Đang tải... (xem toàn văn)
Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác 2.Đường kính và dây của đường tròn -Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đ[r]
(1)PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG KHÊ KẾ HOẠCH DẠY ÔN TOÁN NĂM HỌC 2013-2014 Trường THCS Hương Lâm Giáo viên thực hiện: Nhóm Giáo viên dạy lớp Buæi Néi dung d¹y TiÕt 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Căn bậc hai, thức bậc hai, đẳng thức Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n, phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng Biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Một số hệ thức cạnh và đờng cao tam giác vuông Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng C¸c bµi to¸n tæng hîp vÒ c¨n thøc bËc hai C¸c bµi to¸n tæng hîp vÒ c¨n thøc bËc hai Hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số bậc Vị trí tơng đối đờng thẳng và đờng tròn, dấu hiệu nhận biÕt tiÕp tuyÕn Đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt nhau, hệ số góc đờng thẳng TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t PT bËc nhÊt Èn, hÖ PT bËc nhÊt hai Èn, gi¶i hÖ PT b»ng PP thÕ Giải hệ PT PP cộng đại số Bµi to¸n tæng hîp vÒ hÖ PT bËc nhÊt Èn Gãc ë t©m, liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y Gãc néi tiÕp, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ PT Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ PT Góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đờng tròn Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai Tø gi¸c néi tiÕp Tø gi¸c néi tiÕp- Bµi to¸n tæng hîp vÒ h×nh häc PT bËc hai 1Èn, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai PT bËc hai 1Èn, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n tæng hîp vÒ h×nh häc HÖ thøc vi-Ðt Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT Bµi to¸n tæng hîp vÒ PT bËc ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI- CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN 1,2,3 4,5,6 7,8,9 10,11,12 13,14,15 16,17,18 19,20,21 22,23,24 25,26,27 28,29,30 31,32,33 34,35,36 37,38,39 40,41,42 43,44,45 46,47,48 49,50,51 52,53,54 55,56,57 58,59,60 61,62,63 64,65,66 67,68,69 70,71,72 73,74,75 76,77,78 79,80,81 82,83,84 85,86,87 88,89,90 (2) A.KIẾN THỨC CƠ BẢN x là bậc hai số không âm a x2 = a Kí hiệu: x a 2.Điều kiện xác định biểu thức A 1.Khái niệm: Biểu thức A xác định A 0 3.Hằng đẳng thức bậc hai A A 0 A A A A 4.Các phép biến đổi thức A.B A B A 0; B 0 +) A A A 0; B B B +) +) A2B A B B 0 A B B A.B 0; B 0 +) A.B m A B m B 0; A B A B +) A B n A B n A 0; B 0; A B A B A B +) m n A m n m.n B với A 2 B m 2 m.n n m n +) B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) x 2) x2 3) x 3 4) 2x 5) 3x 6) x 7) 8) D¹ng 2: Trục thức mẫu, Rút gọn biểu thức chứa số Bài 1: Thực hiện phép tính: √ 1) √ 13 + √ 25 2) √ 8+ (1− √ ) 3) Bài 2: Trục thức mẫu: √15 1) √5 2) √3 3) 1+ √2 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: 1) 12 48 2) 5 20 45 4) 12 27 48 5) 12 75 27 5 x 6 3 3x √(−11)2 +√ 22 4) √ 3,6 490 √5 4) √3 5) √5−1 3) 32 18 6) 18 162 (3) 7) 20 45 1 2 9) 51 1 2 12) +√ (1 ) ( 3) (1 ) 2 13) 14) 15) D¹ng 2: Rút gọn các biểu thức chưa bậc hai tổng hợp 10) 5 8) ( 2) 2 1 − 11) 3−√ √5+1 √ x 2x x x x x với ( x >0 và x ≠ 1) Bài 1: Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 a 2 Bài Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị a cho P = a + 4 a 2 a ( Với a ; a ) x 1 x x x x1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = a)Rút gọn biểu thức A; b)Với giá trị nào x thì A< -1 Bài 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A; b) Tìm x để A = - (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 Bài 5: Cho biểu thức : B = x 2 x a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị B với x =3; c) Tìm giá trị x để A x 1 x x 1 Bài 6: Cho biểu thức : P = a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = ( Với x 0; x 1 ) x x x 2 25 x 4 x 1 a 1 ):( a a a Q=( Bài 7: Cho biểu thức: a) Tìm TXĐ rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị biểu thức biết a = 9- a 2 ) a1 (4) a a a a a a a a Bài 8: Cho biểu thức: M = a) Tìm ĐKXĐ M; b) Rút gọn M Tìm giá trị a để M = - 15 x 11 x Bài 9: Cho biểu thức : K = x x x a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K; x 3 x 3 c) Tìm x K= ; d) Tìm giá trị lớn K x x x x x x x G= Bài 10 : Cho biểu thức: a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị G x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn G; e)Tìm x Î Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh : Nếu < x < thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; x x 2 x x 2 Bài 11: Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện xác định và thu gọn A b) Tìm tất các giá trị x để c) Tìm tất các giá trị x để A B A đạt giá trị nguyên a a 4 a a 4 a 16 a Bài 12:Xét biểu thức: P= a 5 : a (Với a ≥0 ; a ≠ 16) 1)Rút gọn P; nguyên tố 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số 2)Tìm a để P = -3; Q= √ x−9 x +3 √ x +1 −√ − x−5 √ x +6 √ x−2 3−√ x Bài 13 : XÐt biÓu thøc a) Rót gän Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q là số nguyên Bài 14 Cho biểu thức : a 1 P a1 a1 4 a 2a a a 1 , (Với a > , a 1) P a1 Chứng minh rằng: Bài 15: Rút gọn các biểu thức: 2) Tìm giá trị a để P = a 2 1 a) A = x+2 x x 4 x + x x b) B = ( với x > 0, x ) (5) a a a 1 : a a - a a - Bài 16: Cho biểu thức A = với a > 0, a a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị a để A < Bµi 17: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a A 1- a 1 - a a - a với a ≥ và a ≠ CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT A.KIẾN THỨC CƠ BẢN *Định nghĩa: Hàm số bậc là hàm số có dạng (được cho công thức) y = ax + b, đó a, b là các số cho trước (a ≠ 0) + Hàm số y = ax + b, b = có dạng y = ax.(Hàm số y = ax, có đồ thị là đường thẳng luôn q ua gốc tọa độ O(0; 0)) *Tính chất: Hàm số y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R và có tính chất sau: + Nếu a > thì hàm số đồng biến trên R (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, x tăng thì y tăng.) + Nếu a < thì hàm số nghịch biến trên R (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, x tăng thì y giảm) VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến trên R (vì a = > 0) Hàm số y = - 2x + 5, nghịch biến trên R (vì – < 0) *Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax, b = ( Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b là tung độ gốc đườn g thẳng; a là hệ số gốc) * Cách vẽ đồ thị: - Khi b = thì y = ax có đồ thị qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A (1; a) - Khi b ≠ thì y = ax + b có đồ thị là đường thẳng qua hai điểm Ta tìm hai điểm thuộc đồ thị để vẽ đường thẳng sau: Cho x = 0, ta y = b, ta có điểm P(0; b) nằm trên trục Oy ax b 0 x b b Q ;0 a , ta có điểm a thuộc trục Ox Cho y = 0, thì Vẽ đường thẳng qua hai điểm P và Q ta đồ thị hàm số y = ax + b * Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số + Điểm M(xM; yM) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, với x = xM thì y = yM Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, vì với x = -1 ta có: y = 2.