Phương trình suy rộng và một số vấn đề liên quan

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Đinh - Năm 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN NAM HẢI PHƯƠNG TRÌNH SUY RỘNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 46 01 02 Người hướng dẫn: TS NGUYEN VĂN VŨ Muc luc Mở đầu Trong luận văn này, chúng tơi quan tâm đến lớp tốn mà nói chung thiết lập lại dạng bao hàm thức sau G (1) f (x)+ T x ( ), f hàm liên tục, khả vi Fréchet từ tập mở Q c R đến R , T n n ánh xạ đa trị xác định nhận giá trị R Về mặt thuật ngữ, ta nói n phương trình suy rộng, dựa theo [1] (Chú ý là, T đồng với ánh xạ x G R I—> {0} (1) trở thành phương trình f (x) = 0.) Trong số trường hợp, người n ta xét đến lớp mở rộng (1), có dạng f : (p, x) G R k X G (2) f ( ,x) + T x p ( ), Q —> R , T (1) Mục tiêu chủ yếu nghiên cứu n tập nghiệm (giải theo biến thứ hai x) (2) p gần giá trị sở p Một trường hợp riêng (2) trường hợp đặc biệt T lấy toán tử vi phân dộc [2, Section 23] tương ứng với hàm tiêu tập lồi đóng C c R Nhắc n lại hàm ỘC xác định {0, x G C +rc>, x với k G K}, n viết lại thành G F(x) + d/ K (x) Người đọc quan tâm đến lớp toán bù phi tuyến (với K = R+), tham khảo thêm [3, 4, 5, 6] Điều kiện cần Kuhn-Tucker cho quy hoạch toán học [5] dạng đặc biệt (4) Thật vậy, xét toán (5) ỡ(y) với ràng buộc g(y) < 0, h(y) = 0, ỡ,g h hàm khả vi từ R đến R, R R theo thứ tự Khi đó, điều kiện m q r cần tối ưu Kuhn-Tucker tương ứng Vớ(y) + Vgi(y)ui + vhj (y)vj = 0, i=1 j=1 g(y) < 0, h(y) = 0, u > 0, (u,g(y)) = 0, kí hiệu Vx ánh xạ gradient hàm số khả vi Ta viết lại dạng (4) cách lấy n = m + q + r, K = R m X Rm X R , x = (y, u, v) r Vớ(y) + g'(y)*(u) + h'(y)*(v) ri 11 F (x) = với g'(y)* (tương ứng h'(y)*) toán tử liên hợp ứng với ánh xạ tuyến tính g'(y) (tương ứng h'(y)) Luận văn nhằm trình bày lại số kết liên quan đến dáng điệu nghiệm toán(2) số ứng dụng quan trọng chúng lĩnh vực liên quan Về mặt nội dung, luận văn chia thành chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi hệ thống hóa lại kiến thức sở giải tích đại số R , khái niệm định nghĩa để triển khai luận văn sau n Chương Phương trình suy rộng nghiệm chúng Chương chúng tơi trình bày kết luận văn, phương trình suy rộng dáng điệu nghiệm chúng (tiêu biểu Định lý 2.1) Tiếp theo, xem xét lớp ánh xạ đa trị quan trọng đảm bảo số tính chất cần thiết Định lý 2.1 Phần cuối số ứng dụng trường hợp phương trình suy rộng tuyến tính Chương Một số ứng dụng Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng từ kết Chương 2, ứng dụng điều kiện đủ cấp hai, tìm nghiệm nhiễu tốn quy hoạch phi tuyến, điều kiện Lipschitz số ứng dụng khác Luận văn hoàn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Vũ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người tận tình giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn Thống kê, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Tốn khóa 21 tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trình học tập nghiên cứu Nhân tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Cuối tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu chủ đề có liên quan Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian R R n mxn Mục hệ thống hóa số khái niệm ký hiệu