GIAÓ ÁN CV 5512 PP quy nap 2021

Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 Ngày soạn: / /2021 Ngày giảng: /12/2021 Lớp dạy CHUYÊN ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Thời lượng: tiết (36-37) Đối tượng: Học sinh trung bình-Khá I MỤC TIÊU Phẩm chất Yêu cầu cần đạt lực Năng lực toán học Năng lực tư Thực việc lập luận hợp lí chứng minh mệnh đề Toán lập luận toán học phương pháp phương pháp quy nạp học Biết cách giải tình học Năng lực giải Áp dụng phương pháp phương pháp quy nạp để kiểm tra chứng vấn đề tốn minh mệnh đề Tốn học học Năng lực mơ hình Mơ hình hóa tốn thực tế có sử dụng phương pháp phương pháp hóa tốn học quy nạp giải toán Năng lực giao Phát biểu phương pháp phương pháp quy nạp tiếp toán học Dùng ngơn ngữ tốn học để mơ hình hóa tốn thực tế Năng lực chung Năng lực tự chủ Phát chứng minh mệnh đề Toán học phương pháp tự học phương pháp quy nạp phương pháp giải tập tình học Năng lực giao Biết lắng nghe phản hồi có tích cực giao tiếp thảo luận tiếp hợp tác hoạt động nhóm Hiểu rõ nhiệm vụ nhóm; đánh giá khả tự nhận công việc phù hợp với thân Phẩm chất chủ yếu Trung thực Khác quan công dự đốn kết hoạt động mình, đánh giá kết hoạt động bạn Trách nhiệm Tinh thần làm vịệc có trách nhiệm, khách quan, có suy nghĩ thấu đáo đánh giá kết khác biệt ( có) II Thiết bị dạy học học liệu 1/ Chuẩn bị giáo viên: + Kế hoạch dạy học, File trình chiếu, phiếu học tập 2/ Chuẩn bị học sinh: + Đọc trước + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … III Tiến trình dạy học 1./ Tiến trình dạy học: Hoạt động học Mục tiêu Tiết 36 Hoạt động 1: Khởi động (2) (4) (6) (7) (8) Stt (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Nội dung dạy Phương pháp, kĩ Phương án đánh giá học trọng tâm thuật dạy học Đặt vấn đề - dạy học hợp tác GV đánh giá qua việc phát việc cần thiết - kỹ thuật đặt câu vấn đề học sinh, chứng minh hỏi kết làm việc nhóm mệnh đề Tốn học phương Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Hoạt động 2: Hình thành kiến thức Tiết 37 Hoạt động 3: Luyện tập Năm học 2021-2022 pháp phương pháp quy nạp HĐTP1:Tiếp cận - Dạy học hợp tác phương pháp qui - Dạy học giải nạp vấn đề HĐTP2: Phương pháp qui nạp HĐTP3:II.Một số ví dụ: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (1) (2) (4) (6) (7) (8) HS làm tập Dạy học giải - GV đánh giá qua kết củng cố kiến vấn đề hoạt động cá nhân HS thức - HS đánh giá lẫn qua làm cá nhân Hoạt động 4: Vận dụng (1) HS làm tập Dạy học hợp tác (3) vận dụng kiến (4) thức (6) (7) (8) Hoạt động 5: (2) Phương pháp Dạy học nêu vấn đề Tìm tịi mở rộng (3) phương pháp quy Dạy học theo dự án (7) nạp (8) /BẢNG MÔ TẢ CÁC YÊU CẦU CẦN ĐẠT Nội dung Nhận biết Phát biểu mệnh đề, mđ I Phương biến xét pháp quy sai nạp tốn Ví dụ: Nêu học: mệnh đề, mđ biến xét sai - Đánh giá HS qua q trình hoạt động nhóm, nhóm đánh giá làm qua phiếu học tập - Đánh giá HS qua kết hoạt động cá nhân - GV đánh giá thông qua câu trả lời cá nhân, nhóm - Các nhóm đánh giá lẫn qua trò chơi - Đánh giá qua câu trả lời HS Vận dụng thấp Thông hiểu Phương pháp