Một số đặc trưng của môdun BUCHSBAUM

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - 2020 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thái Hòa Phản biện 1: TS LÊ ĐỨC THOANG Phản biện 2: TS MAI QUÝ NĂM Luận văn bảo vệ Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, họp Trường Đại học Quy Nhơn vào ngày 31 tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin tư liệu, Trường Đại học Quy Nhơn - Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn Muc luc MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hốn Noether địa phương, M R- mơđun hữu hạn sinh với dim M = d > q iđêan tham số Khi đó,định lý đa thức Hillbert nói hàm độ dài X , (n) = l (M/q M) đa thức theo n n đủ n M q lớn (n 0) Đạc biệt, bậc đa thức d, cịn tích hệ số n với d d! bội số e(q,M) Hơn nữa, hiệu I (M)=l (M/qnM) — e(q,M)) cho ta nhiều thông tin cấu trúc Mơđun M Ví dụ mơđun Cohen-Macaulay lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn,có thể đạc trưng điều kiện đây: (i) Hom (M) = với i = d (ii)Mọi hệ tham số M dãy quy (iii) I (M)=0 với iđêan tham số q M q Từ ý tưởng nghiên cứu I (M) hàm theo q dẫn đến việc hình thành lý q thuyết môđun Buchsbaum sau: Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với Môđun Mchỉ tùy ý, I (Mdụ tham )các số q Năm 1973, Vogel số không Stuckrad phụ thuộc vào xây cách dựng chọn nhiều iđêan phản ví đểmơđun trường chứng hợp tỏ tổng quát Tuy nhiên, Buchsbaum Vogel không lớp thỏa mãn giả thiết q Buchsbaum nhiều kết tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : “Một số đạc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng đều, đối ngẫu, giải phức đối ngẫu Một số nội dung dự kiến gồm: 1.1Địa phương hóa 1.2Sự phân tích ngun sơ 1.3Chiều Krull 1.4Đối đồng điều địa phương 1.5Đối ngẫu Chương 2: Mơđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đạc trưng môđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum phân bậc tích segre mơđun Cohen-Macaulay phân bậc Nội dung dự kiến gồm: 2.1Đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2Đạc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 2.3Mơđun Buchsbaum phân bậc Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mạc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo để luận văn hồn thiện Chương Mơt số kiến thức chuẩn bi 1.1 Đia phương hóa Nội dung tiết trình bày theo [1] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S c R gọi tập nhân đóng E S với x, y E S xy E S Xét tập S X R = {(s,r) | s E S r E R} định nghĩa S X R quan hệ hai ngôi: V(s, r), (t, k) E S X R, (s, r) ~ (t, k) o 3u E S : u(st — kr) = Khi đó, quan hệ ~ quan hệ tương đương Với (s, r) E S X R, ta kí hiệu lớp tương đương (s,r) r tập thương (S X R)/^, S R s hay RS —1 Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: r Với Chúng ta k và— E s t r R, s s k - tr + sk r k rk + = -— -= t st s t st kiểm tra(R , + ,.)là vành S 11 — giaohốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Vành R gọi vành thương vành R tương ứng S với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p E Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, vành R cịn kí hiệu Rp S Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành giao hốn có đơn vị, S tập nhân đóng R I iđêan R Khi khẳng định sau r (i) Tập IR = I = {- | r E I s E S} iđêan vành R s (ii)Với moi p E Spec(R), Spec(Rp) = {qRp | q E Spec(R) q c p} S s S (iii) Với moi p E Spec(R), vành Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp Cho M R-môđun Xét vành thương R với S tập nhân đóng S Xét tập S X M = {(s, m) | s E S m E M} Trên tập S X M ta định nghĩa quan hệ hai ngôi: V(s,m), (t,n) E S X M, (s, m) ~ (t, n) o 3u E S : u(tm — sn) = Khi đó, quan hệ ~ quan hệ tương đương S X M với m (s,m) E S X M, ta kí hiệu lớp tương đương (s,m) — tập thương s (S X M)/~ S M hay MS Ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng sau: mn m n tm + sn Với —, -7 E MS■ ' —— —1 E st S s t st m a m a am Với mọ^- E MS, - E RS, —= —— s r sr rs Chúng ta kiểm tra MS R -môđun S Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS vành R gọi mơđun địa phương hóa S M tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p G Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Nội dung chương trình bày theo [5] Cho R vành Noether giao hoán M R-môđun Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x G M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass (M) hay R Ass(M) Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau (i) p G Ass(M) tồn môđun N M cho R/ p = N (ii)Nếu p phần tử cực đại tập iđêan {Ann(x) | x G M x = 0} p E Ass(M) Hệ 1.2.3 Ass(M) = 0O M = Bổ đề 1.2.4 Cho S tập nhân đóng R Đặt R = S -rR, M' = S M Khi -1 ASSR(Mf) = AssR(M) n{p G Spec(R) | p n S = 0} Định lý 1.2.5 Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Khi Ass(M) C Supp(M) phần tử cực tiểu Supp(M) thuộc Ass(M) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi Ass(M) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Một môđun N M gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N) = {p}, ta nói N p-nguyên sơ hay N liên kết với p Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = Q n Q n n Q với Q nguyên sơ M Hơn nữa, r i phân tích nguyên sơ gọi rút gọn bỏ Q i iđêan nguyên tố liên kết M/Qi phần tử khác với < i < r Hiển nhiên, phân tích nguyên sơ N đưa phân tích ngun sơ rút gọn Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q n n Q phân tích nguyên sơ rút gọn Q r i liên kết với p , ta có i Ass(M/N) = {p1, , pr} Định lý 1.2.9 Cho R vành Noether M R-mơđun Khi = Q(p), Q(p) mơđun p-ngun sơ peAss(M) 1.3Chiều Krull Nội dung chương trình bày theo [5] Định nghĩa 1.3.1 Chiều R định nghĩa chạn nhỏ tất độ cao tất iđêan nguyên tố R, tức dim(R) = sup{ht(p) | p E Spec(R)} Chú ý rằng, d = dim(M) hệ phần tử x , , x d G m cho Ỉ(M/(x , , x )M) < o gọi hệ tham số M d Mệnh đề 1.3.11 Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương M = R-mơđun hữu hạn sinh Khi (i) dim (M) = dim (M) R R (ii)dim M = max{dim(R/p) | p G Ass(M)} 1.4 Đối đồng điều địa phương Định lý 1.4.1 (Tính độc lập vành