Chuyên đề Toán học về Tỉ số thể tích chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về Tỉ số thể tích 11, 12 và để ôn thi THPQG và thi đại học.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcị = Vmí i B Cắt đáy Vcị Giaocị IA = = Vmí i Giaomí i IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcị = đÊy Vmí i SđÊy mí i - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác S∆OMN OM.ON = S∆APQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VS.MNP SM SN SP = VS.ABC SA SB SC Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1 = k3 = = = = k A1B1C1D1 ) P( ABCD) ( Nếu SA SB SC SD VS.ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ, ( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V( 5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V( 4) = V( 5) = V V 2V V A'B'BC = ; VA'B' ABC = 3 Ví dụ: Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP = m, = n, =p AA' CC ' BB' m+ n + p V2 = V Khi đó: AM CN = 1, =0 CC ' Khi M ≡ A',N ≡ C AA' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp V Gọi V thể tích khối hộp, ( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V = V( 4) (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V( 4) (trường hợp lại) = V Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG V V VA'C 'BD = , V A'C 'D'D = Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM = x x+ y DD ' V ⇒ V2 = BP =y BB' Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD tích V với M , N trung V1 + V2 điểm AB, CD Gọi V1 , V2 thể tích MNBC MNDA Tính tỉ lệ V 1 A B C D Lời giải Chọn B Vì M , N trung điểm AB, CD nên ta có: d ( A, ( MCD ) ) = d ( B, ( MCD ) ) ; d ( C , ( NAB ) ) = d ( D, ( NAB ) ) , đó: V V V ; V1 = VMNBC = VC MNB = VD.MNB = B.MCD = ; 2 V V = VD.MNA = VC MNA = A.MCD = VA.MCD = VB.MCD = V2 = VMNAD V V + V1 + V2 4 ⇒ = = V V Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M VSBMPN N trung điểm cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số VSABCD : VSBMPN VSBMPN VSBMPN VSBMPN = = = = V 16 V V 12 V SABCD SABCD SABCD SABCD A B C D Lời giải Chọn B SO ∩ MN = { I } SI ∩ SD = { P} OE / / BP ; , , SP SI DE DO = = = = Khi đó: I tung điểm MN , SO nên SE SO ; DP DP Dựng SP = PE = ED ⇒ SP = SD Vậy: VSMPB SP SM 1 V = = = ⇒ SMPB = VSADB SD SA VSABCD 12 VSNPB SP SN 1 V = = = ⇒ SNPB = VSCDB SD SC VSABCD 12 VSBMPN = VSBMP + VSBPN ⇒ Câu VSMPNB 1 = + = VSABCD 12 12 Cho tứ diện ABCD Gọi B′ , C ′ trung điểm AB CD Khi tỷ số thể tích khối đa diện AB′C ′D khối tứ diện ABCD A B C Lời giải D Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Chọn B Ta có: 1 S d B′ , ( DC ′A ) ) DC ′.DA.sin ·ADC ′ d ( B′ , ( DC ′A ) ) VAB′C ′D VB′AC ′D ∆DC ′A ( 1 = = =2 = = 1 VABCD VBACD 2 S ∆DCA d ( B , ( DCA ) ) DC.DA.sin ·ADC d ( B , ( DCA ) ) Câu Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số VS BMPN VS BMPN 1 = = VS ABCD 16 VS ABCD A B VS BMPN VS ABCD bằng: VS BMPN = V 12 C S ABCD Lời giải D VS BMPN = VS ABCD Chọn B SM SN = = Ta có M , N trung điểm SA, SC nên SA SC Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho ∆SOD ta có : PS BD IO PS PS SP × × =1⇒ ×2 ×1 = ⇒ = ⇒ = PD BO IS PD PD SD Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Cách 2: Kẻ OH // BP , ta có O trung điểm BD nên H trung điểm PD Ta có OH // IP mà I trung điểm SO nên P trung điểm SH Suy SP = PH = HD ⇒ SP = SD Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có : Câu VS BMPN 2VS BMP SM SP 1 = = × = × = VS ABCD 2VS BAD SA SD Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K , M trung điểm đoạn thẳng SA , SB , (α ) mặt phẳng qua K song song với AC AM Mặt phẳng (α ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V1 V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 V1 V1 V1 = = = A V2 25 B V2 11 C V2 17 Lời giải Chọn D V1 = D V2 23 Gọi V thể tích khối chóp S