quy nạp chứa tốn học tính Hiểu bước chứa phương pháp qnth tính Vídụ 2: CMR N*, ta ln có: Giáo viên - Trường THPT Chứng minh chia hết II Ví dụ Vd1: Chứng minh với thì: + +…+ (2n - 1) = n2 (1) Vận dụng cao n Sử dụng định nghĩa để chứng minh mệnh đề với n>=p Ví dụ 3: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, n N* Trang Sử dụng pp qn để chứng minh mệnh đề với n>=p Ví dụ 4: CMR 2n>2n+1, n Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 Bài Bài Bài III Bài tập / QUÁ TRÌNH TỔ CHỨC HOẠT ĐỘNG THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ (5 phút) Bài HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG A Mục tiêu:- Biết phối hợp hoạt động nhóm sử dụng tốt kỹ ngôn ngữ - Tạo ý cho học sinh để vào Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động Kết 1: Thầy kết luận chưa hợp lí bạn từ số thứ tự đến số thứ tự 35 chưa học Để thu kết luận đúng, thầy cần kiểm tra lớp (bằng cách Bài toán Thầy giáo kiểm tra cũ lớp 11A3 (có 35 học sinh), thầy gọi kiểm tra 15 phút chẳng hạn) theo sổ điểm bạn: • Trần Thị Thanh Hoa • Nguyễn Văn Cao • Hồ Văn Tình Kết 2: • Văn Thanh Diệu Kết luận chưa • Đỗ Thị Lan Anh chưa kiểm tra xem hệ Cả bạn học Thầy kết luận: “Cả lớp 11A3 học bài” khác có mắt đỏ khơng? Thầy kết luận có hợp lí khơng? Nếu khơng làm Ta khơng thể làm tốn để có kết luận đúng? số lượng ruồi giấm hệ Bài toán Người ta kiểm tra quần thể ruồi giấm thấy hệ có tính trạng mắt đỏ Kết luận: “Tất ruồi giấm hệ quần thể mắt đỏ” Kết luận có khơng? Nếu khơng làm để có kết luận đúng? quẩn thể vô số, việc kiểm tra cá thể hệ thực Để thu kết luận đúng, ta làm sau: + Kiểm tra với hệ thứ (đời F1); + Chứng minh di truyền tính trạng mắt đỏ Tức chứng minh đời bố mẹ mắt đỏ đời mắt đỏ Khi đó, chắn tất cá thể hệ mắt đỏ hệ trước di truyền lại cho hệ sau HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC B Mục tiêu: - Nhớ hiểu nội dung phương pháp quy nạp tốn học gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự quy định Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 - Biết cách lựa chọn sử dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán cách hợp lí Hoạt động 1: Phương pháp quy nạp toán học:(15 phút) Bài toán GV treo bảng phụ GV phân nhóm: Nhóm 1, thảo luận câu 1; Nhóm 3, thảo luận câu HS quan sát bảng phụ tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động HĐTP1: Tiếp cận phương pháp qui nạp I Phương pháp quy nạp toán học: - Phát phiếu học tập số 1 Bài toán: HĐ1 Xét hai mệnh đề chứa biến Đáp án n n=1: 31 < 1+100 Đúng < n + 100 n∈N * n=2: 32 < 2+100 Đúng P(n): “ ” Q(n): “2n > n” với n=3: 33 < 3+100 Đúng a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai? n=4: 34 < 4+100 Đúng Với n ∈ N* P(n) sai P(5) sai n∈N * Đáp án b Với P(n), Q(n) hay sai? Với n=1: 21 > Đúng - H1: Phép thử vài TH có phải c/m cho KL n=2: 22 > Đúng TH TQ không? n=3: 23 > Đúng - H2: Trở lại MĐ Q(n), thử kiểm tra tiếp với giá trị n=4: 24 > Đúng n≥6 n∈N * Ta có Q(5) với n ∈ N* ? Có thể khẳng định Q(n) với Q(n) chưa? n P(n): Đ- Q(n): Đ-S - H3: Muốn chứng tỏ kết luận ta phải làm S nào? Muốn