sở) Cho Rf R-đại số N R'môđun Cho I iđêan R Khi với i 0, ta có đẳng cấu Hị (N ) = RI r Hi{-V) R-môđun Khi Rf R-đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [4], Định lý 4.3.2) Định lý 1.4.2 (Định lý chuyển sở phẳng) Cho R! R-đại số phẳng Khi có R-đẳng cấu H(N) R' = Hị (N R') với i R R, R Cho p iđêan nguyên tố R Khi Rp R-đại số phẳng Từ định lý 1.4.2 ta ln có Rp-đẳng cấu HI(N) 0R Rp = H|RP (N 0R Rp) Hơn nữa, N Rp = Np với R-mơđun N nên R (H (N ))p = HÌRp (Np) Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua tham số Trong chương 2, chúng tơi trình bày mốt số đạc trưng mơđun Buchsbaum, mơđun phân bậc theo [6] Kí hiệu R vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun Noether Cho q iđêan R cho Ế(M/qM) < co Khi đó, ta có hàm HilbertSamuel P (n) = ê(M/qn+ỉM) tồn số nguyên e (q; M) > 0,e1 (q; M) , , q e (q; M) cho với n đủ lớn, ta có d Pq(n) = e0(q; M) n+d d n+d1+ e1(q; M) d -1 + ••• + e (q M) n ; Hệ số e (q; M) gọi số bội M ứng với iđêan q Năm 1965, D A Buchsbaum đạt giả thiết: Tồn số tự nhiên I(M) cho hiệu £A(M/qM) — e (q,M) = I(M) số với iđêan tham số q M Tuy nhiên, giả thiết khơng Và mục đích phần trình bày tính chất R-môđun M thỏa mãn giả thiết 14 Định nghĩa 2.1.1 Cho M R-môđun Noether Một hệ phần tử x , , x i r G m gọi M-dãy yếu, với i = 1, ,r (xi, , Xi-i) • M : Xi = (xi, , Xi-i) • M : m Ta biết M-dãy phần hệ tham số M Đối với Mdãy yếu ta có kết sau Bổ đề 2.1.2 Cho M R-mơđun Noether với chiều d dương Khi đó, M-dãy yếu x , ,x với r < d phần hệ tham số M i r Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M Noether gọi môđun Buchsbaum hệ tham số M M-dãy yếu R gọi vành Buchsbaum mơđun Buchsbaum Bổ đề 2.1.4 Giả sử R ảnh toàn cấu vành địa phương B Một Rmôđun M môđun Buchsbaum R mơđun Buchsbaum coi B-môđun “hạn chế vô hướng” Định nghĩa 2.1.5 Cho a c R iđêan M R-môđun Noether với dim M = d dim M/ aM = Một hệ phần tử x , ,x R gọi Mi t sở a điều kiện sau thỏa mãn: (i) x , ,x tạo thành sở tối tiểu a i t (ii)Với hệ i , ,i số nguyên với < i < • • • < i i d i d < t phần tử x , , x lập thành hệ tham số M il id Mệnh đề 2.1.6 Cho a c R iđêan M , , M R-môđun Noether i n với dim M /aM = với i = 1, ,n Khi a , ,a R i i i t G a tạo thành M -cơ i sở a với i = 1, ,n Hệ 2.1.7 Cho M môđun Buchsbaum Giả sử x , ,x phần r hệ tham số M với r < dim M Khi M/(x , , x )M M/U((x , , r x )M) môđun Buchsbaum Hơn nữa, Mp môđun Cohen-Macaulay với r iđêan nguyên tố p = m p G SuppM Mệnh đề 2.1.8 Gọi M mô-đun Noether R với d := dim M > Các điều kiện sau tương đương: (i) M mô-đun Buchsbaum, tức là, hệ tham số chuỗi M yếu (i) ' Với hệ tham số x , ,x M có d (xi, , Xd-1) • • • M : Xd = (xi, , Xd-1) • M : m (ii)Với hệ tham số x , ,x M i = 0, ,d — có d (x , ,x ) • • • M : x = (x , , x ) • M : xvới x G m i i+1 i cho x , , x , x tạo thành phần hệ tham số M i (ii)' Với hệ tham số x , ,x M có d (x , , x ) • • • M : x = (x , , x ) • M : xvới mọix G m d—1 d d—1 cho x , , x ,x lại tạo thành hệ tham số M (iii) d—1 Với hệ tham số x , ,x M có với i = d 0, , d — 1: (x1, ,xi) ••• M : xi+1 = (x1, , xi) • M : xi+1 (iii) ' Với moi hệ tham so x , ,x M có i d (xi, , Xd—i) • • • M : Xd = (xi,, Xd—i) • M : xd (iv) Với moi phần hệ tham so x , ,x M với i < d có i i U ((x , , x ) • • • M) = (x , , x ) • M : m i i i i Định lý 2.1.9 Cho M R-môđun Noether với dim M = d Khi M mơđun Buchsbaum có so nguyên I(M) > cho l(M/qM) — e (q, M) = I(M) với iđêan tham so q M Bổ đề 2.1.10 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương M môđun Buchsbaum bao đầy đủ m-adic M M môđun Buchsbaum R Trong trường hợp I(M) = I(M) Bổ đề 2.1.11 Cho M R-môđun Noether a c R iđêan cho M/aM mơđun Buchsbaum có chiều dương Khi đó, với moi phần hệ tham so x , ,x M/aM b := (x , , x )R i r i (a • M : m) n b k r Mca•b • k—i Mvới k > 1(b := R) • Bổ đề 2.1.12 Cho M môđun Buchsbaum R có chiều dương Với moi hệ tham so x , , x M, ta đặt q := (x , , Xd) • R Khi i (qk+i • d i M:x)nq•M=q k d • Mvới k > Nếu depthM > q k+i • M:x =q d k • Mvới k > Đạc trưng vành địa phương Buchsbaum R dẫn đến khái niệm Rdãy yếu Một số tác giả nghiên cứu tổng quát dãy quy M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel [3] Chúng ta khái niệm trùng khớp khi xét vành địa phương Buchsbaum Định nghĩa 2.1.13 Cho R vành địa phương có độ dài n > Giả sử x , ,x hệ tham số R Khi n x , , x R-dãy yếu n (x , , x ) • R : x = (x , , x ) • R : m với i = 0, ,n — 1 i i+1 i x , ,x cho d-dãy với tập {i , ,ij} (có thể tập 0) n tập {1, , n} với k, m G {1, , n} \ {i1, , ij} ta có ((xG , xij ) • R : xk • xm) (xi , , xij) • R : xk i x , , x dãy quy tương đối với số nguyên i = 1, , n n ta có n ((xi, , xij , xi+1, , xn) • R : xi) (x1, , xn) • R (x , , ,x ) R ^—h xi+^ n • Một phần tử x iđêan m-nguyên sơ q phần tử tuyệt đối cho q R (q : x) n q = q với số nguyên k > 1, k+1 k x , , x gọi hệ tuyệt đối tham số x phần tử tuyệt đối cho ảnh (x , ,x ) • R R/(x , , x ) • R với số nguyên i = 1, , n n i 1 i—1 n x , ,x có thuộc tính (F) n ,Xij) • R : Xi) n (xi, , xn) • R (x1, , với số nguyên < i < n Xi—1) • R Nếu i = ta (O : x ) n (x , , x ) • R = 1 n Mệnh đề 2.1.14 R vành Buchsbaum năm điều kiện Định nghĩa 2.1.13 thỏa mãn với hệ tham số R Trong trường hợp năm điều kiện tương đương 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương Cho R vành địa phương với iđêan cực đại m trường k := R/m Ta biết rằng, môđun Noether R môđun Cohen-Macaulay Hm(M) = với < i < dim M(xem [6]) Kết sau cho ta thấy đối đồng điều địa phương công cụ để nghiên cứu môđun Buchsbaum Mệnh đề 2.2.1 Cho M R-môđun Noether với chiều dương Các điều kiện theo sau tương đương: (i) Tồn hệ tham số M m M-dãy yếu (ii)Mỗi hệ tham số M m M-dãy yếu (iii) m.H'm(M) = với < i < dimM Hơn nữa, số điều kiện thỏa mãn ta có (iv) l(M/q.M) m — e (q, M) độc lập q với iđêan tham số q C Mệnh đề 2.2.2 Cho M mô-đun Buchsbaum với d := dim M > Khi tham số ideal q M -p1 := 0k h i p = k h ip = -1 , - (iii) I (M ) = £ ei(q,M) i=1 Hệ 2.2.3 Nếu M mơđun Buchsbaum m • H'm(M) = với i = dim M Đặc biệt, mơđun đối đồng điều địa phương mơđun có độ dài hữu hạn Hệ 2.2.4 