BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI CHUN Người soạn: Trần Văn Tuân Bài (Ams 2020, chuyên Tin) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC ba đường cao AD, BE, CF qua điểm H Gọi (S) đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF a) Chứng minh đường tròn (S) qua trung điểm đoạn thẳng AH b) Gọi M N giao điểm đường tròn (S) với đoạn thẳng BH CH Tiếp tuyến điểm D đường tròn (S) cắt đường thẳng M N điểm T Chứng minh HT //EF c) Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm hai đường thẳng CH DE Chứng minh ba điểm T, P, Q thẳng hàng Bài (Ams 2020, chun Tốn) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC K tâm đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến đường thẳng BC, CA, AB Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) hai điểm phân biệt D M Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K b) Gọi P giao điểm BI F D Chứng minh BM F = DM P c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC qua trung điểm đoạn thẳng KN Bài (Ams 2019, chuyên Tốn) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đoạn thẳng BC điểm J , cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M (M khác A) a) Chứng minh M I = M J.M A b) Kẻ đường kính M N đường tròn (O) Đường thẳng AN cắt tia phân giác góc ABC ACB điểm P Q Chứng minh N trung điểm đoạn thẳng P Q c) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ M C đường trịn (O) (E khác M ) Gọi F điểm đối xứng với I qua E R giao điểm hai đường thẳng P C QB Chứng minh bốn điểm P, Q, R, F thuộc đường tròn Bài (Ams 2019, chuyên Tin) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Đường trịn (O) cắt đường trịn đường kính AH điểm thứ hai F (F khác A) a) Chứng minh tam giác BEF đồng dạng với tam giác CDF b) Gọi N điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) Đường thẳng F N cắt cạnh BC điểm K Chứng minh tia HK tia phân giác BHC c) Hai tia phân giác ABH ACH cắt I Gọi P giao điểm đoạn thẳng ON cạnh BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng Bài (Ams 2018, chuyên Toán) Cho tứ giác ABCD (khơng có hai cạnh song song) nội tiếp đường tròn (O) Các tia BA CD cắt F Gọi E giao điểm hai đường chéo AC BD Vẽ hình bình hành AEDK a) Chứng minh tam giác F KD đồng dạng với tam giác F EB b) Gọi M, N trung điểm cạnh AD BC Chứng minh đường thẳng M N qua trung điểm đoạn thẳng EF c) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EM N Bài (Ams 2018, chuyên Tin) Cho tam giác nhọn ABC cân A, đường cao BE nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD AO I H a) Chứng minh BH.BI = 2R2 b) Gọi M trung điểm cạnh AB Lấy điểm N thuộc tia đối tia R OA cho ON = Chứng minh tứ giác AM N C tứ giác nội tiếp c) Gọi K trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng KE qua trung điểm đoạn thẳng OI Bài (Ams 2017, chuyên Tin) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm cạnh BC , E hình chiếu vng góc A cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh BC = 4DA.DF b) Tia DH cắt đường tròn (O) điểm G Chứng minh bốn điểm A, G, E, D thuộc đường tròn c) Đường thẳng F E cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác GKE Bài (Ams 2017, chuyên Toán) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , D hình chiếu vng góc I đường thẳng BC G giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) Gọi F điểm cung lớn BC đường tròn (O) Đường thẳng F G cắt đường thẳng ID H a) Chứng minh tứ giác IBHC tứ giác nội tiếp b) Gọi J giao điểm thứ hai đường thẳng AI đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh BH = CJ c) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng F H với đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh đường thẳng N J qua trung điểm cạnh BC Bài (Ams 2016, chuyên Tin) Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B tới đường tròn (A, B tiếp điểm) Đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) C D (M C < M D) cho điểm O nằm tam giác BCD Gọi E điểm đối xứng với C qua O Gọi S giao điểm EA BC a) Chứng minh tam giác OAC đồng dạng với tam giác M AS b) Đường thẳng SD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh tam giác BKC cân c) Gọi N giao điểm M O AE Chứng minh N D ⊥ DA Bài 10 (Ams 2016, chuyên Toán) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BB , CC cắt H Gọi M trung điểm BC Tia M H