Đa thức duy nhất mạnh trong trường hợp phức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẢO HUYỀN ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH TRONG TRƯỜNG HỢP PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THẢO HUYỀN ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH TRONG TRƯỜNG HỢP PHỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Một số ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp đại số 1.2 Đường cong phẳng 10 Đa thức mạnh trường hợp phức 13 2.1 Phương pháp xây dựng 1- dạng quy kiểu Wronskian 13 2.2 Đa thức mạnh trường hợp phức 16 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 MỘT SỐ KÝ HIỆU C : Trường số phức k : Trường An (k) : Không gian afin n chiều trường k Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trường k k[x1 , , xn ] : Vành đa thức n biến trường k degf : Bậc đa thức f V (S) : Tập nghiệm hệ đa thức S ∅ : Tập rỗng A ⊂ B : A tập B A ⊂ B : A không tập B A ∪ B : A hợp B A ∩ B : A giao B I(X) : Iđêan tập điểm X #A : Lực lượng tập hợp A MỞ ĐẦU Khái niệm đa thức mạnh cho họ hàm H H Khoái C C Yang đưa vào năm 2004 [7] Cụ thể, đa thức P (x) trường đóng đại số k gọi đa thức mạnh cho họ hàm F với hàm khác f, g ∈ F số c khác không thỏa mãn P (f ) = cP (g) c = f = g Từ đến nay, tốn tìm điều kiện để đa thức đa thức mạnh cho họ hàm thu hút quan tâm nhiều tác giả Nội dung luận văn dựa báo Strong uniqueness polynomials: The complex case tác giả T T H An, J T Y Wang P M Wong đăng tạp chí Complex Variables [2] để tìm hiểu trình bày cách chi tiết kết đặc trưng đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ trường hợp phức Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức tập đại số, đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, đường cong phẳng nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương Chương Đa thức mạnh trường hợp phức Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày phương pháp xây dựng 1- dạng quy kiểu Wronkian Sau chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Ngọc Diệp, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 22 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số trường Đại Học Vinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người động viên, giúp đỡ tác giả học tập sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý chân tình thầy giáo, giáo bạn để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 06 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương chúng tơi trình bày (khơng chứng minh) số kiến thức nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Các khái niệm tính chất chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [5] 1.1 Đa tạp đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho k trường tùy ý F (x1 , x2 , , xn ) ∈ k[x1 , x2 , , xn ] Một điểm P = (a1 , a2 , , an ) ∈ An (k) gọi không điểm F F (P ) = F (a1 , a2 , , an ) = Nếu F khác tập không điểm F gọi siêu mặt xác định F ký hiệu V (F ) Một siêu mặt A2 (k) gọi đường cong phẳng Nếu F đa thức bậc V (F ) gọi siêu phẳng An (k) 1.1.2 Định nghĩa Nếu S tập hợp đa thức k[x1 , x2 , , xn ], V (S) = {P ∈ An (k) | F (P ) = với F ∈ S} gọi tập đại số An (k) 1.1.3 Ví dụ (1) Tập rỗng ∅ tập đại số tập nghiệm phương trình f = với f ∈ k , f = (2) Một điểm a = (a1 , a2 , , an ) không gian An (k) tập đại số tập nghiệm hệ phương trình    x − a1 = x − a2 =   x n − an = hay (a1 , a2 , , an ) = V (x1 − a1 , x2 − a2 , , xn − an ) (3) Tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi đa tạp tuyến tính (4) An (k) tập đại số An (k) tập nghiệm phương trình = 1.1.4 Nhận xét (1) Cho S1 , S2 hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Nếu S2 ⊆ S1 V (S1 ) ⊆ V (S2 ) (2) Cho S1 , S2 hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Khi V (S1 ) ∪ V (S2 ) = V (S) với S = {f g | f ∈ S1 , g ∈ S2 } Nghĩa hợp hai tập đại số tập đại số (3) Cho {Si } họ hệ đa thức k[x1 , x2 , , xn ] Khi ∩V (Si ) = V (∪Si ) Nghĩa giao họ tùy ý tập đại số tập đại số (4) Cho S ⊆ k[x1 , x2 , , xn ] T ⊆ k[y1 , y2 , , ym ] hai hệ đa thức Nếu ta coi S ∪ T hệ đa thức k[x1 , , xn , y1 , , ym ] V (S) × V (T ) = V (S ∪ T ) Nghĩa tích hai tập đại số tập đại số Do hợp hai tập đại số tập đại số, giao họ tùy ý tập đại số tập đại số, tập rỗng tồn khơng gian An (k) tập đại số nên ta trang bị tôpô An (k) cách coi tập đại số tập đóng Tơpơ gọi tôpô Zariski 1.1.5 Nhận xét Với tập X An (k) ta có I(X) = {F ∈ k[x1 , , xn ] | F (a1 , , an ) = với (a1 , , an ) ∈ X} iđêan k[x1 , , xn ] 1.1.6 Định nghĩa I(X) gọi iđêan tập điểm X k[x1 , , xn ] 1.1.7 Ví dụ (1) I(∅) = k[x1 , xn ] tập rỗng nằm tập nghiệm đa thức (2) Với điểm a = (a1 , an ) ∈ An (k) I({a}) = x1 − a1 , , xn − an 1.1.8 Mệnh đề (1) Nếu X ⊂ Y ⊂ An (k) I(Y ) ⊂ I(X) (2) I(V (S)) ⊃ S với S tập hợp đa thức k[x1 , , xn ] V (I(X)) ⊃ X với X tập An (k) (3) Nếu X tập đại số An (k) V (I(X)) = X 1.1.9 Định nghĩa (1) Một tập đại số V ⊂ An (k) gọi khả quy V = V1 ∪ V2 , V1 , V2 tập đại số An (k) Vi = V , i = 1, Ngược lại, V gọi bất khả quy (2) Một tập đại số bất khả quy An (k) gọi đa tạp afin (3) Một tập mở đa tạp afin gọi đa tạp tựa afin 1.1.10 Mệnh đề Tập đại số X ⊂ An (k) đa tạp afin iđêan I(X) ⊂ k[x1 , , xn ] iđêan nguyên tố 1.1.11 Định lý Giả sử V tập đại số An (k) Khi đó, tồn tập đại số bất khả quy V1 , V2 , , Vm cho V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm Vi ⊂ Vj với i = j Các Vi gọi thành phần bất khả quy V ; V = V1 ∪V2 ∪ .