(-1) + = -1 + Điểm M(xM; yM) là điểm không thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, với x = xM thì y ≠ yM (6) * Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’(a’ ≠ 0) cắt hay song song h ay trùng qua các hệ số Xét hai đường thẳng: (d1): y = ax + b ; (d2): y = a'x + b' với a ≠ 0; a'≠ -Hai đường thẳng song song ⇔ a = a' và b ≠b' -Hai đường thẳng trùng ⇔ a = a' và b = b' ⇔ a ≠ a' -Hai đường thẳng cắt +Nếu b = b' thì chúng cắt b trên trục tung +Nếu a.a' = -1 thì chúng vuông góc với * Tìm giao điểm hai đường thẳng cắt nhau: + Nếu hai đường thẳng cắt có cùng tung độ gốc thì giao điểm là điểm nằm trên trục tung có tung độ là tung độ gốc + Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng Giải phương trình tìm hồnh độ, thay vào hai hàm số để tìm tung độ giao điểm * Các bài tập rèn luyện: 1) Cho hàm số y = ax + a) Xác định hệ số góc a, biết đồ thị hàm số qua điểm A(2; 6) b) Vẽ đồ thị hàm số trên 2) Xác định hàm số y = ax + b các trường hợp sau: a) a = và đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1,5 b) a = và đồ thị hàm số qua điểm A = (2; 2) B 1; c)Vẽ đồ thị hd song song với đường thẳng y 3x và qua điểm 3)+ Với giá trị nào m thì hàm số bậc y = (m – 1)x + đồng biến + Với giá trị nào k thì hàm số bậc y = (5 – k)x + nghịch biến 4) Với giá trị nào m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt điểm trên trục tung 5) + Tìm giá trị a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + (a ≠ 3) so ng song với + Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau: y = kx + (m – 2) (k ≠ 0) ; y = (5 – k)x + (4 – m ) (k ≠ 5) Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Phương pháp: Xem lại các ví dụ trên -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tính chu vi - diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp Rồi tính chu vi tam giác cách cộng các cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox (7) Xem lại các ví dụ trên -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta phương trình đường thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua 1điểm cố định b) C/m d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = với m ; Điều này xảy : x0+ = x0 + y0 + = suy : x0 = -1 y0 = - Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = +1 =2 Vậy B (1;2) Để đường thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vào pt (d1) ta có: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = và m = -2 Vậy với m = m = - thì đường thẳng trên đồng qui Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? (8) Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m 0) và y = (2 - m)x + ; (m 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a)Song song; b)Cắt Bài 5: Với giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = 1 x và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 B- BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – ; b) y = -2x + Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) a = - Bài 3: 1)Với giá trị nào m thì hàm số y = ( m - 2) x+ là hàm số bậc 2) Với giá trị nào m thì hàm số y = ( m - 2) x+ đồng biến trên R 3)Với giá trị nào m thì hàm số y = ( m - 2) x+ nghịch biến trên R Bài 4: 1) Với giá trị nào m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R x>0 2) Với giá trị nào m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R x<0 Bài 5: Cho hàm số y = (2m - 1) x - m + a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R b) Tìm m để đồ thị hàm số qua A (1; 2) Bài 6: 1) Tính góc tạo các đường thẳng sau với trục Ox 1) y = 3x -2 2) y = - 2x + (9) 2) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng trên Bài 7: 1)Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b 2)Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a 3) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) và song song với đường thẳng 2x + y = Tìm các hệ số a và b x + Tính giá trị hàm số x = Bài 8: a) Cho hàm số y = b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – và đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trên trục hoành Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M(1, -1) Khi đó, hãy tìm hệ số góc đường thẳng d Bài 10: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, hãy tìm hệ số góc đường thẳng d Bài 10: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y ( m 1)x n 1) Với giá trị nào m và n thì d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc -3 Bài 11: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + Tìm hệ số a và b Bài 12: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + và (d’): y = (m2 - 2) x + a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm chúng b) Tìm m để (d) song song với (d’) 3 y= x−2 m+1 Bài 13: Tìm m để đường thẳng y=−3 x+6 và đường thẳng cắt điểm nằm trên trục hoành Bài 14:a) Cho đường thẳng d có phương trình: y mx 2m Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ 2 b) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y (m m)x qua điểm A(-1; 2) Bài 15: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm g) (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 16: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k là tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = (10) d) Chứng minh không có đờng thẳng (d) nào qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 17: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y (m 2)x n 1) Với giá trị nào m và n thì d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc -3 Bài 18: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + Tìm hệ số a và b Bài 19: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + và (d’): y = (m2 - 2) x + a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm chúng b) Tìm m để (d) song song với (d’) y= x−2 m+1 Bài 20: 1) Tìm m để đường thẳng y 3x 12 và đường thẳng cắt điểm nằm trên trục hoành 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào a, b thì đường thẳng (d): y = ax + - b và đường thẳng (d’): y = (4 - a)x + b song song với Bài 21 Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 5x + 4y = a) Tìm hệ số góc đường thẳng d b) Với giá trị nào tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 - 4)x + m song song với đường thẳng d Bài 22: Chứng tỏ đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – luụn qua điểm cố định với giá trị k (k lµ tham sè ) Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN * Ôn tập kiến thức: + Phương trình bậc hai ẩn: - Phương trình bậc hai ẩn x và y là hệ thức có dạng: ax + by = c, đó a, b, c là các số cho trước (a ≠ b ≠ 0) - Trong phương trình ax + by = c, giá trị x = x0 và y = y0 là cho