cắt đường tròn (O) điểm P 1) Chứng minh tam giác BP C đồng dạng với tam giác CP B 2) Đường phân giác góc BP C CP B cắt AB, AC điểm E F Gọi (O ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , K giao điểm HM AO a) Chứng minh tứ giác P EKF nội tiếp b) Chứng minh tiếp tuyến E F đường tròn (O ) cắt điểm nằm đường tròn (O) Bài 11 (Ams 2015, chuyên Tin) Cho đường tròn (O), đường kính AB Gọi I điểm đoạn thẳng AO (I khác A O) Đường thẳng qua I vng góc với AB cắt đường tròn (O) điểm C D Gọi E điểm đường tròn (O) cho D điểm cung AE K giao điểm AE CD a) Chứng minh đường thẳng OK qua trung điểm CE b) Đường thẳng qua I song song với CE cắt AE, BE P Q Chứng minh tứ giác DP EQ hình chữ nhật c) Tìm vị trí điểm I đoạn thẳng AO cho KC = KA + KO Bài 12 (Ams 2015, chun Tốn) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP tam giác qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ BC (Q khác B C ) Gọi E, F điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh M H.M A = M P.M N b) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng c) Gọi J giao điểm QE AB , I giao điểm QF AC Tìm AB AC vị trí điểm Q cung nhỏ BC để + nhỏ Bài 13 QJ QI (Ams 2014, chuyên Toán) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH (M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I thuộc đường tròn b) Gọi P giao điểm đường thẳng OI AB Chứng minhtam giác M N P tam giác c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Bài 14 (Ams 2014, chuyên Tin) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểm BC M điểm thuộc đoạnt hẳng BH (M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I thuộc đường tròn b) Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng M N có độ dài nhỏ c) Khi điểm M thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi Bài 15 (Ams 2013, chuyên Toán + Tin) Cho tam giác ABC khơng tam giác cân Đường trịn (O) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Đường thẳng N P cắt đường thẳng BO, CO E, F a) Chứng minh hai góc OEN OCA bù b) Chứng mih bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng Bài 16 (Ams 2012, chuyên Toán + Tin) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động đường tròn (O; R) cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC a) Đường thẳng chứa phân giác BHC cắt AB, AC điểm M N Chứng minh tam giác AM N tam giác cân b) Gọi E, F hình chiếu vng góc D đường thẳng BH, CH Chứng minh OA ⊥ EF c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N cắt đường phân giác BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định Bài 17 (Ams 2011, chuyên Toán + Tin) Trên đường trịn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N cho AN = R M điểm cung nhỏ BN (M khác B N ) Gọi I giao điểm AM BN Đường thẳng qua điểm I vng góc với AB H cắt tia AN C a) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABM N lớn c) Chứng minh tam đường tròn ngoại tiếp tam giác M N H thuộc đường thẳng cố định M thay đổi cung nhỏ BN đường tròn (O; R) d) Gọi P điểm cung AB khơng chứa điểm N đường MD MD tròn (O; R) Đường thẳng M P cắt AB D Chứng minh + MA MB không đổi M thay đổi cung nhỏ BN đường trịn (O; R) Bài 18 (Ams 2010, chun Tốn + Tin) Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường tròn (O; R) hai điểm E, F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O; R) tâm đường tròn nội tiếp tam giác M EF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM (A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạnt hẳng EF B Chứng minh OA.OB = R2 c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O; R) (N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường trịn đường kính OM điểm K (K khác F ) Hai đường thẳng √ F N KE cắt Q Chứng minh rằng: P N.P K + QN.QK ≤ R ... thẳng M P cắt AB D Chứng minh + MA MB không đổi M thay đổi cung nhỏ BN đường trịn (O; R) Bài 18 (Ams 2010, chun Tốn + Tin) Cho đường tròn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM... đoạn thẳng ON cạnh BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng Bài (Ams 2018, chuyên Toán) Cho tứ giác ABCD (khơng có hai cạnh song song) nội tiếp đường tròn (O) Các... đoạn thẳng EF c) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EM N Bài (Ams 2018, chuyên Tin) Cho tam giác nhọn ABC cân A, đường cao BE nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường