Hinh hoc 11 nang cao

HèNH HOẽC NA N G CAO 11 (Tái lần thứ mời ba) nhà xuất giáo dục việt nam HÃy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng cho em học sinh lớp sau ! điều học sinh cần ý sử dụng sách giáo khoa Khi nghe thầy cô giáo giảng bài, luôn có SGK trớc mặt Tuy nhiên không viết, vẽ thêm vào SGK để năm sau bạn khác dùng đợc Về trình bày, sách giáo khoa có hai mảng : mảng mảng phụ Mảng gồm định nghĩa, định lí, tính chất, thờng đợc đóng khung có đờng viền mép trái Mảng đợc in lùi vào Khi gặp Câu hỏi ? , cần phải suy nghĩ, trả lời nhanh Khi gặp Hoạt động , phải dùng bút giấy nháp để thực yêu cầu mà hoạt động đòi hỏi Chịu trách nhiệm xuất : Chủ tịch Hội đồng Thành viên nguyễn đức thái Tổng Giám đốc hoàng lê bách Chịu trách nhiệm nội dung : Tổng biên tập phan xuân thành Biên tập lần đầu : phan thị minh nguyệt - lê thị Biên tập tái : ngun ngäc tó Biªn tËp mÜ tht, kÜ tht : nguyễn kim toàn - đinh thị xuân dung Trình bày bìa minh hoạ : bùi quang tuấn Sửa in : nguyễn trọng thiệp Chế : công ty cổ phần dịch vụ xuất giáo dục hà nội Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục Đào tạo hình học 11 - N©ng cao M· sè : NH102T0 In cn (Q§ in sè : …….), khỉ 17  24 cm Đơn vị in : địa Cơ sở in : địa chØ Sè §KXB : 012020/CXBIPH/748869/GD Sè Q§XB : /QĐ-GD ngày tháng năm In xong nộp lu chiểu tháng năm Mà số ISBN : 978-604-0-19027-7 phép dời hình phép đồng dạng Chơng I mặt phẳng Bức tranh hoạ sĩ Hà Lan ét-se (M.C Escher) gồm hình mô tả chiến binh lng ngựa Các hình phủ kín mặt phẳng Hai chiến binh ngựa màu (trắng đen) tơng ứng với qua phép tịnh tiến Hai chiến binh ngựa khác màu tơng ứng với qua phép đối xứng trục phép tịnh tiến Nghệ thuật dùng hình để lấp đầy mặt phẳng đợc phát triển mạnh mẽ vào kỉ XIII nớc I-ta-li-a Chơng nói phép dời hình đồng dạng mặt phẳng Học sinh làm quen với phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, hiểu hai hình nhau, hai hình đồng dạng cách tổng quát Học sinh cần nắm đợc định nghĩa phép nói áp dụng chúng để giải toán không phức tạp Mở đầu phép biến hình Phép biến hình Trong Đại số, ta đà biết khái niệm quan trọng : khái niệm "hàm số" Ta nhắc lại : Nếu có quy tắc để với số x , xác định đợc số y quy tắc gọi hàm số xác định tập số thực Bây giờ, mệnh đề ta thay số thực điểm thuộc mặt phẳng ta đợc khái niệm phép biến hình mặt phẳng Cụ thể Nếu có quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc điểm M' thuộc mặt phẳng quy tắc gọi phép biến hình (trong mặt phẳng) Vậy ta có Định nghĩa Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định đợc điểm M' thuộc mặt phẳng Điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình ®ã C¸c vÝ dơ VÝ dơ Cho ®−êng thẳng d Với điểm M, ta xác định M' hình chiếu (vuông góc) M d (h.1) ta đợc phép biến hình Phép biến hình gọi phép chiếu (vuông góc) lên đờng thẳng d Hình Ví dụ Cho vectơ u , với điểm M ta xác định điểm  M' theo quy t¾c MM'  u (h.2) Nh− vËy ta cịng cã mét phÐp biÕn h×nh PhÐp  biến hình gọi phép tịnh tiến theo vectơ u Hình Ví dụ Với điểm M, ta xác định điểm M' trùng với M ta đợc phép biến hình Phép biến hình ®ã gäi lµ phÐp ®ång nhÊt KÝ hiƯu vμ thuật ngữ Nếu ta kí hiệu phép biến hình F điểm M' ảnh ®iĨm M qua phÐp biÕn h×nh F th× ta viÕt M' F(M), F(M) M' Khi đó, ta nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M' Với hình H, ta gọi hình H ' gồm điểm M' F(M), M H, ảnh H qua phép biến hình F, vµ viÕt H '  F(H ) 1) H·y vẽ đờng tròn đờng thẳng d vẽ ảnh đờng tròn qua phép chiếu lên d 2) HÃy vẽ vectơ u tam giác ABC lần lợt vẽ ảnh A', B', C' đỉnh A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ u Có nhận xét hai tam giác ABC A'B'C' ? Phép tịnh tiến v phép dời hình Định nghĩa phép tịnh tiến Ta nhắc lại định nghĩa phép tịnh tiến đà nói Ví dụ Đ1 : Phép tịnh tiến theo vectơ u phép biến hình