HèNH HOẽC NA N G CAO 12 (Tái lần thứ mời hai) Nhà xuất giáo dục Việt Nam HÃy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng cho em học sinh lớp sau ! điều học sinh cần ý sử dụng sách giáo khoa Khi nghe thầy cô giáo giảng bài, luôn có SGK trớc mặt Tuy nhiên không viết, vẽ thêm vào SGK để năm sau bạn khác dùng đợc Về trình bày, sách giáo khoa có hai mảng : mảng mảng phụ Mảng gồm định nghĩa, định lí, tính chất, thờng đợc đóng khung có đờng viền mép trái Mảng đợc in lùi vào Khi gặp Câu hỏi ? , cần phải suy nghĩ, trả lời nhanh Khi gặp Hoạt động , phải dùng bút giấy nháp để thực yêu cầu mà hoạt động đòi hỏi Bản quyền thuộc Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục Đào tạo 012020/CXBIPH/761869/GD Mà số : NH202T0 khái niệm khối đa diện Khối đa diện Khối chóp, khối lăng trụ Các em hÃy quan sát hình sau (hình 1a, 1b, 1c, 1d, 1e) Hình Mỗi hình có hai đặc điểm : a) Gồm số hữu hạn đa giác phẳng (ở "đa giác phẳng" đợc hiểu bao gồm điểm nó) ; b) Phân chia không gian thành hai phần : phần bên phần bên hình (Nếu ta chế tạo hình chất nhựa suốt ta bơm vào phần bên chất khí có màu, phần bên đà đợc "tô màu", phần bên không) H hình có hai đặc điểm nói Khi đó, điểm thuộc phần bên đợc gọi điểm nằm H Giả sử Hình H với điểm nằm H đợc gọi khối đa diện giới hạn hình H Mỗi đa giác hình H đợc gọi mặt khối đa diện Các đỉnh, cạnh mặt gọi đỉnh, cạnh khối đa diện Các điểm nằm hình H gọi ®iĨm cđa khèi ®a diƯn Khèi ®a diƯn ®−ỵc gọi khối chóp, khối chóp cụt đợc giới hạn hình chóp, hình chóp cụt (h.1a, 1b) Nh− vËy, ta cã thĨ nãi vỊ khèi chãp n-giác, khối chóp cụt n-giác, khối chóp đều, khối tứ diện, Tơng tự, khối đa diện đợc gọi khối lăng trụ đợc giới hạn hình lăng trụ (h.1c) Ta nói khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phơng, Ngoài khối kể trên, gặp khối đa diện phức tạp nh hình 1d, 1e ?1 Hình hộp chữ nhật H có mặt hình chữ nhật (h.2a) Nếu ta bỏ hình chữ nhật ABCD ta đợc hình H ' gồm hình chữ nhật (h.2b) Tại nói có khối đa diện giới hạn hình H ' ? a) b) Hình Từ ta cần ý : Khối đa diện đợc giới hạn hình gồm đa giác phẳng, nhng hình gồm đa giác phẳng giới hạn khối đa diện Từ trở đi, ta xét khối đa diện giới hạn hình hữu hạn đa giác phẳng thoả mÃn hai điều kiện : H gồm số 1) Hai đa giác điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung 2) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Hình H gồm đa giác nh đợc gọi hình đa diện, đơn giản đa diện HÃy kiểm tra hình 1a, 1b, 1c, 1d, 1e thoả mÃn điều kiện 1) 2) Hình 2b không thoả mÃn điều kiện hai điều kiện ? Phân chia v lắp ghép khối đa diện Ví dụ Cho khèi chãp tø gi¸c S.ABCD (h.3) Ta h·y xÐt hai khối chóp tam giác S.ABC S.ACD Dễ thấy : 1) Hai khối chóp điểm chung, nghĩa điểm khối chóp điểm khối chóp 2) Hợp hai khối chóp S.ABC S.ACD khối chóp S.ABCD Hình Trong trờng hợp ta nói : Khối đa diện S.ABCD đợc phân chia thành hai khối đa diện S.ABC S.ACD Ta nói : Hai khối đa diện S.ABC S.ACD đợc ghép lại thành khối đa diện S.ABCD ?2 Có thể phân chia khối chóp thành khối tứ diện hay không ? (h.4) 1) Cắt khối lăng trụ ABC.A'B'C' mặt phẳng (A'BC) Khi khối lăng trụ đợc phân chia thành khối đa diện ? 2) HÃy phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện Một cách tổng quát, dễ thấy khối chóp khối lăng trụ phân chia đợc thành khối tứ diện (bằng nhiều cách khác nhau) Thực điều ®óng cho khèi ®a diƯn bÊt k× H×nh VÝ dụ Hình cho ta thấy hai miếng gỗ (xem nh hai khối đa diện) đợc chế tạo cho chóng cã thĨ ghÐp võa khÝt víi ®Ĩ tạo thành khối lập phơng Để tháo rời hai miếng gỗ hình lập phơng, cần phải cố định miếng tịnh tiến miếng theo vectơ có phơng hoàn toàn xác định Hình Vui chút ! Khối lập phơng hình đợc tạo thành từ hai miếng gỗ đợc ghép khít vào nhau, miếng miếng dới (Ta không nhìn thấy hai mặt bên phía sau, nhng chúng hoàn toàn giống nh hai mặt trông thấy) Em hÃy cách chế tạo khối lập phơng nh Hình Câu hỏi tập Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác số mặt phải số chẵn HÃy khối đa diện nh với số mặt 4, 6, 8, 10 Chøng minh r»ng nÕu khèi ®a diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác đỉnh đỉnh chung ba cạnh khối tứ diện HÃy phân chia khối hộp thành năm khối tứ diện HÃy phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện hai mặt phẳng phép đối xứng qua mặt phẳng v khối đa diện Phép biến hình không gian đợc định nghĩa tơng tự nh mặt phẳng : Phép biến hình F không gian quy tắc để với điểm M (trong không gian), xác định đợc điểm M' gọi ảnh điểm M qua phép biến hình F Ta nói F biến điểm M thành điểm M' kí hiệu M' = F(M) Qua phép biến hình F, hình H đợc biến thành hình H ' gồm tất ảnh điểm thuộc hình H Sau ta xét phép đối xứng qua mặt phẳng, phép biến hình thờng gặp Phép đối xứng qua mặt phẳng Định nghĩa (h.7) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M' cho (P) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM' Hình Định lí (h.8) Nếu phép đối xứng qua mp(P) biến hai điểm M, N lần lợt thành hai điểm M', N' th× M'N' = MN (Nh− vËy cã thĨ nói : phép đối xứng qua mặt phẳng phép biến hình bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì) Hình (để chứng minh định lí 1) Nếu M, N nằm (P) M' trùng M N' trùng N nên M'N' = MN Nếu có hai điểm M, N không nằm (P) có mp(Q) qua điểm M, N, M', N' H·y dïng kiÕn thøc h×nh häc phẳng để chứng minh M'N' = MN Khi đứng trớc gơng phẳng, ngời nhìn thấy hình phía sau gơng (h.9) Phép đối xứng qua mặt phẳng gơng đà biến ngời thành hình họ Hình ảnh chụp em bé trớc gơng Hình 10 ảnh Tháp Rùa soi bóng mặt nớc Hồ Gơm (Hà Nội) Mặt hồ xem nh phần mặt phẳng, phép đối xứng qua mặt phẳng biến Tháp Rùa thành bóng Hình 10 ảnh chụp Tháp Rùa bóng Câu Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2 ; ; 0), A'(6 ; ; 0), B(0 ; ; 0), B'(0 ; ; 0), C(0 ; ; 