vế trái và vế phải phương trình thì cặp số (x0; y0) gọi là nghiệm phương trình trên - Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm nó biểu diễn đường thẳng ax + by = c - Trong phương trình ax + by = c; a ≠ 0, b ≠ thì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đồ thị hàm số y a c x b b * Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: + Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng: (11) ax by c a ' x b ' y c ' Số nghiệm hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ hai đường I thẳng hệ Với a, b, c, a’, b’, c’ khác a b - Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có nghiệm a ' b ' a b c - Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vô nghiệm a ' b ' c ' a b c - Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm a ' b ' c ' * Cách giải hệ phương trình: + Giải phương pháp thế: + Giải hệ phương pháp cộng đại số: II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 x 15 1) x y 2 2) x 3 0 3 x y 11 x y 5 3) x y 1 x + y= x − y =5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 4) x y 3 5) x y 3 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: x y 7 1) 3x y 4 x y 7 2) x y 2 x y 43 3x y 19 3x y 1 6) x 2y 5 7) x y 1 11) 2 x y 7 2 x y 7 x y 12) 3x + 2y =1 16) 4x + 5y = x y 21 17) 2 x y 9 4 x y 6 y x 10 3) 3x + 2y = 8) 4x + 5y = x y 4 13) 3 x y 3 2 x y 13 18) 3x y 9 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: x + y =3 3x 2y 1 x − y =7 ¿ x 3y 1) 2) ¿ ¿ ¿¿ 3) { 6 x y 8 2x 3y 5 y x 5 3x 2y x− y=7 x+ y=2 { 3x + 2y = y x 2 4) 5x 3y 10 5) 4x + 5y = ìïï x - y = 2 x y 1 í 9) ïïî 3x + y = 10) 4 x y 11 14) x y 5 3 x y 19) x −2 y =5 x + y =1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ 2x y 5 4) x y 4 2x 1 1,5 3 y 6x 11,5 x 2y x x y 5 15) 3x y 10 2 x y 20) x y 7 2x y 3 5) 2x y 1 1 x y 5 8) x y (12) 2 x y 11 1 9) x y 10) 2 x y 2 1 x y 3x 5y 3 13) 5x 2y 1 x 6y 17 17) 5x y 23 11) 2 x y 5 x y 20 20 x y x y 7 2x 3y 14) 3x 2y 40x 3y 10 18) 20x 7y 5 x xy 4x 12) y xy 3u v 8 15) 7u 2v 23 1 x y 0 19) 5x y 11 y x 1 16) 15 2x 5y 10 4a 5b 10 0 20) a b 0 Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: x y 5 1) xy 6 Bài 5: 2 x y 5 2) 4 xy 1 x y 6 3) xy 7 4) 2 x y 3 1) Giải hệ phương trình: x y 4 2 x 4 x 4 y 1 y 2) Xác định các giá trị m để hệ phương trình sau vô nghiệm: (m 2) x ( m 1) y 3 x y 4 ( m là tham số) (m 1)x (m 1)y 4m Bài Cho hệ phương trình x (m 2)y 2 , với m Î R a Giải hệ đã cho m –3 b Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm đó mx y 3 Bài 7: Cho hệ phương trình 4 x my 6 1) Giải hệ pt với m= -2 2) Với giá trị nào thì hệ có nghiệm nhất? 3) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x+ y = 2013 2x y m Bài 8: Tìm m để hệ phương trình 3x y 4m có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > x ay Bài 9: Cho hệ phương trình : ax y 5 Giải hệ phương trình với a=1 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (13) Bài 10: Với giá trị nào tham số m thì x y m 3x 5y 2m a) có nghiệm nguyên b) mx 2y 1 3x y 3 vô nghiệm x ay 2 Bµi 11 Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax y 1 Tìm các giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y<0 Bài 12 Tìm các giá trị a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1) Bài 13 Tìm các giá trị m để mx y 5 a HÖ ph¬ng tr×nh: 2 x 3my 7 cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < mx y 3 b HÖ ph¬ng tr×nh: 4 x my 6 cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > x y m x my Bµi 14: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –1 Xác định giá trị m để: x = và y = là nghiệm hệ (1) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = HD: Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2a) Hệ (1) có nghiệm x = và y = m = 1 m a b c 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: a ' b ' c ' m 1 m m 1 m m m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm m2 2m Hệ (1) có nghiệm: x = m ; y = m m2 2m Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = m + m = m 1(thoûa ÑK coùnghieäm) m 2(khoâng thoûa ÑK coùnghieäm) m +m–2=0 Vậy m = 1, hệ( có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = x y k x y 9 k Bài 15: Cho hệ phương trình (1) (14) 1)Giải hệ (1) k = 2) Tìm giá trị k để hệ (1) có nghiệm là x = – và y = 3)Tìm nghiệm hệ (1) theo k HD: Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = k = – 5k 3k Hệ (1) có nghiệm: x = ; y = x y x my 1 Bài 16: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) m = –7 Xác định giá trị m để: x = – và y = là nghiệm hệ (1) Hệ (1) vô nghiệm Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 3m 1 Hệ (1) có nghiệm: x = m ; y = m mx y 2 x y Bài 17: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) m = (1) 2 và y = Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm hệ phương trình (1) theo m HD: Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 13 ; y = 13 2 2a) Hệ (1) có nghiệm x = và y = m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2 1 m2 Hệ (1) có nghiệm: x = 3m ; y = 3m x y 2 x y m Bài 18: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) m = –1 x y (1) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa HD: Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – Tìm: Nghiệm hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – (15) x 12 m y m Theo đề bài: 2 x y 3x y Bài 19: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình m = – m 12 m m < 3m 2m x y Với giá trị nào m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa HD: Khi m = – , hệ pt có nghiệm: x = và y = – Tìm: Nghiệm hệ (1) theo m: x = 4m + ; y = – – 5m x Theo đề bài: y m m – < m < – 2mx y Bài 20: Cho hệ phương trình : mx y 1 (1) Giải hệ (1) m = Xác định giá trị m để hệ (1): Có nghiệm và tìm nghiệm đó theo m Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = HD: Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – ; y = 2a) Khi m 0, hệ (1) có nghiệm: 2b) m = x m y 1 mx y m Bài 21: Cho hệ phương trình : x y m ( m là tham số) (I) Khi m = – 2, giải hệ phương trình phương pháp cộng Tính giá trị tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm và tính nghiệm đó theo m HD: a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = ; y = b) Hệ (I) có nghiệm m 4 x m 3m 3m y m ; m Khi đó hệ(I) có nghiệm nhất: Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC2 HAI MỘT ẨN *Hàm số y ax a 0 + Tính chaát cuûa haøm soá baäc hai y ax a 0 - Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > (16) - Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > - Neáu a > thì y > x , y = x = Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá laø y = - Nếu a < thì y < x , y = x = Giá trị lớn hàm số là y = + Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) là đường cong qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó gọi là Parabol với đỉnh O - Nếu a > thì đồ thị nằm trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị - Nếu a < thì đồ thị nằm dưỡi trục hoành, O là điển cao đồ thị y ax a 0 + Cách vẽ đồ thị hàm số - Tìm số điểm thuộc đồ thị cách cho x số giá trị để tìm các giá trị y tương ứng.( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …) - Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm thuộc đồ thị tìm trên - Nối các điểm đó để đường cong Parabol * Các bài tập rèn luyện: Bµi Cho hàm số y = x2 a) Vẽ đồ thị hàm số đó b) Tìm các giá trị f(- 8), f(- 13),f(1,5) Bµi Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số a) Tìm hệ số a b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không? c) Tìm tung độ điểm thuộc Parabol có hồnh độ x = -3 d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = Bài 3: a)Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là và - Tìm toạ độ A và B từ đó suy phơng trình đờng thẳng AB Bµi : Cho hµm sè víi (P) y=− x 2 , Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc y=− x Bµi 5: Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): và đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) y=− x 2 Bµi 6: Cho hµm sè a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; Viết phơng trình đờng th¼ng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đờng thẳng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm Bµi 7: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (D): y = kx + b 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc câu 1) và câu 2) C 4) Gọi (d) là đờng thẳng qua điểm ( 32 ;−1) vµ cã hÖ sè gãc m (17) a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d) b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông gãc víi Bài Với giá trị nào a thì đồthị hàm số y = ax2 (a 0 )đi qua điểm M(1;-1) Bài 9: Cho (P): y = x2 Vẽ (P) trên hệ trục Oxy Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ là và Hãy viết phương trình đường thẳng qua A và B Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) và (P) 5.Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; trên trục hoành Bài 10: Cho hai hàm số: y=x và y=x +2 1) Vẽ đồ thị hai hàm số này trên cùng hệ trục Oxy 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N hai đồ thị trên phép tính CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm: x1 1 x2 c a a + b +c = pt (1) có nghiệm: x1 x2 c a a – b +c = pt (1) có nghiệm: b) Giải với ' : b Nếu b = 2b’ b’ = ' = (b’)2 – ac b' ' b' ' x1 x2 a a Nếu ' > phương trình có nghiệm phân biệt: ; b' x1 x2 a Nếu ' = phương trình có nghiệm kép: Nếu ' < phương trình vô nghiệm c) Giải với : Tính : = b2 – 4ac b b x1 x2 2a ; 2a Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt: b x1 x2 2a Nếu = phương trình có nghiệm kép: Nếu < phương trình vô nghiệm Hệ thức Vi ét và ứng dụng: (18) a) Định lý: Nếu x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì ta có: b S x1 x2 a P x x c a u v S b) Định lý đảo: Nếu u.v P u, v là nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P 0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P 1 x x S x1 x2 P Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 x12 x22 S2 2P 1 2 x x ( x x ) P2 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 Bình phương hiệu các nghiệm: ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 4P Tổng lập phương các nghiệm: x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: 3 1 x x2 b) a) x x c) ( x1 x2 ) d) x1 x2 Giải: Phương trình có ' = > pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 2 2 3 b S x1 x2 a 12 P x x c 35 a 2 a) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74 1 x x S 12 x1 x2 P = 35 b) x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 x1 x2 S2 -4P c) = 122 – 4.35 = d) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x1 x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 3.Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số) * Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' ; 0 a.c < 0) 3 b S x x a c P x x a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m là tham số) (19) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Gọi x1, x2 là nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + = (2m – 3)2 0, m Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với m b 2m S x1 x2 a 2S 2m 1 P x x c m a 2 P m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 2S 2m 4 P 2m 2S + 4P = -1 Hay: 2(x + x ) + 4x x = -1 : Đây là hệ thức cần tìm 2 Tìm hai số biết tổng và tích chúng – Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm nó: * Phương pháp giải: u v S Nếu số u và v c ó: u.v P u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = (*) Giải pt (*): u x1 u x2 v x2 ' + Nếu > (hoặc > 0) pt (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 Vậy v x1 b' b' + Nếu ' = (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy u = v = a + Nếu ' < (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm Vậy không có số u, v thỏa đề bài Ví dụ 1: Tìm số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28 Giải: Theo đề bài u, v là hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 11x + 28 = 0(*) Phương trình (*) có = > u Vậy: v hay u v x1 7 3 x2 4 Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 và b = – Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b Giải: a + b = ( +1) + (3 – ) = a.b = ( +1) (3 – ) = Suy ra: a, b là nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = x2 – 4x + = 0: Đây là pt cần tìm (20) Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa dạng : ' = (A B)2 + c > 0, m (với c là số dương) Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biến đổi ' đưa dạng : ' = (A B)2 0, m Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức ' (hoặc ) Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ' > giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm kép ' = giải pt tìm tham số m kết luận + Phương trình vô nghiệm ' < giải bất pt tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm ' giải bất pt tìm tham số m kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < giải bất pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c Giá trị nhỏ P: Pmin = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A B = giải pt tìm tham số m kết luận *Các phương trình quy phương trình bậc hai: + Phương trình trùng phương: Phöông trình truøng phöông laø phöông trình coù daïng: ax bx c 0 Cách giải - Ñaët t = x2 ( t 0) - Chuyển phương trình đã cho theo ẩn t đã đặt - Giaûi phöông trình theo t, tìm giaù trò cuûa t - Giải tìm x theo giá trị t tìm trên II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau: 1) 3x 2x 0 2) 4x 8x 0 3) x 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 4) -30x + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 4)3x 27 0 3) 3x2 + 5x + = ; 6) x2 – 7x – = ; (21) 7) 3x2 – 11x + = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 12) x2 – 10x + 21 = 8) 5x2 – 17x + 12 = ; 10) x2 – 11x + 30 = ; 9) 3x2 – 19x – 22 = ; 11) x2 – 12x + 27 = ; 13) x 2 x 0 14) x x 0 16) x x 0 15) 2x2 – 7x + = 18): x2 – 5x + = 19) x2 – (1 + =0; Bài 3: Giải các phương trình sau: 1) (x + 1)(x + 2) = 5) 9x4 + 5x2 – = 9) x 2 x 18 √3 )x + √3 x 5 2) 6) x x 20 0 10) 17) x 12 x 36 0 = ; 20) ( √3 + 1)x2 + √3 x+ √3 -1 3) x x 4) x x 7) x 16 x 32 0 8) x4 + x2 – = 2x x2 x 11) x ( x 1)( x 4) x x x 1 Bài 4: Cho Phương trình 2x2 – 5x – = có nghiệm x1, x2 Tính giá trị 1) A = x1 + x2 - 2x1x2 5) A = x12 – x1x2 + x22 1 x x2 2) B = x1 x2 x x1 3) C= 4) D= x12 + x22 3 6) E = x1 x2 x2 x1 21 Bài 5: Tìm tham, số thực m để phương trình x – 2mx + m – = có nghiệm Tính nghiệm còn lại Bài 6: : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x m 0 * Bài 7: Cho phương trình (ẩn số x): Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 x1 Bài 8: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – =0 ( m lµ tham sè) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = 2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 x2 16 Bài 9: Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x – 2x + m – = với m là tham số Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x13 x x1x 32 Bài 10: Cho phương trình x 2(m 1)x m 0 , với x là ẩn số, m Î R a Giải phương trình đã cho m – b Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x Tìm hệ thức liên hệ x1 và x mà không phụ thuộc vào m Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ đó Bài 12: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = a) Giải phương trình (1) với m = (1) (22) b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 Bài 13: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 + 2mx – 2m – = (1) a) Giải phương trình (1) với m = -1 2 b) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 cho x + x nhỏ Tìm nghiệm phương trình (1) ứng với m vừa tìm Bài 14: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a = Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a 3) Tìm m để Pt có nghiệm trái dấu Bài 15 : Chứng minh pt: x + mx + m - = luôn có nghiệm với giá trị m Giả sử x1,x2 là nghiệm pt đã cho,tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) Bài 16: Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – = (1) ( m là tham số) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với giá trị m Bài 17: Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình x2 + 4x – m2 – 5m = Tìm các giá trị m cho: |x1 – x2| = Bài 18 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – = (m là tham số) 1/ Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Bài 19: Cho phương trình: x2 – 4x + m + = (m là tham số) 1) Giải phương trình với m = 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x < < x2) Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Bài 20: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m lµ tham sè) (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) m = b)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x12+x22 x m 1 x m 0 Bài 21: Cho phương trình 1) Tìm m để Pt có nghiệm tìm nghiệm 2) Tìm m để phương trình có nghiệm 3) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ biểu thức A x1 x2 x1 x2 Bài 22: Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 -2 (m-1) x - = a Giải phương trình m= b Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 với giá trị x1 x 22 m m Tìm m thỏa mãn x2 x Bài 23:Giá trị m để phương trình x2 – (m+1)x - = có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12x2 + x1x22 = là Bài 24 Cho phương trình x −2 ( m−1 ) x+m−3=0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt b) Gọi hai nghiệm phương trình là x ,x Xác định m để giá trị biểu thức A=x + x 22 nhỏ (23) Bài 25 Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + = 0, pt có a – b + c = –5 + = x1 c x2 a Vậy m = – 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, m Hệ thức: 2S + P = – 2(x1 + x2) + x1x2 = – Bài 26 Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + = 0, pt có a + b + c = +(–4) + = x1 1 c x2 3 a Vậy m = 3, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = = (m – 1)2 0, m m ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > |m – 1| > m Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = Bài 27: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m HD: Khi m = 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = = (2m – 3)2 0, m m m 2 ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (2m – 3) > |2m – 3| > Hệ thức: 2S + 4P = 2( x1 + x2) + x1x2 = Bài 28 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = (24) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu HD: Khi m = 5, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = = (m – 2)2 0, m m ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > |m – 2| > m Hệ thức: S – P = x1 + x2 – x1x2 = Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 3) < m < Bài 29 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = (1) Tìm m để: Pt (1) có nghiệm phân biệt Pt (1) có nghiệm là – Giả sử x1, x2 là nghiệm pt (1) CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = HD: 1a Phương trình (1) có ' = – 2m Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ' > – 2m > m < 1b Pt (1) có nghiệm là – khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = m2 + 4m = m1 0 m Vậy m = m = – thì pt (1) có nghiệm là – S x1 x2 2m 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): P x1 x2 m Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + = 4m2 – 8m + – 4m2 + 8m – + = (đpcm) Bài 30 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2 x1 = ; x2 = 19 m 2 > 0, m ' = m2 + m + = S x1 x2 2m P x1 x2 m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): (25) Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10 Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m Bài 31 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) Giải phương trình (1) m = – CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 Gọi x1, x2 là hai nghiệm (1) Tính A = x1 x2 theo m Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài 32 : Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 CMR: Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m 2 Tìm m để x1 x2 = 10 HD: Khi m = –1 x1 = 10 ; x2 = 10 = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + > 0, m Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(2m – 7) < m< Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 2(x1 +x2) – x1x2 = 2 x1 x2 = 10 m2 – 6m + = m = m = Bài 33 : Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Tìm m để: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Tổng bình phương các nghiệm pt (1) 11 HD: Khi m = –1 x1 = ; x2 = –3 2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt = –4m > m < 2b Phương trình (1) có nghiệm trái dấu a.c < 1.