Cho M mơđun Buchsbaum chiều d > Khi đó, với t > có số tự nhiên I (M) cho với iđêan tham số q M, ta có t t+1 • M) - + ộ • eo(q,M) = I Định lý 2.2.5 Cho M R-môđun Noether với d := dim M > Nếu vu : ExtA(k,M) Hm(M) toàn ánh với i = d M mơđun Buchsbaum Mệnh đề 2.2.6 Cho M R-môđun Noether với r := depth M < dim M =: d H'm(M) = với i = r,d Các mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii)m • Hm(M) = (iii) Cho x , ,x M-dãy m Khi r (x , ,x ) • M : (m) = (x , ,x ) • M : m r r Định nghĩa 2.2.7 Cho r, d số nguyên với < r < d Và cho k trường, X , ,X , Y , ,Y vô hạn Đặt d d Rd := k [X1, , Xd, Y1, , Yd] md m iđêan sinh từ d Rd := k X1, , Xd, Y1, , Yd Chúng ta định nghĩa quy nạp theo r, iđêan a c R thuộc kiểu (r, d) d sau: a thuộc kiểu (1,d) a = (X1, ,Xd)Rd n (Y1, , Yd)Rd; a thuộc kiểu (r + 1, d) với r + < d, a = a n a a) R /a vành Cohen-Macaulay với dim R /a = d, d d b) tự đẳng cấu R xác định phép đổi biến (X d i o Y ) biến a1 thành a2, i c) a + a = (X , Y ) • R + b • Rd, b c R iđêan thuộc kiểu (r, d — d d d d-1 1) Bổ đề 2.2.8 Cho a c R iđêan kiểu (r,d) với < r < d d Khi Hm (Rd/a) = với i = r,d Hmd(R /a) — k d Do R /a mơđun Buchsbaum (trên Rd) chiều d với depthRd/a = r d Định lý 2.2.9 Gọi M R-mơđun Noether có chiều dương d Các phát biểu sau tương đương: (i)M mơđun Buchsbaum (ii)Các ánh xạ tắc AM : H (m,M) i Hm(M)(so với Bổ đề 0.1.5) toàn ánh với i < d (iii) Cho x , ,x M-cơ sở M iđêan cực đại m A i Với hệ i , ,i số nguyên thỏa < i < • • • < i d dãy xi , ,xrị M-dãy yếu với r , ,r d d d d < t, G {1,2} Mệnh đề 2.2.10 Gọi M R-môđun Noether với depth M > Khi điều kiện sau tương đương: (i)M mơđun Buchsbaum (ii)Có ước khác khơng x G m M cho M/x • M mơđun Buchsbaum (ii') M/x • M mơđun Buchsbaum cho ước khác không x E m M (iii) Có ước khác khơng x G m M cho: a) M/x • M mơđun Buchsbaum b) x • Hm(M) = với i < dim M (iii') Đối với tất ước khác không x G m M a) b) (iii) (iv) Có ước khác khơng x G m M cho: c) M/x • M mơđun Buchsbaum d) x • Hm(M/x • M) = với i < dim M — (iv') Đối với tất ước khác không x G m M, điều kiện c) d) (iv) Mệnh đề 2.2.11 Giả sử P G VnFU độ dài (f , , f ) • R > Nếu P r điểm Buchsbaum V/k P điểm Buchsbaum V n F /k(u) u Điều ngược lại grade(f , , f ) • R > (f , , f ) • R C p r r • R Kết chứng minh N V Trung, (xem [2]), Định lý Nó cung cấp thơng tin thuộc tính nâng trường hợp depth M = Mệnh đề 2.2.12 Cho M R-môđun Noether chiều dương d depth M = Khi M mơđun Buchsbaum điều kiện sau thỏa: (i) m • H"(M) = (ii)M/Hm(M) mơđun Buchsbaum (iii) Có M-cơ sở x , ,x m cho t Hm(M) n (x x ) • M = với < i < • • • < i il Xid d < t Hệ 2.2.13 Cho M R-môđun Noether với d := dim M > depth M > Giả sử thêm R ảnh toàn cấu vành Gorenstein hay H (M) môđun Noether Khi đó, M mơđun Buchsbaum M/xM : (m) môđun Buchsbaum với x G m với dim M/xM = d — Mệnh đề 2.2.14 Cho R vành địa phương với d := dim R > iđêan a, b A với a n b = 0, dim R/a + b < d Giả sử A/a R/b vành Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, R vành Buchsbaum a + b = m B := R/(a + b) vành