Đặc trưng của tính ổn định xiên và ứng dụng vào quy hoạch phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGƠ QUANG VÂN ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ỔN ĐỊNH XIÊN VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUY HOẠCH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ QUANG VÂN ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ỔN ĐỊNH XIÊN VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUY HOẠCH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN HUY CHIÊU NGHỆ AN - 2016 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi khái niệm liên quan 1.2 Nón pháp tuyến, đối đạo hàm vi phân 1.3 Hàm quy gần kề 10 Đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng 11 2.1 Cực tiểu địa phương ổn định xiên 11 2.2 Tính ổn định xiên quy hoạch phi tuyến 27 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 37 LỜI MỞ ĐẦU Khái niệm điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên Poliquin Rockafellar [15] giới thiệu năm 1998 Đây khái niệm ổn định quan trọng lý thuyết tối ưu, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ([3], [4], [5], [7], [10], [11], [12], [13], [17]) Ngay từ đầu, Poliquin Rockafellar [15] thu đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên cho tốn tối ưu khơng ràng buộc, với hàm mục tiêu nhận giá trị thực suy rộng quy gần kề liên tục vi phân, thông qua tính xác định dương vi phân bậc hai hàm mục tiêu Điểm cực tiểu địa phương quy hoạch nón trơn C ổn định xiên thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai tham số hóa xiên ([1, Theorem 5.36]) Năm 2012, nhờ việc thiết lập quy tắc tính tốn cho vi phân bậc hai, Mordukhovich Rockafellar [13] đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên cho lớp toán tối ưu sau đây: quy hoạch phi tuyến mở rộng, quy hoạch phi tuyến lớp toán tối ưu có ràng buộc biểu diễn dạng hợp với số điều kiện chuẩn hóa mạnh Nói riêng ra, quy hoạch phi tuyến trơn C thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ), điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên thỏa mãn điều kiện đủ bậc hai mạnh ([13, Theorem 5.2]) Gần đây, nhờ sử dụng cách tiếp cận mới, Mordukhovich Nghĩa ([10], [11]) thu nhiều kết đáng ý tính ổn định xiên điểm cực tiểu địa phương Tính chất ổn định xiên cịn nghiên cứu số cơng trình khác, cơng bố năm gần đây; chẳng hạn [3], [4], [5], [7], [12] Với mong muốn có hiểu biết sâu sắc tính ổn định xiên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng vào quy hoạch phi tuyến” Mục đích phân tích, tổng hợp trình bày lại cách chi tiết có hệ thống số kết gần theo hướng nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị Trong chương này, sau nhắc lại khái niệm hàm lồi khái niệm tính chất liên quan, chúng tơi nhắc lại cấu trúc vi phân suy rộng dùng luận văn, cuối trình bày khái niệm hàm quy gần kề số tính chất Chương dành cho đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên Trước tiên đặc trưng tổng quát cho tính ổn định xiên điểm cực tiểu địa phương, sau áp dụng đặc trưng tổng quát cho lớp toán quy hoạch phi tuyến trơn C cuối số phân tích mối quan hệ với kết có liên quan Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy tận tình hướng dẫn Tơi xin cảm ơn q Thầy Cơ khoa Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Vinh, giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt bạn lớp Cao học khóa 22, chun ngành Tốn giải tích, cộng tác, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế mặt kiến thức thời gian, luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy Cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2016 Ngô Quang Vân Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để nhắc lại khái niệm, ký hiệu tính chất từ giải tích lồi giải tích biến phân, cần dùng sau ([8], [9], [17]) 1.1 Hàm lồi khái niệm liên quan Mục cung cấp số khái niệm tính chất hàm lồi, hàm liên hợp, ánh xạ đơn điệu ánh xạ đơn điệu cực đại ([9], [17]) ¯ hàm số nhận giá trị thực 1.1.1 Định nghĩa Cho f : Rn → R suy rộng (i) Hàm f gọi lồi epif tập lồi khơng gian Rn × R, nghĩa là, (x1 , α1 ), (x2 , α2 ) ∈ epif t ∈ (0, 1) (1 − t)(x1 , α1 ) + t(x2 , α2 ) ∈ epif, epif := {(x, α) ∈ Rn × R | f (x) ≤ α} tập đồ thị f (ii) Ta gọi f thường domf = ∅ f (x) > −∞ với x ∈ Rn , domf := {x ∈ Rn | f (x) < ∞} miền hữu hiệu f ¯ lồi với x1 , x2 ∈ Rn 1.1.2 Chú ý Hàm f : Rn → R t ∈ (0, 1), ta có f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) 1.1.3 Ví dụ 1) Hàm chuẩn · : Rn −→ R hàm lồi; vì, với x1 , x2 ∈ Rn t ∈ (0, 1), ta có (1 − t)x1 + tx2 ≤ (1 − t)x1 + tx2 = (1 − t) x1 + t x2 2) Hàm f : R → R xác định f (x) := x x ≤ 1, x > 1, hàm lồi Thật vậy, lấy x1 = 0, x2 = t = 12 , ta có f ((1 − t)x1 + tx2 ) = > = (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) Do đó, f hàm lồi 1.1.4 Định nghĩa Cho f : Rn → R hàm số nhận giá trị thực suy rộng (i) Hàm f gọi nửa liên tục x0 ∈ Rn lim inf f (x) ≥ f (x0 ), x→ x0 lim inf f (x) := sup x→x0 inf δ>0 x∈Bδ (x0 )\{x0 } f (x) Bδ (x0 ) hình cầu tâm x0 , bán kính δ Nếu f (x0 ) ∈ R điều kiện viết lại cách tương đương với ε > tồn δ > cho f (x) > f (x0 ) − ε với x ∈ Bδ (x0 ) (ii) Hàm f : Rn → R gọi nửa liên tục quanh x0 ∈ Rn nửa liên tục điểm nằm lân cận x0 (iii) Hàm f gọi nửa liên tục nửa liên tục x0 ∈ Rn 1.1.5 Ví dụ Hàm f : R → R cho f (x) = 3x2 − x = 2, x = 2, nửa liên tục x0 := 2, lim inf f (x) = 10 ≥ f (2) Tuy nhiên, x→2 dễ thấy f không liên tục x0 ¯ Khi đó, ta có 1.1.6 Nhận xét Cho f : Rn → R 1) Nếu f lồi domf lồi; ¯ cho δC (x) := 2) Trong trường hợp f = δC , δC : Rn → R x ∈ C δC (x) := +∞ x ∈ Rn \ C hàm tập C ⊂ Rn , ta có: (a) f lồi C lồi; (b) f nửa liên tục C đóng 1.1.7 Định nghĩa Cho f : Rn → R hàm số nhận giá trị thực suy rộng Khi đó, hàm f ∗ : Rn → R cho f ∗ (x∗ ) := sup{ x∗ , x − f (x) | x ∈ Rn } với x∗ ∈ Rn , gọi hàm liên hợp (hay phép biến đổi Fenchel - Moreau) f Hàm f ∗∗ = (f ∗ )∗ gọi hàm liên hợp cấp hai f Ở x∗ , x tích vơ hướng x∗ x Sau số tính chất hàm liên hợp 1.1.8 Định lý Cho f : Rn → R hàm thường Khi đó, ta có khẳng định sau: (i) f ∗ (x∗ ) + f (x) ≥ x∗ , x với x ∈ Rn x∗ ∈ Rn (bất đẳng thức Fenchel-Young); (ii) f ∗∗ hàm lồi nửa liên tục lớn không vượt f, nghĩa là, epif ∗∗ = cl conv(epif ) Do đó, f hàm lồi nửa liên tục f = f ∗∗ 1.1.9 Ví dụ Cho C tập khác rỗng Rn Theo định nghĩa, hàm liên hợp hàm δC δC∗ (x∗ ) = sup x∗ , x = σC (x∗ ) với x∗ ∈ Rn , x∈C σC (x∗ ) := supx∈C x∗ , x gọi hàm tựa C Nếu C lồi đóng, σC∗ = δC∗∗ = δC 1.1.10 Định nghĩa (i) Với C ⊂ Rn , ánh xạ đa trị T : Rn ⇒ Rn , nghĩa là, T quy tắc cho điểm x ∈ Rn tương ứng tập T (x) Rn , gọi đơn điệu C , v − v , x − x ≥ với x, x ∈ C, v ∈ T (x), v ∈ T (x ) (ii) Ánh xạ đơn điệu T : Rn ⇒ Rn gọi đơn điệu cực đại, đồ thị nó, ký hiệu gphT := {(x, v) ∈ Rn × Rn : v ∈ T (x)}, tập thực đồ thị ánh xạ đơn điệu khác; cách tương đương, ánh xạ đơn điệu T : Rn ⇒ Rn đơn điệu cực đại với cặp (¯ x, v¯) ∈ (Rn × Rn ) \ gphT, tồn (x, v) ∈ gphT cho v¯ − v, x¯ − x < (iii) Ánh xạ đa trị T : Rn ⇒ Rn gọi đơn điệu địa phương quanh (¯ x, v¯) ∈ gphT tồn lân cận W (¯ x, v¯) cho gphT ∩ W đồ thị ánh xạ đơn điệu (iv) Ánh xạ đa trị T : Rn ⇒ Rn gọi đơn điệu cực đại địa phương quanh (¯ x, v¯) ∈ gphT tồn lân cận W (¯ x, v¯) cho: với ánh xạ đa trị S : Rn ⇒ Rn thỏa mãn gphT ∩W ⊂ gphS ∩W, ta có gphT ∩ W = gphS ∩ W 1.1.11 Chú ý Cho T : Rn ⇒ Rm (¯ x, y¯) ∈ gphT Ta gọi ánh xạ trị S : Rn ⇒ Rm địa phương hóa T quanh (¯ x, y¯) tồn lân cận W (¯ x, y¯) cho gphS := gphT ∩ W Khi đó, W = U × V, S(x) = T (x) ∩ V với x ∈ U S(x) = ∅ với x ∈ Rn \U Trường hợp này, ta gọi S : U ⇒ V địa phương hóa T 1.2 Nón pháp tuyến, đối đạo hàm vi phân Mục nhắc lại số cấu trúc vi phân suy rộng dùng rộng rãi giải tích biến phân (xem [8], [17]) ¯ hàm số nhận giá trị thực 1.2.1 Định nghĩa Cho f : Rn → R suy rộng x ¯ ∈ Rn thỏa mãn f (¯ x) ∈ R (i) Dưới vi phân quy (hoặc vi phân Fréchet) f x¯ ∂f (¯ x) := v ∈ Rn lim inf x→¯ x f (x) − f (¯ x) − v, x − x¯ ≥0 x − x¯ (1.1) Nếu | f (¯ x) |= +∞ đặt ∂f (¯ x) := ∅ (ii) Dưới vi phân qua giới hạn (hoặc vi phân Mordukhovich) f x¯ định nghĩa giới hạn Painlevé-Kuratowski vi phân quy: ∂f (¯ x) := Lim sup ∂f (x), (1.2) f x→¯ x nghĩa là, x∗ ∈ ∂f (¯ x) tồn xk → x¯, x∗k ∈ ∂f (xk ) cho x∗k → x∗ f (xk ) → f (¯ x) Nếu | f (¯ x) |= +∞ đặt ∂f (¯ x) := ∅ 1.2.2 Chú ý Nếu f hàm lồi hữu hạn x ¯, ∂f (¯ x) = ∂f (¯ x) := v ∈ Rn f (x)−f (¯ x)− v, x−¯ x ≥ với x ∈ Rn , tức là, trường hợp hàm lồi, vi phân Fréchet vi phân qua giới hạn trùng với vi phân theo nghĩa giải tích lồi 1.2.3 Định nghĩa Cho Ω tập khác rỗng Rn Nón pháp tuyến quy (hoặc nón pháp tuyến Fréchet) nón pháp tuyến qua giới hạn (hoặc nón pháp tuyến Mordukhovich) Ω x ¯ ∈ Rn xác định N (¯ x; Ω) := ∂δΩ (¯ x) N (¯ x; Ω) := ∂δΩ (¯ x) 1.2.4 Định nghĩa Giả sử F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị (¯ x, y¯) ∈ Rn × Rm (i) Đối đạo hàm quy (hoặc đối đạo hàm Fréchet) F (¯ x, y¯) ánh xạ đa trị D∗ F (¯ x, y¯) : Rm ⇒ Rn xác định D∗ F (¯ x, y¯)(ω) := z ∈ Rn | (z, −ω) ∈ N (¯ x, y¯); gphF , (1.3) với ω ∈ Rm , gphF := {(x, y) ∈ Rn × Rm | y ∈ F (x)} gọi đồ thị F Vì thế, từ (2.20) ta suy f (x) = g(x) − r 2 x − x¯ ≥ g(u) + v + r(u − x¯), x − u + = g(u) + v, x − u + +r u − x¯, x − u + 2k r r+k −1 − 2r x − x¯ x−u x−u x−u − 2r = g(u) + v, x − u + 2k x−u − 2r = f (u) + v, x − u + 2k x−u , x − x¯ u − x¯ 2 với (u, v) ∈ gph∂f ∩J −1 (U ×V ) x ∈ U Do đó, theo Định lý 2.1.7, x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên hàm f với modulus κ Cuối cùng, ta thấy công thức (2.11) suy từ (2.10) ✷ Kết sau cho đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên 2.1.10 Định lý ([11, Theorem 3.6]) Cho f : Rn → R hàm nửa liên tục dưới, x ¯ ∈ Rn cho ∈ ∂f (¯ x) f quy gần kề liên tục vi phân x ¯ v¯ = Xét mệnh đề sau: (i) x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên f với modulus κ > 0; (ii) ∂ f (¯ x, 0) xác định dương với modulus µ > theo nghĩa z, ω ≥ µ ω với z ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ω) (2.21) Khi đó, ta có (i) ⇒ (ii) với µ = κ−1 , (ii) ⇒ (i) với κ > µ−1 Hơn nữa, (i) với số modulus κ > ∂ f (¯ x, 0) xác định dương theo nghĩa z, ω > với z ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ω), ω = (2.22) Cuối cùng, modulus Lipschitz xác ánh xạ Mγ (2.1) tính lipMγ (0) = max ω | z ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ω) z, ω 23 (2.23) với γ > đủ nhỏ, với quy ước 0/0 = 0, miễn