đề thi hsg toán khu vực ĐBSCL

Lần thứ 16 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 1 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 2 Mục lục Tỉnh Trang An Giang 3(18) Bạc Liêu 4(22) Bến Tre 5(25) Cà Mau 6(29) Cần Thơ 7(34) Đồng Tháp (TP.Cao Lãnh) 8(38) Đồng Tháp (Sa Đéc) 9(42) Hậu Giang 10(46) Kiên Giang 11(50) Long An 12(56) Sóc Trăng 13(61) Tiền Giang (Cái Bè) 14(66) Tiền Giang 15(70) Trà Vinh 16(76) Vĩnh Long 17(83) www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 3 ĐỀ DỰ TUYỂN HSG TOÁN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Câu 1: (3 điểm) Xác định a để hệ phương trình 2 2 2 ax a 1 y sin x tan x y 1            có nghiệm duy nhất. Câu 2: (3 điểm) Cho ABC  , M là điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB. Chứng minh 2 2 2 a b c x y z 2R      . Dấu bằng xảy ra khi nào?  a BC;b AC;c AB;R    là bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC  . Câu 3: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số   x; y với x,y   sao cho: 3 3 2 x y 2y 1    Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số   n u thỏa mãn điều kiện   n n n 1 0 u 1 ;n 2,3,4, 1 u 1 u 4            Tìm n n lim u  Câu 5: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của số tự nhiên n sao cho n! tận cùng đúng bằng 1987 chữ số 0. Câu 6: (3 điểm) Tìm các hàm f :    thỏa:         f 0 2008,f 2009 2 f x y f x y 2f x .cos y, x, y                      Câu 7: (3 điểm) Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Từ điểm S bất kỳ trên mặt cầu kẻ 3 cát tuyến bằng nhau cắt mặt cầu tại A,B,C và đôi một tạo với nhau một góc  . Gọi V là thể tích của tứ diện S.ABC. Định  để V lớn nhất. www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 4 Tỉnh Bạc Liêu SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU Câu 1: ( 3 điểm ) Giải phương trình 4 3 4 4 4 3x 4 2x 18 3 0    Câu 2: ( 3 điểm ) Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M’, N’, P’ sao cho mỗi đường thẳng MM’, NN’, PP’ đều chia chu vi tam giác ABC thành hai phần bằng nhau trong đó M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh ba đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng qui tại một điểm. Câu 3: ( 2 điểm ) Cho số nguyên tố p dạng 4k 3  . Chứng minh rằng không có số nguyên x nào thỏa điều kiện 2 (x 1) p   . Câu 4: ( 3 điểm ) Cho dãy số nguyên dương   n a thỏa mãn điều kiện 2 n n 1 n 1 a a a    n N*   Tính n lim  2 1 2 n 1 1 2 n n a a a          . Câu 5: ( 3 điểm ) Xung quanh bờ hồ hình tròn có 17 cây cau cảnh. Người ta dự định chặt bớt 4 cây sao cho không có 2 cây nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau? Câu 6: ( 3 điểm ) Tìm tất cả các hàm số   f x liên tục trên R thỏa:   x f x f x; x R. 2            Câu 7: ( 3 điểm ) Cho 8 số thực a,b,c,d,x,y,z,t. Chứng minh rằng trong 6 số sau đây có ít nhất một số không âm: ac bd, ax by, az bt,    cx dy, cz dt, xz yt.    www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 5 Tỉnh Bến Tre Trường THPT chuyên Bến Tre Câu 1: (3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 (x 3y 4z t) 27(x y z t ) x y z t 93                 Câu 2: (3 điểm) Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy. Câu 3: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3 2 2 2 2 2 2 4y 4x y 4xy x y 5x 4y 4xy 8x 0         Câu 4: (3 điểm) Cho dãy số n (u ) xác định như sau: 1 2 n n 1 2008 u 2009 u 2u 1 0 , n 1,2,3,             Tìm n n lim u  Câu 5: (3 điểm) Cho hai số tự nhiên n, k thỏa : 0 k n   . Chứng minh rằng : n n 0 2 1 2 n 2 2 2n k 2n k n n n C .C ((C ) (C ) (C ) )       Câu 6: (3 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 x y z 1.    