∪Vm phân tích V thành thành phần bất khả quy 1.1.12 Định nghĩa (1) Với tập S không rỗng gồm đa thức k[x1 , x2 , , xn+1 ] V (S) = {P ∈ Pn (k) | F (P ) = với F ∈ S} gọi tập đại số xạ ảnh Pn (k) (2) Một tập đại số V ⊂ Pn (k) gọi bất khả quy khơng hợp hai tập đại số bé thực (3) Một tập đại số bất khả quy Pn (k) gọi đa tạp xạ ảnh (4) Một tập mở đa tạp xạ ảnh gọi đa tạp tựa xạ ảnh Mệnh đề sau trình bày mối quan hệ tập đại số An (k) tập đại số Pn (k) Giả sử V tập đại số An (k), I = I(V ) ⊂ k[x1 , , xn ] Ký hiệu I ∗ iđêan k[x1 , , xn+1 ] sinh {F ∗ | F ∈ I}, F ∗ = xdn+1 F ( xn x1 , , ) xn+1 xn+1 với d = degF Đặt V ∗ = V (I ∗ ) ⊂ Pn (k) Ngược lại, giả sử V tập đại số Pn (k), I = I(V ) ⊂ k[x1 , , xn+1 ] Ký hiệu I∗ iđêan k[x1 , , xn ] sinh {F∗ | F ∈ I}, F∗ = F (x1 , , xn , 1) Đặt V∗ = V (I∗ ) ⊂ An (k) 14 Theo Định lý Euler, với [z0 , z1 , z2 ] ∈ C , ta có z0 ∂H ∂H ∂H (z0 , z1 , z2 ) + z1 (z0 , z1 , z2 ) + z2 (z0 , z1 , z2 ) = ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.1) Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với C điểm [z0 , z1 , z2 ] ∈ C xác định dz0 ∂H ∂H ∂H (z0 , z1 , z2 ) + dz1 (z0 , z1 , z2 ) + dz2 (z0 , z1 , z2 ) = ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.2) Kết hợp (2.1) (2.2) ta hệ phương trình  ∂H ∂H ∂H   z (z , z , z ) + z (z , z , z ) = −z (z0 , z1 , z2 ) 0 1 2  ∂z ∂z1 ∂z2    dz0 ∂H (z0 , z1 , z2 ) + dz1 ∂H (z0 , z1 , z2 ) = −dz2 ∂H (z0 , z1 , z2 ) ∂z0 ∂z1 ∂z2 Khi đó, theo cơng thức Cramer, đường cong C ta có ∂H W (z1 , z2 ) ∂H = , ∂z0 W (z0 , z1 ) ∂z2 W (z2 , z0 ) ∂H ∂H = , ∂z1 W (z0 , z1 ) ∂z2 với điều kiện W (z0 , z1 ) = thành phần C , tức C khơng có nhân tử tuyến tính dạng az0 + bz1 Do W (z1 , z2 ) W (z2 , z0 ) W (z0 , z1 ) = = ∂H ∂H ∂H (z0 , z1 , z2 ) (z0 , z1 , z2 ) (z0 , z1 , z2 ) ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.3) Đặt Ω= W (z1 , z2 ) W (z2 , z0 ) W (z0 , z1 ) = = ∂H ∂H ∂H ∂z0 ∂z1 ∂z2 (2.4) Ω 1- dạng hữu tỷ chưa xác định tốt P2 (C) 2.1.1 Nhận xét Các 1- dạng xác định (2.4) không tầm thường hạn chế thành phần C định thức Wronskian Ω 15 công thức không đồng hạn chế thành phần C , nghĩa đa thức xác định đường cong C khơng có nhân tử tuyến tính dạng azi + bzj a, b ∈ C, ≤ i, j ≤ i = j 2.1.2 Định nghĩa Giả sử C ⊂ P2 (C) đường cong đại số 1- dạng ω C gọi quy hạn chế 1- dạng hữu tỷ P2 (C) cho khơng có cực điểm ω thuộc C 1- dạng gọi có kiểu Wronskian có dạng R W (zi , zj ), S R S đa thức thỏa mãn degS = degR + Lưu ý điều kiện bậc định nghĩa đảm bảo 1- dạng hữu tỷ xác định tốt P2 (C) zj2 R W (zi , zj ) R W (zi , zj ) = S S zj2 W (zi , zj ) = zj2 zi zj dzi dzj zj2 1 zi dz dz j i = zj z zj i 1- dạng hữu tỷ xác định tốt P2 (C) zi = −d( ), i = j zj 16 Đa thức mạnh trường hợp phức 2.2 Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ 2.2.1 Định nghĩa Đa thức biến P trường số phức C gọi đa thức mạnh cho họ hàm F với hàm khác f, g ∈ F số c khác không thỏa mãn P (f ) = cP (g) c = f = g Trong suốt toàn chương này, ta luôn giả sử P (X) đa thức biến trường số phức C có bậc n Ta ký hiệu hệ số P sau P (X) = X n + am X m + am−1 X m−1 + + a1 X + a0 , ∈ C, am = Ký hiệu α1 , α2 , , αl nghiệm phân biệt