x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên f Chứng minh Trước hết ta thấy (i) ⇒ (ii) với µ = κ−1 thu nhờ Định lý 2.1.9 cách chuyển qua giới hạn (2.10) η ↓ Tiếp theo chứng minh (ii) ⇒ (i) Vì f quy gần kề liên tục vi phân x ¯ v¯, nên tồn r, ε > cho f (x) ≥ f (u) + v, x − u − r 2 x−u , (2.24) với x ∈ Bε (¯ x) (u, v) ∈ gph∂f ∩ Bε (¯ x, v¯) Đặt g(x) := f (x) + r x − x¯ với x ∈ Rn Ta có ∂g(x) = ∂f (x) + r(x − x ¯) Tiếp theo chứng minh mệnh đề (C) sau đây: Nếu tồn ν ≥ thỏa mãn z, ω ≥ ν ω với z ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ω), (2.25) với λ ∈ (0, r + ν) tồn lân cận U x ¯ lân cận W (¯ x, v¯) cho f (x) ≥ f (u) + v, x − u + ν−λ x−u (2.26) với x ∈ U (u, v) ∈ gph∂f ∩ W Lấy λ ∈ (0, r + ν) z ∈ ∂ g(¯ x, v¯)(ω) Theo quy tắc tổng vi phân bậc hai, ta có z −rω ∈ ∂ f (¯ x, v¯)(ω) Do đó, từ (2.25) ta suy z −rω, ω ≥ ν ω Điều dẫn đến z · ω ≥ z, ω ≥ (r + ν) ω Vì thế, theo tiêu chuẩn Mordukhovich, ánh xạ (∂g)−1 giả Lipschitz quanh (¯ v , x¯) với modulus (r + ν − λ)−1 Hơn nữa, tương tự (2.16), tồn δ > cho g(v) ≥ g(u) + v, x − u , 24 với x ∈ Bδ (¯ x) (u, v) ∈ gph∂g ∩ Bδ (¯ x, v¯) Do đó, nhờ Bổ đề 2.1.8 Định lý 2.1.7, ta suy tồn lân cận U x ¯ lân cận V v¯ cho g(x) ≥ g(u) + v, x − u + r+ν−λ x−u , (2.27) với x ∈ U (u, v) ∈ gph∂g ∩ (U × V ) Từ (2.27) ta suy (2.32) với W := J −1 (U × V ) J(u, v) := u, v + r(v − x ¯) Như mệnh đề (C) Quay trở lại việc chứng minh (ii) ⇒ (i) Nhờ (2.21) (C), ta có (2.32) với v = µ Theo Định lý 2.1.7, x ¯ điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên f với modulus κ := (µ − λ)−1 Lưu ý λ > chọn nhỏ tùy ý Ta có (ii) ⇒ (i) Tiếp theo, chứng minh (i) với κ > (2.22) Nếu (i) với κ > thì, nhờ (2.21), ta có (2.22) Để xác minh chiều ngược lại, giả sử (2.22) Khi đó, ta có D∗ (∂f )−1 (¯ v , x¯)(0) = {0} Theo tiêu chuẩn Mordukhovich, (∂f )−1 giả Lipschitz quanh (¯ v , x¯) với modulus > Hơn nữa, nhờ (2.22), ta có (2.25) với v = Với λ ∈ (0, min{r, −1 }), nhờ (C), tồn lân cận U x ¯ lân cận W (¯ v , x¯) cho f (x) ≥ f (u) + v, x − u − λ x−u với x ∈ U ∈, (u, v) ∈ gph∂f ∩ W Đặt h(x) := f (x) + λ2 (2.28) x − x¯ Ta có ∂h(x) = ∂f (x) + λ(x − x ¯) Tương tự (2.16), từ (2.28) ta suy tồn δ > cho h(x) ≥ h(u) + v, x − u , (2.29) với x ∈ Bδ (¯ x), (u, v) ∈ gph∂h∩ Bδ (¯ x, v¯) Lấy (z, ω) ∈ Rn × Rn z ∈ ∂ h(¯ x, v¯)(ω) Theo quy tắc tổng vi phân bậc hai, ta có z − λω ∈ ∂ f (¯ x, v¯)(ω) với ω ∈ Rn Vì (∂f )−1 giả Lipschitz quanh 25 (¯ v , x¯) với modulus z − λω ≥ ω nên z ≥ z − λω ≥ ω − λ = (1 − λ) Điều dẫn đến − λ ω ω ω Do đó, theo tiêu chuẩn đối đạo hàm cho tính chất giả Lipschitz, ta có (∂h)−1 giả Lipschitz quanh (¯ v , x¯) với modulus 1− λ + λ Vì h thỏa mãn bất đẳng thức (2.29) nên nhờ Bổ đề 2.1.8 Định lý 2.1.7, tồn lân cận U2 x ¯ lân cận V2 v¯ cho h(x) ≥ h(u) + v, x − u + 1− λ + 2λ x−u với x ∈ U2 (u, v) ∈ gph∂h ∩ (U2 × V2 ) Mặt khác, f (x) = h(x) − λ x − x¯ Do đó, ta có f (x) ≥ f (u) + v, x − u + λ − 1− λ + 2λ x−u với x ∈ U2 (u, v) ∈ gph∂f ∩ W2 , W2 := J −1 (U2 × V2 ) Jλ (u, v) := (u, v + λ(u − x¯)) với (u, v) ∈ Rn × Rn Lấy λ > thỏa mãn ( 1− λ + λ)−1 − λ > Theo Định lý 2.1.7, ta có x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên f Như vậy, (2.22) (i) với κ > Cuối cùng, xác minh (2.23) Nếu Dom∂ f (¯ x, 0)(·) = {0}, (2.21) với µ > Điều kéo theo x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên với modulus κ > Do đó, lipMγ (¯ x) = Như vậy, ta thu (2.23) cực đại đạt (0, 0), ∈ ∂ f (¯ x, 0)(0) quy ước 0/0 = Bây giả sử