liên quan đến không gian Ơclit thực Như thường lệ, ta viết R để không gian gồm véc tơ thực n n chiều (quy ước viết dạng cột) R không gian ma trận thực cỡ m mxn x n Với ma trận M ký hiệu M ma trận chuyển vị M Nếu M = M ta nói ma T T trận đối xứng M nửa xác định dương x Mx > với véc tơ x Cuối cùng, M T xác định dương x Mx > x = T Cho trước hai véc tơ x = (x ,x , ,x ) y = (y ,y , ,yn) R , tích vơ hướng T T n n chúng xác định theo biểu thức (x, y) := x y = xiyi + X2y2 + + XnynT Khi đó, chuẩn Ơclit tương ứng hàm số ||-|| : R n —> R cho ||x|| = -ự (x, x) Với ma trận A cỡ m x n đại lượng ||A|| := X (A A) gọi chuẩn phổ A, max T T X (A A) ký hiệu cho giá trị riêng lớn ma trận đối xứng A A Phép toán lấy max T tích vơ hướng lấy chuẩn có số tính chất sau [7] i) (Ax,y) = (x,A y) (hay viết tương đương theo phép toán ma trận x Ay = y A x); T T T T ii) \\AB\\ < \\A\\\\B\\; ||Ax|| < ||A||||x||;2 < ||Ax||2 + ||y||2 Trong phần sau đây, cần đến số khái niệm tôpô [8] Cho trước x G R số thực r > Hình cầu mở tâm x bán kính r tập hợp n B(x, r) = {y G R : \\y — x|| < r} n Tương tự, hình cầu đóng tâm x bán kính r định nghĩa sau B(x, r) = {y G R : \\y — x|| < r} n Tập hợp S c R gọi mở điểm thuộc S điểm trong, nghĩa với n điểm x G S tồn lân cận B(x, r) x bao hàm S Tập hợp S gọi tập đóng ứng với x R f gọi liên tục x G Q với dãy (x ) c Q m k hội tụ x ta có lim f (x ) = f (x) Ánh xạ f gọi Lipschitz tập hợp Q c Q k x k / tương ứng với số L > llf(x) — f(y)| < L|x — y||, Vx,y G Q / Ta nói hàm f khả vi Fréchet điểm x Q tồn ánh xạ tuyến tính f (x) : R n —> / R , thỏa mãn [9] m lim iih|R0 llf (x + h) — f (x) — f (x)(h)ll = I|h|| / Ánh xạ f (x) gọi đạo hàm Fréchet f x Khi Jacobian f x ma / trận ánh xạ tuyến tính f (x) Các phần tử ma trận đạo hàm riêng / thành phần f lấy theo biến tương ứng Cho S c R khác rỗng, x G R điểm Hàm khoảng cách từ x đến n n S định nghĩa d(x,s) : = inf{|x — yW\ y E s}, với quy ước d(x, 0) = +rc) Với s = hàm d(-, s) Lipschitz với số L=1 [10] Hình 1.1: Tính chất Lipschitz khoảng X 1.2 Cơ sở giải tích đa trị Một ánh xạ đa trị F: R R hiểu ánh xạ từ R vào tập hợp gồm tập n m n R Đồ thị gph F, miền hữu hiệu dom F miền ảnh rgeF ánh xạ đa trị F: X Y m tương ứng xác định biểu thức [11] gphF = {(x,y) G R X R | y G F(x)}, n m domF = {x G R | F(x) = 0}, n rgeF = {y E R | 3x G R cho y G F(x)} m n Ánh xạ ngược F : R -1 R ánh xạ đa trị F: R m n R xác định n m quy tắc F (y) = {x G R | y G F(x)}, Vy G R -1 n m Định nghĩa 1.1 (Tính liên tục ánh xạ đa trị [11]) Xét ánh xạ đa trị F: R • n R m Ta nói F nửa liên tục x G dom F với tập mở V c R thỏa mãn m F(x) c V tồn lân cận mở U c R x cho n F(x) c V, Vx G U Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F, F gọi nửa liên tục • Ta nói F nửa liên tục x G dom F với tập mở V c R thỏa mãn m F(x) n V = tồn lân cận mở U x cho F(x) n U = 0, Vx G U n domF Nếu F nửa liên tục điểm thuộc dom F, F gọi nửa liên tục • Ta nói F liên tục x G dom F F đồng thời nửa liên tục nửa liên tục x Nếu F liên tục điểm thuộc dom F, F gọi liên tục Ví dụ 1.2 Xét ánh xạ đa trị: x0 {0} F(x) = x=0 từ R vào R nửa liên tục R không nửa liên tục x = Như vậy, F khơng phải liên tục R ( Hình 1.2) 10 Hình 1.2: Đồ thị F(x) Định nghĩa 1.3 [11] Ta nói ánh xạ đa trị F: R R Lipschitz (địa phương) n m (hoặc gần) x với mô-đun l (U.L l), tồn l > ỏ > cho F(x) c F(x) + l\\x — x\\B với x G B?(x,ố) ký hiệu B hình cầu đóng đơn vị R m B = {xi,X2, E R lựx + x2 + + xm < 1} m Ví dụ 1.4 Các số Lipchitz Hình 1.3: Hình bao Hausdorff với số Lipschitz khác [PaschHausdorff envelopes for different Lipschitz constant] Định nghĩa 1.5 (Ánh xạ đơn điệu [10]) Cho T: R R ánh xạ đa n n trị • T gọi đơn điệu (v1 — • T: R n vo,x — xo) > 0, với v G T(xo),v G T(x ) 1 R gọi đơn điệu cực đại đơn điệu n mở rộng đồ thị R n nói cách khác, với cặp (x,v) G R (v — v, x — x) < n X R mà không phá hủy tính đơn điệu Hay X R \gph T tồn cặp (x, v) G gph T với n n (x — x%) — nxi, Với ràng buộc — x + 2x < 0, —xi — 2x2 < 0, Trong n tham số Cho n = tốn có cực tiểu gốc tọa độ; với n > có cực tiểu địa phương 3n(2, ±1) điểm yên ngựa (n, 0).Vì trường hợp LM ánh xạ đa trị ngặt SP n > 3.4 Điều kiện Lipschitz trường hợp đa diện Định lý 3.11 [21] Cho F hàm liên tục, khả vi Fréchet từ tập lồi mở Ỹ c R n đến R Cho R ánh xạ đa trị đa diện từ R đến R , định nghĩa H := F + R n Cho x o n n Ỹ x G R , định nghĩa G n LFxo(x) := F(xo) + F'(xo)(x — xo) Giả sử có tập compact X c Ỹ cho o i) Với x x thuộc X , hạn chế LF LF đến X giống o ii) Với Y > x G X0 X1 o X, o XY n (LFxo + R) (0) = Xo; -1 X := X + YB c Ỹ Y o Khi có số ỏ > cho ánh xạ đa trị H -1 0, với (H -1 n n Xỹ Lipschitz địa phương Xỹ)(0) = X o Chứng minh Cho x G X , định nghĩa T để (LF + R) Đặt e := 2Y Đầu tiên o xo -1 X0 chứng minh tồn số A số dương n cho với x G X ,T n X Lipschitz nB với mô-đun A Chọn x G X ; tổng 0 Xo e 0 LF + R đa diện, [35, Proposition 1], với số A(x ) n(x ) > Xo 0 cho T Lipschitz n(x )B với mô-đun A(x ) Nếu ta lấy n(x ) đủ nhỏ, theo đó, xo (T xo n 0 X )(0) = X hàm đa trị T n X Lipschitz n(x )B với mô-đun A(x ) e o xo e 0 Bây giờ, sử dụng giả thiết liên tục, chọn lân cận N x đủ nhỏ cho với bất 0 kì x G X0 n N0, (a) A(x0)\\F'(x) - F (x0)|| < , z (b) Với x' E X , ||LF (x ) — LF (x )|| < 2n(x ) e Chọn x G X n Xo z x z N q G n(x )B Nếu w G (T n X )(q), w G X tương 0 x tự € £ q G LFx(w) + R(w), q + LFxo(w) — LFx(w) E LFxo(w) + R(w) w G (Txo n X )[q + LFxo (w) — LFx (w)] € Tuy nhiên, ||q + LFxo(w) — LFx(w)|| < ||q|| + ||LFxo(w) — LFx(w)|| < n(x0) + n(x0) = n(x0L Vì tính liên tục Lipschitz ta có w G X0 + A(x0)||q + LFxo(w) — LFx(w)\B Bây đặt x điểm X với d(w,X ) = ||w — X1|| Bởi giả thuyết X0,X,X1 G X , ta có LF (x ) = LF (x ) Do 0 Xo x LFxo (w) — LFx(w)\\ = ||LFxo (xi) — LFx (xi) + [F (x0) — F (x)](w — X1)|| z < ||Fz(x0) — Fz(x)||||w — X1|| z d(w,Xo) < A(xo)||q|| + A(xo)||F (xo) — F'(x)||||w — xi z < A(x )| | + d[w,X ] oq o d(w,Xo) < 2A(xo)||p||, (Tx n Xe)(q) c (Tx n Xe)(0) + 2A(xo)||q||, Điều cho thấy T nX Lipschitz 2n(x )B với mô-đun 2A(x ) Bây x € o giờ, với A n > 0, với x G X , T o x n o X Lipschitz nB với mô-đun A e Từ giả thiết liên tục compact, ta chọn đối số < ô < min{e, n} cho p < ơ, với y G X z G X với ||y — z|| < ô, Y o m ax{l,AHF(y) — F(z) — F'(z)(y — z)|| < 2||y — z|| Bây chọn q G nB đặt x G (H n Xỹ)(q) Khi q G F(x) + R(x), x G X với ||x — X1|| = d[x — xo] ta có o q + LFxi (x) - F(x) G LFxi (x) + R(x) x G (T X1 n X )[q + LF (x) — F(x)] Tuy nhiên € X1 q + LFxi(x) — F(x)|| < ||q|| + ||x — X1 11