biến điểm M thành điểm M' cho MM' u Phép tịnh tiến theo vectơ u thờng đợc kí hiệu T Tu Vectơ u đợc gọi vectơ tịnh tiến ? Phép đồng có phải phép tịnh tiến không ? Các tính chất phép tịnh tiến Có nhận xét hai vectơ MN M'N' ? So sánh độ dài hai vectơ Giả sử phép tịnh tiến theo vectơ u biến hai điểm M, N lần lợt thành hai điểm M', N' Vậy ta có định lí Định lí Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N lần lợt thành hai điểm M' N' M'N' MN Ngời ta diễn tả tính chất phép tịnh tiến : Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Định lí Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Chứng minh Giả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A', B', C' Theo định lí 1, ta có A'B' AB, B'C'  BC vµ A'C'  AC NÕu A, B, C thẳng hàng, B nằm A C AB BC AC Do ta cã A'B'  B'C'  A'C', tøc lµ A', B', C' thẳng hàng, B' nằm A' C' Từ định lí trên, ta dễ dàng suy hệ sau Hệ Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính, biến góc thành góc Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u Biết toạ độ u (a ; b) Giả sử ®iĨm M(x ; y) biÕn thµnh ®iĨm M'(x' ; y') (h.3) Khi ®ã ta cã  x'  x  a   y'  y  b H×nh Công thức gọi biểu thức toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ u (a ; b) HÃy giải thích có công thức ứng dụng phép tịnh tiến Bài toán Cho hai điểm B, C cố định đờng tròn (O ; R) điểm A thay đổi đờng tròn Chứng minh trực tâm tam giác ABC nằm đờng tròn cố định Giải Nếu BC đờng kính trực tâm H tam giác ABC A Vậy H nằm đờng tròn cố định (O ; R) Nếu BC đờng kính, vẽ đờng kính BB' đờng tròn (h.4) Dễ thấy H trực tâm tam giác ABC AH B'C (trên hình 4, điều suy từ nhận xét Hình tứ giác AHCB' hình bình hành) Nh vậy, phép tịnh tiến theo vectơ cố định B'C biến ®iĨm A thµnh ®iĨm H Do ®ã, A thay đổi (O ; R) trực tâm H nằm đờng tròn cố định ảnh đờng tròn (O ; R) qua phép tịnh tiến nói Bài toán Hai thôn nằm hai vị trí A B cách sông (xem hai bờ sông hai đờng thẳng song song) (h.5) Ngời ta dự định xây cầu MN bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) làm hai đoạn đờng thẳng từ A đến M từ B đến N HÃy xác định vị trí cầu MN cho AM BN ngắn Hình Nhận xét Bài toán đơn giản sông hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a b xem nh trùng với HÃy giải toán trờng hợp đặc biệt Trờng hợp tổng quát (h.5) đa trờng hợp phép tịnh tiến theo vectơ MN để a trùng b Khi ®iĨm A biÕn thµnh ®iĨm A'   cho AA' MN A'N AM Từ gợi ý đó, hÃy giải toán trờng hợp tổng quát Phép dời hình Không phải có phép tịnh tiến "không làm thay đổi khoảng cách hai điểm" mà nhiều phép biến hình khác có tính chất (tính chất đợc gọi tính chất bảo toàn khoảng cách hai điểm) Ngời ta gọi phép biến hình nh phép dời hình Định nghĩa Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Chú ý tính chất đà nêu phép tịnh tiến đợc chứng minh dựa vào tính chất "không làm thay đổi khoảng cách hai điểm" Bởi vậy, phép dời hình có tính chất Cụ thể ta có Định lí Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đờng thẳng thành đờng thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tam giác thành tam giác nó, biến đờng tròn thành đờng tròn có bán kính, biến góc thành góc Câu hỏi tập Qua phép tịnh tiến T theo vectơ u , đờng thẳng d biến thành đờng thẳng d' Trong trờng hợp : d trïng d' ? d song song víi d' ? d cắt d' ? Cho hai đờng thẳng song song a a' Tìm tất phép tịnh tiến biến a thành a' Cho hai phép tịnh tiến Tu Tv Với điểm M bất kì, Tu biến M thành điểm M', Tv biến M' thành ®iĨm M'' Chøng tá r»ng phÐp biÕn h×nh biÕn M thành M'' phép tịnh tiến Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đờng tròn (O) Tìm q tÝch ®iĨm M' cho MM '  MA MB Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với , a, b số cho trớc, xét phép biến hình F biến điểm M(x ; y) thành ®iÓm M'(x' ; y'), ®ã  x '  x cos   y sin   a   y '  x sin   y cos   b a) Cho hai ®iĨm M(x1 ; y1), N(x2 ; y2) gọi M', N' lần lợt ảnh M, N qua phép F HÃy tìm toạ độ M' N' b) Tính khoảng cách d M N ; khoảng cách d' M' N' c) Phép F có phải phép dời hình hay không ? d) Khi = 0, chứng tỏ F phép tịnh tiến Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình sau : Phép biến hình F1 biến điểm M(x ; y) thành điểm M'(y ; x) ; Phép biến hình F2 biến điểm M(x ; y) thành điểm M'(2x ; y) Trong hai phép biến hình trên, phép phép dời hình ? Định lí ba đờng vuông góc : Đờng thẳng b nằm mp(P) vuông góc với đờng thẳng a (a không vuông góc với (P)) vuông góc với hình chiếu (vuông góc) a (P) Góc đờng thẳng mặt phẳng góc đờng thẳng hình chiếu đờng thẳng mặt phẳng (nếu hình chiếu điểm xem góc đờng thẳng mặt phẳng 90o ) Góc hai mặt phẳng góc hai đờng thẳng lần lợt vuông góc với hai mặt phẳng Hai mặt phẳng gọi vuông góc với góc chúng 90o Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (đờng thẳng) khoảng cách từ điểm đến hình chiếu mặt phẳng (đờng thẳng) Khoảng cách đờng thẳng a mặt phẳng (P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (P) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đờng thẳng chéo a b độ dài đoạn vuông góc chung IJ, I, J giao điểm đờng vuông góc chung a b với a b Khoảng cách hai đờng thẳng chéo khoảng cách hai đờng thẳng mặt phẳng song song với nó, chứa đờng thẳng lại Khoảng cách hai đờng thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song lần lợt chứa hai đờng thẳng Mặt phẳng qua trung điểm O đoạn thẳng AB vuông góc với AB gọi mặt phẳng trung trực AB Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng Tập hợp điểm cách ba đỉnh tam giác ABC đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) qua tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đờng thẳng đợc gọi trục tam giác ABC II - Câu hỏi tự kiểm tra Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tứ diện A' trọng tâm tam giác BCD Các khẳng định sau hay sai ? 119      a) GA  GB  GC  GD  ;      b) MA  MB  MC  MD MG với M điểm tuỳ ý ;   c) GA   AA' ;     d) AB  AC  AD  AA' Trong kh«ng gian, h·y nêu cách chứng minh : a) Đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng ; b) Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng ; c) Hai mặt phẳng vuông góc với HÃy nêu cách tính : a) Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng ; b) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ; c) Khoảng cách đờng thẳng mặt phẳng song song với ; d) Khoảng cách hai mặt phẳng song song ; e) Khoảng cách hai đờng th¼ng chÐo III - Bμi tËp   AOC   60o , BOC   90o Tø diÖn OABC cã OA  OB  OC  a AOB a) Chứng tỏ ABC tam giác vuông OA BC b) Tìm đờng vuông góc chung IJ OA BC ; tính khoảng cách hai đờng thẳng OA BC c) Chứng minh hai mặt phẳng (ABC) (OBC) vuông góc với   120o , BSC   60o , Cho h×nh chãp S.ABC cã SA  SB  SC  a, ASB   90o CSA a) Chøng tỏ ABC tam giác vuông b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Hai điểm M N lần lợt thay đổi hai cạnh CB CD, đặt CM x, CN y Tìm hệ thức liên hệ x y để : a) Hai mặt phẳng (SAM) (SAN) tạo với góc 45o ; b) Hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC nằm mp(P), cạnh AB AC lần lợt tạo với mp(P) góc Gọi góc tạo bëi mp(P) vµ mp(ABC) Chøng minh r»ng sin 2  sin   sin 2 120 Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC đôi vuông góc với OA a, OB b, OC c Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông đỉnh C, CA a, CB b ; mặt bên ABB'A' hình vuông Gọi (P) mặt phẳng qua C vuông góc với AB' a) Xác định thiết diện hình lăng trụ đà cho cắt (P) Thiết diện hình ? b) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn nãi trªn Mét tø diện đợc gọi gần cạnh đối đôi Với tứ diện ABCD, chứng tỏ tính chất sau tơng đơng : a) Tứ diện ABCD gần ; b) Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi vuông góc với ; c) Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện) ; d) Tổng góc đỉnh 180o Cho tứ diện ABCD Cắt tứ diện theo cạnh AB, AC, AD trải mặt ABC, ACD, ADB lên mặt phẳng (BCD) (xem hình 133) Hình phẳng gồm tam giác BCD, A1 BC, A2 CD, A3 BD gọi hình khai triển tứ diện ABCD mặt phẳng (BCD) 121 Hình 133 a) Chứng tỏ hình khai triển tứ diện gần ABCD mp(BCD) làm thành tam giác nhọn b) Dùng bìa cứng cắt dán để có tứ diện gần IV - Các câu hỏi trắc nghiệm Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai ?         (B) GA  GB  GC  GD  ; (A) OG   OA  OB  OC  OD  ;         (C) AG   AB  AC  AD  ; (D) AG   AB  AC  AD  MƯnh ®Ị sau ? (A) Hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng song song với ; (B) Hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng vuông góc với ; (C) Một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng song song vuông góc với đờng thẳng ; (D) Một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng vuông góc với song song với đờng thẳng lại Cho hai đờng thẳng phân biệt a, b mặt phẳng (P), a (P) Mệnh đề sau sai ? (A) NÕu b // (P) th× b  a ; (B) NÕu b  (P) th× b // a ; (D) NÕu b  a th× b // (P) (C) NÕu b // a th× b  (P) ; Tìm mệnh đề mệnh đề sau : (A) Hai đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng song song ; (B) Hai đờng thẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng song song ; 122 (C) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đờng thẳng song song ; (D) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song Mệnh đề sau ? (A) Hai mặt phẳng vuông góc với đờng thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ; (B) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng vuông góc với ; (C) Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với ; (D) Ba mệnh đề sai Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? (A) Có đờng thẳng qua điểm cho trớc vuông góc với đờng thẳng cho trớc ; (B) Có mặt phẳng qua đờng thẳng cho trớc vuông góc với mặt phẳng cho trớc ; (C) Có mặt phẳng qua điểm cho trớc vuông góc với mặt phẳng cho trớc ; (D) Có mặt phẳng qua điểm cho trớc vuông góc với đờng thẳng cho trớc Tìm mệnh đề mệnh đề sau : (A) Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật ; (B) Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật ; (C) Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật ; (D) Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? (A) Nếu hình hộp có hai mặt hình vuông hình lập phơng ; (B) Nếu hình hộp có ba mặt chung đỉnh hình vuông hình lập phơng ; (C) Nếu hình hộp có sáu mặt hình lập phơng ; (D) Nếu hình hộp có bốn đờng chéo hình lập phơng Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác Tìm mệnh đề mệnh đề sau : (A) S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân ; 123 (B) S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân với đỉnh S ; (C) S.ABC hình chóp góc mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng chứa đáy ; (D) S.ABC hình chóp mặt bên có diện tích 10 Tìm mệnh đề mệnh đề sau : (A) Đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chéo nằm mặt phẳng chứa đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng ; (B) Đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chéo vuông góc với mặt phẳng chứa đờng thẳng song song với đờng thẳng ; (C) Một đờng thẳng đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chéo vuông góc với hai đờng thẳng ; (D) Các mệnh đề sai 11 Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi vuông góc AB = AC = AD = DiƯn tÝch tam gi¸c BCD b»ng (A) ; (B) ; (C) 27 ; (D) 27     60o 12 H×nh hép ABCD.A'B'C'D' cã AB = AA' = AD = a vµ A'AB A'AD  BAD Khi đó, khoảng cách đờng thẳng chứa cạnh đối diện tứ diện A'ABD : (A) a ; (B) a ; (C) a ; (D) 3a bμi tËp ôn cuối năm 