Dom∂ f (¯ x, 0)(·) = {0} Từ mối quan hệ modulus (i) (ii) ta suy lipMγ (0) = sup ω | z ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ω) z, ω 26 (2.30) Vì thế, cần giá trị cực đại đạt (2.43) Từ (2.43) ta suy tồn (zk , ωk ) với zk ∈ ∂ f (¯ x, 0)(ωk ) ω z,ω → lipMγ (¯ x) k → ∞ Nếu zk = với k ∈ N, ωk = lipMγ (¯ x) = nhờ quy ước 0/0 = Điều chứng tỏ giá trị cực đại (2.23) đạt (ωk , zk ) Trong trường hợp lại, giả sử zk ω k := ωk −1 zk > với k ∈ N Đặt z¯k := zk zk −1 Ta có ωk ωk = ≥ zk , ωk z¯k , ω k ωk z¯k = ω k , k ∈ N Vì thế, dãy {ω k } bị chặn Bằng cách thay dãy cần, giả x, v¯)(ω k ) ta suy sử z¯k → z¯ ω k → ω k → ∞ Từ z¯k ∈ ∂ f (¯ z¯ ∈ ∂ f (¯ x, v¯)(ω) Điều cho thấy cận (2.43) đạt (ω, z¯) Định lý chứng minh 2.2 ✷ Tính ổn định xiên quy hoạch phi tuyến Xét toán quy hoạch phi tuyến sau: ϕ0 (x) | ϕi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m , (2.31) ϕi : Rn → R khả vi liên tục hai lần (được viết ϕi ∈ C ), i = 0, 1, , m 2.2.1 Định nghĩa (i) Hàm ϕ0 tập Ω := x|ϕi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m tương ứng gọi hàm mục tiêu tập ràng buộc (tập điểm chấp nhận được) (2.31) (ii) Ta nói x¯ ∈ Ω điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên (2.31) điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên f := ϕ0 + δΩ , δΩ hàm tập Ω 2.2.2 Chú ý (i) Rõ ràng ta có Ω = {x ∈ Rn | ϕ(x) ∈ Θ}, 27 (2.32) với Θ := Rm − ϕ(x) := ϕ1 (x), ϕ2 (x), , ϕm (x) Hơn nữa, (2.31) viết cách tương đương dạng f (x)|x ∈ Rn , (2.33) f (x) := ϕ0 (x) + δΩ (x) với δΩ (x) hàm Ω (ii) Nếu x¯ ∈ Ω cực tiểu địa phương (2.31), thỏa mãn điều kiện cần tối ưu bậc ∈ ∂f (¯ x) = ∇ϕ0 (¯ x) + N (¯ x; Ω) (2.34) 2.2.3 Định nghĩa ([11]) Cho x ¯ điểm chấp nhận được, tức x¯ ∈ Ω Khi đó, ta nói: (i) Ω thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) x¯ {∇ϕi (¯ x) | i ∈ I(¯ x)} độc lập tuyến tính, I(¯ x) := {i ∈ {1, 2, , m} | ϕi (¯ x) = 0} tập số hoạt x ¯; (ii) Ω thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian - Fromovitz (MFCQ) x ¯ ∈ Ω tồn d ∈ Rn cho ∇ϕi (¯ x), d < với i ∈ I(¯ x); (2.35) (iii) Ω thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc hạng (CRCQ) x¯ tồn δ > cho với J ⊂ I(¯ x) hệ {∇ϕi (x) | i ∈ J} có hạng khơng đổi x biến thiên Bδ (¯ x) 2.2.4 Chú ý (i) Các điều kiện LICQ, MFCQ CRCQ có tính chất vững: chúng x ¯ phải thỏa mãn x ∈ Ω lân cận O x ¯ Hơn thế, trường hợp này, với x ∈ Ω ∩ O, ta có N (x, Ω) = ∇ϕ(x)∗ N (ϕ(x), Θ) ∗ = ∇ϕ(x) λ | λ, ϕ(x) = 0, λ ∈ 28 Rm +, (2.36) i ∈ I(x) (ii) MFCQ CRCQ không so sách với nhau, nghĩa điều kiện kéo theo điều kiện cịn lại; nhiên, MFCQ CRCQ yếu LICQ (iii) MFCQ x¯ ∈ Ω {∇ϕ(¯ x)}i∈I(¯x) độc lập tuyến tính dương, nghĩa là: λi ∇ϕi (¯ x) = i∈I(¯ x) λi ≥ 0, i ∈ I(¯ x) ⇒ λi = 0, i ∈ I(¯ x) 2.2.5 Định nghĩa ([11]) Hàm L : Rn × Rm → R cho m λi ϕi (x), x ∈ Rn , λ ∈ Rm , L(x, λ) := ϕ0 (x) + i=1 gọi hàm Lagrange ứng với toán (2.31) Trong phần sau, ta ký hiệu Ψ : Rn ⇒ Rn ánh xạ đa trị cho Ψ(x) := ∇x L(x, λ) | λ ∈ N (ϕ(x); Θ) (2.37) gọi Λ(¯ x) := {λ ∈ Rm x, λ), λ, ϕ(¯ x) = 0} + | = ∇x L(¯ (2.38) tập nhân tử Lagrange (2.31) x ¯ Hơn nữa, đặt Λ(x, v) := λ ∈ Rm + | v = ∇x L(x, λ), λ, ϕ(x) = (2.39) với v ∈ Ψ(x) 2.2.6 Chú ý (i) Với x ∈ Ω, ta có Λ(x) = Λ(x, 0) Nếu LICQ x ¯ tồn lân cận O x¯ cho Λ(x, v) tập có phần tử x ∈ O ∩ Ω v ∈ Ψ(x) (ii) Λ(¯ x) = ∅ thường gọi điều kiện KKT; khơng phải điều kiện cần tối ưu, trừ chuẩn hóa ràng buộc thỏa mãn Nếu Λ(¯ x) = ∅ x¯ gọi điểm dừng (2.31) 29 Để tiện so sánh, nhắc lại