Phân tích đặc trưng dao động của dầm FGM theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli bằng tiếp cận giải tích

Bài viết phân tích dao động riêng và đáp ứng động của dầm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) dưới tác dụng của tải trọng phân bố vuông góc với bề mặt dầm. Với cách chọn hệ tọa độ quy chiếu được đi qua mặt trung hòa, các hệ thức quan hệ và phương trình chuyển động của dầm FGM được thiết lập trên cơ sở lý thuyết dầm Euler–Bernoulli.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2021 15 (3V): 1–15 PHÂN TÍCH ĐẶC TRƯNG DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM THEO LÝ THUYẾT DẦM EULER-BERNOULLI BẰNG TIẾP CẬN GIẢI TÍCH Nguyễn Văn Longa,∗, Trần Minh Túa , Trần Hữu Quốca a Khoa Xây dựng Dân dụng Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 12/05/2021, Sửa xong 26/06/2021, Chấp nhận đăng 28/06/2021 Tóm tắt Bài báo phân tích dao động riêng đáp ứng động dầm vật liệu có tính biến thiên (FGM) tác dụng tải trọng phân bố vng góc với bề mặt dầm Với cách chọn hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung hòa, hệ thức quan hệ phương trình chuyển động dầm FGM thiết lập sở lý thuyết dầm Euler–Bernoulli Lời giải giải tích dạng hiển xây dựng cho trường hợp dầm FGM có liên kết hai đầu khớp Ví dụ kiểm chứng thực qua so sánh với công bố tác giả khác sử dụng hệ quy chiếu gắn với mặt trung bình Ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, tải trọng cưỡng lên đặc trưng dao động dầm khảo sát cụ thể qua ví dụ số Từ khố: phân tích dao động; dầm FGM; mặt trung hịa; lý thuyết dầm Euler-Bernoulli VIBRATIONAL CHARACTERISTIC OF FGM BEAM BASED ON EULER-BERNOULLI BEAM THEORY BY USING ANALYTICAL APPROACH Abstract In this paper, free vibration and transient analysis of FGM beam under transverse distributed load is presented The constitutive relations and governing equations are obtained based on Euler-Bernoulli beam theory including the neutral surface position concept The analytical direct solution is proposed for simply supported FGM beam The validated examples have been conducted by comparison with those of other authors using a reference coordinate system coinciding with the middle surface The effects of material, geometric parameters, excitation on vibrational characteristics of the FGM beams are investigated through numerical examples Keywords: vibration analysis; functionally graded beam; neutral surface position; Euler-Bernoulli beam https://doi.org/10.31814/stce.nuce2021-15(3V)-01 © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Trong khoa học vật liệu, vật liệu có tính biến thiên (FGM) loại composite hệ có tính biến thiên liên tục dọc theo phương chiều dày kết cấu Loại vật liệu coi loại vật liệu composite không đồng tạo thành từ hỗn hợp thành phần gốm (ceramic) kim loại (metal) [1], tỷ phần thể tích vật liệu thành phần thay đổi trơn theo phương chiều dày Điều góp phần tránh tập trung ứng suất gây gián đoạn pha vật liệu vật liệu composite lớp hay composite cốt sợi Do tận dụng đặc tính kháng nhiệt kháng ăn mịn gốm, kết hợp với độ bền dẻo kim loại, vật liệu FGM sử dụng rộng rãi nhiều ứng dụng kỹ thuật, đặc biệt cho kết cấu môi trường nhiệt độ cao hàng không vũ trụ, điện hạt nhân, khí, giao thơng vận tải ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: longnv@nuce.edu.vn (Long, N V.) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các phân tích ứng xử tĩnh động kết cấu dầm, vật liệu FGM tập trung nghiên cứu năm gần Nhiều cơng trình nghiên cứu đặc trưng dao động ứng xử uốn kết cấu dầm FGM thực Trong số này, Phuong cs [2] xây dựng nghiệm Navier phân tích ứng xử uốn dầm FGM có lỗ rỗng vi mơ sử dụng mơ hình dầm Timoshenko Aydogdu Taskin [3] thiết lập lời giải giải tích dạng nghiệm Navier phân tích dao động tự dầm đơn giản FGM sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao lý thuyết dầm cổ điển Li [4] đề xuất cách tiếp cận hợp nhất, xây dựng lời giải giải tích phân tích uốn dao động riêng dầm FGM sử dụng hai mơ hình dầm Timoshenko Euler-Bernoulli Sina cs [5] phân tích dao động riêng dầm FGM với điều kiện biên khác nhau, sử dụng lời giải giải tích thiết lp t mụ hỡnh tm bc nht Sáimsáek v Kocatăurk [6] phân tích dao động tự đáp ứng động dầm FGM liên kết hai đầu khớp tác dụng tải trọng tập trung di động điều hòa, dựa lý thuyết dầm Euler–Bernoulli khai triển nghiệm chuyển vị dạng đa thức Sử dụng lý thuyết dầm cổ điển, dầm bậc lý thuyết dầm bậc cao, S¸ims¸ek [7] phân tích dao động tự dầm FGM với điều kiện biên khác nhau; đó, thành phần chuyển vị khai triển theo chuỗi đa thức Cũng sử dụng khai triển thành phần chuyển vị dạng chuỗi đa thức, S¸ims¸ek [8] phân tích dao động dầm FGM tác dụng tải trọng di động theo số lý thuyết dầm bao gồm: lý thuyết dầm cổ điển, bậc bậc ba Thai Vo [9] thiết lập nghiệm Navier cho tốn phân tích uốn dao động riêng dầm FGM liên kết hai đầu khớp Áp dụng phương pháp Rayleigh–Ritz, Pradhan Chakraverty [10] phân tích tần số dao động riêng dầm FGM với liên kết khác theo lý thuyết dầm cổ điển dầm bậc Mashat cs [11] phân tích dao động tự dầm FGM với điều kiện biên khác sử dụng lý thuyết biến dạng cắt mơ hình phần tử hữu hạn chiều Su Banerjee [12] áp dụng thuật toán Wittrick–Williams phát triển phương pháp độ cứng động lực phân tích dao động riêng dầm FGM theo lý thuyết dầm Timoshenko với liên kết khác Le cs [13] phân tích đáp ứng động dầm FGM nhiều nhịp tác dụng tải trọng di động phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết dầm bậc Hầu hết nghiên cứu tập trung phân tích tần số dao động riêng đáp ứng động dầm, với cách tiếp cận thông thường - hệ tọa độ quy chiếu chọn trùng với mặt phẳng trung bình Với vật liệu FGM, đặc trưng học vật liệu thay đổi theo chiều dày kết cấu, mặt trung bình hình học thường khơng trùng với mặt trung hòa, tồn tương tác màng-uốn quan hệ nội lực - biến dạng [14] Trong nghiên cứu FGM, Zhang [15, 16] tương tác loại bỏ mặt phẳng tham chiếu lựa chọn qua mặt trung hịa Ý tưởng sau số tác giả khác áp dụng cho dầm FGM, chẳng hạn Yaghoobi Fereidoon [17], Larbi cs [18], Li cs [19], Zhang [20] Có thể thấy rằng, với công bố theo cách tiếp cận này, với dầm FGM, theo hiểu biết tác giả, chưa có nghiên cứu đưa biểu thức hiển để khảo sát đáp ứng động Để góp phần làm phong phú thêm nghiên cứu lý thuyết ứng xử học dầm FGM, báo đưa cách tiếp cận giải tích nhằm phân tích dao động riêng đáp ứng động dầm FGM Với mục đích đưa lời giải dạng hiển phục vụ cho tính tốn, thiết kế sơ bộ, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli với hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung hòa sử dụng Các phương trình chủ đạo dầm thiết lập sở nguyên lý Hamilton, có kể đến vị trí mặt trung hịa nên có dạng đơn giản Tuy nhiên để thu nghiệm giải tích dạng hiển tần số dao động riêng đáp ứng động qua việc giải phương trình vi phân dao động cưỡng bức, dầm FGM với liên kết khớp hai đầu, môi trường không cản đối tượng chọn Các kết số thực nhằm đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, tham số hình học, tải trọng cưỡng đến tần số dao động riêng đáp ứng động dầm FGM Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Mơ hình hóa dầm vật liệu FGM Vật liệu FGM cấu thành