124 Cho tam giác ABC điểm M, N, P lần lợt trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Xét bốn tam giác APN, PBM, NMC, MNP Tìm phép dời hình biến tam giác APN lần lợt thành ba tam giác lại b) Phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác MNP ? c) Xét tam giác có ba đỉnh trực tâm ba tam giác APN, PBM NCM Chứng tỏ tam giác ®ã b»ng tam gi¸c APN Chøng minh ®iỊu ®ã cịng thay trực tâm trọng tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp, tâm đờng tròn nội tiếp Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lợt vuông góc với CD, DA, AB, BC a) Gọi I giao điểm MP NQ Phép đối xứng tâm ĐI biến đờng thẳng MM', NN', PP', QQ' thành đờng thẳng ? b) Chứng tỏ bốn đờng thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét vị trí điểm đồng quy hai điểm I, O ? Cho tam giác ABC hai hình vuông ABMN, ACPQ nh hình 134 a) Xác định phép quay biến tam giác ABQ thành tam giác ANC Hình 134 b) Chứng tỏ hai đoạn thẳng BQ, CN vuông góc với c) Gọi O, O' tâm hình vuông, I trung điểm BC Chứng minh tam giác OIO' tam giác vuông cân Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm BC BD ; P điểm thay đổi đoạn thẳng AD a) Xác định giao điểm Q mp(MNP) cạnh AC Tứ giác MNPQ hình ? b) Tìm quỹ tích giao điểm I QM PN c) Tìm quỹ tích giao điểm J QN PM Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Điểm M nằm A D, điểm N nằm AM CN  C vµ C' cho MD NC' a) Chứng minh đờng thẳng MN song song với mp(ACB') b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng qua MN song song víi mp(ACB') 125 Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Chứng minh tia phân giác góc xOy, yOz zOx đồng phẳng Cho hình chóp S.ABC Gọi K N lần lợt trung điểm SA BC ; M điểm nằm S C a) Chứng minh mặt phẳng qua K, song song với AB SC qua điểm N b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(KMN) Chứng tỏ KN chia thiết diện thành hai phần cã diƯn tÝch b»ng Cho h×nh chãp tø giác S.ABCD có cạnh đáy a cạnh bên a a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) b) Tính khoảng cách đờng thẳng AB mp(SCD) c) Tính khoảng cách hai đờng thẳng AB SC d) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC HÃy xác định thiết diện hình chóp cắt (P) Tính diện tích thiết diện e) Tính góc đờng thẳng AB mp(P) Cho tam giác ABC vuông t¹i A, AB  a, BC  2a Hai tia Bx Cy vuông góc với mp(ABC) nằm phía mặt phẳng Trên Bx, Cy lần lợt lấy điểm B', C' cho BB' a, CC' m a) Với giá trị m AB'C' tam giác vuông ? b) Khi tam giác AB'C' vuông B', kẻ AH BC Chứng minh B'C'H tam giác vuông Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'C') 126 Hớng dẫn giải đáp số Chơng I d trïng d' d song song víi gi¸ cđa u d song song víi d' d kh«ng song song với giá u d không cắt d' Lấy hai điểm A A' lần lợt nằm a a' Phép tịnh tiến theo vectơ AA' biến a thành a' Quỹ tích M' ảnh đờng tròn (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ AB b) d d '  ( x1  x2 )  ( y1 y2 ) c) F phép dời hình d) Khi 0, F phép tịnh tiến theo  vect¬ u (a ; b) 2 F1 phép dời hình a) Khi d // a b) Khi d  a hc d trïng víi a c) Khi d cắt a nhng không vuông góc với a Khi đó, giao điểm d d nằm a o d) Khi góc d a 45 ảnh ( C1) đờng tròn (C '1) : 19 Phơng trình ' lµ : ax  by  c  2(ax0  by0  c)  21 c) Cã thĨ kh«ng b»ng 23 H·y chøng minh hai tam gi¸c O1O2 O3 I1 I2 I3 24 Đờng thẳng qua hai tâm hai hình bình hành 28 Dùng phép vị tự tâm A, tỉ số để biến điểm M thành điểm N 29 Dùng phép vị tự tâm I biến M thành N 30 Đờng thẳng BC qua tâm vị tự (O) (O') Ôn tập chơng I Dùng phép đối xứng qua đờng thẳng d Tâm đối xứng giao ®iĨm cđa hai trơc ®èi xøng   LÊy ®iĨm A' cho AA'  PQ M vµ M3 ®èi xøng víi qua ®iĨm I, ®ã ABCI hình bình hành x y2 x  5y   ¶nh cđa ( d) Trung điểm đoạn thẳng nối hai tiêu điểm elip e) Trung điểm đoạn thẳng nối hai tiêu điểm hypebol C2) (C2) Gọi X