số điều kiện đủ tối ưu bậc hai lý thuyết tối ưu 2.2.7 Định nghĩa Cho x ¯ ∈ Ω Λ(¯ x) tập nhân tử Lagrange (2.31) x ¯ Ta nói rằng: (i) Điều kiện đủ bậc hai mạnh (SSOSC) cho toán (2.31) thỏa mãn x ¯ nếu, với λ ∈ Λ(¯ x), ta có ω, ∇2xx L(¯ x, λ)ω > (2.40) với ω = thỏa mãn ∇ϕi (¯ x), w = với i ∈ I+ (¯ x, λ), I+ (¯ x, λ) := {i ∈ {1, , m} | λi > 0} (ii) Điều kiện đủ bậc hai (SOSC) cho toán (2.31) thỏa mãn x ¯ nếu, với λ ∈ Λ(¯ x), (2.40) với ω = thỏa mãn ∇ϕi (¯ x), ω = i ∈ I+ (¯ x, λ), ∇ϕi (¯ x), ω ≥ i ∈ I(¯ x) \ I+ (¯ x, λ) 2.2.8 Chú ý (i) Từ định nghĩa ta thấy điều kiện đủ bậc hai mạnh kéo theo điều kiện đủ bậc hai Người ta có ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại không Hơn nữa, (2.40) thay tương đương x, λ)ω ≥ điều kiện ω, ∇2xx L(¯ ω với > (ii) Các điều kiện đủ bậc hai có ý nghĩa tập nhân tử Lagrange Λ(¯ x) khác rỗng; nói cách khác, có ý nghĩa điều kiện KKT thỏa mãn (iii) Điều kiện đủ bậc hai mạnh Robinson [16] giới thiệu năm 1980 nhằm mục đích nghiên cứu tốn khảo sát tính quy mêtric mạnh hệ KKT kết hợp với quy hoạch phi tuyến Bài toán đến giải hoàn toàn: hệ KKT kết hợp với quy hoạch phi tuyến quy mêtric mạnh LICQ SSOSC Gần đây, Mordukhovich Rockafellar [13] chứng minh LICQ SSOSC thỏa mãn x ¯ ∈ Ω chi x¯ điểm cực 30 tiểu địa phương ổn định xiên Tuy nhiên, khác với tính quy mêtric mạnh hệ KKT kết hợp với quy hoạch phi tuyến, LICQ điều kiện cần cho cực tiểu địa phương ổn định xiên; tức là, tồn điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên LICQ khơng Kết mục (Định lý 2.2.10) cung cấp đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, chuẩn hóa ràng buộc yếu LICQ 2.2.9 Định nghĩa ([11, Definition 4.1]) Ta nói điều kiện đủ bậc hai (USOSC) (2.31) x ¯ ∈ Ω với modulus > tồn η > cho ω, ∇2xx L(x, λ)ω ≥ ω , (2.41) với (x, v) ∈ gphΨ ∩ Bη (¯ x, 0), λ ∈ Λ(x, v) ω thỏa mãn ∇ϕi (x), ω = i ∈ I+ (x, λ), ∇ϕi (x), ω ≥ i ∈ I(x) \ I+ (x, λ) Kết mục phát biểu sau: 2.2.10 Định lý ([11, Theorem 4.3]) Cho x ¯ điểm chấp nhận (2.31) thỏa mãn (2.34) Giả sử MFCQ CRCQ x ¯ Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) Điểm x ¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (2.31) với modulus κ > 0; (ii) Điều kiện đủ bậc hai (USOSC) Định nghĩa 2.2.9 x ¯ với modulus = κ−1 Chứng minh Lấy η > cho MFCQ CRCQ x ∈ Bη (¯ x) ∩ Ω Cố định z ∈ ∂ˇ2 f (x, v)(ω), (x, v) ∈ gph∂f ∩ Bη (¯ x, 0) λ ∈ Λ(x, x∗ ) Sử dụng quy tắc tính vi phân bậc hai hàm tổng ([8, Theorem 1.62]), ta thu ∂ˇ2 f (x, v)(ω) = D∗ ∇ϕ0 + N (·; Ω) (x, v)(ω) = ∇2 ϕ0 (x)ω + D∗ N (·; Ω) x, v − ∇ϕ0 (x) (ω) 31 Do đó, từ cơng thức tính đối đạo hàm Fréchet ánh xạ nón pháp tuyến D∗ N (·; Ω) x, v − ∇ϕ0 (x) (ω) ([6, Corollary 3.1]), ta suy z ∈ ∂ˇ2 f (x, v)(ω) tồn λ ∈ Λ(x, v) cho  z − ∇2xx L(x, λ)ω ∈ K(x, v − ∇ϕ0 (x))∗ (2.42)  −ω ∈ K x, v − ∇ϕ0 (x) , K x, v − ∇ϕ0 (x) = u | ∇ϕi (x), u ≤ 0, i ∈ I(x) ∩ {v − ∇ϕ0 (x)}⊥ Lưu ý v − ∇ϕ0 (¯ x) = Σi∈I(x) λi ∇ϕi (x) Ta có −ω ∈ K(x, v − ∇ϕ0 (x))   ∇ϕi (x), ω = i ∈ I+ (x, λ), ⇐⇒  ∇ϕi (x), ω ≥ i ∈ I(x) \ I+ (x, λ) (2.43) Giả sử (ii) Để kiểm chứng (i) đúng, theo Định lý 2.1.9, ta chứng minh z, ω ≥ κ ω Thật vậy, nhờ (2.43) USOSC, ta có ∇2xx L(¯ x, λ)ω, ω ≥ κ ω (2.44) Hơn nữa, theo (2.42) định nghĩa nón đối ngẫu, ta có z − ∇2xx L(¯ x, λ)ω, ω ≥ Kết hợp (2.44), ta có z, ω ≥ κ ω Theo Định lý 2.1.9, (i) Ngược lại, giả sử (i) Lấy λ ∈ Λ(x, v) ω thỏa mãn   ∇ϕi (x), ω = i ∈ I+ (x, λ),  ∇ϕi (x), ω ≥ i ∈ I(x) \ I+ (x, λ) Đặt z := ∇2xx L(x, λ)ω + v − ∇ϕ0 (x) Rõ ràng, ta có v − ∇ϕ0 (x) ∈ K(x, v − ∇ϕ0 (x))∗ 32 Vì vậy, kết hợp với (2.42) (2.43), ta suy z ∈ ∂ˇ2 f (x, v)(ω) v − ∇ϕ0 (x), ω = Do đó, nhờ (2.10), ta có ∇2xx L(x, λ)ω, ω = z, ω − v − ∇ϕ0 (x), ω = z, ω ≥ Điều chứng tỏ USOSC x ¯ với modulus κ ω ✷ = κ−1 2.2.11 Nhận xét Mordukhovich Outrata [12] chứng minh rằng: MFCQ CRCQ thỏa mãn, SSOSC điều kiện đủ để điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên Tuy nhiên, khác với trường hợp LICQ đúng, giả thiết MFCQ CRCQ thỏa mãn, SSOSC nói chung khơng phải điều kiện cần để điểm dừng cực tiểu địa phương ổn định xiên 2.2.12 Ví dụ ([11, Example 4.5]) Xét tốn quy hoạch phi tuyến sau: ϕ0 (x) | ϕi (x) ≤ 0, i = 1, 2, 3, , (2.45) ϕi : R3 → R, i = 0, 1, 2, 3, hàm số cho ϕ0 (x) := x3 + 41 x1 + x23 − x1 x2 , ϕ1 (x) := x1 − x3 ≤ 0, ϕ2 (x) := −x1 − x3 ≤ 0, ϕ3 (x) := x2 − x3 ≤ 0, ϕ4 (x) := −x2 − x3 ≤ 0, x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Xét x ¯ := (0, 0, 0) Ta có tập số hoạt I(¯ x) = {1, 2, 3, 4} Vì hàm ràng buộc ϕi , i = 1, 2, 3, 4, tuyến tính nên CRCQ x ¯ Để kiểm chứng MFCQ x¯, ta xác minh tính chất độc lập tuyến tính dương hệ {∇ϕi (¯ x)}i∈I(¯x) Lưu ý ∇ϕ0 (¯ x) = 1 −1 , ∇ϕ1 (¯ x) = ∇ϕ3 (¯ x) = −1 , ∇ϕ2 (¯ x) = , ∇ϕ4 (¯ x) = 33 −1 −1 −1 −1 , Do đó, λi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, thỏa mãn λ1 ∇ϕ1 (¯ x) + λ2 ∇ϕ2 (¯ x) + λ3 ∇ϕ3 (¯ x) + λ4 ∇ϕ4 (¯ x) = 0R3 λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = Điều chứng tỏ MFCQ x ¯ Lấy v = (v1 , v2 , v3 ) thỏa mãn | v1 |< 12 , | v2 |< v3 < 13 Ta có Ω := {x : ϕi (x) ≤ 0, i = 1, 2, 3, 4} = x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : ≤ max{| x1 |, | x2 |} ≤ x3 Đặt f (x) := ϕ0 (x) + δΩ (x) Khi đó, với x ∈ Ω, f (x) − v, x = x3 + 14 x1 + x23 − x1 x2 − v1 x1 − v2 x2 − v3 x3 ≥ 31 x3 + ( 14 − v1 )x1 + 31 x3 − v2 x2 + ( 13 − v3 )x3 ≥ | x1 | +( 14 − v1 )x1 + | x2 | −v2 x2 + ( 13 − v3 )x3 − | v1 |) | x1 | +( 31 − | v2 |) | x2 | +( 31 − v3 )x3 ≥ ≥ ( 12 Điều kéo theo Mγ (v) = {¯ x} với v ∈ R3 đủ gần 0R3 Vì thế, x¯ cực tiểu địa phương ổn định xiên (2.45) Tiếp theo, chứng mính SSOSC khơng thỏa mãn x ¯ Đặt L(x, λ) := ϕ0 (x) + λ1 ϕ1 (x) + λ2 ϕ2 (x) + λ3 ϕ3 (x) + λ4 ϕ4 (x), với (x, λ) ∈ R3 × R4 Ta có Λ(¯ x) := λ ∈ R4 : ∇x L(¯ x, λ) = 0, λ ∈ NR4− (0, 0, 0, 0) = λ ∈ R4 : 41 + λ1 − λ2 = 0, λ3 = λ4 , λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 1, λi ≥ 0, i = 1, 2, 3, Do đó, ( 83 , 58 , 0, 0) ∈ Λ(¯ x) I+ (¯ x, λ) = {1, 2} Đặt ω := (0, 1, 0) = Kiểm tra trực tiếp ta thấy ∇ϕi (¯ x), ω = 0, với i ∈ I+ (¯ x, λ), ω, ∇2xx L(¯ x, λ)ω = Điều chứng tỏ SSOSC x ¯ Như vậy, giả thiết MFCQ CRCQ thỏa mãn, SSOSC khơng cịn điều kiện cần cho điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên 34 Kết luận Dựa việc tổng hợp tài liệu tham khảo, luận văn trình bày lại cách có hệ thống vấn đề sau: Khái niệm điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên ví dụ điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, không ổn định xiên Các đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, bao gồm: đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên qua điều kiện tăng trưởng bậc hai (Định lý 2.1.7), đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên nhờ vào tính xác định dương vi phân bậc hai kết hợp (Định lý 2.1.9) đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên thơng qua tính xác định dương vi phân bậc hai qua giới hạn (Định lý 2.1.10) Áp dụng đặc trưng tổng quát vào việc khảo sát