Đây là một bộ đề thi được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 12 củng cố và nâng cao kiến thức môn toán học. Bên dưới mỗi đề được kèm theo đáp án và thang điểm chấm chi tiết không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo. Hy vọng bộ đề thi sẽ giúp ích cho các thầy cô trong việc bồi dưỡng HSG và giúp các em học sinh lớp 12 học tập tốt bộ môn toán lớp 12.
http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 1 SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO ðỀ THI ðỀ NGHỊ KÌ THI OLYMPIC ðBSCL SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009 o0o /// ðề chính thức Môn : TOÁN – Lớp 12 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát ñề) _________________ (ðề thi này có 1 trang gồm 7 câu) Câu 1: (3 ñiểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 log ( 4 5) 1 2 log ( 4 5) 1 2 y y x x x x y y − + − + − + + = − + + = Câu 2: Cho ñường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. ðường phân giác trong của góc A cắt ñường tròn tại D (D khác A). Chứng minh AB + AC < 2AD. Câu 3: (2 ñiểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 3 3 15 18 x y z + = Câu 4: (3 ñiểm) Cho dãy số (u n ) xác ñịnh bởi 1 3 2 1 1 2 1 3 n 1 2 2 n n n u u u u + = = − + ∀ ≥ Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. Câu 5: (3 ñiểm) Phương trình x + y + z + t = 2009 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? (Nghiệm (x, y, z, t) với x, y ,z, t là các số nguyên dương) Câu 6: (3 ñiểm) Tìm tất cả các ña thức P(x) có bậc nhỏ hơn 2009 và thỏa mãn ñiều kiện: 2 ( 1) ( ) 6 6 5 x P x P x x x R + = + + + ∀ ∈ Câu 7: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn: 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 6 0 ( ) : 4 0 C x y x y C x y x + − − = + + = Một ñường thẳng (d) ñi qua giao ñiểm của (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt cắt lại (C 1 ) và (C 2 ) tại M và N. Tìm giá trị lớn nhất của ñoạn MN. Hết http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 2 SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO ðÁP ÁN ðỀ NGHỊ KÌ THI OLYMPIC ðBSCL SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009 o0o /// Môn : TOÁN – Lớp 12 Câu 1: (3 ñiểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 log ( 4 5) 1 2 log ( 4 5) 1 2 y y x x x x y y − + − + − + + = − + + = ðáp án ðặt 2 2 4 4, v = y 4 4 (u,v 0) u x x y = − + − + ≥ Hệ phương trình trở thành: (II) 2 2 log ( 1) 1 2 log ( 1) 1 2 v u u v + + = + + = 0,25 ñ Giả sử (u 0 ; v 0 ) là một nghiệm của hệ (II). Giả sử 0 0 2 0 2 0 log ( 1) log ( 1) u v u v ≥ ⇒ + ≥ + 0 0 0 0 0 0 2 2 v u v u u v ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ = Tương tự 0 0 0 0 0 0 u v v u u v ≤ ⇒ ≤ ⇒ = Do ñó: (II) 2 2 log ( 1) 1 2 log ( 1) 1 2 u v u v u v + + = ⇔ + + = = 0,5 ñ ðặt 2 ( ) 2 log ( 1) 1, D=[0;+ ) x f x x = − + − ∞ 1 '( ) 2 ln 2 ( 1)ln 2 x f x x = − + 2 2 1 "( ) 2 ln 2 0 x D ( 1) ln 2 x f x x = + > ∀ ∈ + 0,25 ñ Ta lập bảng biến thiên của f’(x): 0,25 ñ x 0 +∞ f”(x) + f'(x) +∞ 2 ln 2 1 ln 2 − Suy ra phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a. Ta lập ñược bảng biến thiên của f(x) 0,25 ñ x 0 a +∞ f'(x) - 0 + f(x) f(a) http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 3 Suy ra phương trình 2 ( ) 2 log ( 1) 1 0 x f x x = − + − = (1) có nhiều nhất hai nghiệm 0,25 ñ Mặt khác, ta nhận thấy x=0, x=1 là nghiệm của phương trình (1). Vậy phương trình (1) có ñúng hai nghiệm là x=0, x=1. 