4), C'(0 ; ; 3) a) Viết phơng trình mặt cầu qua bốn điểm A, A', B, C Chøng minh r»ng B' vµ C' cịng nằm mặt cầu b) Chứng minh trực tâm H tam giác ABC, trọng tâm G tam giác A'B'C' nằm đờng thẳng qua O Viết phơng trình đờng thẳng c) Tính khoảng cách từ điểm O tới giao tuyến mp(ABC') mp(A'B'C) Đề III Câu Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi N điểm nằm cạnh AB () mặt phẳng qua ba điểm D, N, B' a) Mặt phẳng () cắt hình hộp đà cho theo thiết diện hình ? b) Chứng minh mặt phẳng () phân chia khối hộp đà cho thành hai khối đa diện H1 H c) TÝnh tØ sè thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn H vµ thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn AA'BD Câu Trong không gian toạ độ Oxyz, cho ®iĨm A(1 ; 3 ; 1) vµ B(2 ; ; 3) a) Chứng tỏ hai điểm A B cách trục Ox b) Tìm điểm C nằm trục Oz cho tam giác ABC vuông C c) Viết phơng trình hình chiếu đờng thẳng AB mp(Oyz) d) Viết phơng trình mặt cầu qua ba điểm O, A, B có tâm nằm mp(Oxy) 130 Hớng dẫn giải đáp số Chơng I Gọi số cạnh số mặt khối đa diện lần lợt C M HÃy chứng minh 3M = 2C Gọi số cạnh số đỉnh khối đa diện lần lợt C Đ HÃy chứng minh 3Đ = 2C Gọi A đỉnh khối đa diện A đỉnh chung cho ba cạnh AB, AC, AD Mặt chứa cạnh AB, AC phải tam giác ABC Tơng tự tam giác ACD, ADB mặt khối đa diện, suy mặt thứ t tam giác BCD Từ suy kết toán Khối hộp ABCD.A'B'C'D' đợc phân chia thành năm khối tø diÖn : ABDA', CBDC', B'A'C'B, D'A'C'D, BDA'C' LÊy điểm M nằm A B ; N nằm C D Bằng hai mặt phẳng (MCD) (NAB), khối tứ diện ABCD đợc phân chia thành bốn khèi tø diƯn a) a ( P) hc a ( P) b) a // (P) a) Lấy liên tiếp hai phép đối xứng qua mặt phẳng trung trực cạnh AA' mặt phẳng (BDD'B') sử dụng phép đối xứng qua tâm hình lập phơng b) Lấy phép đối xứng qua mặt phẳng (ADC'B') Nếu phép tịnh tiến theo vectơ v biến hai điểm M, N lần lợt thành M ', N ' th× MM ' NN ' v , ®ã MN M ' N ' , suy MN M ' N ' NÕu phÐp ®èi xøng qua ®−êng thẳng d biến hai điểm M, N lần lợt thành M ', N ' th× MN M ' N ' HK (H vµ K lần lợt trung điểm MM' NN') MN M ' N ' N ' N MM ' Tõ ®ã h·y chøng minh MN M ' N ' MN M ' N ' NÕu phÐp ®èi xøng qua điểm O biến hai điểm M, N lần lợt thành M ', N ' th× OM OM ' vµ ON ON ' nªn MN M ' N ', suy MN M ' N ' c) a cắt (P) nhng không vuông góc với (P) d) Không có trờng hợp a) Các mặt phẳng đối xứng hình chóp tứ giác S.ABCD : (SAC), (SBD), mặt phẳng trung trực cạnh AB BC b) Gọi M, N, O lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CA S giao điểm cạnh AA', BB', CC' hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' mặt phẳng đối xứng hình chãp cơt lµ : (SAN), (SBO), (SCM) c) Cã ba mặt phẳng đối xứng ba mặt phẳng trung trực ba cạnh xuất phát từ đỉnh hình hộp chữ nhật 10 a) Lấy hai điểm A, B lần lợt nằm (P) (Q) cho AB ( P) Khi đó, thực liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) (Q) kết phép tịnh tiến theo vectơ AB b) Là