Bài toán về sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ là bài toán được biết đến từ đầu thế kỉ XX và đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Những định lý điểm bất động đã xuất hiện và được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, đồng thời đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Đề tài này xét sự tồn tại Điểm bất động của một số lớp ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự.
Năm học 2009– 2010 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ COMPACT ĐƠN ĐIỆU TỚI HẠN VÀ TOÁN TỬ T-ĐƠN ĐIỆU Nguyễn Thị Ngọc Minh (SV năm 3, Khoa Toán – Tin) GVHD: PGS TS Nguyễn Bích Huy Mở đầu Bài toán tồn điểm bất động ánh xạ toán biết đến từ đầu kỉ XX nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Những định lý điểm bất động xuất mở rộng lớp ánh xạ không gian khác nhau, đồng thời ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Đề tài xét tồn "Điểm bất động số lớp ánh xạ tăng không gian có thứ tự" Đề tài bao gồm nội dung sau đây: Trình bày định lí điểm bất động toán tử compact đơn điệu tới hạn Đầu tiên, định lí điểm bất động xét cho toán tử compact đơn điệu tới hạn dạng: "nếu An xn dãy tăng hội tụ" Từ phát triển cho ánh xạ n A compact đơn điệu tới hạn dạng: "nếu An xn dãy giảm hội tụ." n Trình bày điểm bất động tốn tử T-đơn điệu Xét toán tử A : X X (trong X khơng gian Banach nón K nón sinh, chuẩn) thỏa mãn điều kiện: x y B1 x y A x A y B2 x y Trong đó, B1 , B2 tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r B1 B2 Ta có kết luận A có điểm bất động X với khởi đầu x0 tùy ý Việc chứng minh định lí lại dựa vào nguyên lí ánh xạ co, cách xét chuẩn A ánh xạ co theo chuẩn Kiến thức chuẩn bị Đề tài cần sử dụng đến số kiến thức chuẩn bị sau: Các khái niệm nón, nón chuẩn, nón sinh, nón quy để xây dựng quan hệ thứ tự không gian Banach thực X Bên cạnh đó, ngun lí Entropi vận dụng để chứng minh tồn điểm bất động 159 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Điểm bất động toán tử compact đơn điệu tới hạn 3.1 Khái niệm toán tử compact đơn điệu tới hạn Toán tử A : M X X gọi compact đơn điệu tới hạn dãy xn M cho dãy An xn tăng hội tụ Ta định nghĩa toán tử A : M X X gọi compact đơn điệu tới hạn (loại 2) dãy xn M cho dãy An xn giảm hội tụ 3.2 Định lí Cho tập M X ánh xạ A : M X thỏa điều kiện: A M M x A x , x M Mọi dãy An xn tăng có giới hạn X (tức A toán tử n compact đơn điệu tới hạn loại 1) Mọi dãy tăng M có chặn M Khi A có điểm bất động M Chứng minh: Quá trình chứng minh thực sau: Xét dãy phiếm hàm: Sn : M R S n x sup An u An v : u , v M , x An u An v Ánh xạ S n hoàn toàn xác định nữa: + Với n, ánh xạ S n ánh xạ đơn điệu giảm + Với x M , dãy S n x n dãy giảm bị chặn 0, nên tồn giới hạn Đặt S x lim S n x n Vì S n giảm nên S giảm Ta áp dụng nguyên lí Entropi thứ cho tập M hàm -S Theo nguyên lí Entropi a M : x M , x a S x S a 160 Năm học 2009– 2010 Tiếp theo, ta chứng minh S a cách xây dựng dãy un ,vn M cho: A2 u1 A2 v1 A4 u A4 v2 A2 n u2 n A2 n v2 n thỏa A2 n u n A2 n v2 n (3) Theo định nghĩa ánh xạ compact đơn điệu tới hạn dãy (2) hội tụ, theo (3) dãy không hội tụ Dẫn đến điều mâu thuẫn Vậy S(a)=0 Cuối cùng, ta chứng minh A có điểm bất động M Ta có: a A a A2 a nên dãy An a có chặn M, gọi b chặn Khi đó, việc sử dụng lí luận thứ tự ta có: A b b Vậy A có điểm bất động M Áp dụng định lí 1, ta chứng minh kết biết sau: 3.3 Hệ Giả sử: M tập đóng, bị chặn X Toán tử A : M X đơn điệu compact đơn điệu tới hạn Tồn x0 M cho x0 A x0 Khi A có điểm bất động M 3.4 Định lí Từ định lí 1, ta phát triển lên định lí 2, có nội dung sau: Cho tập M X ánh xạ A : M X thỏa điều kiện: A M M A x x, x M Mọi dãy An xn giảm có giới hạn X (tức A toán tử n compact đơn điệu tới hạn loại 2) Mọi dãy giảm M có chặn M Khi A có điểm bất động M Từ định lí 2, ta chứng minh hệ kết điểm bất động toán tử lõm 3.5 Hệ 161 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Giả sử: M tập đóng, bị chặn X Toán tử A : M X đơn điệu compact đơn điệu tới hạn loại Tồn x0 M cho A x0 x0 Khi A