điểm đối xứng với A qua Ox, Y điểm đối xứng với A qua Oy Đoạn thẳng XY cắt Ox, Oy lần lợt B C Tam gi¸c ABC cã chu vi nhá nhÊt 11 b) Chó ý r»ng nÕu hµm sè y  f(x) chẵn f(x) f(x) o 13 Dùng phép quay tâm O với góc quay 90 G biến thành G' 16 a) Giao điểm hai đờng thẳng b) Những điểm cách hai đờng thẳng c) Trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đờng tròn F phép tịnh tiến k phép vị tự k HÃy tìm quỹ tích trung điểm BC, từ suy quỹ tích G Các câu hỏi trắc nghiệm chơng I (D) ; (B) ; (C) ; (D) ; (B) ; (B) ; (D) ; (D) ; (D) ; 10 (A) ; 11 (C) ; 12 (C) Ch−¬ng II Sư dụng phơng pháp phản chứng 10 HÃy chứng minh giao tuyến hai mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm trªn mp(O, c) 127 11 a) H·y chøng minh giao ®iĨm I cđa CM vµ SO lµ giao ®iĨm cđa mp(CMN) với SO b) Sử dụng kết câu a) 16 Gọi N giao điểm SM CD ; O giao điểm AC BN a) mp(SBM)  mp(SAC)  SO ; b) Giao ®iĨm cđa BM với mp(SAC) giao điểm BM với SO ; c) Sử dụng kết câu b) 19 a), b) : Sử dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng 21 Gọi I giao điểm RQ với BD HÃy chứng minh S trọng tâm tam giác ABI 22 a) Gọi P, Q lần lợt trung điểm AB CD ; A' giao điểm AG với BQ Kẻ PP' // AA' (P' BQ) HÃy chứng minh A' trọng tâm tam giác BCD Từ suy b) 27 Thiết diện hình thang có hai cạnh đáy song song với AB 28 Thiết diện ngũ giác có cạnh song song với BD có hai cạnh song song víi SA 35 Gäi M0 , N0 lµ hai điểm cố định lần lợt nằm (P) (Q) ; I0 điểm thuộc I M đoạn M0 N0 cho 0  k TËp hỵp I0 N0 điểm I mặt phẳng (R) qua I0 đồng thời song song với (P) (Q) DB'1 víi AC Trong mp( B1 B'1 D), kỴ JI song song víi B'1 B1 (I  B1 D) ID IB1 Ôn tập chơng II Các hình a), b), d), f), g), h) a) HÃy chứng minh DM EN cắt trung ®iĨm I cđa AB b) H·y chøng minh M1N1 // DF c) Sư dơng a) vµ b) b) Sư dơng phÐp chiÕu song song lªn mp( A1 B1C1 ) theo phơng AA1 c) Gọi L, L' lần lợt trung điểm AG, A'G' L1 giao điểm cđa LL' víi A1G1 Sư dơng tÝnh chÊt ®−êng trung bình hình thang để suy điều phải chứng minh Sử dụng định lí Ta-lét đảo a) Gọi M0 , N0 lần lợt hai điểm cố định thuộc tia Ax By cho AM0  k H·y chøng minh MN song BN0 song víi mặt phẳng cố định chứa M0 N0 song song với AB b) Gọi O điểm thuộc đoạn AB cho OA k ; Ox', Oy' lần lợt tia song OB song với Ax By Tập hợp điểm I tia phân giác Ot góc x'Oy' 37 b), c) Xét mặt phẳng (ACC'A') Các câu hỏi trắc nghiệm chơng II 38 Sử dụng tính chất : Tổng bình phơng đờng chéo hình bình hành tổng bình phơng cạnh (B) ; (B) ; (B) ; (D) ; (C) ; (A) ; (B) ; (B) ; (C) ; 10 (C) ; 11 (D) ; 12 (A) 42 H·y chøng minh c¸c trung tuyến tam giác A'B'C' hình chiếu trung tuyến tam giác ABC Chơng III 47 Thực phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phơng BC1 Gäi B'1 lµ b) HƯ thøc      SA  SB  SC  SD  SO       OA  OB  OC  OD  h×nh chiÕu B1 Khi J giao điểm 128 a), b) : Cã     2(OM ON ) (M N lần lợt trung điểm AC BD) Từ O  M  N       Đặt AA ' a, AB b , AC  c TÝnh GI     vµ CG ' theo a, b , c , từ suy điều phải chứng minh Đặt AB a , AD  b , AA '  c vµ chøng    minh GG '  (5a  c )     b) Tõ OM  xOA  yOB  zOC víi x  y  z  1, suy x   y  z, tõ ®ã ®i    ®Õn AM  y AB  z AC Sử dụng kết tập a) Chứng minh b»ng ph¶n chøng    b) Gi¶ sư ba vectơ a, b , c vuông góc với n Nếu a, b không phơng a, b , n không đồng phẳng, từ c  xa  yb  zn Tõ a.n  b n  c n  suy z       ViÕt BC.SA  ( SC  SB).SA vµ sư dơng   ASC  SA  SB  SC, ASB        10 AB AC  AC AD  AC.