BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI CHUN Bài (Ams 2020, chuyên Tin) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC ba đường cao AD, BE, CF qua điểm H Gọi (S) đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF a) Chứng minh đường tròn (S) qua trung điểm đoạn thẳng AH b) Gọi M N giao điểm đường tròn (S) với đoạn thẳng BH CH Tiếp tuyến điểm D đường tròn (S) cắt đường thẳng M N điểm T Chứng minh HT //EF c) Gọi P giao điểm hai đường thẳng BH DF , Q giao điểm hai đường thẳng CH DE Chứng minh ba điểm T, P, Q thẳng hàng Bài (Ams 2020, chuyên Toán) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Gọi (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC K tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC Gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ điểm I đến đường thẳng BC, CA, AB Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) hai điểm phân biệt D M Đường thẳng qua K song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BC N a) Chứng minh tam giác M F D đồng dạng với tam giác BN K \ \ b) Gọi P giao điểm BI F D Chứng minh BM F = DM P c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M BC qua trung điểm đoạn thẳng KN Bài (Ams 2019, chuyên Toán) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tia AI cắt đoạn thẳng BC điểm J , cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M (M khác A) a) Chứng minh M I = M J.M A b) Kẻ đường kính M N đường trịn (O) Đường thẳng AN cắt tia \ ACB \ điểm P Q Chứng phân giác góc ABC minh N trung điểm đoạn thẳng P Q c) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ M C đường tròn (O) (E khác M ) Gọi F điểm đối xứng với I qua E R giao điểm hai đường thẳng P C QB Chứng minh bốn điểm P, Q, R, F thuộc đường tròn Bài (Ams 2019, chuyên Tin) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BD CE tam giác ABC cắt H Đường tròn (O) cắt đường trịn đường kính AH điểm thứ hai F (F khác A) a) Chứng minh tam giác BEF đồng dạng với tam giác CDF b) Gọi N điểm cung nhỏ BC đường tròn (O) Đường thẳng F N cắt cạnh BC điểm K Chứng minh tia HK tia phân giác \ BHC \ ACH \ cắt I Gọi P giao điểm c) Hai tia phân giác ABH đoạn thẳng ON cạnh BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH Chứng minh ba điểm P, I, Q thẳng hàng Bài (Ams 2018, chuyên Toán) Cho tứ giác ABCD (khơng có hai cạnh song song) nội tiếp đường tròn (O) Các tia BA CD cắt F Gọi E giao điểm hai đường chéo AC BD Vẽ hình bình hành AEDK a) Chứng minh tam giác F KD đồng dạng với tam giác F EB b) Gọi M, N trung điểm cạnh AD BC Chứng minh đường thẳng M N qua trung điểm đoạn thẳng EF c) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EM N Bài (Ams 2018, chuyên Tin) Cho tam giác nhọn ABC cân A, đường cao BE nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD AO I H a) Chứng minh BH.BI = 2R2 b) Gọi M trung điểm cạnh AB Lấy điểm N thuộc tia đối tia R OA cho ON = Chứng minh tứ giác AM N C tứ giác nội tiếp c) Gọi K trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng KE qua trung điểm đoạn thẳng OI Bài (Ams 2017, chuyên Tin) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm cạnh BC , E hình chiếu vng góc A cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh BC = 4DA.DF b) Tia DH cắt đường tròn (O) điểm G Chứng minh bốn điểm A, G, E, D thuộc đường tròn c) Đường thẳng F E cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác GKE Bài (Ams 2017, chuyên Toán) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , D hình chiếu vng góc I đường thẳng BC G giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) Gọi F điểm cung lớn BC đường tròn (O) Đường thẳng F G cắt đường thẳng ID H a) Chứng minh tứ giác IBHC tứ giác nội tiếp b) Gọi J giao điểm thứ hai đường thẳng AI đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh BH = CJ c) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng F H với đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh đường thẳng N J qua trung điểm cạnh BC Bài (Ams 2016, chuyên Tin) Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B tới đường tròn (A, B tiếp điểm) Đường thẳng qua M cắt đường tròn (O) C D (M C < M D) cho điểm O nằm tam giác BCD Gọi E điểm đối xứng với C qua O Gọi S giao điểm EA