chứng tỏ kết luận sai, ta phải làm 3>2 Đ Đ nào? Đ Đ Giáo viên theo dõi,giúp đỡ q trình làm việc nhóm Đ Đ học sinh Đ Đ - Đại diện nhóm treo phiếu học tập S Đ - Một nhóm đại diện nhận xét, đánh giá kết hoạt động nhóm Giáo viên đánh giá kết hoạt động nhóm GV nhận xét: Muốn chứng tỏ kết luận đúng, ta phải chứng minh trường hợp Xét Q(n), ta thấy với số ngun dương n>5 Q(n) ln đúng, song ta chưa thể khẳng định Q(n) với n ∈ N* Vậy, để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* với n ta thử trực tiếp tập hợp số tự nhiên vô hạn mà ta dùng phương pháp quy nạp toán học HĐTP2: Phương pháp qui nạp Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động GV giới thiệu phương pháp qui nạp Phương pháp quy nạp toán học: ∀ ∈ - H4: MĐ với n = k n = k + Để c/m mệnh đề A(n) n N* ta thực ghĩa gì? hiện: B1: C/m A(n) n=1.(n bé nhất) B2: + Giả sử A(n) với n=k,(đk k) nghĩa A(k) + Cần chứng minh A(n) với Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 n=k+1 nghĩa A(k+1) + Cm.Kết luận mệnh đề ∀n ∈ N * HĐTP3: II.Một số ví dụ: GV đưa ví dụ GV phân nhóm: Nhóm 1, thảo luận câu a; Nhóm 3, thảo luận câu b HS quan sát ví dụ tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động GV: Hướng dẫn: II Ví dụ B1) n = 1: (1) đúng? Vd1: n∈N * B2) Đặt Sn = + + +…+ (2n - 1) n =k ≥1 a/ Chứng minh với thì: - Giả sử (1) với , nghĩa có giả thiết + + +…+ (2n - 1) = n2 (1) → gì? VT = 1, VP = = (1) Ta chứng minh (1) với n = k + 1, tức chứng minh điều gì? Hãy c/m điều đó? (chú ý đến giả thiết Sk = + + +…+ (2k - 1) = k2 qui nạp) C/m: Sk+1 = + + +…+ (2k - 1) + - Hoàn thành B1, B2 ta kết luận? - Yêu cầu hs làm theo nhóm [ 2(k + 1) − 1] - GV quan sát giúp đỡ cần thiết - Gọi bất hs trình bày để kiểm tra sửa chữa = ( k + 1) HS: - Làm việc theo nhóm - Trình bày giải [ 2(k + 1) − 1] -Nhận xét Ta có: Sk+1 = Sk + -Chỉnh sửa hồn thiện -Ghi nhận kiến thức k + 2k + = ( k + 1) = n∈N * Vậy (1) với n∈N * b/ Chứng minh với n (n + 1) + + + + n = (1) với n = (1) Giả sử (1) với n = k Sk = k (k + 1) Ta có: Cm(1) với n = k + Sk +1 = S k + (k + 1) = = Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học k (k + 1) + (k + 1) ( k + 1)(k + 2) Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 ∀ ∈ +Gọi hs làm bước Vídụ 2: CMR n N*, ta ln có: (Hđ1) Kiểm tra với n = 2 (Hđ2) Giả sử (1) với n = k, chứng minh (1) 13 + + 33 + + n = n (n + 1) với n=k+1 Thầy tóm tắt hai bước HD: - GVchia nhóm thảo luận 13 + + 33 + + k + ( k + 1) - HS thảo luận nhóm để đưa kết k ( k + 1) - GV chọn nhóm báo cáo kết hoạt động = + ( k + 1) - Các nhóm cịn lại thảo luận, đáng giá kết ( k + 1) ( k + 1) ( k + 2) - GV nhận định kết luận kết = ( k + 4k + 4) = Ta phải kiểm tra bước nào? + HS tự làm  ∀ ∈ Ví dụ 3: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, n N* HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2  =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 HĐTP3: Chú ý Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động - GV quan sát giúp đỡ cần thiết Chú ý: thức tế ta gặp tốn ∀ ≥ - Gọi hs trình bày để kiểm tra sửa chữa yêu cầu CM