( AB  AD)     AC DB   AC  DB      11 b) Cã IJ  ( AD  BC ) TÝnh AB IJ vµ   CD IJ 13 a) §óng ; b), c) Sai   ACD   90o 16 Chøng minh ABD 17 a) Chøng minh : 2 BC < AB  AC , AC2 < AB2  BC2, AB2 < AC2 BC2 b) Dùng định lí ba đờng vuông góc c) Sử dụng công thức tính đờng cao ứng với cạnh huyền tam giác vuông 19 a) KỴ SH  mp(ABC) Do SA  SB SC ABC tam giác nên H trùng với trọng tâm G tam giác ABC b) Kẻ AC1 SC (P) mp(ABC1) Vì SAC tam giác cân, mà AC1 SC nên C1 nằm S C 90o hay a2  2b2 chØ ASC S ABC1  a2 3b2  a2 4b 20 b) i)  iii) : AB2  CD2  AC2  BD2 2   2    AB  ( AD  AC)2  AC  ( AD  AB)2    AD CB  T−¬ng tù ta cã ®pcm c) Chøng minh ba ®−êng cao tứ diện đôi cắt không nằm mặt phẳng 21 a), b), c), f) : Sai d), e), g) : §óng 22 Sư dơng AC'  A'C2  BD'  B'D2  4( a2  b2  c ) ®Ĩ ®i ®Õn AC'  A'C  BD'  B'D 23 a) Chøng minh AC'  BD vµ AC'  BA' b) C¹nh cđa thiÕt diƯn b»ng DiƯn tÝch thiÕt diƯn b»ng a 2 3 a 24 Gäi O giao điểm AC BD Kẻ OO1  SC th× SC  mp(BO1D) H·y  chøng minh BO D > 90o quy toán o xác định x để BO D 120 Đáp số : x a 25 Gọi I trung điểm BC Kẻ IJ CD thiết diện tam giác vuông AIJ S AIJ  a2 12 129 b) d(EF ; SK) d(H ; (SAD)) HJ (HJ đờng cao tam giác vuông SHI với I 26 a) Hình hộp chữ nhật b) Hình hộp thoi c) Hình lập phơng 27 a) AB trung điểm AD) vµ HJ  2(a2  x ), (a > x > 0) ; 35 a) Gäi I lµ trung ®iĨm cđa AB, J lµ trung ®iĨm cđa CD Sư dụng tính chất : Trong tam giác cân đờng trung tuyến vẽ từ đỉnh đờng cao tam gi¸c 2(a2  x ) IJ  b) x  a 28 b) Bằng cách xét mp(P) qua A cho B, C n»m vỊ cïng mét phÝa ®èi víi (P), sau ®ã gäi D lµ giao ®iĨm cđa (P) víi ®−êng thẳng BC sử dụng kết câu a) ®Ĩ ®i ®Õn ®iỊu ph¶i chøng minh 29 Gäi I J lần lợt trung điểm AB, CD IJ AB, IJ CD Khi IJ  4a2  (c2  c '2 ) víi 4a2 > c2  c'2 a b) Kẻ đờng cao HK tam giác vuông AHA' HK đờng vuông góc chung 30 a) AH a AA' B'C' Tính đợc HK a 3 31 CD2 , b) Tõ AC  AD2  AJ  BC  BD2  BJ  CD2 suy AC2  AD2  BC  BD2 HÖ thøc CB  CA2  DB DA2 đợc suy tơng tự nh từ đến điều phải chứng minh Ôn tËp ch−¬ng III a) AC  a , BC a, AB a nên tam giác ABC vuông C b) a a) 2a2  xy  2a(x  y) b) ay  x(a  x) 32 a) XÐt DACD' lµ tø diƯn cã DA, DC, DD' đôi vuông góc ; từ tính đợc a 10 b) Chứng minh AC' CD' Đờng vuông góc chung AC' CD' IJ, I trung điểm CD' J chân đờng vuông góc a kẻ từ I xuống AC' Ta tính đợc IJ  ,   ACA'  ,   AHA'  (AA'  (P),   ABA' AH  BC) dùng công thức d ( D ; ( ACD' ))  AH SHAB  SHBC  33 Chứng minh A'ABD tứ diện suy khoảng cách phải tính 34 a) SH 130 a 21 a a SHCA   AB  AC a2 b2 , a2 b2  b2 c  c a2 b2 c , a b b c c a 2 2 2 c a2 a2 b2  b2 c  c a2 a) Thiết diện tam giác vuông CHK, ®ã CH  AB, HK  AB' b) SHCK  a3 b 2(a2  b2 ) SKMN  SPKN  OM  OP (O  MP  KN) a)  d)  Sư dơng tÝnh chÊt hai tam giác tổng góc tam giác 180o Trải mặt ABC, ACD, ADB lên mp(BCD) khẳng định hình khai triển tứ diện ABCD mp(BCD) tam giác nhận BC, CD, DB ba đờng trung bình tam giác từ suy điều phải chứng minh Theo kết 7, hình khai triển tứ diện ABCD mặt phẳng (BCD) tam giác A1A2A3 BC, CD, DB ba đờng trung bình tam giác Chứng minh tứ diện AA1A2A3 có AA1, AA2, AA3 đôi vuông góc, từ suy điều phải chứng minh d(M ; ()) d(P ; ()) (() mặt phẳng qua K, song song với AB SC), d(M ; ())  d(S ; ()), d(P ; ())  d(A ; ()), d(S ; ())  d(A ; ()), nên suy kết luận toán a) SH  a b) d(AB ; (SCD))  d(E ; (SCD))  a 42 (E trung điểm AB) c) d(AB ; SC)  d(AB ; (SCD))  a 42 d) Thiết diện AB1C1D1 C1 trung điểm SC, B1D1 // BD, B1D1 Các câu hỏi trắc nghiệm chơng III qua giao điểm AC1 SH (C) ; (C) ; (D) ; (C) ; (D) ; (D) ; (D) ; (B) ; (B) ; 10 (B) ; 11 (A) ; 12 (A) a2 e) Kẻ HI // SC, lấy điểm J cho BHIJ hình bình hành Khi BJ (P) nên BAJ Ôn tập cuối năm 1 b) Phép vị tự tâm G, tỉ số k (G trọng tâm tam giác ABC) a) Phép đối xứng tâm ĐI biến : thẳng MM' thành đờng thẳng PO, thẳng NN' thành đờng thẳng QO, thẳng PP' thành đờng thẳng MO, thẳng QQ' thành đờng thẳng NO đờng đờng đờng đờng S AB1C1D1 góc AB (P) sin BAJ a) m  2a ; m  b) Chøng tá B'H  5a2 , 25a2 , C'H  4 a) PhÐp quay t©m A, gãc quay   90o B'C'  5a2 , từ B'C'H tam giác vuông B' a) Sử dụng định lí Ta-lét đảo Từ hệ thøc S AIC  S AIC' cos  (víi I giao b) Trờng hợp M không trung điểm SC thiết diện MKPN, P  QN  AB, Q  MK  AC Do điểm B'C' BC, góc