tính ổn định xiên quy hoạch phi tuyến (Định lý 2.2.10), phân tích mối quan hệ kết thiết lập Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, đặc trưng ứng dụng quy hoạch phi tuyến Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng vào quy hoạch phi tuyến, quy hoạch nón số lớp toán tối ưu khác 35 Tài liệu tham khảo [1] Bonnans, J F., Shapiro, A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [2] Dontchev, A.L., Rockafellar, R.T (2014), Implicit functions and solution mappings A view from variational analysis, Second edition Springer Series in Operations Research and Financial Engineering Springer, New York [3] Drusvyatskiy, D., Lewis, A.S., (2013), Tilt stability, uniform quadratic growth, and strong metric regularity of the subdifferential, SIAM J Optim 23, 256–267 [4] Eberhard, A., Wenczel, R (2012), A study of tilt-stable optimality and sufficient conditions, Nonlinear Anal 75, 1260-1281 [5] Gfrerer, H., Mordukhovich, B.S (2015), Complete characterizations of tilt stability in nonlinear programming under weakest qualification conditions, SIAM J Optim 25, 2081-2119 [6] Henrion, R., Kruger, A., Outrata, J V (2013), Some remarks on stability of generalized equations, J Optim Theory Appl 159, 681-697 [7] Lewis, A S., Zhang, S (2013), Partial smoothness, tilt stability, and generalized Hessians, SIAM J Optim 23, 74-94 [8] Mordukhovich, B S (2006), Variational analysis and generalized differentiation, Vol.I: Basic Theory, Springer-Verlag, Berlin 36 [9] Mordukhovich, B.S., Nam, N.M (2014), An easy path to convex analysis and applications Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics, 14 Morgan & Claypool Publishers, Williston [10] Mordukhovich, B S., Nghia, T.T.A (2013), Second-order variational analysis and characterizations of tilt-stable optimal solutions in infinite-dimensional spaces, Nonlinear Anal 86, 159-180 [11] Mordukhovich, B S., Nghia, T.T.A (2015), Second-order characterizations of tilt stability with applications to nonlinear programming, Math Program 149, 83-104 [12] Mordukhovich, B.S., Outrata, J V., (2013), Tilt stability in nonlinear programming under Mangasarian- Fromovitz constraint qualification, Kybernetika 49, 446-464 [13] Mordukhovich, B.S., Rockafellar, R.T (2012), Second-order subdifferential calculus with applications to tilt stability in optimization, SIAM J Optim 22, 953-986 [14] Poliquin, R.A., Rockafellar, R.T (1996), Prox-regular functions in variational analysis, Trans Amer Math Soc 348, 1805-1838 [15] Poliquin, R.A., Rockafellar, R.T (1998), Tilt stability of a local minimum, SIAM J Optim 8, 287-299 [16] Robinson, S.M (1980), Strongly regular generalized equations, Math Oper Res 5, 43-62 [17] Rockafellar, R.T., Wets, R.J.-B (1998), Variational Analysis Springer, Berlin 37 ... tiểu địa phương ổn định xiên, đặc trưng ứng dụng quy hoạch phi tuyến Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng vào quy hoạch phi tuyến, quy hoạch nón số lớp... hàm quy gần kề liên tục vi phân x ¯ Ở ∇f ma trận cột đạo hàm riêng f 10 Chương Đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng Chương trình bày số kết đặc trưng tính ổn định xiên ứng dụng vào quy hoạch phi. .. phương ổn định xiên ví dụ điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, không ổn định xiên Các đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên, bao gồm: đặc trưng điểm cực tiểu địa phương ổn định xiên