Các toán tử liên hợp, tự liên hợp, compact, và phổ của chúng

Mục lục Lời mở đầu 2 Đ1. Kiến thức chuẩn bị 3 Đ2. Toán tử liên hợp 6 Đ3. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 11 Đ4. Toán tử compact 14 Đ5. Phổ của toán tử 19 5.1. Khái niệm và tính chất cơ bản của phổ . 19 5.2. Phổ của toán tử compact 23 5.3. Phổ của toán tử liên hợp 28 5.4. Phổ của toán tử tự liên hợp .30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 1 Lời mở đầu Lý thuyết toán tử tuyến tính và lý thuyết phổ đóng vai trò quan trọng trong Giải tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Trong học phần Giải tích hàm, sinh viên chỉ mới đợc cung cấp một số kiến thức cơ bản của toán tử tuyến tính liên tục. Mục đích của khoá luận là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất cơ bản của các toán tử liên hợp, tự liên hợp, toán tử compact và phổ của chúng. Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo, chúng tôi tìm hiểu các khái niệm và các tính chất cơ bản, đa ra các ví dụ minh hoạ, chứng minh chi tiết một số mệnh đề đã có trong các tài liệu. Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh một số mệnh đề mà chúng là các bài tập ở trong các tài liệu tham khảo hoặc là các nhận xét do chúng tôi đa ra, đó là Nhận xét 2.4, Ví dụ 2.5, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.8, Ví dụ 5.1.5, Định lí 5.1.7, Mệnh đề 5.2.8 . Khoá luận đợc viết thành 5 mục. Mục thứ nhất trình bày một số kiến thức cơ bản cần dùng trong khoá luận. Mục 2, 3, 4 lần lợt trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của các toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, toán tử compact. Mục 5, đầu tiên dành cho việc trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của phổ của toán tử tuyến tính liên tục nói chung, sau đó trình bày một số kết quả cơ bản về phổ của toán tử compact, toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp. Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng, ngời đã trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong Khoa toán, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích đã quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Do thời gian và năng lực còn hạn chế, nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy giáo cô giáo và các bạn. Vinh, tháng 5 năm 2007 Tác giả 2 Đ1. kiến thức chuẩn Bị Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã biết cần dùng cho các mục sau. 1.1. Định nghĩa. Cho E là một K - không gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm x x từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y E, mọi K (i) x 0, x = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 ; (ii) x = x ; (iii) yxyx ++ . Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó . Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức d(x, y) = y x với x, y E xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn. Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ ( đối với mêtric sinh bởi chuẩn ). 1.2. Định nghĩa. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn trên cùng một tr- ờng K. Kí hiệu l ( E, F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. L ( E, F ) là không gian vectơ con của K - không gian vectơ l ( E, F ) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F . Với mỗi f l ( E, F ), đặt f = inf ( ) { } Ekfk xxx mọivới: . Đại lợng f đợc gọi là chuẩn của ánh xạ tuyến tính f. 1.3. Định lí. Với mọi f l ( E, F ) f = ( ) x xf x 0 sup = ( ) x f x 1 sup = ( ) x f x 1 sup = . Hàm f f là một chuẩn trong l ( E, F ). 3 1.4. Định lí. Nếu F là không gian Banach thì không gian l ( E, F ) là Banach. 1.5. Định lí. (Định lí Hahn - Banach ). Giả sử E là một không gian vectơ phức, p là một nửa chuẩn trên E . Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính trên không gian con F của E sao cho ( ) ( ) xx pf với mọi x F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính g xác định trên E sao cho g F = f và ( ) ( ) xx pg với mọi x E. 1.6. Hệ quả. ( Hệ quả của Định lí Hahn - Banach ) Giả sử F là một không gian vectơ con của không gian định chuẩn E và vectơ v E \ F sao cho d(v, F) = 0 inf >= x v Fx . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f : E K sao cho 1 = f , f F = 0 và f (v) = . 1.7. Hệ quả. ( Hệ quả của Định lí Hahn - Banach ) Với mọi vectơ v trong không gian định chuẩn E, v 0, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho f = 1 và f(v) = v . 1.8. Định lí. ( Định lí ánh xạ mở ) Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ một không gian Banach E lên một không gian Banach F là mở, tức là với mọi tập mở U E, f(U) là tập mở trong F. 1.9. Hệ quả. ( Định lí Banach ) Nếu f là song ánh tuyến tính từ không gian Banach E lên không gian Banach F và F liên tục thì F là phép đồng phôi. 1.10. Định nghĩa. Không gian vectơ E cùng với một tích vô hớng trên nó gọi là không gian tiền Hilbert. Có thể thấy rằng tơng ứng x ( ) xxx = , x E xác định một chuẩn trên E. Nh vậy mọi không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hớng. Nếu với chuẩn này không gian tiền Hilbert E là đầy đủ thì E đợc gọi là không gian Hilbert. 1.11. Định lí. ( Riesz ) Một không gian định chuẩn E là compact địa phơng nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn. 4 1.12. Định lí. ( Định lí Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert ) Giả sử E là không gian Hilbert .Khi đó (i) Với mọi a E tơng ứng x ( ) ax xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E với chuẩn là a . (ii) Ngợc lại nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E, thì tồn tại duy nhất a E để f(x) = ( ) ax với mọi x E. 1.13. Định lí. ( Hausdorff ) a) Một tập hợp compact tơng đối trong không gian mêtric thì hoàn toàn bị chặn. b) Nếu X là một không gian mêtric đầy đủ và A là một tập hợp hoàn toàn bị chặn trong X thì A là compact tơng đối. 5 Đ2. toán tử liên hợp Trong mục này ta luôn giả sử E , F là các không gian định chuẩn trên tr- ờng K. 2.1. Định nghĩa. Ta kí hiệu E * = l ( E, K ) và gọi nó là không gian liên hợp của E, E ** = l ( E * , K ) là không gian liên hợp thứ hai của E. E * và E ** là các không gian Banach. 2.2. Định lí. ánh xạ chính tắc : E E ** xác định bởi (x) (f) = f (x) với mọi x E, f E * là tuyến tính liên tục và thoả mãn ( ) xx = với mọi x E. Do đó là phép nhúng đẳng cự E vào E ** . Chứng minh. Giả sử x, y E, , K. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ffffff yyy +=+++ == xxxx y ( ) ( )( ) ( ) f y += x . Do đó ( ) ( ) ( ) yy +=+ xx với mọi f E * . Vậy là ánh xạ tuyến tính. Từ ( )( ) ( ) xxx fff = với mọi f E * , suy ra ( ) ( )( ) xxx = = f f 1 sup (1). Mặt khác theo hệ quả của định lí Hahn - Banach, với mọi x E , x 0, tồn tại f 0 E * sao cho 1 0 = f , f 0 (x) = x . Do đó (x) (f 0 ) = x . Suy ra ( ) ( )( ) ( ) ( ) xxxx == = 0 sup 1 ff f (2). Từ (1) và (2) suy ra ( ) xx = . Vậy là một phép đẳng cự tuyến tính và do đó ánh xạ từ E lên (E) là đẳng cấu . Vì vậy mỗi x E đợc đồng 6 nhất với một phần tử của E ** , tức là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E * , nghĩa là E ( ) E E ** . 2.3. Định nghĩa. Giả sử A l ( E, F ). Khi đó ta gọi toán tử A * : F * E * f A * ( f ) thoả mãn < x, A * f > = < Ax, f > với mọi x E (1) là toán tử liên hợp của A, trong đó < x, A * f > = ( A * f ) (x) ; < Ax, f > = f (Ax) . ở đây ta viết Ax thay cho A(x) còn viết A * f thay cho A * ( f ) . 