P (X) m1 , m2 , ml bội nghiệm P (X) Khi P (X) = n(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 (X − αl )ml αi = αj với i = j mi ≥ Ta có n bi,j (X − αi )j , bi,mi +1 = 0, bi,n = P (X) − P (αi ) = j=mi +1 Giả sử F (X, Y, Z) đa thức đa thức P (X) − P (Y ) = X −Y n k−1 X k−1−j Y j ak k=1 tức F (X, Y, Z) = Z n P( j=0 X Y ) − P( ) Z Z X −Y (2.5) 17 Lưu ý X − Y không nhân tử F (X, Y, Z) F (X, X, 1) = P (X) ≡ Y − aZ, X − aZ, a ∈ C, khơng nhân tử F (X, Y, Z) P (Y ) ≡ P (a), P (X) ≡ P (a) Với ≤ i ≤ l, theo (2.5) ta biểu thị đa thức F (X, Y, Z) dạng n F (X, Y, Z) = j=mi +1 (X − αi Z)j − (Y − αi Z)j Z n−j , bi,j X −Y (2.6) bi,mi +1 = 0, bi,n = X Y ) P (Y, Z) = Z n−1 P ( ) Z Z đa thức đa thức P (X) P (Y ) Khi Ký hiệu P (X, Z) = Z n−1 P ( l l (X − αi Z), P (X, Z) = n i=1 không đồng  ∂F    (X, Y, Z) =   ∂X      ∂F (X, Y, Z) = ∂Y      ∂F   (X, Y, Z) =    ∂Z (Y − αi Z) P (Y, Z) = n (2.7) i=1 không thành phần C Ta có P (X, Z) − F (X, Y, Z) X −Y −P (Y, Z) + F (X, Y, Z) X −Y (n − m)am Z n−m−1 m−1 (2.8) X m−i Y i + ZHm−2 i=0 Hm−2 (X, Y, Z) đa thức bậc m − Giả sử X Y W (X, Y ) = dX dY , Y Z W (Y, Z) = dY dZ , Z X W (Z, X) = dZ dX 18 định thức Wronskian 1- dạng quy C3 Khi γ := W (X, Y ) W (Y, Z) W (Z, X) = = ∂F ∂F ∂F ∂Z ∂X ∂Y (2.9) dạng hữu tỷ không tầm thường xác định tốt theo (2.7) (2.9) ∂F lên đường cong C xác định phương trình F (X, Y, Z) = hạn chế ∂X l P (X, Z) =n X −Y (X − αi Z) i=1 X −Y (2.10) Ta có X − αi Z, X − Y W (Y, Z) không đồng không thành phần C Hơn nữa, với đa thức A(X, Y, Z) B(X, Y, Z) mà degB = degA + 1- dạng hữu tỷ R(X, Y, Z)W (X, Y ), R(X, Y, Z)W (Y, Z), R(X, Y, Z)W (Z, X) A(X, Y, Z) xác định tốt P2 (C) B(X, Y, Z) Định lý sau đưa điều kiện cần đủ để đa thức biến với R(X, Y, Z) = trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ 2.2.2 Định lý Cho đa thức biến bậc n trường số phức C P (X) = a0 + a1 X + a2 X + + am X m + an X n ≤ m < n, ∈ C an , am = Giả sử I = {i | = 0}, l = min{i | i ∈ I} J = {i − l | i ∈ I} Khi khẳng định sau (i) Nếu n − m ≥ P đa thức mạnh cho họ hàm hữu tỷ ước chung lớn số I ước chung lớn số J 19 (ii) Nếu n − m ≥ P đa thức mạnh cho họ hàm phân hình ước chung lớn số I ước chung lớn số J Ta ký hiệu C đường cong P2 (C) xác định phương trình F (X, Y, Z) = Cc đường cong P2 (C) xác định phương trình Fc (X, Y, Z) = 0, c = 0, 1, F (X, Y, Z) đa thức đa thức P (X) − P (Y ) X −Y Fc (X, Y, Z) đa thức đa thức P (X) − cP (Y ), c = 0, Lưu ý đường cong xạ ảnh hyperbolic Brody giống đường cong Một đường cong xạ ảnh hyperbolic đại số giống đường cong Trong trường hợp đường cong trơn, hay đường cong kỳ dị bất khả quy, ta tính giống đường cong dựa vào cơng thức giống Tuy nhiên việc xác nhận tính bất khả quy đường cong thường không đơn giản Trong trường hợp này, ta xây dựng vừa đủ 1- dạng quy kiểu Wronskian không tầm thường đường cong thỏa mãn giả thiết