phép đối xứng qua đờng thẳng giao tuyến (P) (Q) 11 Dùng định nghĩa, tính chất phép vị tự tính chất hai mặt phẳng song song 12 a) Dùng phép vị tự có tâm trọng tâm tứ diện đà cho tỉ số vị tự k 131 b) Gäi M, N, P, Q, R, S lần lợt trung điểm cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC cđa khèi tø diƯn H·y chøng minh tam gi¸c MPR, MRQ, MQS, MSP, NPR, NRQ, NQS, NSP tam giác 13 Giả sử SABCDS' khối tám mặt HÃy dùng tính chất : "Nếu điểm cách hai điểm cho trớc chúng nằm mặt phẳng trung trực đoạn thẳng nối hai điểm đó" tính chất "Nếu hình thoi nội tiếp đợc hình tròn hình vuông" 14 Dùng định nghĩa tính chất khối tám mặt khối lập phơng 15 a) Không thay đổi b) Có thể thay đổi c) Không thay đổi 16 Lấy M điểm nằm C D cho CM = kMD Khi khối tứ diện ABCD đợc phân chia thành hai khối tứ diện ABCM ABMD thoả mÃn điều kiện toán 17 VABCD A'B'C'D' 18 Vlăng trụ a 2 na cot n b) Vlăng trụ b3 19 a) AC' = 3b 20 a) Vlăng trụ a3 b) Chứng minh BC AA' từ suy điều ph¶i chøng minh c) Sxq a2 ( 13 2) 21 Tổng khoảng cách từ M đến bốn mặt tứ diện 132 a 22 TØ sè thĨ tÝch cđa hai phần 23 Gọi H H' lần lợt hình chiếu A A' mặt phẳng (SBC) HÃy chứng minh : S, H, H' thẳng hàng sử dụng đẳng thức VS ABC VS A'B'C' VA.SBC VA' SB'C' để suy công thức cần tìm 24 Gọi B', D' lần lợt giao điểm mặt phẳng (P) với cạnh SB SD Khi ®ã AM, B'D', SO (O = AC BD) đồng quy trọng tâm G tam giác SAC B'D' // BD Từ sử dụng kết 23 để tìm đáp số toán 25 H·y chøng minh phÐp vÞ tù tØ sè k biến đờng cao AH hình chóp A.BCD thành đờng cao A'H' hình chóp A'.B'C'D' A'H' = k AH, SB'C'D' = k2SBCD Ôn tập chơng I VC AB'D' V , VC B'D'DB V 4 Gäi M, N, I, J, K, E lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A', A'A cđa khèi hép DƠ thÊy MN, EI, KJ đôi song song chúng lần lợt qua ba điểm thẳng hàng M, O, J (O giao điểm đờng chéo hình hộp) Tõ ®ã suy M, N, I, J, K, E nằm mặt phẳng () qua O Khi đó, () chia khối hộp thành hai phần ảnh qua phép đối xứng tâm O a) ADEF, ACEF, BDEF, BCEF b) Sư dơng tÝnh chÊt : MỈt phẳng qua cạnh trung điểm cạnh đối diƯn cđa mét tø diƯn ph©n chia khèi tø diƯn thµnh hai khèi tø diƯn cã thĨ tÝch b»ng c) Nếu ABCD tứ diện có hai mặt phẳng đối xứng (ABF), (CDE) phÐp ®èi xøng qua trơc EF biÕn tø diƯn ADEF thµnh tø diƯn BCEF a) VABCA B C VA ABC VA BCC B 1 1 1 b) Khi A, B, C không thẳng hàng tập hợp cần tìm trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi A, B, C thẳng hàng tập hợp phải tìm c) Trục đờng tròn đà cho (a b c )S d) Cã Cả a) b) VA B C A'B'C' [(h a) (h b) (h c)].S 1 b) VABCA B C VA B C A'B'C' 1 a) Mặt phẳng trung trực AB 1 2(a b c) 3h Đờng tròn cố định phải tìm nằm mp(P) qua điểm A vuông góc với d I, tâm đờng tròn I, bán kính đờng tròn IA a) Đúng Gọi V1 thể tích phần chứa cạnh AA' V2 thể tích phần lại Khi : V1 V2 a) Tập hợp phải tìm trục đờng tròn néi tiÕp tam gi¸c ABC a) V a3 a) VS ABC b) DÔ thÊy AB' (SBC) AB' SC, mặt