A(n) n p Khi ta HS: - Làm việc theo nhóm cm tương tự B1 thử với - Trình bày giải n=p -Nhận xét Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n = p -Chỉnh sửa hoàn thiện Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số -Ghi nhận kiến thức tự nhiên n = k ≥ p (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề với n = k + Ví dụ 4: ∀ ≥ a) CMR 2n>2n+1, n * Với n=3 ta có: 8>7 => 2n > 2n+1 * Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k ≥ ta có: 2k > 2k+1 Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 2k+1 > 2(k+1)+1 Ta thấy 2k+1=2.2k>2(2k+1)=4k+2> 2k+3=2(k+1)+1 Vậy mệnh đề với n ≥  ∀ ∈ a) CMR un=13n-1 6, n N a Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp cách vận dụng b Bài nhà: 1,4,5 SGK TIẾT 37 Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP C Mục đích: Giúp học sinh củng cố, hồn thiện kiến thức, kỹ vừa lĩnh hội Thực dạng tập SGK Giúp học sinh củng cố kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ biến đổi tính tốn Giúp học sinh củng cố kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ áp dụng kiến thức vào dạng toán khác HĐTP1: Cả lớp Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề với số nguyên dương n ≥ 3? HS suy nghĩ trả lời n n GV nhận xét A > 2n+1 B > 2n n n C > n+1 D > n Câu Với số nguyên dương n Sn =n3+2n HS suy nghĩ trả lời chia hết cho số bao nhiêu? GV nhận xét, hoàn chỉnh A B C D - GV quan sát giúp đỡ cần thiết n ẻ Ơ* - Gi hs trỡnh by kiểm tra sửa chữa Bài 1: Chứng minh , ta có đẳng thức HS: - Làm việc theo nhóm n (n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + + n = - Trình bày giải 1.2.3 =1 B1: n = 1: VT = 12 = 1, VP = Vậy đẳng thức với n = B2: Giả thiết đẳng thức với số tự nhiên n =k ≥1 , tức là: k ( k + 1)(2 k + 1) 12 + 2 + 32 + + k = Ta chứng minh: 12 + 2 + + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) HĐTP2: Bài tập (82) (Chia lớp thành nhóm ) Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Giao nhiệm vụ cho nhóm un = n + 3n + 5n Nhóm 3: Bài 2a) Bài 2a) Đặt Nhóm 4: Bài 2b) u1 = 9M3 - GV: Quan sát hướng dẫn cần + n = 1: - Gọi đại diện nhóm trình bày - Cho nhóm khác nêu nhận xét bổ sung k ³ 1, ta co uk = ( k + 3k + 5k ) M3 - GV: khẳng định lại kết + GS Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 uk +1 M3 Ta c/m ( ) uk +1 = é u + k + 3k + ù M3 ê ú ëk û un M3 n Î ¥* Vậy với un = 4n + 15n - Bài 2b) Đặt n = : u11 = 18M9 + k ³ 1, uk = 4k + 15k - M9 ( ) + GS: uk +1 M9 Ta c/m uk +1 = é 4u - 9( 5k - 2) ù M9 ê ú ë k û un M9 Vy vi mi n ẻ Ơ* HTP3: Bi tập (82) (Chia lớp thành nhóm ) Nội dung, phương thức tổ chức hoạt Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động động học Giao nhiệm vụ cho nhóm Bài 3a) ® Nhóm 3: Bài 3a) + n = 2: VT = 9, VP = bất đẳng thức Nhóm 4: Bài 2b) k k ³ 2, ta co > 3k +1 (*) - GV: Quan sát hướng dẫn cần + GS - Gọi đại diện nhóm trình bày - Cho nhóm khác nêu nhận xét bổ sung 3k +1 > 3(k + 1) + - GV: khẳng định lại kết Ta c/m (*) Û 3k +1 > 9k + Các nhóm tìm hiểu tiến luận để hồn Û 3k +1 > 3k + + 6k - thành nhiệm vụ nhiệm vụ + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: Giáo viên 3k +1 > 3(k + 1) + đánh giá chung giải thích vấn đề học Vì 6k -1 >0 nên sinh chưa giải Bài 3b) Tương tự HĐTP4: Bài tập (83) Cá nhân Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 S , S vµ S a) Gọi HS tính a) ? Sn b) Từ câu a), dự đoán CT tổng quát ? Chứng minh Ct PP qui nạp ® S1 ? +n=1 ³ + GS (1) vứi n = k 1, tức ta có điều gì? Năm học 2021-2022 1 = 1.2 1 S2 = + = 1.2 1.2 2.3 1 S3 = + + = 1.2 2.3 3.4 S1 = Sn = b) n (1) n +1 S1 = +n=1 1 = 1+1 Vậy (1) k ³ 1, ta có S k = k +1 + Giả sử với C/m (1) với n = k +1, tức chứng minh điều gì? Gọi HS lên chứng minh + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên sở câu trả lời học sinh, giáo viên chuẩn hóa câu trả lời, từ nêu kết luận S k +1 = Ta C/m k +1 k +2 (k +1)(k + 2) k = + k +1 (k +1)(k + 2) k +1 = k +2 S k +1 = S k + Vậy (1) chứng minh VDC: Chứng minh mệnh đề ” 1 13 + + + > n +1 n + 2n 24 , với n số nguyên dương lớn 1” phương pháp quy nạp toán 1 + + + n +1 n + 2n học, đặt P(n)= P(k+1) ( với k số nguyên dương lớn 1) bằng: 1 P( k) + − k + 2k + A 1 P( k) + + 2k + k + B 1 P( k) + − 2k + k + C Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 P( k) + 1 − 2k 2(k + 1) D ẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG D,E Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống, toán thực tế… Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt học sinh động Câu hỏi 1: Kết 1: Bán kính đường trịn số Fibonacci(Quy nạp kiểu Fibonacci) Em dự đoán xem, tâm đường trịn nằm vị trí nào, bán kính Câu hỏi 2: Chứng minh số đường chéo đa n ( n − 3) Cn = ,n ≥ giác lồi Giáo viên - Trường THPT Kết 2: Khẳng định với n =4 tứ giác có hai đường chéo n=k≥4 Giả sử khẳng định với , tức k ( k − 3) Ck = Ta cần chứng minh khẳng định n = k +1 , có nghĩa phải chứng minh ( k + 1) ( k − ) Ck +1 = Trang 10 Giáo án Đại số Giải tích 11 Câu hỏi 3: i 2017 , i 2018 , i n Biết số phức i = −1 Năm học 2021-2022 Khi tính Ak +1 Thật Khi ta vẽ thêm đỉnh cạnh Ak A1 trở thành đường chéo Ngoài Ak +1 k −2 từ đỉnh ta kẻ tới đỉnh lại để tạo thành đường chéo Nên số đường chéo tạo thành ta Ak +1 k − + = k − thêm đỉnh Vậy ta có k ( k − 3) Ck +1 = Ck + k − = + k −1 Câu hỏi 4: Tìm quy luật = ( k + 1) ( k − ) Kết 3: i 2017 = i.i 2016 = i ( i ) 1008 =i i 2018 = i i 2016 = ( −1) ( i ) 1008 = −1 Kết 4: Đáp án có chữ số đầu chữ số cuối 1, xếp số tịnh tiến, mang tính đối xứng Củng cố, dặn dị: phút - Nhắc lại kiến thức trọng tâm - Về nhà xem trước “DÃY SỐ” Bài tập củng cố: (phát cho học sinh) IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NHẬN BIẾT Giáo viên - Trường THPT Trang 11 Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 A( n) n≥ p Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên p n ( số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với bằng: n≥ p n= p n> p n =1 A B C D Lời giải Chọn B A( n) n≥ p Câu Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên A( n) p n=k ( số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề với Khẳng định sau đúng? k > p k ≥ p k = p k < p A B C D Lời giải Chọn B