Buchsbaum kích thước d — Bổ đề 2.2.15 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương Khi M mơđun Buchsbaum R M* môđun Buchsbaum R Ngồi ra, I(M*) = I(M) 2.3 Mơđun Buchsbaum phân bậc Trong mục ta ln kí hiệu R k-đại số phân bậc với iđêan cực đại (thuần nhất) m = ® >i[R] n n Định nghĩa 2.3.1 Cho M R-mơđun phân bậc Noether có chiều dương Khi M gọi mơđun Buchsbaum phân bậc Mm môđun Buchsbaum (trên Rm) M gọi môđun h-Buchsbaum hệ tham số ứng với M M-dãy yếu Mệnh đề 2.3.2 Giả sử trường sở k vô hạn Cho a c R iđêan có sở bao gồm phần tử bậc r M , , M R1 n môđun Noether phân bậc với dim M /aM = với i = 1, , n Khi tồn R i i phần tử a , , a G a tạo thành M-cơ sở a với = t 1, ,n Mệnh đề 2.3.3 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) Có hệ tham số M m mà M-dãy yếu (ii)Mỗi hệ tham số M m M-dãy yếu (iii) m • Hm = với i = d Định lý 2.3.4 Cho M R-môđun Noether phân bậc với dim M > Nếu ánh xạ tự nhiên (k = R/m) Vu : E£Rk,M) Hm(M) toàn ánh với i < dim M M mơđun Buchsbaum Hệ 2.3.5 Cho môđun M Định lý 2.3.4 Giả sử thêm r := depth M < dim M =: d Hm(M) = với i = r,d Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii)M mơđun h-Buchsbaum (iii) m • Hm(M) = Định lý 2.3.6 Giả sử k trường vô hạn Nếu M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii)M môđun h-Buchsbaum (iii)Lấy M-cơ sở x , , x m Khi đó, với hệ i , ,i t d số nguyên với < i < • • • < id < t, dãy xr , ,Xr M-dãy yếu với r , ,r (iv) d G {1,2} Ánh xạ tự nhiên M : H'(m,M) Hm(M) toàn ánh với i < d Nếu R k-đại số tự (i)-(iv) tương đương với phát biểu sau: (v) Ánh xạ tự nhiên vu : EXtR(k,M) Hm(M) toàn ánh với i < d Bây giờ, với R-môđun phân bậc M, ta định nghĩa tập hợp số nguyên g(M) := {i G Z|[M]i = 0} Mệnh đề 2.3.7 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > m • Hm(M) = với i < d Nếu với mễi cặp so nguyên i,j với < i < j < d p G g(Hm(M)), q G g(Hm(M)), (i + p) - (j + q) = M mơđun Buchsbaum DANH MỤC TÀI LIẸU THAM KHẢO [1] Atiyal, M.F and I.G Macdonald (1969), Introducation to Commutative Algebra, Reading, Mass [2] Auslander, M and D.A Buchsbaum (1958) Codimension and Multiphicity Ann: Math, 68, 625-657 [3] Brodman, M.P and R.Y Sharp (1998), Local Cohomology and Algebraic introducation with Geometric Applications, Cambridge University Press [4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the parameter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85 490-534 [5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press [6] Stiickrad, J and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York 27 ... R (H (N ))p = HÌRp (Np) Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua tham số Trong chương 2, chúng tơi trình bày mốt số đạc trưng môđun Buchsbaum, môđun phân bậc theo [6]... sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng đều, đối ngẫu, giải phức đối ngẫu Một số nội dung... nhiên, Buchsbaum Vogel không lớp thỏa mãn giả thiết q Buchsbaum nhiều kết tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : ? ?Một số đạc trưng môđun Buchsbaum? ??