khác AC' SC SC (AB'C') b) V a) S a3 c) VS AB ' C ' 36 a2 3h2 162 h3 5a3 10 24 (a b2 c ) S (a2 b2 c ) Câu hỏi trắc nghiệm chơng I (C), (D), (D), (B), (D), (C), (C), (D), 10 (D), 11 12 (C), 13 (A), 14 (D), 15 (C), 16 17 (B), 18 (D), 19 (D), 20 (B), 21 22 (A), 23 (C), 24 (A), 25 (B), 26 27 (B), 28 (B), 29 (C), 30 (A), 31 32 (D) b) Không (D), (B), (C), (D), (C), (C), Chơng II Tâm mặt cầu trung điểm AD Bán kính mặt cầu R a b2 c 10 b) Hình lập phơng (có cạnh 2R , R bán kính mặt cầu đà cho) 11 Mọi mặt phẳng qua trục hình tròn xoay mặt phẳng đối xứng 12 a) Hình trụ b) Khối trụ 13 Là mặt trụ bán kính R, có trục trục đờng tròn 14 Gọi đờng thẳng qua tâm O mặt cầu song song với đờng thẳng cố định Các tiếp tuyến nằm mặt trụ trục , bán kính bán kính mặt cầu 133 15 a) Sxq 4R , Stp R b) V 2R3 b) R 37 c) V ' R3 16 a) Sxq 3R , S ( 1) R b) V 3R3 c) d ( AB, ) b) Khèi nãn 18 Gọi mặt cầu S(I ; R), M tiếp điểm MAI không đổi, suy đờng thẳng qua A tiếp xúc với mặt cầu (S) nằm mặt nón đỉnh A, trục đờng thẳng AI, góc đỉnh Sxq h R(2 R h) 21 V rh r r h2 a3 1 a) V1 b2 c ; V2 c b ; 3 V3 V b2 c b2 c 14 a , Stp = 14a2 (D), (B), (A), (D), (B), (B), (D), (C), (D), 10 (D), 11 (C), 12 (C), 13 (A), 14 (D), 15 (A), 16 (A), 17 (D), 18 (A), 19 (A), 20 (A), 21 (A), 22 (A), 23 (A), 24 (D), 25 (B), 26 (B) b2 c b2 c Ôn tập Chơng II Hai điểm A A', A' điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) Tâm mặt cầu điểm đối xứng với S qua trung điểm H AC, bán kính mặt cầu R = a 134 a Câu hỏi trắc nghiệm chơng II r h2 2h c) r h(2 R h) 20 b) R a) R b) R R , trục hình trơ 17 a) H×nh nãn 19 b) R a) Tâm I mặt cầu phải tìm giao trục hai đờng tròn đà cho, bán kính mặt cầu IB Chơng III a) u (1; 2;0) ; v (3;5; 5) ; w (2;3; 1) b) cos v, i ; 59 cos v, j ; 59 5 cos v, k 59 c) u v 7 ; u w 4 ; v w 26 b) AB OC AB.OC sin5t =sin 3t 3 Gi¶ sư u ( x ; y ; z ) th× cos2 u, i cos2 u, j cos2 u, k x x y2 z2 y x y2 z2 , x y2 z2 Tõ ®ã suy ®pcm a) cos u, v 8 13 b) cos u, v 65 k = 40 a) Gọi M1 hình chiếu M mp(Oxy) M1 = (a ; b ; 0) Gọi H1 hình chiếu M trục Ox th× H1 = (a ; ; 0) b) d ( M,(Oxy)) c d ( M, Ox ) b2 c c) Gäi M '1 điểm đối xứng với M qua mp(Oxy) M '1 (a ; b ;c) x kx2 y1 ky2 z1 kz2 M ; ; víi k 1 k 1 k 1 k 2 D (1 ; ; 1), AC, BD a) M (1 ; ; 0) b) Không đồng phẳng c) Đồng phẳng 2 k, l a) Đồng phẳng 2 z , t 24 k t l 10 b) Chu vi b»ng S ABC c) 2 3 , 30 10 15 d) A 90o , cos B , cos C 5 11 a) AB, AC AD ®pcm b) AC BD, cos(AB, CD)= VABCD 7 , cos(BC, AD)= 14 14 2 , hA 3 12 Chän hƯ trơc Oxyz cã gèc O trïng A, Ox lµ tia AC, Oz lµ tia AS a) MN b a2 16h2 b) MN SB 4h2 = 2a2 b2 13 a) T©m I (4 ; 1 ; 0), R = 5 b) T©m I 1 ; ; , R = 2 1 c) T©m I ; ; , R = 3 135 14 a) x2 + (y 7)2 + (z 5)2 = 26 b) ViÕt phơng trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn b) (x2)2 + y2 + z2 = c) (x1)2 + (y 2)2 + (z 3)2 = 15 a) 2x + y + z 3 = b) x 4y + = c) x 5y + z + = d) y + z 2 = e) z c = ; x a = ; y b = g) 6x + 3y + 2z = h) 2x + y + z 6 = 16 a) C¾t b) C¾t c) Song song d) C¾t e) Trïng n 1 17 a) m 4 n b) m 18 a) Kh«ng cã b) m =1 c) m d) m = 19 (2 3)x ( 3)y (4 3)z 5 b) TËp hợp điểm hai mặt phẳng : x 16 y 20z 0, 32 x y 8z 13 c) Tập hợp điểm mặt phẳng : x + 2y + z + = A2 B C 21 a) M = (0 ; ; 3) b) M = (0 ; ; 2) 136 x x0 t y y0 z z Kh«ng có phơng trình tắc x t c) y 3t ; z 1 5t x y z 1 ; 1 x 2 d) y z 3t x 2t e) y 5t z (2 3)x ( 3)y (4 3)z 5 0, D D' x 3y 12 z 78 23 x 3y 12 z 26 24 b) Đờng thẳng song song với trục Ox : Không có phơng trình tắc 19 a) Tập hợp điểm hai mặt phẳng : 20 22 a) Chøng minh cosA > 0, cosB > 0, cosC > Không có phơng trình t¾c x t g) y t z 1 5t x 2t 25 a) y 3t z 2t x 2 2t b) y t z 3t x y z 1 1 1 ; ; ; x y z 1 3 x y z 1 26 Phơng trình hình chiếu vuông góc d mặt phẳng toạ độ (Oxy) x 2t y 2 3t z 27 a) u(1 ; ; 2), M0 ; ; 3 34 a) d(M, ) = b) 2x + y 3z + = x 4t c) y 15 5t z t 10 2870 14 b) d(N, ) = 35 a) Chó ý d // d' nên khoảng cách h d d' khoảng cách từ điểm thuộc d tới d' 28 a) d, d' chÐo b) d // d' h = 29 Đờng thẳng cần tìm có phơng tr×nh b) x 6t y 1 t z 7t 110 55 Ôn tập Chơng III a) AB, AC AD ®pcm x 30 y 2 4t z t 31 a) u1 , u2 M2 M1 168 b) VABCD c) 2x + y + z 14 = b) 2x + y + 4z = d) ( x 1)2 ( y 6)2 ( z 2)2 c) 21 d) x y 1 z 1 32 a) Gọi góc d () sin 8 8 b) I ; ; 3 3 x 2t c) y t z 3t 33 a) A(1 ; ; 3) b) x 1 y z 4 ; 20 tiÕp ®iĨm H ; ; 3 3 57 15 23 10 a) A ' ; ; 7 7 b) sin 238 c) (Q) : 4x y 2z = 23 10 d) I ; ; 7 7 23 x 4t : y t 10 z 2t 137 a) u u ' , u , u ' M0 M0' x t a) d' : y t z t b) (P) : x y z + = 0, (Q) : x + z = 13 x t b) d1 : y t 10 z 2t c) x y z 37 24 35 a) (P) : x 9y + 5z + 20 = b) (Q) : x 2y 5z + = x t 29 c) d : y t 11 11 41 z t 55 55 d) d(A, d2) = 30 11 a) d d' 14 b) h 42 c) x d) y z t a) (P) : 2x 16y 13z + 31 = 313 2496 c) x2 + y2 + z2 + 138 31 31 31 x y z = 16 13 x y5 z4 1 a) Gãc (P) (Q) 60o x t b) d : y t z 3 t c) (R) : x + y z + = a) I(1 ; ; 3), R = b) So s¸nh k víi 14 42 c) 6x + 3y + 2z 12 = d) x 2y + 3z + = x 3y 12 z 26 13 14 e) x 3y 12 z 26 13 14 10 a) x 1 y 1 z 4 b) V c) 1 1 m n p b) Vmin 27 m = n = p = Câu hỏi trắc nghiệm chơng III (C), (D), (C), (A), (D), (B), (A), (A), 10 (C), 11 12 (A), 13 (C), 14 (A), 15 (A), 16 17 (D), 18 (A), 19 (A), 20 (C), 21 22 (B), 23 (C), 24 (D), 25 (B), 26 27 (C), 28 (D), 29 (D), 30 (A), 31 32 (D), 33 (B), 34 (A), 35 (D), 36 37 (D), 38 (A), 39 (B), 40 (C), 41 42 (B) (A), (C), (C), (B), (D), (A), (A), (C), Ôn tập cuối năm I - Bài tập tự luận Phép tịnh tiến theo vectơ AA ' biến khối đa diện ABCPQR thành khối đa diện A'B'C'P'Q'R' nên hai khối tích Từ ®ã suy x 2t d1 : y 1 t , d2 : z x 2t d3 : y z 3t VABC.A'B'C' = VPQR.P'Q'R' = SPQR.AA' Gäi V' thể tích khối tứ diện cần tìm V th× V ' 27 V VACB ' D ' Gäi V vµ V' lần lợt thể tích khối tứ diện tám mặt đà cho V Khi ®ã V ' 2 V R3 a) V = a3 b) V 3a3 12 