ABCD ; I , H trung điểm SC , SM Do (α ) / / ( ACM ) nên (α ) cắt ( SAD), ( SBD), ( SCD) KL, HP, IJ song song với OM VB HQP BH BQ BP 3 27 27 27 27 = = = VB HQP = VB.SAC = V = V BS BA BC 2 16 Suy 16 16 32 Ta có VB.SAC VA.KQL AK AQ AL 1 1 1 1 = = Þ V V A KQL = VA SBD = V = VA.SBD AS AB AD 2 8 16 Þ VC.IPJ = V 16 Tương tự: = ổ 27 1ữ 23 V2 = ỗ V = V ị V1 = V ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 32 16 16 32 32 Do V1 = Vậy tỉ số V2 23 Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu ( P ) qua (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng A vng góc với SC cắt SB, SC , SD B′, C ′, D′ Biết C ′ trung điểm SC V1 V ,V Gọi thể tích hai khối chóp S AB′C ′D′ S ABCD Tính tỷ số V2 V1 V1 V1 V1 = = = = A V2 B V2 C V2 D V2 Lời giải Chọn D V = 2.VS ABC = 2.VS ACD Ta có Gọi O = AC ∩ BD , J = SO ∩ AC ′ Vì C ′ trung điểm SC nên J trọng tâm ∆SAC Vì BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SC mà ( P) ( P ) // BD qua A vng góc với SC nên ( SBD ) qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B′, D′ SB′ SD′ SJ = = = Ta có SB SD SO Trong V1 VS AB′C ′ VS AC ′D′ SA SB′ SC ′ SA SD′ SC ′ 1 = + = + ÷ = = V V V SA SB SC SA SD SC 3 S ABC S ACD Khi Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A¢, B ¢, C ¢, D ¢ theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A¢B¢C ¢D ¢ S ABCD A 16 B C Lời giải D Chọn C VS A¢B ¢C ¢ SA¢ SB ¢ SC ¢ VS A¢D ¢C ¢ SA¢ SD ¢ SC ¢ = = = = V SA SB SC V SA SD SC S ABC S ADC Ta có: ; Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Mà VS ABCD = VS ABC +VS ACD , suy VS A¢B¢C ¢D¢ VS A¢B¢C ¢ +VS A¢C ¢D¢ ( VS ABC +VS ACD ) = = = VS ABCD VS ABCD VS ABCD Câu (Chun Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình SM =x hành, cạnh SA lấy điểm M đặt SA Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp cho thành hai phần tích là: A x= B x= −1 x= C Lời giải D x= −1 Chọn B Ta có: BC / / ( SAD ) SM SN ⇒ ( SAD ) ∩ ( BMC ) = MN / / BC ⇒ = =x SA SD BC ⊂ ( BMC ) VS MBC 2VS MBC SM = = =x VS ABC V SA VS MCN 2VS MCN SM SN = = = x2 VS ACD V SA SD ⇒ ( VS MCN + VS MBC ) V 2VS MBCN VS MBCN x + x 2 = x+x ⇔ = x+x ⇔ = ( 1) V V 2 VS MNBC = Mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp cho thành hai phần tích V ( 1) Từ Câu ( 2) ta có: = x + x2 ⇔ x = ( 2) −1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm ( MNI ) chia khối chọp S ABCD cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng IA k= IS ? thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích 13 lần phần cịn lại Tính tỉ số A B C D Lời giải Chọn B Trang TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG Mặt phẳng Ta có S ∆APM ( MNI ) cắt khối chóp theo thiết diện hình Đặt 1 S = S ∆BMN = S∆ABC = S ABCD ⇒ ∆APM = S ABCD d ( I , ( ABCD ) ) d ( S , ( ABCD ) ) ⇒ = IA k = SA k + Mà d ( I , ( ABCD ) ) VI APM S k k = ∆APM = ⇒ VI APM = V VS ABCD S ABCD d ( S , ( ABCD ) ) ( k + 1) ( k + 1) Do MN / / AC ⇒ IK / / AC ⇒ IK / / ( ABCD ) ⇒ d ( I ; ( ABCD ) ) = d ( K ; ( ABCD ) ) S ∆APM = S∆NCQ ⇒ VI APM = VK NCQ = k V ( k + 1) Kẻ IH / / SD ( H ∈ SD ) hình Ta có : IH AH AI k = = = SD AD AS k + IH PH PA AH PA AH 2k 3k + = = + = + = + = ED PD PD PD PD AD 3 ( k + 1) ( k + 1) ⇒ VS ABCD = V d ( E , ( ABCD ) ) ED 3k ED IH ID 3k ⇒ = = = : = d ( S , ( ABCD ) ) SD 3k + SD SD ED 3k + S∆PQD V 27 k 27k ⇒ E PQD = ⇒ VE PQD = V S ABCD VS ABCD 24k + 24k + 13 13 VEIKAMNCD = V ⇔ VE PDC − VI APM − VK NQC = V 20 20 = ⇔ 27k k k 13 V− V− V= V ( 3k + 1) ( k + 1) ( k + 1) 20 ⇔ 27k k 13 − = ⇔k= ( 3k + 1) k + Trang 10 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG AC GO ES GO =1 =1 ⇒ GS Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: AO GS EC SG SM SN ⇒ = ⇒ = = SO SB SD VS AMEN VS AME V 1 1 1 = + S AEN = + = 2VS ABC 2VS ACD 2 2 Ta có: V VS AMEN = V Vậy Câu 49 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ tích ( MNP ) chia khối hộp cho 2110 Biết A′M = MA ; DN = 3ND′ ; CP = PC ′ Mặt phẳng thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D′ C′ A′ B′ N P M C D B 8440 C Lời giải A 5275 B 12 7385 A 18 D′ A′ 5275 D C′ B′ N P M Q C D VMNPQ A′B′C ′D′ Ta có: VABCD A′B′C ′D′ Vnho = VMNPQ A′B′C′D′ = Câu 50 B A A′M C ′P 1 = + ÷= + ÷= A′A C ′C 12 5 5275 VABCD A′B′C′D′ = ×2110 = 12 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 2018 Gọi M trung điểm AA′ ; N , P điểm nằm cạnh BB′ , CC ′ cho BN = B′N , CP = 3C ′P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 A 27 40360 B 27 4036 C Lời giải 23207 D 18 Trang 64 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VABC MNP AM BN CP 23 23207 = + + = V = ÷ ABC MNP ′ ′ ′ 18 Ta có VABC A′B ′C ′ AA BB CC 36 Vậy Câu 51 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 6a Các AM BN CP = = = ′ ′ ′ ′ N CC ′ ′ AA BB CC M P AA BB điểm , , thuộc cạnh , , cho , Tính thể tích V ′ đa diện ABC.MNP A V′ = 11 a 27 B V′ = a 16 V′ = C Lời giải 11 a D V′ = 11 a 18 Lấy điểm Q ∈ AA′ cho PQ //AC MQ = AQ − AM = AA′ Ta có VABC MNP = VABC A′B′C ′ VM QNP = VABC A′B′C′ 12 Dễ thấy , 11 11 V ′ = VABC MNP − VM QNP = V = a 18 Vậy Trang 65 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò = Vmí i B Cắt đáy Vcị Giaocị IA = = Vmí i Giaomí i IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao khơng đổi) S Vcị = đÊy Vmí i SđÊy mí i - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác S∆OMN OM.ON = S∆APQ OP.OQ Trang 66 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS.MNP SM SN SP = VS.ABC SA SB SC Cơng thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1 = k3 = = = = k ( A B C D ) P( ABCD) SA SB SC SD Nếu 1 1 VS.ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ, ( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V( 5) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V( 4) = V( 5) = V V 2V V A'B'BC = ; VA'B' ABC = 3 Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP = m, = n, =p AA' CC ' BB' m+ n + p V2 = V Khi đó: AM CN = 1, =0 CC ' Khi M ≡ A',N ≡ C AA' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Trang 67 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Gọi V thể tích khối hộp, đó: V( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi V( 4) (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V = V( 4) (trường hợp lại) VA'C 'BD = = V V V , V A'C 'D'D = Ví dụ: B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM = x x+ y DD ' V ⇒ V2 = BP =y BB' Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung VS ABC điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS MNP A 12 B C Lời giải VS ABC SA SB SC = = 2.2.2 = V SM SN SP S MNP Ta có , suy đáp án Câu D C (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung V MIJ K V điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích MNPQ A B C Lời giải D Chọn D Trang 68 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VM IJ K Ta có: Câu VM NPQ = MI MJ MK 1 1 = = MN MP MQ 2 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A ′ , B′ , C′ , D′ theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.A ′B′C′D′ S.ABCD A 16 B C D Lời giải Chọn C Ta có Và VS.B′D′C′ SB′ SD ′ SC ′ V = = ⇒ S.B′D ′C′ = VS.BDC SB SD SC VS.ABCD 16 Suy Câu VS.A ′B′D ′ SA ′ SB′ SD′ V = = ⇒ S.A ′B′D′ = VS.ABD SA SB SD VS.ABCD 16 VS.A ′B′D′ VS.B′D′C′ V 1 1 + = + = ⇒ S.A ′B′C′D′ = VS.ABCD VS.ABCD 16 16 VS.ABCD Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP S ABC A B C 16 D Lời giải Chọn B VS MNP SM SN SP = × × = V SA SB SC S ABC Ta có Câu (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC tích V Gọi B′, C ′ trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S AB′C ′ V A V B V C 12 Lời giải V D Chọn D Trang 69 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VA.SB′C ′ AB′ AC ′ 1 1 = = = VA.SB′C ′ = VA.SBC VS AB′C′ = V V AB AC 2 4 Ta có tỷ số thể tích A.SBC Do hay Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C Lời giải D Chọn B VS ABC SA SB SC = = Þ VS ABC = 8VS IJK V SI SJ SK S IJK Ta có: VS ACD SA SC SD = = Þ VS ACD = 8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: Câu VS ABCD = 8VS IJKH = Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? V1 SA SB ' SC V1 SB SC = = A V2 SA ' SB SC ' B V2 SB ' SC ' V1 SA SB V1 SA SB SC = = C V2 SA ' SB ' D V2 SA ' SB ' SC ' Lời giải Chọn D V1 SA SB SC = V SA ' SB ' SC ' Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có Câu (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC tích 5a Trên cạnh SB , SC lấy điểm M N cho SM = 3MB , SN = NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB Trang 70 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG V = a3 A V = a3 B C V = a Lời giải D V = 2a Chọn D V thể tích khối chóp SAMN o thể tích khối chóp SABC V1 SM SN = = = SB SC 5 Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: Vo Gọi V1 V thể tích khối chóp AMNCB ta có V +V1 = V0 2 V = V0 = 5a3 = 2a 5 Vậy Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn D Gọi h , a chiều cao cạnh đáy hình chóp tứ giác V = a2h Thể tích khối chóp tứ giác Khi tăng chiều cao cạnh đáy lên lần ta khối chóp tứ giác tích 1 V ′ = ( 2a ) ( 2h ) = × a h = 8V 3 Vậy thể tích khối chóp tăng lên lần Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy điểm A′, B ′, C ′ cho 2OA′ = OA, 4OB′ = OB 3OC ′ = OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O A′B′C ′ O ABC 1 1 12 24 32 16 A B C D Lời giải Chọn B Trang 71 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VO A ' B′C ′ OA′ OB′ OC ′ 1 1 = = = VO ABC OA OB OC 24 VM ABC Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M trung điểm SA Tỉ số thể tích VS ABC 1 A B C D Lời giải Chọn B VS MBC SM VM ABC = = ⇒ = V SA V S ABC Ta có S ABC Câu 12 (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE = 3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Lời giải A E B D C VB.ECD BE AC AD 1 = = ⇒ VB.ECD = VE BCD = V VA BCD BA AC AD 4 Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A′ , B′ , C ′ tương ứng trung điểm cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S A′B′C ′ V A V B VS A′B′C ′ SA′ SB′ SC ′ = × × = ⇒ VS A′B′C ′ SA SB SC Ta có VS ABC V C Lời giải V = V D 16 Trang 72 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên cạnh AB , AC lấy điểm B ', C ' cho khối tứ diện ABCD A B AB ' = a 2a , AC ' = Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D C D Lời giải VAB 'C ' D AB ' AC ' = = AB AC Ta có: VABCD Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Tính thể tích khối đa diện BAA′C ′C 3V A 2V B V C Lời giải V D Chọn B Mặt phẳng ( BA′C ′) chia khối lăng trụ ABC A′B′C ′ thành hai khối: B AA′C ′C B A′B′C ′ ⇒ VB AA′C ′C = VABC A′B′C ′ − VB A′B′C ′ Khối chóp B A′B′C ′ khối lăng trụ có chung đáy chung chiều cao ⇒ VB A′B′C ′ = V 2V ⇒ VBAA′C′C = V − V = 3 Trang 73 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Câu (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm CC′ Mặt phẳng ( ABM ) chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V1 V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số V2 1 A B C D Lời giải V1 = VM ABC = S ABC MC V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức ⇒ V2 = VABC A′B ′C ′ − V1 = S ABC CC ′ − S ABC CC ′ = S ABC CC ′ V2 thể tích khối đa diện cịn lại 6 Khi ta có tỉ số V1 S ABC MC = = V2 S CC ′ ABC Câu S CC ′ ABC = S ABC CC ′ ( A′BC ′) chia khối lăng trụ thành Khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Mặt phẳng khối chóp tam giác khối chóp tứ giác tích A B C D Lời giải Chọn A +) Thể tích khơi lăng trụ là: VABC A′B′C ′ = d ( B, ( A′B′C ′ ) ) S A′B′C ′ = +) Thể tích khối chóp tam giác B A′B′C ′ là: Trang 74 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG VB A′B′C ′ 1 = d ( B, ( A′B′C ′ ) ) S A′B′C ′ = VABC A′B′C ′ = = 3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B ACC ′A′ là: VB ACC ′A′ = VABC A′B′C ′ − VB A′B′C′ = − = Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B ′C ′ tích V Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Mặt ( MAB ) phẳng A chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k ≤ Tìm k ? 1 B C D Lời giải Chọn C Ta có V = d ( C ′, ( ABC ) ) ×S ABC Khi 1 VM ABC = d ( M , ( ABC ) ) S ABC = d ( C ′, ( ABC ) ) ×S ABC = V ⇒ VABM A′B′C ′ = V 6 k= Vậy Câu VM ABC = VABM A′B′C ′ (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đơi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A B C 16 D Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Khi thể tích khối lăng trụ tứ giác tính cơng thức V = B.h = a h = Nếu gấp đơi cạnh đáy diện tích đáy B ' = 4a Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao Câu h'= h h V = B '.h ' = 4a = 2a h = Vì thể tích khối lăng trụ là: Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Nếu tăng cạnh hình hộp lên gấp hai lần thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Lời giải Chọn A Trang 75 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG Ta có tăng cạnh khối hộp lên hai lần ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do thể tích khối hộp V = 8V Câu VM ABC Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có M trung điểm AA′ Tỉ số thể tích VABC A′B′C ′ 1 1 A B C 12 D Lời giải Chọn A Ta có: VABC A′B′C ′ = AA′.S ∆ ABC 1 1 AM S ∆ ABC = AA′.S∆ ABC = VABC A′B′C ′ 3 V ⇒ M ABC = VABC A′B′C ′ VM ABC = Câu (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ tích V Gọi M trung điểm cạnh AA′ Khi thể tích khối chóp M BCC ′B′ V 2V V V A B C D Lời giải Chọn B Vì AA′ // ( BB′C ′C ) nên d ( M , ( BB′C ′C ) ) = d ( A, ( BB′C ′C ) ) suy VM BB′C ′C = VA BB′C ′C VA.BB′C ′C = VABC A′B′C ′ − VAA′B′C ′ = V − V = V 3 Mà VM BB′C ′C = V Vậy Câu (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC A′B ′C ′ Biết diện tích mặt bên ( ABB′A′) ( ABB′A′ ) Tính thể tích khối lăng trụ 15, khoảng cách từ điểm C đến ABC A′B′C ′ A 30 B 45 C 60 D 90 Trang 76 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG Lời giải Chọn B 1 VC ABB′A′ = d ( C ; ( ABB′A′ ) ) S ABB′A′ = 6.15 = 30 3 Ta có VC ABB′A′ = VABC A′B′C ′ ⇒ VABC A′B′C ′ = VC ABB′A′ = 45 Mà Câu 10 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Tính thể tích khối đa diện ABCB′C ′ V A V B 3V C Lời giải 2V D Chọn D Gọi chiều cao lăng trụ h , S ABC = S A′B′C ′ = S Khi V = S h 1 VA A′B′C ′ = S h = V ⇒ VABCB′C ′ = V 3 Ta có Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 thể V1 tích khối ABCD A ' B ' C ' D ' I A ' B ' C ' Tính tỉ số V2 V1 V1 V1 =6 =2 = V V V 2 2 A B C V1 =3 V D Lời giải Chọn A Trang 77 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG C B I A D B' C' A' D' Ta có: V1 = AA '.S A ' B 'C ' D ' V1 1 1 =6 V2 = d ( I ; ( A ' B ' C ' ) ) S ∆A ' B 'C ' = d ( A; ( A ' B ' C ' ) ) S A ' B 'C 'D' = AA '.S A ' B 'C ' D ' = V1 ⇒ V2 3 6 Trang 78 ... chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M , N ( MNCD ) chia hình chóp cho thành hai phần Tỉ số thể tích trung điểm SA, SB Mặt phẳng hai phần (số bé chia số lớn) A B C D Lời giải Chọn A S... trường hợp đáy n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác V Gọi V thể tích khối lăng trụ, ( 4) thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V( 5) thể tích khối chóp tạo thành... A′C ′ G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FA′MG thể tích khối đa diện lồi GMB′C ′CB A 11 B 27 C 22 Lời giải D 28 Chọn D GM A′M 1 = = ⇒ S A′MG = S ABC C ′B′ A′B′ Ta có Gọi h chi? ??u cao lăng