BC a) Chứng minh tam giác OAC đồng dạng với tam giác M AS b) Đường thẳng SD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh tam giác BKC cân c) Gọi N giao điểm M O AE Chứng minh N D ⊥ DA Bài 10 (Ams 2016, chuyên Toán) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BB , CC cắt H Gọi M trung điểm BC Tia M H cắt đường tròn (O) điểm P 1) Chứng minh tam giác BP C đồng dạng với tam giác CP B \ \ 2) Đường phân giác góc BP C CP B cắt AB, AC điểm E F Gọi (O0 ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , K giao điểm HM AO0 a) Chứng minh tứ giác P EKF nội tiếp b) Chứng minh tiếp tuyến E F đường tròn (O0 ) cắt điểm nằm đường tròn (O) Bài 11 (Ams 2015, chun Tin) Cho đường trịn (O), đường kính AB Gọi I điểm đoạn thẳng AO (I khác A O) Đường thẳng qua I vng góc với AB cắt đường trịn (O) điểm C D Gọi E điểm đường trịn (O) cho D điểm cung AE K giao điểm AE CD a) Chứng minh đường thẳng OK qua trung điểm CE b) Đường thẳng qua I song song với CE cắt AE, BE P Q Chứng minh tứ giác DP EQ hình chữ nhật c) Tìm vị trí điểm I đoạn thẳng AO cho KC = KA + KO Bài 12 (Ams 2015, chuyên Toán) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AM, BN, CP tam giác qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ BC (Q khác B C ) Gọi E, F điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh M H.M A = M P.M N b) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng c) Gọi J giao điểm QE AB , I giao điểm QF AC Tìm AB AC vị trí điểm Q cung nhỏ BC để + nhỏ QJ QI Bài 13 (Ams 2014, chuyên Toán) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH (M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I thuộc đường tròn b) Gọi P giao điểm đường thẳng OI AB Chứng minhtam giác M N P tam giác c) Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ Bài 14 (Ams 2014, chuyên Tin) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểm BC M điểm thuộc đoạnt hẳng BH (M khác B ) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I thuộc đường tròn b) Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng M N có độ dài nhỏ c) Khi điểm M thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác IAB khơng đổi Bài 15 (Ams 2013, chuyên Toán + Tin) Cho tam giác ABC khơng tam giác cân Đường trịn (O) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P Đường thẳng N P cắt đường thẳng BO, CO E, F \ OCA \ bù a) Chứng minh hai góc OEN b) Chứng mih bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF Chứng minh ba điểm O, M, K thẳng hàng Bài 16 (Ams 2012, chuyên Toán + Tin) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động đường tròn (O; R) cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC \ cắt AB, AC a) Đường thẳng chứa phân giác BHC điểm M N Chứng minh tam giác AM N tam giác cân b) Gọi E, F hình chiếu vng góc D đường thẳng BH, CH Chứng minh OA ⊥ EF \ c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N cắt đường phân giác BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định Bài 17 (Ams 2011, chun Tốn + Tin) Trên đường trịn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N cho AN = R M điểm cung nhỏ BN (M khác B N ) Gọi I giao điểm AM BN Đường thẳng qua điểm I vng góc với AB H cắt tia AN C a) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng b) Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABM N lớn c) Chứng minh tam đường trịn ngoại tiếp tam giác M N H ln thuộc đường thẳng cố định M thay đổi cung nhỏ BN đường tròn (O; R) d) Gọi P điểm cung AB khơng chứa điểm N đường MD MD tròn (O; R) Đường thẳng M P cắt AB D Chứng minh + MA MB không đổi M thay đổi cung nhỏ BN đường tròn (O; R) Bài 18 (Ams 2010, chun Tốn + Tin) Cho đường trịn (O; R) điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn (O; R) hai điểm E, F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn (O; R) tâm đường tròn nội tiếp tam giác M EF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM (A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạnt hẳng EF B Chứng minh OA.OB = R2 c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn (O; R) (N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường trịn đường kính OM điểm K (K khác F ) Hai đường thẳng √ F N KE cắt Q Chứng minh rằng: P N.P K + QN.QK ≤ R