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx f . z x y    Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Các điểm X,Y,Z lần lượt di động trên các cạnh C’D’, AD, BB’. Định vị trí của X,Y,Z để chu vi tam giác XYZ nhỏ nhất. www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 6 Tỉnh Cà Mau Trường THPT chuyên Phan Ngọc Hiển Câu 1: (3 điểm) Giải phương trình: 2 6 2 2008 6 2 4x 2 log x 3x 1 x x 1       . Câu 2: (3 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, CA = b, BC = a. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đã cho. Chứng minh rằng: 2 2 2 IA IB IC 1 bc ca ab    . Câu 3: (2 điểm) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp nhau sao cho tổng bình phương của ba số đó cũng là một số nguyên tố. Câu 4: (3 điểm) Xét dãy   n x trong đó n x là nghiệm dương duy nhất của phương trình: n 2 x x x 1    Dãy số   n y : n y = n n(x 1)  . Chứng minh rằng:   n y có giới hạn. Tìm n n lim y  . Câu 5: (3 điểm) Cho tập hợp   A 1,3,5, ,2n 1   (n    ). Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại 12 tập con B 1 , B 2 , …, B 12 của A thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) i j B B (i 1,12; j 1,12;i j)       ; ii) 1 2 12 B B B A     ; iii) tổng các phần tử trong mỗi tập B i ( i 1,12  ) bằng nhau. Câu 6: (3 điểm) Cho hàm số f liên tục trên  và thoả mãn: f(x y) f(x).f(y) f(xy) f(x) f (y); x, y f(0) 2,f(2) 0              Chứng minh rằng: f(x + y) = f(x) + f(y), x,y    . Câu 7: (3 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N là hai điểm di động lần lượt thuộc AD’, DB thoả điều kiện: AM = DN = x ( 0 x a 2   ). a. Tìm x để đoạn MN ngắn nhất. b. Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN // A’C. www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 7 Thành phố Cần Thơ Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Câu 1 : ( 3 điểm ) Tìm các giá trị thực của a sao cho tồn tại 5 số thực không âm 1 2 3 4 5 x , x , x , x , x thỏa đồng thời các điều kiện 5 5 5 3 2 5 3 k k k k 1 k 1 k 1 k.x a; k .x a ; k .x a          Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của HA, HB, HC với đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh 1 1 1 1 1 1 HA' HB' HC' HA HB HC      Câu 3 : ( 2 điểm ) a) Chứng minh phương trình 2 2 2 z (x 1)(y 1) 2010 (1)     vô nghiệm với x, y, z  Z. b) Chứng minh phương trình 2 2 2 z (x 1)(y 1) 2008 (2)     có nghiệm với x, y, z  Z. Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho dãy số (a n ) bị chặn và   n 2 n 1 n 1 5 a a a n 1 6 6      Chứng minh rằng dãy (a n ) hội tụ. Câu 5 : ( 3 điểm ) Cho 15 bài toán trắc nghiệm, đánh số từ 1 đến 15. Mỗi bài chỉ có 2 khả năng trả lời: Đúng hoặc Sai. Có 1600 thí sinh tham gia thi, nhưng không có ai trả lời đúng 2 bài liền nhau.( Nếu xem bài làm của mỗi thí sinh tương ứng với một dãy 15 phần tử Đ, S thì không bài làm nào có dạng: ĐSĐĐSSSSSSĐSĐSS 2 chữ đúng kề nhau.) Chứng minh rằng có ít nhất 2 thí sinh trả lời toàn bộ 15 bài giống hệt như nhau. Câu 6 : ( 3 điểm ) Tìm các hàm f: R  R khả vi và thỏa điều kiện f(x f(y)) f (y f(x)) x,y R      Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho tứ diện ABCD có các trung điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu. AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC    . Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC . www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 8 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT TP.Cao Lãnh Câu 1 : ( 3 điểm ) Giải bất phương trình: 2 12x 8 2x 4 2 2 x 9x 16       Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O. Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại M, AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng : 2 2 NB.AC NC.AB 0   . Câu 3 : ( 2 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho 2a+1 chia hết cho b và 2b+1 chia hết cho a. Câu 4 : ( 3 điểm ) Tìm giới hạn của dãy n (u ) với n n n 1 n 1 n n 6 36 6 u (9 4)(3 2) (27 8)(9 4) (3 2 )(3 2 )             Câu 5 : ( 3 điểm ) Cho hình hộp chử nhật có độ dài ba kích thước là các số tự nhiên. Các mặt của hình hộp được sơn màu xanh. Chia hình hộp này thành các khối lập phương đơn vị bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp. Tìm các kích thước của hình hộp , biết rằng số các khối lập phương đơn vị không có mặt nào màu xanh bằng 3 1 tổng số các khối lập phương đơn vị. Câu 6 : ( 3 điểm ) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình : 2n 1 x x 1 0     có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là x n . Hãy tìm n lim x . Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho đường tròn (O,R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm S cố định ( khác P và Q). Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm tập hợp điểm B, khi điểm A di động trên đường tròn (O,R). www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 9 Tỉnh Đồng Tháp Trường THPT chuyên Nguyễn Đình Chiểu Câu 1 : ( 3 điểm ) Giải phương trình 2 6 2 2008 6 2 4x 2 log x 3x 1 x x 1       Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC có 2 sin A , 2 sin B , 2 sin C lập thành một cấp số cộng và có tổng 2 2 2 3 sin A sin B sin C 2    . Đường cao kẻ từ A và đường phân giác trong góc B cắt nhau tại I, biết I thuộc miền trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: IAC IBC S S    Câu 3 : ( 2 điểm ) Tìm ba phân số tối giản a b c ; ; d d d tạo thành cấp số cộng biết : b 1 a c 1 b ; a 1 d b 1 d       Câu 4 : ( 3 điểm ) Cho dãy (U n ), biết U 1 = 1, và dãy (V n ) với V n = U n+1 - U n , n = 1,2 …. Lập thành cấp số cộng, trong đó V 1 = 3; d = 3 . Tính : 1 2 n S U U U      Câu 5 : ( 3 điểm ) Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ? Câu 6 : ( 3 điểm ) Cho z y x , , thỏa điều kiện 2 2 2 x y 2 z 2z(x y) 8         Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z(y x)   Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi x, y, z tương ứng là các góc giữa đường thẳng (d) và các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 1 sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z 16   . www.VNMATH.com [...]... với mọi x Câu 7 : ( 3 điểm ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 3 ; Gọi N là 2 điểm trên cạnh SC sao cho CN = SC ; mặt phẳng (  ) thay đổi đi qua AN và cắt SB, SD 3 tại M, P Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thi t diện AMNP khi mặt phẳng (  ) thay đổi Trang 14 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Tiền Giang Trường THPT chuyên... 