A( n) Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến với n≥ p p số tự nhiên ( số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: A( n) n = p • Bước 1, kiểm tra mệnh đề với A( n) n=k≥ p • Bước 2, giả thiết mệnh đề với số tự nhiên phải chứng minh n = k + với Trong hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai Lời giải Chọn C Câu Cho THÔNG HIỂU Sn = 1 1 + + + + 1×2 ×3 ×4 n ( n + 1) với S2 = n ∈ N* Mệnh đề sau đúng? 1 S3 = S2 = S3 = 12 A B C D 1  → = n ( n + 1) ( + 1) ×3 Sn n=2 Lời giải Nhìn vào cho , ta 1 S2 = + = n=2 ×2 ×3 Do với , ta có Chọn C 1 1 Sn = + + + + 1×2 ×3 ×4 n ( n + 1) n ∈ N* Câu Cho với Mệnh đề sau đúng? Giáo viên - Trường THPT Trang 12 Giáo án Đại số Giải tích 11 Sn = A n −1 n Sn = B n n +1 Năm học 2021-2022 Sn = C n +1 n+2 Sn = D S1 = , S = , S3 = n+2 n+3 Lời giải Cách trắc nghiệm: Ta tính Từ ta thấy quy luật từ nhỏ mẫu đơn vị Chọn B n S1 = , S2 = , S3 =  → Sn = n +1 Cách tự luận Ta có dự đoán 1 S1 = = n =1 1.2 + • Với , ta : 1 k + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) k + n = k ( k ≥ 1) • Giả sử mệnh đề , tức 1 k + + + = 1.2 2.3 k k + k +1 ( ) • Ta có 1 1 k ⇔ + + + + = + 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + ( k + 1) ( k + ) 1 1 k + 2k + ⇔ + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ⇔ 1 1 k +1 + + + + = 1.2 2.3 k ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) k + Suy mệnh đề với Sn = 1 + + + 1×3 ×5 ( 2n − 1) ×( 2n + 1) Câu Cho Sn = A n −1 2n − Lời giải Cho Sn = B n 2n + C n = k +1 n ∈ N* với n Sn = 3n − Mệnh đề sau đúng? n+2 Sn = 2n + D  → S1 = n =    → S2 = n =  15   → S3 = n =   Kiểm tra đáp án cho B thỏa Chọn B 1      Pn =  − ÷ − ÷  − ÷     n  n≥2 n ∈ ¥ Câu Cho với Mệnh đề sau đúng? Giáo viên - Trường THPT Trang 13 Giáo án Đại số Giải tích 11 P= A n +1 n+2 P= B n −1 2n Năm học 2021-2022 P= C n +1 n P= D n +1 2n  1  → P2 = 1 − ÷ = n =      1     n =  → P3 = 1 − ÷  − ÷ =     n≥2 Lời giải Vì nên ta cho Kiểm tra đáp án cho D thỏa Chọn D n ∈ ¥* Câu Với , hệ thức sau sai? n ( n + 1) + + + n = + + + + ( 2n − 1) = n 2 A B n n + n + 2n ( n + 1) ( 2n + 1) ( )( ) 12 + 22 + + n = 22 + 42 + 62 + L + ( 2n ) = 6 C D n =1 n = n = Lời giải Bằng cách thử với , , ta kết luận Chọn D VẬN DỤNG Câu 10 Chứng minh với n∈ ¥* n + 2n chia hết cho Hướng dẫn giải P ( n) = n3 + 2n Đặt n =1 Suy mệnh đề với P (k ) = k + 2k M n = k ≥1 - Giả sử mệnh đề , tức là: n = k +1 - Ta cần chứng minh mệnh đề , tức chứng minh: P (k + 1) = (k + 1) + 2(k + 1)M3 Thật vậy: P( k + 1) = k + 3k + 3k + + k + = k + 3k + 5k + = ( k + 2k ) + 3( k + k + 1) = P( k ) + 3( k + k + 1) - Khi n =1 P(1) = 3M3 , ta có 3(k + k + 1)M3 P (k )M3 Mà nên P (k + 1) M3 ⇒ mệnh đề n = k +1 - Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học ta có mệnh đề với n ∈ ¥* n3 + 11n Câu 11 Chứng minh với n∈¥ chia hết cho Hướng dẫn giải Giáo viên - Trường THPT Trang 14 * Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 P(n) = n3 + 11n Đặt n =1 Suy mệnh đề với P (k ) = k + 11k M6 n = k ≥1 - Giả sử mệnh đề , tức là: n = k +1 - Ta cần chứng minh mệnh đề , tức