7 Vậy: 1 1 1 6 100 (0,75điểm) (0,75điểm) (0, 5điểm) 2a 5a 17 3a 4a 26 a 3 a 3 = a 3 = b Ta cã : a 4a 12 14 4(a 3) 14 14 4 a 3 a 3 a là số nguyên = (1 điểm) Khi đó (a + 3) là ước 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14 Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; ; - 10; 11 ; -17 (1 điểm) Câu 4: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A x 1996 1997 A < với giá trị x nên A đạt giá trị lớn A x 1996 1997 A đạt giá trị nhỏ x 1996 1997 x 0xnên x 1996 1996 ( điểm) (4) 1996 A nhỏ 1997 Vậy x=0 1996 1996 1997 1997 x=0 Suy GTLN A = (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu 5: (7 điểm) Vẽ hình ghi GT,KL (0,5điểm) Chứng minh: a) (2điểm) Tam giác ABD có AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân A Lại có : B = 900 – 300 = 600 nên tam giác ABD là tam giác b) (2 điểm) EAC BAC BAD 900 600 300 ACH AHC CEA (cạnh huyền –góc nhọn) Do đó AH=CE c) (2,5 điểm) AHC CEA (cmt)nên HC=EA ADC DCA(300 )nên DA=DC ADC cân D vì có (5) Suy : DE=DH.Tam giác DEH cân D Hai tam giác cân ADC và DEH có ADC EDH (hai góc đối đỉnh).do đó trí so le trong, suy EH // AC ACD DHE Ở vị *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó (6)