(4m + 1) < m< 2 2c Tổng các bình phương hai nghiệm pt (1) 11 x1 x2 = 11 (x + x2) – 2x1x2 = 11 – 8m = 11 m = Bài 34 : Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m là tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m HD: a) m Phương trình (1) có nghiệm kép ' = m2 – = m (26) m b' m Khi pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = a = m + Khi m = x1 = x2 = Khi m = – x1 = x2 = – b) m Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ' > m2 – > m Hệ thức: S – P = – x1 + x2 – x1x1 = – hay: x1x1 – (x1 + x2) = GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH IKiến thức cần nhớ” Các bước giải: Lập phương trình ( hệ phương trình): Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; Lập phương trình ( hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ các đại lượng Giải phương trình ( hệ phương trình) vừa lập Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu bài II Bài tập vận dụng: Bài 1: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là và viết thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải thì số lớn số ban đầu là 682 HD: Gọi x là chữ số hàng chục (xÎ N, < x 9) Gọi y là chữ số hàng đơn vị (yÎ N, x 9) Số cần tìm có dạng xy = 10x + y Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là nên ta có pt: x – y = (1) Khi thêm chữ số chữ số hàng chục vào bên phải thì số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y Vì số lớn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682 91x + 9y = 682 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: x y 91x y 682 x 7 y 5 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) số cần tìm là 75 Bài 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số này bé ba lần số là Tìm hai số đó HD: Gọi x, y là hai số cần tìm (x, yÎ N) x y 59 x 3 y Theo đề bài ta có hệ pt: x y 59 2 x y (27) x 34 Giải hệ ta được: y 25 (thỏa ĐK) hai số cần tìm là 34 và 25 Bài 3: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số nó 10; tích hai chữ số nhỏ số đã cho là 12 Tìm số đã cho HD: Gọi x là chữ số hàng chục số đã cho (xÎ N, < x 9) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 Tích hai chữ số ấy: x(10 – x) Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x2 – = Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = (nhận) Vậy số cần tìm là 28 Bài 4: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích nó tăng thêm 144m2 Tính các kích thước hình chữ nhật HD: 280 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 140 (m) Gọi x (m) là chiều dài hình chữ nhật (0 < x < 140) Chiều rộng hình chữ nhật là 140 – x (m) Diện tích ban đầu hình chữ nhật là x(140 – x) (m2) Khi giảm chiều dài hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144 5x = 430 x = 86 (thỏa ĐK) Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m) Bài 5: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m Nếu chiều dài khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích nó tăng thêm 50m2 Tính diện tích khu vườn ban đầu HD: Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m Diện tích khu vườn: 000 m2 Bài 6: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2 Tính các kich thước nó HD: 160 Nửa chu vi hình chữ nhật: = 80 (m) Gọi x (m) là kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80) Kích thước còn lại hình chữ nhật là 80 – x (m) Diện tích hình chữ nhật là x(80 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500 x2 – 80x + 1500 = Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận) Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m (28) Bài 7: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng là 20m Tính diện tích sân trường HD: Gọi x, y (m) là chiều dài và chiều rộng sân trường ( < x, y < 170) Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 x + y = 170 (1) Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: x y 170 3x y 20 x 100 y 70 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) Bài 8: Cho tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác tăng thêm 110cm2 Nếu giảm hai cạnh này 5cm thì diện tích giảm 100cm2 Tình hai cạnh góc vuông tam giác HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5) Theo đề bài ta có hệ pt: 5 x y 200 x y 45 x 20 y 25 Giải hệ pt ta (thỏa ĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm Bài 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền 5cm, diện tích 6cm2 Tìm độ dài các cạnh góc vuông HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5) Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1) Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = xy = 12 (2) x y 25 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: x y 12 ( x y ) 49 x y x y 12 x y 12 ( x y) xy 25 x y 12 ( vì x, y > 0) x 3 x 4 y 4 Giải hệ pt ta y 3 (thỏa ĐK) Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm Bài 10: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu thì đầy bể? HD: (29) Gọi x (h), y (h) là thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4) Trong 1h, vòi chảy được: x (bể) Trong 1h, vòi chảy được: y (bể) 24 Vì hai vòi nước cùng chảy 48 phút = h đầy bể nên 1h hai vòi cùng chảy 5 24 bể, đó ta có pt: x + y = 24 (1) 3 Vì vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước nên ta có pt: x + y = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 1 x y 24 3 x y (I) u v 24 1 3u 4v (II) Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành: 1 1 u x 12 12 1 x 12 v y y 8 (thỏa ĐK) Giải hệ (II), ta được: Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 12h, vòi chảy riêng đầy bể 8h Bài 11: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 20 phút thì đầy bể Nếu để vòi thứ chảy mình 10 phút và vòi thứ hai chảy mình 12 phút thì 15 thể tích bể nước Hỏi vòi chảy mình bao lâu đầy bể? HD: Vòi chảy riêng đầy bể 120 phút = 2h, vòi chảy riêng đầy bể 240 phút = 4h Bài 12: Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể cạn (không có nước) thì sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau bể nước Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai thì sau bao lâu đầy bể? HD: (30) Gọi x (h), y (h) là thời gian vòi 1, vòi chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ) Trong 1h, vòi chảy được: x (bể) Trong 1h, vòi chảy được: y (bể) Vì hai vòi nước cùng chảy 4 24 = h đầy bể nên 1h hai vòi cùng chảy 24 bể, 1 đó ta có pt: x + y = 24 (1) Vì lúc đầu mở vòi thứ và sau mở thêm vòi thứ hai thì sau 6 1 bể nước nên ta có pt: x + x y = (2) 1 x y 24 1 x x y Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I) u v 24 1 9u u v Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành: u 12 v Giải hệ (II), ta được: 1 x 12 1 y u v 24 51 u v 5 (II) x 12 y 8 (thỏa ĐK) Vậy: Vòi chảy riêng đầy bể 8h Bài 13: Giải bài toán sau cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn chưa có nước thì sau 18 đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ chảy đầy bể chậm vòi thứ hai 27 Hỏi chảy riêng thì vòi bao lâu chảy đầy bể? HD: Gọi x (h) là thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể (x > 27) Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h) Mỗi vòi thứ chảy x (bể) Mỗi vòi thứ hai chảy x 27 (bể) Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên 1h hai vòi cùng chảy 18 bể, đó nên ta có pt: (31) 1 x x 27 18 x2 – 63x + 486 = Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = (loại) Vậy: Vòi thứ chảy riêng đầy bể 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể 27h Bài 14: Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 27 phút Tính vận tốc xe HD: Gọi x, y là vận tốc xe I và xe II (x, y > 0) Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, đó ta có pt: x + y = 90 (1) 90 Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: x (h) 90 Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: y (h) 90 90 y Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = 20 h nên ta có pt: x – = 20 (2) y = 90 x ( a) x + y = 90 10 90 90 10 x y 20 x 90 x 20 (b) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại) Thế x = 40 vào (a) y = 50 (nhận) Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h Xe II có vận tốc: 50 km/h Bài 15: Giải bài toán cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách 110 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ từ A và xe thứ hai từ B ngược chiều Sau chúng gặp Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ tới B là 44 phút Tính vận tốc xe HD: Gọi x, y là vận tốc xe I và xe II (x, y > 0) Sau hai xe gặp nên tổng quãng đường hai xe đoạn đường AB, đó ta có pt: 2x +2y =110 (1) 110 Thời gian xe I hết đoạn đướng AB: x (h) 110 Thời gian xe II hết đoạn đướng AB: y (h) 110 11 110 11 y Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = 15 h nên ta có pt: x – = 15 (2) (a ) y = 55 x 2x + 2y = 110 110 11 110 110 11 110 x y 15 x 55 x 15 (b) Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (32) Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại) Thế x = 25 vào (a) y = (nhận) Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h Xe II có vận tốc: 50 km/h ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHẦN HÌNH HỌC A CHƯƠNG II (5 buổi) Chuyên đề 1: Sự xác định đường tròn- đường kính và dây đường tròn- liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây (1 buổi) I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Sự xác định đường tròn -Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ và đường tròn -Đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác 2.Đường kính và dây đường tròn -Trong các dây đường tròn, dây lớn là đường kính -Trong đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây -Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây 3.Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây -Trong đường tròn: + Hai dây thì cách tâm + Hai dây cách tâm thì -Trong hai dây đường tròn: + Dây nào lớn thì dây đó gần tâm + Dây nào gần tâm thì dây đó lớn II BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt H Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn b) Bốn điểm D, A, E, H cùng thuộc đường tròn c) DE<BC 2.Cho (O), hai dây AB,CD và cắt I nằm bên đường tròn Chứng minh rằng: a) OI là tia phân giác hai góc tạo hai dây AB và CD b)Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng đôi (33) 3.Cho (O), các bán kính OA và OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N cho AM=BN Gọi C là giao điểm các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng: a) OC là tia phân giác góc AOB b) OC vuông góc với AB 4.Cho tứ giác ABCD có ∠B = ∠ D=900 a) Chứng minh bốn điểm A, B, C ,D cùng thuộc đường tròn b) So sánh độ dài AC và BD Nếu AC=BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Chuyên đề 2: Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn-Dấu hiệu nhân biết tiếp tuyến đường (2 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn Gọi d là khoảng cách từ O (O;R) đến đường thẳng a Đường thẳng a và (O;R) + Cắt ⇔ d<R a gọi là cát tuyến (O;R) + Tiếp xức với ⇔ d=R a gọi là tiếp tuyến (O;R) + Không giao ⇔ d>R 2.Dấu hiệu nhân biết tiếp tuyến đường -Nếu đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến đường tròn -Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn và vuông góc với bán kính qua điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn II BÀI TẬP 1.Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I(-3;2).Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính thì đường tròn đó có vị trí tương đối nào các trục tọa độ 2.Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm Vẽ (A;13cm) a) (A;13cm) có vị trí tương đối nào với đường thẳng xy b) Gọi giao điểm xy với (A;13cm) là B, C Tính độ dài BC 3.Cho hình thang vuông ABCD có ∠ A= ∠ D =900, AB=4cm, BC=13cm, CD=9cm a) Tính AD b) CMR đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d đường tròn Gọi E, F là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB Chứng minh rằng: a) CE=CF b) AC là tia phân giác ∠ BAE c) CH2=AE.BF (34) 5.Cho tam giác ABC vuông A Vẽ (B;BA) và (C;CA) chúng cắt điểm D (khác A) Chứng minh CD là tiếp tuyến (B) 6.Cho tam giác ABC cân A, các đường cao AD và BE cắt H Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH CMR: a) Điểm E nằm trên (O) b) DE là tiếp tuyến (O) 7.Cho (O) , bán kính OA, dây CD là đường trung trực OA a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA I Tính độ dài CI biết OA=R Chuyên đề 3: Tính chất hai tiếp tuyến cắt - Vị trí tương đối hai đường tròn (2 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Tính chất hai tiếp tuyến cắt -Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: + Điểm đó cách hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến + Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua các tiếp điểm -Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác Khi đó tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác ba góc tam giác -Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác Vị trí tương đối hai đường tròn - (O;R) và (O';r) cắt ⇔ R-r<OO'<R+r - (O;R) và (O';r) tiếp xúc ngoài ⇔ OO'=R+r - (O;R) và (O';r) tiếp xúc ⇔ OO'=R-r>0 -(O;R) và (O';r) ngoài ⇔ OO'>R+r -(O;R) đựng (O';r) ⇔ OO'<R-r -Tiếp tuyến chung hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn đó II.BÀI TẬP 1.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt By N (35) a) Tính số đo góc MON b) CMR: MN=AM+BN c) CMR: AM.BN=R2 (R là bán kính nửa đường tròn) 2.Cho (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến AM, AM với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) a) Chứng minh OA ¿ MN b) Vẽ đường kính NOC Chứng minh MC//AO c) Tính độ dài các cạnh tam giác AMN, biết OM=3cm, OA=5cm 3.Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn (A;AH).Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H) CMR: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến M cắt Ax, By theo thứ tự C và D a) CMR: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí M để chi vi hình thang ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C, D để hình thang ABCD có chu vi 14cm, biết AB=4cm 5.Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn ( C ¿ (O), D ¿ (O') ) a) Tính số đo góc CAD b) Tính độ dài CD biết OA=4,5cm, O'A=2cm 6.Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài A Kẻ các đường kính AOB, AO'C Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài hai đường tròn ( D ¿ (O), E ¿ (O') ).Gọi M là giao điểm BD và CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c) CMR: MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn 7.Cho đường tròn (O) và (O') cắt tai A và B, đó O' nằm trên (O) Kẻ đường kính O'OC (O) a) Chứng minh CA, CB là các tiếp tuyến (O') b) Đường vuông góc với AO' O' cắt CB I Đường vuông góc với AC C cắt đường thẳng O'B K CMR ba điểm O, I, K thẳng hàng B.CHƯƠNG III (5 buổi) (36) Chuyên đề 1: Góc tâm - Liên hệ gữa cung và dây (1 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Góc tâm -Định nghĩa: Góc tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn -Tính chất: Số đo góc tâm số đo cung bị chắn -Nếu C là điểm nằm trên cung AB thì: sđ AB= sđ AC+sđ CB Liên hệ cung và dây -Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây và ngược lại -Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Cung lớn căng dây lớn và ngược lại II BÀI TẬP 1.Hai tiếp tuyến A, B (O;R) cắt M Biết OM=2R Tính số đo góc tâm AOB 2.Cho tam giác ABC, có AB>AC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD=AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC Từ O hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H ¿ BC, K ¿ BD) a) CMR: OH<OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC 3.Trên dây cung AB đường tròn tâm O, lấy hai điểm C, D chia dây này thành ba đoạn thẳng AC=CD=DB Các bán kính qua C, D cắt cung nhỏ AB E và F CMR: a) AE = FB b) AE < EF 4.Cho đường tròn tâm O Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn điểm thứ hai là E Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn điểm thứ hai là F CMR: a) Hai cung nhỏ CF và DB b) Hai cung nhỏ BF và DE c) DE=BF Chuyên đề 2: Góc nội tiếp và góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung (1 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Góc nội tiếp -Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung đường tròn đó (37) -Tính chất: Trong nửa đường tròn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn -Hệ quả: +Các góc nội tiếp chắn các cung +Các góc nội tiếp cùng chắn cung chắn các cung thì +Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm cùng chắn cung +Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông 2.Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung -Định nghĩa: Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, cạnh là tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chúa dây cung -Tính chất: Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn -Hệ quả: Trong đường tròn góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung thì II BÀI TẬP 1.Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D và cắt (O) E CMR: AB2=AD.AE 2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và M là điểm cung nhỏ BC Tên tia MA lấy điểm D cho MD=MB a) Tam giác MBD là tam giác gì? vì sao? b) CMR: Δ BDA= Δ BMC c) CMR: MA=MB+MC 3.Từ điểm M cố định bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB đường tròn đó a) CMR: MT2=MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí cát tuyến MAB b) Trong trường hợp cát tuyến MAB qua tâm đường tròn và MT=20cm, MB=50cm Tính bán kính đường tròn 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Vẽ tia Bx cho tia BC nằm hai tia Bx, BA và ∠ BAx= ∠ BAC CMR: Bx là tiếp tuyến (O) Chuyên đề 3: Góc có đỉnh bên đường tròn-Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn (1 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Góc có đỉnh bên đường tròn - Góc có bên đường tròn là góc có đỉnh bên đường tròn (38) -Tính chất: Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn 2.Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn - Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh có điểm chung với đường tròn -Tính chất: Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa số đo hiệu hai cung bị chắn II BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC P Chứng minh PD=PC 2.Hai dây cung AB, CD kéo dài cắt điểm E bên ngoài đường tròn (O) (B nằm A và E, C nằm D và E) Cho biết ∠ CBE=750, ∠ CEB=220, ∠ AOD=1440 Chứng minh ∠ AOB= ∠ BAC 3.A,B,C là ba điểm thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia BC D.Tia phân giác ∠ BAC cắt đường tròn M, tia phân giác góc D cắt AM I Chứng minh DI ¿ AM 4.Trên đường tròn (O;R) vẽ ba dây liên tiếp AB,BC, CD, dây có độ dài nhỏ R Các đường thẳng AB, CD cắt I, các tiếp tuyến đường tròn B,D cắt K a) Chứng minh ∠ BIC= ∠ BKD b) Chứng minh BC là tia phân giác ∠ KBD Chuyên đề 4: Tứ giác nội tiếp (2 buổi) I KIẾN THỨC CẦN NHỚ -Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn -Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối 1800 -Dấu hiệu nhận biết tứ giác: +Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 +Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối đỉnh đó +Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác +Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc α II BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , các đường cao AD, BE, CF cắt H.CMR: a) Các tứ giác BCEF , HEAF nội tiếp b) ∠ BCF= ∠ BAD (39) c) EB là tia phân giác ∠ DEF 2.Cho tam giác ABC cân tai A, ∠ A=200 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D cho DA=DB và ∠ DAB=400 Gọi E là giao điểm AB và CD a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp b) Tính ∠ AED 3.Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB I (I nằm A,O) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC(E khác B và C), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF=AC2 c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn thuộc đường thẳng cố định 4.Cho tam giác ABC vuông A, Mlà điêm thuộc cạnh AC (M khác A và C) Đường tròn đường kình MC cắt BC N và cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM là tia phân giác góc ANI c) BM.BI+CM.CA=AB2+AC2 5.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, lấy điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By Đường thẳng Qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự C và D a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD c) Gọi I là giao điểm AN và CM, K là giao điểm BN và DM Chứng minh IK//AB 6.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kinh AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điẻm E, tia AC cắt tia BE F a) Chứng minh rằng: FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: DA.DE=DB.DC c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn (O) (40) (41)