chứng minh: P( k + 1) = (k + 1)3 + 11( k + 1)M6 Thật vậy: P (k + 1) = k + 3k + 3k + + 11k + 11 = k + 3k + 14k + 12 = ( k + 11k ) + 3(k + k ) + 12 - Khi n =1 P (1) = 12M6 , ta có = P (k ) + 3k ( k + 1) + 12 P (k )M6 3k ( k + 1) M6 k (k + 1) M2 k k +1 12M6 Mà , (do số tự nhiên liên tiếp nên ) nên P (k + 1)M6 ⇒ mệnh đề n = k +1 - Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề với n∈¥* VẬN DỤNG CAO Câu 12 Chứng minh 1.4 + 2.7 + ×××+ n ( 3n + 1) = n ( n + 1) với số nguyên dương n, ta có: Hướng dẫn giải 1.4 + 2.7 + ×××+ n ( 3n + 1) = n ( n + 1) (1) = 1.4 = = 1(1 + 1) = Với n = 1: Vế trái (1) ; Vế phải (1) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) = k ( k + 1) ( ) n=k Giả sử (1) với Có nghĩa ta có: n = k +1 Ta phải chứng minh (1) với Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) = ( k + 1) ( k + ) Thật 2 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) = k ( k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) == ( k + 1) ( k + ) 4 44 4 43 = k ( k +1) (đpcm ) Giáo viên - Trường THPT Trang 15 Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021-2022 n = k +1 Vậy (1) Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Câu 13 Chứng minh với số nguyên dương n, ta có: n ( n + 3) 1 + + ×××+ = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) Hướng dẫn giải n ( n + 3) 1 + + ×××+ = , (1) 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) = 1 = 1.2.3 = 1(1 + 3) = 4(1 + 1)(1 + 2) Với n = 1: Vế trái (1) ; Vế phải (1) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = n=k Giả sử (1) với Có nghĩa ta có: k ( k + 3) 1 + + ×××+ = ( 2) 1.2.3 2.3.4 k ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) n = k +1 Ta phải chứng minh (1) với Có nghĩa ta phải chứng minh: ( k + 1) ( k + ) 1 1 + + ×××+ + = 1.2.3 2.3.4 k ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) ( k + ) ( 2) 1 1 + + ×××+ + 1.2.3 2.3.4 k ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) 4 4 4 4 4 43 = k ( k + 3) 4( k +1) ( k + ) Thật k ( k + 3) 1 = + = ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + 1) ( k + )    k ( k + 3) + ÷ k +3  ( k + 1) ( k + ) = ( k + 1) ( k + ) k + 6k + 9k + = = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) ( k + 3) (đpcm) n = k +1 Vậy (1) Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n RÚT KINH NGHIỆM: ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… DUYỆT CỦA TỔ TRƯỞNG Giáo viên - Trường THPT DUYỆT CỦA BGH Trang 16 ... pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự quy định Giáo viên - Trường THPT Trang Giáo án Đại số Giải tích 11 Năm học 2021- 2022 - Biết cách lựa chọn sử dụng phương pháp quy nạp... sai - Đánh giá HS qua q trình hoạt động nhóm, nhóm đánh giá làm qua phiếu học tập - Đánh giá HS qua kết hoạt động cá nhân - GV đánh giá thông qua câu trả lời cá nhân, nhóm - Các nhóm đánh giá... kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động HĐTP1: Tiếp cận phương pháp qui nạp I Phương pháp quy nạp toán học: - Phát phiếu học tập số 1 Bài toán: HĐ1 Xét hai mệnh đề chứa biến Đáp án n n=1: 31 < 1+100