2.4. Nhận xét. i) Ta thấy hệ thức (1) tơng đơng với ( A * f ) (x) = f ( Ax ) với mọi f E * , x E. ii) Rõ ràng A * là tuyến tính. Hơn nữa A * liên tục. Thật vậy ( ) ( ) ( ) xx AAA fff xx 11 supsup ** = = == , và ( ) ( ) ( ) xxx AAA fff với mọi x E. Nên AA ff * . 2.5. Ví dụ. Trong ví dụ này ta sẽ xét toán tử liên hợp trong một trờng hợp đặc biệt, khi E = F và E là không gian Hilbert. Giả sử E là không gian Hilbert và A l ( E, F ). Chúng ta đã biết rằng, theo Định lí Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert, có thể đồng nhất mỗi f E * với y E sao cho f (x) = ( x y ), x E. Theo định nghĩa của A * ta có 7 A * f (x) = f (Ax) = ( Ax y ), x E . Vì A * f E * nên ta đồng nhất A * f với z E sao cho A * f (x) = ( x z ), x E . Với cách đồng nhất f với y và A * f với z ta có thể xem A * l ( E, E ) sao cho ( Ax y ) = ( x z ) = ( x A * f ) = ( x A * y ), x E, tức là ( Ax y ) = ( x A * y ); x, y E . Nh vậy, trong trờng hợp E là không gian Hilbert ta có thể định nghĩa toán tử liên hợp của A l ( E, E ) là toán tử A * tuyến tính trên E sao cho ( Ax y ) = ( x A * y ) với mọi x, y E . Bây giờ giả sử E là không gian Hilbert l 2 = { } = < 2 1n nn xx :C với tích vô hớng ( ) { } { } == = = nn n nn yyyy , 1 xxxx với l 2 . Cho { } n là dãy số phức bị chặn và A l ( l 2 , l 2 ) với Ax = { } { } = nnn xxx với l 2 . Khi đó A * x = { } { } = nnn xxx với l 2 bởi vì ( Ax y ) = ( x A * y ) với mọi x, y l 2 . 2.6. Mệnh đề. Với mọi A l ( E, F ) ta có AA = * . Chứng minh. Vì ff AA * và = * , ** inf FAA fffk mọi : nên AA * . Nếu A = 0 thì A * = 0. Giả sử A 0. Từ x x AA 1 sup = = suy ra mỗi > 0, tồn tại một phần tử x 0 E sao cho 1 0 = x và AA 0 x (1). 8 Theo hệ quả của Định lí Hahn - Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f 0 trên F sao cho 0 f = 1 và f 0 ( Ax 0 ) = 0 x A (2). Từ (1) và (2) suy ra ( ) ( ) . ** *** 0 0 000000 AA AAAAA f ffff = == xx Vì > 0 bé tuỳ ý nên * AA . Vậy * AA = . Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra mệnh đề sau. 2.7. Mệnh đề. Với mọi A, B l ( E, F ), C l ( F, G ) ta có (i) ( A) * = A * , K ; (ii) ( A + B ) * = A * + B * ; (iii) ( Co A ) * = A * o C * . ( Có thể xem chứng minh Mệnh đề này trong [3] ). 2.8. Mệnh đề. Giả sử A : E F là một toán tử tuyến tính liên tục, : E E ** và : F F ** là các phép nhúng chuẩn tắc các không gian E, F theo thứ tự vào E ** , F ** . Khi đó lợc đồ sau giao hoán. Từ đó suy ra A ** E = A. A E F A ** E ** F ** Chứng minh. Với mọi x E, ta có (Ax) và A ** ( (x)) là hai phiếm hàm tuyến tính trên F * . Với mọi f F ** , ta có (Ax) f = f (Ax) (1), A ** ( (x)) f = ( (x) A * ) f = (x) ( A * f ) = A * f (x) = A * (f (x)) = f (Ax) (2) . Từ (1) và (2) suy ra (Ax) =A ** ( (x)) với mọi x E , tức là 9 o A = A ** o . Vậy A ** E = A . 2.9. Mệnh đề. Giả sử A l ( E, F ). Khi đó (i) A đẳng cấu thì A * : F * E * đẳng cấu và (A * ) - 1 = (A - 1 ) * , (ii) Nếu E là không gian Banach và A * : F * E * là đẳng cấu thì F là không gian Banach và A là đẳng cấu. ( Có thể xem chứng minh Mệnh đề này trong [5] ). Đ3. toán tử tự liên hợp trong không gian hilBert Trong mục này ta luôn giả thiết E là không gian Hilbert và viết l (E) thay cho l ( E, E ). ở ví dụ 2.5 ta đã định nghĩa toán tử liên hợp của A l (E) là toán tử tuyến tính đơc kí hiệu là A * : E E sao cho ( Ax y ) = ( x A * y ) với mọi x, y E. 3.1. Định nghĩa. Giả sử A l (E). Nếu A = A * thì A đợc gọi là tự liên hợp. 3.2. Ví dụ. Giả sử A l ( l 2 ) với Ax = { } = nn x n xx với 1 l 2 . 10 . niệm và tính chất cơ bản của phổ . 19 5.2. Phổ của toán tử compact 23 5.3. Phổ của toán tử liên hợp 28 5.4. Phổ của toán tử tự liên hợp .30 Kết luận 35. bản của toán tử tuyến tính liên tục. Mục đích của khoá luận là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất cơ bản của các toán tử liên hợp, tự liên hợp, toán tử