mp(ABC) vµ mp(AB'C')), ta cã cos   30 10 131 Bảng thuật ngữ A ảnh điểm ¶nh cđa mét h×nh (4, 69) (5, 69) B BiĨu thức toạ độ Bông tuyết Vôn Kốc (6, 11, 16) (38) C Các tính chất thừa nhận (42) Đ Định lí ba đờng vuông góc Định lí Ta-lét đảo Định lí Ta-lét không gian Định lí giao tuyến ba mặt phẳng Đồng phẳng điểm Đồng phẳng vectơ Đồng phẳng hai đờng thẳng Đờng thẳng song song với mặt phẳng Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Đờng Vôn Kốc Đờng vuông góc chung hai đờng thẳng chéo (100) (64) (63) (53) (43) (87) (52) (56) (96) (37) (115) G Giao tuyến hai mặt phẳng Góc đờng thẳng mặt phẳng Góc hai đờng thẳng Góc hai mặt phẳng Góc quay (43) (101) (92) (104) (14) H Hai đờng thẳng chéo Hai đờng thẳng song song Hai đờng thẳng vuông góc Hai mặt phẳng cắt Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng vuông góc H×nh b»ng H×nh biĨu diƠn H×nh chiÕu song song Hình chóp Hình chóp cụt Hình chóp cụt Hình chóp Hình đồng dạng Hình học frac-tan Hình học không gian Hình học Lô-ba-sép-xki Hình hộp Hình hộp chữ nhật Hình hộp đứng Hình hộp thoi Hình khai triển tứ diện Hình lăng trụ 132 (52) (52) (93) (43) (60) (106) (20) (41, 71) (69) (46) (66) (110) (109) (31) (37) (40) (82) (65) (108) (108) (94) (121) (64) Hình lăng trụ Hình lăng trụ đứng Hình lập phơng Hình tứ diện (108) (108) (109) (49) K Khoảng cách đờng thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai đờng thẳng chéo Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (113) (115) (114) (113) (113) L Lát mặt phẳng (21) M Mặt phẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng (40) (98) P Phép biến hình PhÐp chiÕu song song PhÐp chiÕu vu«ng gãc PhÐp dêi hình Phép đối xứng tâm Phép đối xứng trục Phép đồng dạng Phép đồng Phép hợp thành Phép quay Phép tịnh tiến Phép vị tự Phơng pháp tiên đề (4) (69) (100) (8) (15) (10) (30) (5) (30) (14) (4, 5) (24) (81) Q Quy tắc hình hộp (84) T Tâm hình hộp Tâm đối xứng Tâm quay Tâm vị tự hai đờng tròn Tâm vị tự ngoài, tâm vị tự Tập Căng-to Thảm Xéc-pin-xki Thiết diƯn Träng t©m cđa tø diƯn Träng tun Trơc cđa tam giác Trục đối xứng Tứ diện Tứ diện gần Tứ diện trực tâm (66) (16) (14) (28) (28) (37) (37) (48) (54) (121) (119) (10, 11) (49) (121) (103) V Vectơ tịnh tiến Vectơ không gian (5) (84) Mơc lơc Trang Ch−¬ng I - phÐp dêi hình phép đồng dạng mặt phẳng Đ1 Mở đầu phép biến hình Đ2 Phép tịnh tiến phép dời hình Đ3 Phép đối xứng trục 10 Đ4 Phép quay phép đối xứng tâm 14 Đ5 Hai hình 19 Đ6 Phép vị tự 24 Đ7 Phép đồng dạng 30 Ôn tập chơng I 32 Bi đọc thêm : Hình tự đồng dạng Hình học frac-tan (fractal) 37 Chơng II - đờng thẳng mặt phẳng không gian Quan hệ song song 39 Đ1 Đại cơng đờng thẳng mặt phẳng 40 Đ2 Hai đờng thẳng song song 51 Đ3 Đờng thẳng song song với mặt phẳng 56 Đ4 Hai mặt phẳng song song 60 Đ5 Phép chiếu song song 69 Ôn tập chơng II 75 Bi đọc thêm : Phơng pháp tiên đề hình học 81 Chơng III - vectơ không gian quan hệ vuông góc 83 Đ1 Vectơ không gian Sự đồng phẳng vectơ 84 Đ2 Hai đờng thẳng vuông góc 92 Đ3 Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng 96 Đ4 Hai mặt phẳng vuông góc 104 Đ5 Khoảng cách 112 Ôn tập chơng III 118 Bài tập ôn cuối năm 124 Hớng dẫn giải - đáp số 127 Bảng thuật ngữ 132 133 ... giáo dục hà nội Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục Đào tạo hình học 11 - Nâng cao Mà số : NH102T0 In cuèn (Q§ in sè : …….), khổ 17 24 cm Đơn vị in : địa Cơ sở in... Chøng minh r»ng H ®èi xøng víi H' qua đờng thẳng BC 13 11 a) Chỉ trục đối xứng (nếu có) hình sau (mỗi hình từ bao gồm số chữ cái) : M¢M, hoc, nhanh, he, she, coach, is, it, sos, cheo b) Chứng... thẳng d gọi trục đối xứng hình Một hình trục đối xøng, cịng cã thĨ cã mét hay nhiỊu trơc ®èi xứng 11 ?4 Trong hình sau đây, hình có trục đối xứng có trục ? (Mỗi chữ hình) a b c d đ e g h i k l m