có điểm bất động M Trên sở hệ 2, ta chứng minh kết có liên quan đến tốn tử lõm 3.6 Điểm bất động toán tử lõm Giả sử: K nón chuẩn A tốn tử u0 _ lõm u , v u A u A v v Khi A có điểm bất động u, v Điểm bất động toán tử T-đơn điệu 4.1 Định lí Cho X khơng gian Banach thực nón K Giả sử: K nón sinh, chuẩn Ánh xạ A : X X thỏa: x y B1 x y A x A y B2 x y Trong đó, B1 , B2 tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r B1 B2 Khi đó, A có điểm bất động X với khởi đầu x0 tùy ý Chứng minh: Dựa vào tính chất: Với tốn tử tuyến tính B X xét chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu cho B r(B) sai khác đủ nhỏ Do đó, từ giả thiết r B1 B2 , ta xem B1 B2 Quá trình chứng minh sau: Trên X, ta định nghĩa chuẩn mới: x inf y x y y Và chuẩn có tính chất: tương đương với 162 Năm học 2009– 2010 Với x, y X , giả sử u x y u , u K Khi đó: x yu x x y u y x u y x y u Theo giả thiết với x y B1 x y A x A y B2 x y Áp dụng cho cặp số x x y u x y u y , ta thu kết 2 x y u x y u B1 B2 A x A y B2 B1 B1 B2 2 2 2 2 2 2 u x y u B1 B2 A x A y B1 B2 B1 B2 2 2 2 2 Suy B2 B1 x y u A x A y B1 B2 B1 B2 2 2 2 B B2 x y A x A y B1 B2 u 2 2 B B2 x y A x A y B1 B2 u 2 2 A x A y Xét B1 B2 x y u B1 B2 2 2 x y 2 2 B1 B2 Vì B1 , B2 tốn tử tuyến tính dương nên B1 , B2 đơn điệu Với 163 Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH u x y u B1 B1 B1 u x y u 2 2 B u B x y B u 2 2 2 2 2 u x y u B1 B1 B1 B u B x y B u 2 2 2 2 2 Cộng vế với vế ta u x y u B1 B2 B1 B2 B1 B2 2 2 2 2 Suy x y u B1 B2 2 2 2 B1 B2 B B2 x y B1 B2 u 2 2 Từ bất đẳng thức: A x A y B1 B2 x y u B1 B2 2 2 trở thành: A x A y B1 B2 u A x A y B1 B2 inf u x y u A x A y q x y u (với q B1 B2 ) Vậy A ánh xạ co theo chuẩn không gian Banach X nên A có điểm bất động với khởi đầu x0 tùy ý Từ định lí 3, ta có kết thể nguyên lí ánh xạ co lớp phần tử so sánh 4.2 Nguyên lí ánh xạ co lớp phần tử so sánh Cho X khơng gian Banach thực nón K 164 Năm học 2009– 2010 Giả sử: K nón sinh, chuẩn Ánh xạ A : X X thỏa: x y B1 x y A x A y B2 x y Trong đó, B tốn tử tuyến tính dương với bán kính phổ r(B) < Khi đó, A có điểm bất động X với khởi đầu x0 tùy ý Kết luận Đề tài trình bày số kết tồn điểm bất động hai lớp ánh xạ khơng gian có thứ tự Tính đề tài: Được thể định lí Từ định lí 1, đề tài phát triển lên định lí Từ định lí 1, định lí 2, ta chứng minh kết hệ 1, hệ 2, định lí điểm bất động toán tử lõm (cung cấp cách nhìn nhận cho kết biết này) Ngồi ra, đề tài cịn đưa chứng minh cụ thể cho nhận định chưa chứng minh sách Geometrical methods of Nonlinear Analysis M Krasnoselskii, P.Zabreiko (định lí 3) Phương pháp nghiên cứu: Bên cạnh phương pháp thông dụng phương pháp sử dụng ngun lí ánh xạ co phương pháp đặc thù khơng gian có thứ tự sử dụng nguyên lí Entropi, nguyên lí kẹp, lý luận việc sử dụng quan hệ thứ tự, Việc sử dụng phương pháp đặc thù cho phép bỏ qua tính liên tục ánh xạ xét giảm nhẹ tính chất liên quan tới tính compact thường sử dụng toán điểm bất động Đây hướng nghiên cứu hứa hẹn đưa đến nhiều kết lí thuyết ứng dụng thú vị TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Văn Hiển, Nguyên lý Entropi số không gian Topo, khóa luận tốt nghiệp năm 1999, GVHD: PGS.TS Nguyễn Bích Huy [2] M Krasnoselskii, P.Zabreiko (1985), Geometrical methods of Nonlinear Analysis, Springer [3] Nguyễn Thành Nhân, Một số định lí điểm bất động khơng gian Kmetric K-định chuẩn, Khóa luận năm 2008 [4] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 165 ... Hội nghị sinh viên NCKH Điểm bất động toán tử compact đơn điệu tới hạn 3.1 Khái niệm toán tử compact đơn điệu tới hạn Toán tử A : M X X gọi compact đơn điệu tới hạn dãy xn M cho dãy... giảm có giới hạn X (tức A toán tử n compact đơn điệu tới hạn loại 2) Mọi dãy giảm M có chặn M Khi A có điểm bất động M Từ định lí 2, ta chứng minh hệ kết điểm bất động toán tử lõm 3.5 Hệ 161... Toán tử A : M X đơn điệu compact đơn điệu tới hạn loại Tồn x0 M cho A x0 x0 Khi A có điểm bất động M Trên sở hệ 2, ta chứng minh kết có liên quan đến tốn tử lõm 3.6 Điểm bất động