a) Chøng minh AB, AC AD b) x2 + y2 + z2 2x 4y + 2z 19 = 0, tâm I(1 ; ;1), bán kÝnh R = c) 3x 5y + 3z + 13 = 0, d(D, (ABC)) = 18 43 10 , d(, Ox) = , 10 13 13 d(, Oy) = x 13 4t d) y t 13 z 3t 13 x e) y z t 3 10 a) Quü tÝch mặt phẳng có phơng trình : 2x + 2y 2z1 = e) Gäi r1, r2, r3 lÇn lợt bán kính đờng tròn giao tuyến mặt cầu (S) mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Oxz) Khi ®ã r2 , c) d(, Oz) = b) Quỹ tích mặt cầu có phơng trình : d)4x 3y + 5z + 15 25 = r1 , x y 1 t z 3t r3 21 a) Gọi d1, d2, d3 lần lợt hình chiếu mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) Khi 2 3 1 3 x y z 2 2 2 c) Quü tÝch lµ hai mặt phẳng : x + 3y + 14 z = 11 a) Đờng thẳng qua điểm cố định (1 ; ; 5) Góc trục Oz 45o b) Quỹ tích đờng tròn tâm I(1 ; ; 0), bán kính R = nằm mp(Oxy) 139 12 a) d(A, (A'BD)) = abc a b b c c a 2 b) d(A', C'D) = c) d(BC', CD') = a2 b2 b2 c c a2 2 a) R 2 a2 c §Ị II abc a2 b2 b2 c c a2 a 22 b) VD BCC ' B ' a) Phơng trình mặt cầu : II - Câu hỏi trắc nghiệm (C), (C), (D), (B), (A), (B), (A), (C), (A), 10 (B), 11 (A), 12 (C), 13 (B), 14 (D), 15 (A), 16 (B), 17 (D), 18 (D), 19 (A), 20 (A), 21 (D), 22 (D), 23 (B) x2 + y2 + z2 8x 7y 7z + 12 = b) Phơng trình đờng thẳng qua H, O, G : x y z c) d(O, ) = 18 , ®ã ( ABC ') ( A ' B ' C) §Ị III III - Một số đề kiểm tra a) Thiết diện hình bình hành Đề I b) Hai khối a3 a) V a b) R = c) Hai hình đối xứng với qua mp(SBD) nªn b»ng a) AB = BC = CA = H1 vµ H2 ®èi xøng víi qua O nªn b»ng c) VH 3VAA ' BD a) d(A, Ox) = d(B, Ox) = C1 = (0 ; ; 4), x + y + z = C2 = (0 ; ; 2) x c) y 3 t z t d) Phơng trình mặt cÇu : 125 x t c) y t z t d) Cã hai ®iĨm D : D1 = (4 ; ; 5), D2 = (0 ; 2 ; 1) 140 10 b) Cã hai điểm C : b) Phơng trình mặt phẳng (ABC) : V a3 16 53 18 4105 x y z 10 100 Bảng thuật ngữ Hình đa diện Hình nón 55 Hình tròn xoay 47 Hình trụ 49 Hoành độ 72 B Bán kính mặt cầu Bán kính mặt trụ 38 49 C Cạnh khối đa diện Cao độ 72 K D DiÖn DiÖn DiÖn DiÖn tÝch tÝch tÝch tÝch hình đa diện 43 mặt cầu 44 xung quanh cđa h×nh nãn xung quanh cđa h×nh trơ 56 50 Đ Đa diện xấp xỉ mặt cầu 44 Đáy hình nón 55 Đáy hình trụ 49 Đặc số Ơ-le 20 Đỉnh hình nón 55 Đỉnh khối đa diện Định lí Ơ-le 21 Đờng kính mặt cầu 38 Đờng sinh hình nón 55 §−êng sinh cđa mỈt nãn 54 §−êng sinh cđa mỈt trụ 49 Đờng tròn lớn mặt cầu 41 G Giao tuyến elip mặt trụ tròn xoay mặt phẳng 52 Giao tuyến parabol mặt nón tròn xoay mặt phẳng 57 Góc đỉnh mặt nón 54 H Hai hình 12 Hai hình đồng dạng 17 Hệ toạ độ không gian 70 Khối Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khèi Khối cầu 39 chóp đa diện đa diện ®Ịu 18 ®a diƯn ®Ịu lo¹i {n ; p} ®a diện lồi 18 hai mơi mặt 19 lăng trụ mời hai mặt 19 nón 56 tám mặt ®Ịu 11 trơ 50 18 M MỈt MỈt MỈt MỈt Mặt Mặt Mặt Mặt cầu 38 khối đa diện hypeboloit tròn xoay tầng nón 54 phẳng đối xứng hình tròn xoay 47 trụ 48 xuyến 48 48 10 P Ph©n PhÐp PhÐp PhÐp PhÐp PhÐp