0.5 ñ Suy ra hệ (II) có hai nghiệm là (0;0) và (1;1) 0,25 ñ Suy ra hệ phương trình ñã cho có 5 nghiệm: (2; 2), (1; 1), (3; 3), (1; 3), (3; 1) 0,5 ñ Câu 2: Cho ñường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. ðường phân giác trong của góc A cắt ñường tròn tại D (D khác A). Chứng minh AB + AC < 2AD. ðáp án K J I E D O C B A Cách 1: Kẻ dây cung DE//AB Ta có · · BAD ADE = 0,25 ñ ⇒ BD = AE 0,25 ñ ⇒ BE = AD 0,5 ñ Ta cũng có · · · ADE DAB DAC = = ⇒ CD = AE 0,25 ñ ⇒ AC = DE 0,25 ñ Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AB và DE; K là giao ñiểm của AD và BE. ABDE là hình thang cân hoặc hình chữ nhật nên ta có: I, J, K thẳng hàng 0,25 ñ IJ vuông góc với AB và DE 0,25 ñ Ta có AD = AK + KD > AI + DJ = ½(AB+AC) 0,75 ñ ⇒ 2AD > AB + AC 0,25 ñ Cách 2: Gọi R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp: Tá có: 2 sin( ) 2 sin( ) 2 2 A A AD R B R C= + = + AB = 2RsinC, AC = 2RsinB http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 4 2 2 sin( ) 2 sin( ) 4 cos( ) 2 2 2 A A B C AD R B R C R − ⇒ = + + + = 2 sin 2 sin 4 sin cos 2 2 B C B C AB AC R C R B R + − + = + = Suy ra 2AD > AB + AC Câu 3: (2 ñiểm) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình 3 3 3 15 18 x y z + = ðáp án Giả sử bộ ba số nguyên (x 0 ; y 0 ; z 0 ) là nghiệm của phương trình. Dễ thấy nếu một trong ba số trên bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0 ⇒ (0; 0; 0) là một nghiệm của phương trình. 0,25 ñ Nếu cả ba số ñều khác 0, ñặt d = (x 0, y 0, z 0 ) ta có x 0 = dx 1 , y 0 = dy 1 , z 0 = dz 1 với x 1 , y 1 , z 1 nguyên. 0,25 ñ Ta ñược 3 3 3 1 1 1 15 18 x y z + = ⇒ x 1 chia hết cho 3. ðặt x 1 =3x 2 , ta ñược 0,25 ñ 3 3 3 2 1 1 9 5 6 x y z + = ⇒ y 1 chia hết cho 3. ðặt y 1 =3y 2 , ta ñược 0,25 ñ 3 3 3 2 2 1 3 45 2 x y z + = ⇒ y 1 chia hết cho 3. 0,25 ñ ⇒ x 1 , y 1 , z 1 có ước chung là 3 (mâu thuẫn) 0,5 ñ Vậy phương trình chỉ có một nghiệm nguyên duy nhất là (0; 0;0) 0,25 ñ Câu 4: (3 ñiểm) Cho dãy số (u n ) xác ñịnh bởi 1 3 2 1 1 2 1 3 n 1 2 2 n n n u u u u + = = − + ∀ ≥ Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn của dãy số. ðáp án ðặt 3 2 1 3 ( ) 2 2 f x x x = − + Hàm số f(x) tăng trên [0;1] và ( ) [0;1] x [0;1] f x ∈ ∀ ∈ 1 1 1 , ( ) 2 n n u u f u + = = . Bằng qui nạp, chứng minh ñược [0;1] 1 n u n ∈ ∀ ≥ 0,5 ñ Mặt khác 2 1 1 5 ( ) 16 u f u u = = < 3 2 1 2 ( ) ( ) , u f u f u u⇒ = < = Bằng qui nạp, chứng minh ñược dãy (u n ) giảm. 0,75 ñ Dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn. 0,25 ñ Gọi l là giới hạn của dãy số, do dãy số bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi ½ nên 1 0 2 l ≤ ≤ (*) 0,5 ñ Chuyển qua giới hạn khi n tiến tới +∞ trong biểu thức truy hồi ta ñược: 3 2 0 1 3 1 2 2 2 l l l l l l = = − + ⇔ = = 0,5 ñ Kết hợp với (*) suy ra l = 0. 0,5 ñ http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 5 Câu 5: (3 ñiểm) Phương trình x + y + z + t = 2009 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? (Nghiệm (x, y, z, t) với x, y ,z, t là các số nguyên dương) ðáp án x + y + z + t = 2009 (1) ðặt a = x – 1, b = y – 1, c = z – 1, d = t – 1. Ta thấy a, b, c, d là các số tự nhiên thỏa phương trình: a + b + c + d = 2005 (2) và tương ứng giữa các bộ số (a, b, c, d) và (x, y, z, t) là tương ứng một – một (song ánh). Ta tìm số nghiệm tự nhiên của phương trình (2) Ta thấy mỗi nghiệm tự nhiên của phương trình (2) là một bộ 4 số tự nhiên (a, b, c, d) thỏa ñiều kiện a + b + c + d = 2005. Với mỗi bộ 4 số (a, b, c, d) như vậy ta ñặt tương ứng với một dãy nhị phân (dãy gồm các chữ số 0 và 1) theo qui tắc sau: viết từ trái sang phải: a số 1 liên tiếp – số 0 – b số 1 liên tiếp – số 0 – c số 1 liên tiếp – số 0 – d số 1 liên tiếp. { { { { 11 1011 1011 1011 1 a b c d Như vậy mỗi bộ (a, b, c, d) tương ứng một – một với một dãy nhị phân gồm 2008 kí tự, trong ñó có ñúng 2005 kí tự “1” và 3 kí tự “0”. Mặt khác, một dãy nhị phân ñộ dài 2008, trong ñó có ñúng 3 kí tự “0” tương ứng với một cách chọn 3 phần tử từ 2008 phần tử. Số các dãy nhị phân như trên là 3 2008 C Từ ñó suy ra số nghiệm của phương trình (1) là 3 2008 C Câu 6: (3 ñiểm) Tìm tất cả các ña thức P(x) có bậc nhỏ hơn 2009 và thỏa mãn ñiều kiện: 2 ( 1) ( ) 6 6 5 x P x P x x x R + = + + + ∀ ∈ ðáp án Cách 1: ðặt 3 ( ) ( ) 2 Q x P x x = − 0,5 ñ Ta có: ( 1) ( ) 3 x R Q x Q x + = + ∀ ∈ 0,5 ñ ðặt ( ) ( ) 3 R x Q x x = − Ta có: ( 1) ( ) x R R x R x + = ∀ ∈ 0,5 ñ ( ) x R R x d ⇒ = ∀ ∈ (d là hằng số bất kì) 0,5 ñ ( ) 3 Q x x d ⇒ = + 3 ( ) 2 3 P x x x d ⇒ = + + 0,5 ñ Vậy các ña thức cần tìm có dạng 3 ( ) 2 3 P x x x d = + + với d là số thực bất kì 0,5 ñ Cách 2: Từ 2 ( 1) ( ) 6 6 5 x P x P x x x R + = + + + ∀ ∈ (1) ⇒ (3) (3) ( 1) ( ) x R P x P x + = ∀ ∈ 0,25 ñ ⇒ (3) ( ) x R P x k = ∀ ∈ (k là hằng số) 0,25 ñ ⇒ P(x) có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3. 0,25 ñ ðặt 3 2 ( ) P x ax bx cx d = + + + 0,25 ñ Từ (1) ta có 2 2 3 (3 2 ) 6 6 5 x ax a b x a b c x x R + + + + + = + + ∀ ∈ 0,5 ñ http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 6 3 6 2 3 2 6 0 5 3 a a a b b a b c c = = ⇒ + = ⇒ = + + = = 0,5 ñ Thử lại ta thấy các ña thức 3 ( ) 2 3 P x x x d = + + với d là số thực bất kì ñều thỏa mãn (1) 0,5 ñ Vậy các ña thức cần tìm có dạng 3 ( ) 2 3 P x x x d = + + với d là số thực bất kì 0,5 ñ Câu 7: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn: 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 6 0 ( ) : 4 0 C x y x y C x y x + − − = + + = Một ñường thẳng (d) ñi qua giao ñiểm của (C 1 ) và (C 2 ) lần lượt cắt lại (C 1 ) và (C 2 ) tại M và N. Tìm giá trị lớn nhất của ñoạn MN. ðáp án N DC B A I J M (C 1 ) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 13 (C 2 ) có tâm J(-2; 0) và bán kính r = 2 0,25 ñ ⇒ IJ = 5 0,25 ñ ⇒ |R – r| < IJ < R + r ⇒ (C 1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại hai ñiểm A và B. 0,25 ñ Giả sử (d) qua B, gọi (d’) là ñường thẳng qua A, cắt (C 1 ), (C 2 ) lần lượt tại C và D. CD vuông góc với AB nên B, I, C thẳng hàng; B, J, D thẳng hàng 0,25 ñ ⇒ CD = 2IJ = 10 0,25 ñ Ta có: MC⊥MN, ND⊥MN ⇒ MC//ND 0,5 ñ ⇒ MN = d(MC, ND) 0,25 ñ ⇒ MN ≤ CD 0,5 ñ ⇒ max MN = CD = 10 ñạt ñược khi d//IJ 0,5 ñ HẾT . viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 1 SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO ðỀ THI ðỀ NGHỊ KÌ THI OLYMPIC ðBSCL SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009 o0o /// ðề chính thức Môn : TOÁN – Lớp 12 (Thời gian. http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 2 SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO ðÁP ÁN ðỀ NGHỊ KÌ THI OLYMPIC ðBSCL SÓC TRĂNG Năm học 2008 – 2009 o0o /// Môn : TOÁN – Lớp 12 Câu 1: (3 ñiểm). lập bảng biến thi n của f’(x): 0,25 ñ x 0 +∞ f”(x) + f'(x) +∞ 2 ln 2 1 ln 2 − Suy ra phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a. Ta lập ñược bảng biến thi n của f(x)