6(k  l  m )  3  3   0,5đ Vậy với x > 3, không tìm được x, y, z thỏa đề + Nếu x = 2 thì y = 3, z = 5 Khi đó x 2  y 2  z 2  38  2 Vậy với x = 2, không tìm được x, y, z thỏa đề 0,5đ + Xét x = 3 thì y = 5, z = 7 Khi đó x 2  y 2  z 2  83 là số nguyên tố Trang 30 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Vậy bộ ba số (3,5,7) là bộ ba số nguyên tố liên tiếp cần tìm... (E) tại A và B Chứng minh rằng khi M chuyển động trên  thì đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định Xác định điểm cố định ấy Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E): Trang 12 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Sóc Trăng SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG Câu 1: (3 điểm) 2 log 2 (x 2  4x  5)  1  2 y 4y  4  Giải hệ phương trình:  2 x 2  4x  4 log... minh rằng : V1  V2   V2009  1 V 2 Trang 10 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Kiên Giang Trường THPT Huỳnh Mẫn Đạt Câu 1 : ( 3 điểm ) Tìm tất cả các số nguyên tố x,y thoả mãn phương trình: [ 1]  [ 2]  [ 3]   [ x 2  1]  y Câu 2 : ( 3 điểm ) Cho hình vuông cạnh bằng 1 Có hai tam giác đều cạnh lớn hơn 2 nằm bên trong hình 3 vuông Chứng minh rằng hai tam giác... (3 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = b Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB và SC Một mặt phẳng  thay đổi quay xung quanh MN cắt các cạnh SA và BC theo thứ tự ở P và Q không trùng với S AP b 1) Chứng minh rằng  BQ a AP 2) Xác định tỉ số sao cho diện tích MPNQ nhỏ nhất AS Trang 16 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Vĩnh Long...   2008  a1 a 2008 a1   a 2008 2008 Câu 7 : ( 3 điểm ) Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a, cạnh bên SB = b với a  b 2 Có một mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy ABCD tại A và tiếp xúc với đường thẳng SB tại K Hãy tính bán kính của mặt cầu này Trang 11 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Long An Trường THPT Lê Quý Đôn Câu1 : (3 điểm) Giải phương trình:... 1,12 ): Bi  2i  1, 49  2i , ( i  1,12 ) 0,5đ Dễ thấy: B1  1,47 , B2  3, 45, B3  5, 43, , B12  23, 25 0,25đ Trang 31 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 là 12 tập con của A thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,25đ Vậy số nguyên dương n nhỏ nhất cần tìm là: n = 24 Câu 6: (3 điểm) * x = y = 0  f(0) = 0 (0,25đ) * x = y = 2  f(2) = 2 (0,25đ) *x=y=1   f (1)2  3... (C2 ) : x 2  y 2  4x  0 Một đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (C1) và (C2) lần lượt cắt lại (C1) và (C2) tại M và N Tìm giá trị lớn nhất của đoạn MN Trang 13 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Tỉnh Tiền Giang Trường THPT Trương Định Câu 1 : ( 3 điểm ) Giải phương trình :  x 2  10x  5  x 2  10x  11 x 2    x 2  10x  5  x 2  10x  11  x 2  2 x 1 Câu 2... góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy một điểm S với SA  y  y  0  Giả sử x 2  y 2  a 2 Xác định vị trí của M để hình chóp S.ABCM có thể tích lớn nhất Trang 17 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 ĐÁP ÁN Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Câu 1: (3.0 điểm)     Nhận xét: Nếu x 0 ; y 0 là nghiệm của hệ thì x 0 ; y 0 cũng là nghiệm 0.5 điểm  Điều kiện... Mặt khác 2x 1  y1  1  sin x 1  0   1 y1  1  0.5 điểm     Vậy 0;1 là nghiệm duy nhất Đáp số: a  2 Câu 2: (3.0 điểm) A ha z M hb y hc x B C Trang 18 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao ABC kẻ từ A, B,C và S 1, S 2 , S 3 , S lần lượt là diện tích tam giác MBC , MCA, MAB, ABC Ta có: S1 S1  S 2  S 3  S   S S2 S  . www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 1 www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ. Vĩnh Long 17(83) www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ 16 Trang 3 ĐỀ DỰ TUYỂN HSG TOÁN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên. điểm các cạnh đều thuộc một mặt cầu. AB 3.CD, AC 3.DB, AD 3.BC    . Hãy tính thể tích tứ diện ABCD theo BC . www.VNMATH.com Tuyển tập các đề dự tuyển HSG Toán ĐBSCL lần thứ