Định lý 2.2.2 Để chứng minh Định lý 2.2.2, ta cần bổ đề sau 2.2.3 Bổ đề Cho đa thức biến trường số phức C P (X) = X n + am X m + am−1 X m−1 + + a1 X + a0 , am = Giả sử đường cong C xác định phương trình F (X, Y, Z) = khơng có thành phần tuyến tính Khi C hyperbolic đại số n−m ≥ hyperbolic Brody n − m ≥ 20 Chứng minh Theo (2.8) (2.9) ta có (X − Y )W (X, Z) −P (Y, Z) (X − Y )W (Y, Z) = P (X, Z) γ= = (2.11) W (X, Y ) (n − m)am Z n−m−1 (X m−1 + X m−2 Y + + Y m + ZHm−2 ) P (X, Z) P (Y, Z) xác định theo (2.7) Nếu γ tầm thường thành phần bất khả quy C F (X, Y, 1) có nhân tử tuyến tính, mâu thuẫn với giả thiết F (X, Y, Z) khơng có nhân tử tuyến tính Như γ khơng tầm thường thành phần C Giả sử L(X, Y, Z) dạng tuyến tính K(X, Y, Z) = Z n−m−4 (X m−1 + X m−2 Y + + Y m−1 + ZHm−2 ) Ta có 1- dạng hữu tỷ ω := L(X, Y, Z) K(X, Y, Z) γ L(X, Y, Z) W (X, Y ) = (n − m)am Z (2.12) xác định tốt P2 (C) mẫu thức (của hệ số W (X, Y )) cao hai bậc so với tử thức Tương tự, với G(X, Y, Z) = Z n−m−3 (X m−1 + X m−2 Y + + Y m−1 + ZHm−2 ) ta có 1- dạng hữu tỷ θ := G(X, Y, Z)γ = W (X, Y ) (n − m)am Z (2.13) xác định tốt P2 (C) Hạn chế ω lên đường cong C không tầm thường thành phần C Ta chứng tỏ ω quy C Thật vậy, từ (2.12) ta có cực điểm có ω điểm thuộc [Z = 0] ∩ C 21 Mặt khác, ta có (X, Y ) L(X, Y, Z) K(X, Y, Z) W (Y, Z) P (X, Z) (X, Y ) L(X, Y, Z) K(X, Y, Z) W (X, Z) = −P (Y, Z) ω= Nếu z = n − m − ≥ nên mẫu thức P (X, Z) biểu thị rút gọn thành nX n−1 (tương ứng, P (Y, Z) rút gọn thành nY n−1 ) Do đó, ω có cực điểm điểm có Z = X = Y = 0, điều khơng thể có P2 (C) Vậy ω 1- dạng quy C Chọn L(X, Y, Z) = X, Y Z tương ứng ta thu ba 1- dạng quy độc lập tuyến tính thành phần C : XW (X, Y ) , (n − m)am Z Y W (X, Y ) , (n − m)am Z W (X, Y ) (n − m)am Z Do giống thành phần bất khả quy C không bé Theo Định lý Picard ta có C hyperbolic Brody Với trường hợp n − m ≥ sử dụng θ ta thu 1- dạng quy không tầm thường thành phần C Do giống thành phần bất khả quy C không bé C hyperbolic đại số Tiếp theo, ta nói đường cong Cc P2 (C) xác định phương trình Fc (X, Y, Z) = Fc (X, Y, Z) đa thức đa thức P (X) − cP (Y ) với c = 0, Giả sử P (X) = λ(X − α1 )m1 (X − α2 )m2 (X − αl )ml mi > 0, λ = 0, αi = αj với i = j Ta có  ∂Fc   (X, Y, Z) = P (X, Z) = λ(X − α1 Z)m1 (X − αl Z)ml     ∂X ∂Fc (X, Y, Z) = −cP (Y, Z) = −cλ(Y − α1 Z)m1 (Y − αl Z)ml (2.14)  ∂Y      ∂Fc (X, Y, Z) = (n − m)a Z n−m−1 (X m − cY m + ZH m m−1 ) ∂Z 22 P (X, Z), P (Y, Z) xác định (2.7) 2.2.4 Bổ đề Cho đa thức biến bậc n trường số phức C P (X) = X n + am X m + am−1 X m−1 + + a1 X + a0 , am = Giả sử đường cong Cc xác định phương trình Fc (X, Y, Z) = khơng có thành phần tuyến tính Khi Cc hyperbolic đại số n−m ≥ hyperbolic Brody n − m ≥ Chứng minh Như Bổ đề 2.2.3 ta đặt γ := W (Y, Z) W (Z, X) W (X, Y ) = = ∂Fc ∂Fc ∂Fc ∂Z ∂X ∂Y (2.15) Theo (2.14) ta có W (X, Y ) (n − m)am