Phép Phép chia lắp ghép khối đa diện biến hình không gian dời hình không gian 11 đối xứng qua mặt phẳng đối xứng tâm 12 đối xứng trục 12 đồng 12 tịnh tiến 12 141 Phép vị tự Phơng trình Phơng trình Phơng trình Phơng trình Phơng trình 16 tắc đờng thẳng 94 mặt cầu 80 mặt phẳng 84 mặt phẳng theo đoạn chắn 86 tham số đờng thẳng 93 T Thể tích khối cầu 43 Thể tÝch cđa khèi chãp 25 ThĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn 23 ThĨ tÝch cđa khèi hép ch÷ nhËt 24 Thể tích khối lăng trụ 50 Thể tích khối nãn 56 ThĨ tÝch khèi trơ 50 TÝch cã h−íng cđa hai vect¬ 75 TÝch vect¬ cđa hai vect¬ 75 Tiếp diện 41 Tiếp tuyến mặt cầu 42 142 Tính chất tích có hớng 76 Toạ độ điểm 72 Toạ độ vectơ 71 Trục cao 70 Trục hình nón 55 Trục hình tròn xoay 47 Trục hình trụ 49 Trục hoành 70 Trục tung 70 Tung độ 72 V Vectơ pháp tuyến mặt phẳng 84 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng 98 Vị trí tơng đối hai mặt phẳng 87 Vị trí tơng đối mặt cầu đờng thẳng 41 Vị trí tơng đối mặt cầu mặt phẳng 40 Mục lục Trang Chơng I - khối đa diện thể tích chúng Đ1 Khái niệm khối đa diện Đ2 Phép đối xứng qua mặt phẳng khối đa diện Đ3 Phép vị tự đồng dạng khối đa diện Các khối đa diện 16 Đ4 Thể tích khối đa diện 23 Ôn tập chơng I 29 Chơng II -mặt cầu, mặt trụ, mặt nón Đ1 Mặt cầu, khối cầu 38 Đ2 Khái niệm mặt tròn xoay 46 Đ3 Mặt trụ, hình trụ khối trụ 48 Đ4 Mặt nón, hình nón khối nón 54 Ôn tập chơng II 60 Chơng III - phơng pháp toạ độ không gian Đ1 Hệ toạ độ không gian 70 Đ2 Phơng trình mặt phẳng 82 Đ3 Phơng trình đờng thẳng 91 Ôn tập chơng III 105 Ôn tập cuối năm 122 Hớng dẫn giải Đáp số 131 Bảng thuật ngữ 141 143 Chịu trách nhiệm xuất : Chủ tịch Hội đồng Thành viên nguyễn đức thái Tổng Giám đốc hoàng lê bách Chịu trách nhiệm nội dung : Tổng biên tập Phan xuân thành Biên tập lần đầu : phan thị minh nguyệt - nguyễn trọng thiệp Biên tập tái : lu sơn Biên tập mĩ thuật, kĩ thuật : mai phơng liên - trần Trình bày bìa vẽ hình : bùi quang tuấn Sửa in : đặng văn tuyến Chế : Công ty CP dịch vụ xuất giáo dục hà nội Hình học 12 Nâng cao Mà số : NH202T0 In cn (Q§ in sè : ), khỉ 17 24 cm Đơn vị in : địa Cơ sở in : địa Số ĐKXB : 01 - 2020/CXBIPH/761 - 869/GD Sè Q§XB : / Q§-GD ngày tháng năm In xong nộp lu chiểu tháng năm Mà số ISBN : 978 - 604 - - 19040 - 144 ... Số mặt {3 ; 3} Khối tứ diện {4 ; 3} Khèi lËp ph−¬ng 12 {3 ; 4} Khối tám mặt 12 {5 ; 3} Khối mời hai mặt 20 30 12 {3 ; 5} Khối hai mơi mặt 12 30 20 Năm loại khối đa diện kể đợc nhà triết học toán... BCD AH đờng cao hình chóp A.BCD Bởi chiều cao hình chóp SBCD = Hình 27 25 h = AH = AB BH a2 a2 a 3 Tõ ®ã suy khèi tø diƯn ABCD cã thĨ tÝch lµ 1 2 a3 SBCD h a a ■ 3 12 VÝ dơ TÝnh... lăng trụ tam giác có cạnh đáy 19, 20, 37, chiều cao khối lăng trụ trung bình cộng cạnh đáy Khi thể tích khối lăng trụ (A) 2888 ; (B) 124 5 ; (C) 1123 ; (D) 4273 25 Đáy hình hộp hình thoi có cạnh