Toán tử compact

Trờng đại học vinh Khoa toán === === Phan thị quỳnh toán tử compact toán tử compact khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành toán học Chuyên ngành: Giải tích Cán bộ hớng dẫn khóa luận: PGS. TS. đinh huy hoàng Sinh viên thực hiện: Phan Thị Quỳnh Lớp: 46B 2 - Toán Vinh, 2009 = = 1 Mục lục Lời mở đầu 2 Đ1. Các khái niệm và kiến thức cơ bản .4 Đ2. Toán tử compact .14 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo .27 2 Lời mở đầu Lý thuyết toán tử đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm,nghiên cứu. Giải tích hàm chứa đựng nội dung hết sức phong phú, những phơng pháp và kết quả của giải tích hàm đã xâm nhập vào các ngành toán học khác nhau có liên quan và sử dụng đến những công cụ giải tích và không gian vectơ. Theo đó việc mở rộng kết quả của ánh xạ (toán tử) compact cũng đợc phát triển một bớc và đã đa ra cho chúng ta nhiều kết quả thú vị. Mục đích của khoá luận này là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của toán tử compact trong không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert. Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo tác giả tìm hiểu khái niệm và các tính chất cơ bản đa ra các ví dụ minh hoạ về toán tử compact,chứng minh chi tiết một số mệnh đề đã có trong tài liệu. Ngoài ra tác giả cũng chứng minh một số mệnh đề mà chúng là các bài tập trong các tài liệu tham khảo mà cha chứng minh, đó là Bổ đề 2.14, Định lý 2.15, Mệnh đề 2.16 và Định lý 2.17. Nội dung chính của khoá luận đợc chia làm 2 phần cụ thể nh sau: Phần 1. Trình bày các khái niệm và kiến thức cơ bản liên quan để dùng cho phần 2. Phần 2.Đầu tiên trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản về toán tử compact. Sau đó, chứng minh một số kết quả về toán tử compact trong không gian Hilbert mà chúng đợc nêu ra trong các tài liệu tham khảo dới dạng các bài tập. Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng. Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua. Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, tập thể lớp 46B 2 -Toán đã giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. 3 Mặc dù đã rất cố gắng nhng do điều kiện thời gian và hạn chế về năng lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận đợc ý kiến góp ý của Quý thầy cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 5 năm 2009 Tác giả 4 Đ1. Các khái niệm và kiến thức cơ bản Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng cho mục sau. Trong suốt khoá luận, ký hiệu K là thờng vô hớng (K = R hoặc K=C ) 1.1. Định nghĩa. Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên K là một tập E , trong đó có một phép cộng EExE và một phép nhân vô hớng K x EE thoả mãn các điều kiện 1) ;)()( zyxzyx ++=++ 2) ;xyyx +=+ 3) ;, xxE =+ 4) ;0)(, =+ xxEx 5) ;)( yxyx +=+ 6) ;)( xxx àà +=+ 7) ;)().( xx àà = 8) xx = .1 với mọi x,y,z E, mọi , à K. 1.2. Định nghĩa. Một tập con F của K không gian vectơ E gọi là một K không gian vectơ con của E nếu x + à y F với mọi x, y F, mọi , à K. 1.3. Định nghĩa. Cho E và F là hai K không gian vectơ. ánh xạ f:E F gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f( x+ à y)= f(x) + à f(y) với mọi x,y E, mọi , à K. ánh xạ tuyến tính còn đợc gọi là toán tử tuyến tính. 1.4. Định nghĩa. (i) Giả sử E là một K không gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm x x từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y E, mọi K 5 0,0)1( = xx nếu và chỉ nếu x=0; .)3( ;.)2( yxyx xx ++ = (ii) Không gian tuyến tính E cùng với 1 chuẩn trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn. 1.5. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian Banach nếu mọi dãy côsi trong E đều hội tụ. 1.6. Định lý. Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng a) f là liên tục đều ; b) f là liên tục ; c) f liên tục tại điểm O E ; d) f bị chặn,tức là tồn tại số k>0 sao cho xkxf )( với mọi x E. 1.7. Mệnh đề. Giả sử E, F là các không gian định chuẩn trên cùng một trờng K. Kí hiệu L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. L(E,F) là không gian vectơ con của K-không gian vectơ L(E,F) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Với mỗi f L(E,F), đặt { xkxfkf = )(:inf với mọi x E } . (1) 1.8. Bổ đề. 1) Nếu f L(E,F) thì )()( )( 11 0 xfSupxfSup x xf Supf x Ex x Ex x Ex = === . 2) Công thức (1) xác định một chuẩn trên L(E,F). 1.9. Chú ý. (i) Từ công thức (1) ở Mệnh đề 1.7, f L(E,F) có Exxfxf .)( . (ii) Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E và F và k là hằng số thoả mãn 6 Exxkxf ,)( thì f liên tục và kf . 1.10. Định lý. Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E,F) là Banach. 1.11. Định nghĩa. Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn E đợc gọi là siêu phẳng trong E nếu F là một không gian con của E chứa H thì hoặc F=H hoặc F=E. 1.12. Định lý. H là siêu phẳng của E nếu và chỉ nếu H =f -1 (0) với một phiếm hàm tuyến tính nào đó f E*=L(E,K), f 0 . Phiếm hàm f gọi là phơng trình của siêu phẳng H. Nếu g là một phơng trình khác của H thì tồn tại K sao cho fg = . Chứng minh. Giả sử H là siêu phẳng. Lấy HEa . Bởi vì H + Ka là không gian vectơ con của E chứa H và khác H nên H+Ka=E. Từ đó mọi x E đợc viết một cách duy nhất dới dạng += ,, Hahx K. Bằng cách đặt = )(xf ta đợc f E* và H=f -1 (0). Hiển nhiên f 0 . Ngợc lại, giả sử f E* và f 0 ta cần chỉ ra H=f -1 (0) là siêu phẳng. Rõ ràng H E. Lấy tuỳ ý a E\H ta cần chỉ ra H+Ka=E. Bởi vì )0)(()()()( ===+ afdoKaKfKafHKaf nên mọi x E tồn tại K để )()( xfaf = . Từ đó 0)( = axf , tức là x Ha hay HKax + . Cuối cùng giả sử f và g là hai phơng trình của siêu phẳng H. Lấy tuỳ ý a E\H. Khi đó tồn tại K để g(a) = )(af . Với mọi x E ta viết x HhKha += ,,ã . Ta có )()()()()()( xfhafafafagxg =+==== , vì vậy fg = . 1.13. Định lý (Riesz). Một không gian định chuẩn E là compact địa phơng nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn. 7 Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử E có số chiều hữu hạn n thì E đẳng cấu với K n . Do K n là compact địa phơng nên E compact địa phơng. Điều kiện cần. Giả sử E là compact địa phơng. Do hình cầu đơn vị đóng { } 1: = xExB là compact. Lấy các điểm a 1 ,a 2 , ,a m E để B ). 2 1 ( ' 1 i m i aB = Kí hiệu F là không gian con của E sinh bởi a 1 ,a 2 , , a m . Ta sẽ chứng minh E=F. Ta có F là không gian con đóng của E. Do đó nếu trái lại, tồn tại x E \ F thì d= 0inf > yx Fy . Từ đó, tồn tại y F để d 2 3d yx . Lấy yx yx z = . Vì 1 = z nên tồn tại i để 2 1 < i az . Bởi vìx=y+ )()(. ii azyxayxyzyx ++= và Fayxy i + nên dayxyxazyx ii += )(. . Do vậy dyx 2 và ta gặp mâu thuẫn vì 2 3d yx và d 0. 1.14. Định nghĩa. (i) Một tập con A của không gian định chuẩn E đợc gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A trù mật trong E. Ta nói rằng dãy { } Ea n là toàn vẹn nếu tập các phần tử của dãy là toàn vẹn. (ii) Nếu không gian định chuẩn E có một tập toàn vẹn độc lập tuyến tính hữu hạn thì nó khả li. 1.15. Định nghĩa. Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K và :E x E K đợc xác định bởi (x,y) (x,y):= ( yx ) (i) Hàm đợc gọi là một tích vô hớng trên E nếu thoả mãn ( ) 1 2 1 2 1) ( ) 0 0 0; 2) ( ) ( ) ( ); 3) ( ) ( ); 4) ( ) ( ). x x x x x x x y x y x y x y x y x y y x = = + = + = = 8 với mọi x,y,x 1 ,x 2 E, mọi K. (ii). Không gian tuyến tính E cùng với 1 tích vô hớng trên nó đợc gọi là không gian tiền Hilbert. 1.16. Chú ý. Nếu là tích vô hớng trên E thì 1) ;)()()( 21 2 1 yxyxyyx +=+ 2) )()( yxyx = với mọi x,y,y 1 ,y 2 E, mọi K. 1.17. Bổ đề (Bất đẳng thức Cauchy Schwartz ). Nếu là một không gian tiền Hilbert thì ),(),(),( 2 yyxxyx với mọi x,y E . Chứng minh. Với mọi K ta có ),(),(),( yxxxyxyx +=++ + 0),(.),( + yyyx trong đó ),( xx và ),( yy là các số thực không âm. Nếu 0),( > yy thì thay ),( ),( yy yx = vào bất đẳng thức trên ta có ),( xx ),( yy - ),( yx ( ) yx, 0 , tức là ),(),(),( 2 yyxxyx . Trờng hợp 0),( > xx hoàn toàn tơng tự. Nếu 0),(),( == yyxx thì thay ),( yx = vào bất đẳng thức đầu tiên ta có 0),(2 2 yx tức là ),(),(0),( 2 yyxxyx == . 1.18. Định nghĩa. Nếu không gian tiền Hilbert E là không gian Banach thì nó đợc gọi là không gian Hilbert. 1.19. Định nghĩa. Một dạng Hermite đợc gọi là xác định dơng nếu 0),( > xx với mọi 0, xEx . Một dạng Hermite xác định dơng còn đợc gọi là một tích vô hớng. 1.20. Bổ đề. Một dạng Hermite dơng trên E là một tích vô hớng nếu và chỉ nếu 0),( = yx với mọi y E thì x =0. Chứng minh. Nếu là một tích vô hớng thì 0),( > xx với mọi x 0. Vì vậy nếu 0),( = yx với mọi y thì 0),( = xx , do đó x=0. Ngợc lại nếu điều kiện bổ đề thoả mãn thì mọi 0 x tồn tại y để 0),( yx . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwart 0),(),(),( 2 > yxyyxx . Vì vậy 0),( > xx . 9 1.21. Định lý. (Pythagore). Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong không gian tiền Hilbert thì 222 yxyx +=+ . Chứng minh. Bởi vì ( ) ( ) ( ) ( ) 222 yxyyxyyxxxyx +=+++=+ . 1.23. Định nghĩa.(i). Giả sử A không gian tiền Hilbert E. A đợc gọi là hệ trực giao nếu 0 A và với mọi x,y A mà x y thì x y . (ii). Giả sử M không gian tiền Hibert. Đặt { } MxExM = : gọi M là phần bù trực giao của M. 1.23. Định lý. Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì ánh xạ )( axx với a E là phiếm hàm tuyến tính liên tục, có chuẩn là a . Ngợc lại, nếu E làkhông gian Hilbert thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E tồn tại duy nhất a E sao cho f(x)=(x a ) với mọi x E. Chứng minh. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz xaax .)( . Do đó phiếm hàm )( axx liên tục và có chuẩn a . Nếu a 0 thì a a y = có 1 = y và ( ay ) = a nên ánh xạ trên cũng có chuẩn a , tức là bằng a . Nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert E thì H=f -1 (0) là không gian con đóng của E. Lấy b H , b 0. Ta có b H , do đó ( ) 0 = bx với mọi x H tức là x ( ) bx cũng là phơng trình của siêu phẳng H. Theo Định lí 1.12, tồn tại K để f(x) = )()( axbx = , với a= .b Nếu f(x)= ( ) 'ax với a E thì ( ) ax - ( ) 'ax = ( ) 'aax =0 với mọi x E. Theo Bổ đề 1.20, a-a =0 tức a=a . Vậy phần tử a E là duy nhất. 1.24. Định nghĩa. (i) Giả sử A không gian Hilbert E. A đợc gọi là hệ trực chuẩn nếu A là hệ trực giao và a =1 với mọi a A. (ii) A đợc gọi là cơ sở trực chuẩn nếu A là hệ trực chuẩn và A toàn vẹn. 1.25. Nhận xét. (i) Nếu A là hệ trực giao thì 10 . Trờng đại học vinh Khoa toán === === Phan thị quỳnh toán tử compact toán tử compact khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành toán học Chuyên ngành: Giải. E. 14 Đ2. toán tử compact 2.1. Định nghĩa. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. ánh xạ (toán tử) tuyến tính f: E F đợc gọi là toán tử compact nếu