Z n−m−1 (X m − cY m + ZHm−1 ) W (Y, Z) = P (X, Z) W (X, Z) = −cP (Y, Z) γ= Nếu n − m ≥ 3, ta lấy G(X, Y, Z) = Z n−m−3 (X m − cY m + ZHm−1 ) Khi θ := G(X, Y, Z)γ = W (X, Y ) am (n − m)Z 1- dạng hữu tỷ xác định tốt Cc ⊂ P2 (C) Các cực điểm có θ điểm có Z = Tuy nhiên, phép chứng minh Mệnh đề 2.2.3, ta có cực điểm có θ điểm có Z = X = Y = 0, điều khơng thể có P2 (C) Vậy θ 1- dạng quy Cc Nếu n − m ≥ 4, ta lấy K(X, Y, Z) = Z n−m−4 (X m − cY m + ZHm−1 ) 23 Khi đó, với đa thức L(X, Y, Z) ta có ω : = L(X, Y, Z) K(X, Y, Z)γ L(X, Y, Z) = W (X, Y ) am (n − m)Z 1- dạng quy xác định tốt Cc Bằng cách lấy L(X, Y, Z) = X , Y Z tương ứng ta thu ba 1- dạng quy độc lập tuyến tính thành phần Cc XW (X, Y ) , am (n − m)Z Y W (X, Y ) , am (n − m)Z W (X, Y ) am (n − m)Z Do giống thành phần bất khả quy Cc không bé Theo Định lý Picard ta có Cc hyperbolic Brody Chứng minh Định lý 2.2.2 Theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4, n − m ≥ 1- dạng quy XW (X, Y ) , am (n − m)Z Y W (X, Y ) , am (n − m)Z W (X, Y ) am (n − m)Z không đồng không thành phần C Cc Ta có X Y khơng nhân tử tuyến tính F (X, Y, Z) hay Fc (X, Y, Z) W (X, Y ) đồng triệt tiêu thành phần tuyến tính aX − bY = Do ta cần phải chứng tỏ F (X, Y, Z) Fc (X, Y, Z), c = 0, 1, khơng có nhân tử tuyến tính dạng aX − bY ước chung lớn số khác I ước chung lớn số khác J Đặt I ∗ = I\{0} J ∗ = J\{0} Vì chia hết cho số nguyên nên ước chung lớn I ước chung lớn I ∗ ước chung lớn J ước chung lớn J ∗ Vì vậy, ta giả sử ước chung lớn số khác I ∗ ước chung lớn số khác J ∗ Lưu ý n − m ≥ ước 24 chung lớn số khác J #I ≥ Bởi #I = I = {n, m} Do l = m J = {n − m, 0} Theo giả thiết ước chung lớn số J n − m ≥ Vì P đa thức mạnh Như #I ≥ Do #I ∗ #J ∗ Ta chứng tỏ F (X, Y, Z) Fc (X, Y, Z) khơng có nhân tử tuyến tính dạng aX − bY Thực vậy, F (X, Y, Z) Fc (X, Y, Z) khơng có nhân tử tuyến tính dạng aX−bY đồng nghĩa với F (X, Y, 1) Fc (X, Y, 1) khơng có nhân tử tuyến tính dạng aX − bY Cả X Y khơng nhân tử tuyến tính F (X, Y, 1) Fc (X, Y, 1) Do ta giả sử a = b = Lưu ý Fc (X, X, 1) = (1 − c)P (X) ≡ (c = 1) F (X, X, 1) = P (X) ≡ X − Y khơng nhân tử tuyến tính Fc (X, Y, 1) F (X, Y, 1) Vì b = Điều kiện X − bY, b = 1, nhân tử tuyến tính F (X, Y, 1) tương đương với điều kiện F (bY, Y, 1) ≡ Ta có (X i − Y i ) (X − Y )F (X, Y, 1) = P (X) − P (Y ) = i∈I ∗ nên (bi − 1)Y i ≡ (bY − Y )F (bY, Y, 1) = i∈I ∗ Vì bi = với i ∈ I ∗ Do #I ∗ ≥ ước chung lớn số I ∗ nên ta tìm số ngun ni , i ∈ I ∗ cho bini = 1, điều mâu thuẫn với điều kiện b = ini = Do đó, b = i∈I ∗ i∈I ∗ Giả sử X −bY nhân tử Fc (X, Y, 1), c = 0, Khi P (bY )−cP (Y ) ≡ Vì (bi − c)Y i ≡ i∈I Điều dẫn đến bi = c với i ∈ I Do đó, bi−l = với i ∈ I , l = min{i | i ∈ I} Tức bj = với j ∈ J ∗ Vì #J ∗ ≥ ước 25 chung lớn số J ∗ nên lập luận hồn tồn tương tự ta có b = 1, mâu thuẫn Ngược lại, giả sử ước chung lớn số I ∗ r > Ta có i = rci với i ∈ I ∗ Khi X rci − Y rci F (X, Y, 1) = X −Y ∗ i∈I Xr − Y r X −Y nhân tử F (X, Y, 1) Đặc biệt, gọi b nguyên thủy bậc r đơn vị X − bY nhân tử tuyến tính F (X, Y, 1) Tương tự, giả sử ước chung lớn số khác J ∗ r > Ta có i − l = αi r với i ∈ I i = l = min{i | i ∈ I} Gọi b nguyên thủy bậc r đơn vị đặt c = bl Đầu tiên, ta xem xét trường hợp bl = tức c = Khi đó, với i ∈ I i = l, ta có bi−l = bαi r = bi = bi−l bl = c Do (X i − cY i ) = P (X) − cP (Y ) = i∈I (X i − bi Y i ) i∈I X − bY nhân tử tuyến tính Fc (X, Y, Z) Nếu bl = tức c = hồn tồn tương tự ta có X − bY nhân tử tuyến tính P (X) − P (Y ) = (X − Y )F (X, Y, 1) Vì b = nên X − bY nhân tử tuyến tính F (X, Y, 1) ✷ 26 KẾT LUẬN Trên sở tài liệu tham khảo luận văn [2], chúng tơi tập trung tìm hiểu trình bày cách chi tiết kết sau: (1) Phương pháp xây dựng 1- dạng quy kiểu Wronskian (2) Điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập mơn Đại số giao hốn Hình học đại số, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ Tiếng Anh [2] T T H An, J T Y Wang and P M Wong (2004), Strong uniqueness polynomials: The complex case, Complex Variables, 49(1), 25 - 54 [3] T T H An, Y T Y Wang and P M Wong (2003), Unique range sets and uniqueness polynomials in positive characteristic, Acta Arith., 109(3), 259 - 280 [4] H Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets, Amer J Math., 122, 1175 - 1203 [5] W Fulton (1969), Algebraic Curves, W A Benjamin, New York [6] H H Khoai and T T H An (2001), On uniqueness polynomials and bi-urs for p-adic meromorphic function, J Number Theory, 87, 211 221 [7] H H Khoai and C C Yang (2004), On the functional equation P(f)= Q(g), Value distribution theory and related topics, Complex anal Appl 3, Kluwer acad Publ., Boston, MA, 201-207 28 [8] P Li and C C Yang (1995), Some further results on the unique range sets of meromorphic functions, Kodai Math J., 18, 437 - 450 [9] P Li and C C Yang (1996), On the unique range sets of meromorphic functions, Proc Amer Math Soc., 124, 177 - 195 [10] J T Y Wang (2002), Uniqueness polynomials and bi-unique range sets for rational functions and non-Archimedean meromorphic functions, Acta Arith., 104, 183 - 200 ... 16 Đa thức mạnh trường hợp phức 2.2 Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu điều kiện cần đủ để đa thức biến trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ 2.2.1 Định nghĩa Đa thức. .. CHƯƠNG ĐA THỨC DUY NHẤT MẠNH TRONG TRƯỜNG HỢP PHỨC Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu phương pháp xây dựng 1- dạng quy kiểu Wronskian Đồng thời chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để đa thức. .. đưa điều kiện cần đủ để đa thức biến với R(X, Y, Z) = trường số phức C đa thức mạnh cho họ hàm phân hình, họ hàm hữu tỷ 2.2.2 Định lý Cho đa thức biến bậc n trường số phức C P (X) = a0 + a1 X