từ hai vật liệu thành phần gốm kim loại Các đặc trưng học giả thiết biến đổi trơn dọc chiều cao dầm Tỷ lệ thể tích thành phần vật liệu thường biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa (P-FGM), hàm mũ (E-FGM) hàm Sigmoid (S-FGM) [21] Trong vật liệu E-FGM thường sử dụng phân tích phá hủy, vật liệu P-FGM thường sử dụng phân tích tĩnh, dao động ổn định Vật liệu S-FGM thường sử dụng với kết cấu FGM nhiều lớp để tránh tập trung ứng suất bề mặt phân cách lớp Do vậy, nghiên cứu này, dầm vật liệu P-FGM, với chiều dài L, mặt ngang chữ nhật với bề rộng b, chiều cao h Hình xem xét Hình 1.Vị trítrí mặt trunghịa hịacủa củadầm dầm FGM Hình Vị mặttrung trungbình bình và mặt trung FGM Các tính chất hiệu dụng vật liệu FGM bao gồm mô đun đàn hồi E, khối lượng Các tính chất hiệu dụng vật liệu FGM bao gồm mô đun đàn hồi E, khối lượng riêng ρ, riêng ρ, biểu diễn dạng [18]: biểu diễn dạng [18]: p p zC th + C z    (P ) P(z ) = P + − P + (1) (1) P( zth )th Pm m Pc  cPm   mth h  2  h với Pm Pc tương ứng tính gốm kim loại; p ≥ số tỷ lệ thể tích; C khoảng với Pm Pc tương ứng tính gốm kim loại; p ≥ số tỷ lệ thể cách mặt trung hòa mặt trung bình Trong nghiên cứu này, để đơn giản tính tốn, hệ số C coi khoảng cách hịa mặt Trong nghiên cứu này, để Poissontích; không thay đổimặt theotrung tọa độ chiều caotrung dầm, bình ν = const tốn, Poisson coi tọa không thay theomặt tọatrung độ chiều Dođơn mô giản đun đàn hồitính E vậthệ liệusốFGM thayđược đổi theo độ chiều caođổi dầm, hòa mặt cao dầm, ν = const trung bình hình học dầm thường khơng trùng (khi p 0) Trên Hình 1, trục tọa độ x, z tương ứng với phương trục chiều cao dầm, tọa độ điểm hệ tọa độ qua mặt Do mô đun đàn hồi E vật liệu FGM thay đổi theo tọa độ chiều cao dầm, mặt trung bình mặt trung hòa biểu diễn tương ứng ztb zth Khi đó, vị trí mặt trung hịa trung hịa mặt trung bình hình học dầm thường không trùng (khi p ≠ 0) dầm FGM xác định từ điều kiện [18, 22]: Trên hình 1, trục tọa độ x, z tương ứng với phương trục chiều cao dầm, tọa độ điểm hệ tọa độ qua mặt h/2 trung bình mặt trung hịa biểu diễn ztb E(ztb )dztb h/2 tương ứng ztb zth Khi đó, vị trí mặt−h/2 trung hịa dầm FGM xác định từ h (Eđược c − Em ) p (ztb − C) E(ztb )dztb = ⇒ C = = (2) điều kiện [18, 22]: h/2 (p + 2) (pEm + Ec ) −h/2 E(ztb )dztb h /2  ztb−h/2 E ( ztb )dztb h  Ec  Em  p   ztb  C  E ( ztb )dztb   C   hh/2/2   p    pEm  Ec  Các phương trình lý thuyết dầm Euler-Bernoulli  h /2  E ( ztb )dztb h /2 (2)  h /2 Sử dụng hệ quy chiếu gắn với mặt trung hòa, trường chuyển vị theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [23]: ∂w0 (x, t) (3a) u(x, zth , t) = −zth ∂x Các phương trình lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Sử dụng hệ quy chiếu gắn với mặt trung hòa, trường chuyển vị theo lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [23]: u ( x, zth , t )   zth w0 ( x, t ) x (3a) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng w(x, zth , t) = w0 (x, t) (3b) w0 độ võng điểm mặt trung hòa theo phương trục zth ; t biến thời gian Các thành phần biến dạng xác định thông qua thành phần chuyển vị: ∂u ∂2 w0 = −zth ∂x ∂x εx = γ xzth = (4a) ∂w ∂w0 ∂w0 ∂u = + − =0 ∂x ∂zth ∂x ∂x (4b) Như vậy, lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, biến dạng góc: γ xzth = Ứng suất pháp liên hệ với biến dạng theo định luật Hooke: σ x = E(zth )ε x = −E(zth )zth ∂2 w0 ∂x2 (5) Với lý thuyết dầm Euler-Bernoulli, ta định nghĩa thành phần nội lực dầm bao gồm: h/2−C Nx = σ x dA = b A σ x dzth (6a) zth σ x dzth (6b) −h/2−C h/2−C Mx = zth σ x dA = b A −h/2−C Thay (5) vào (6), ta được: h/2−C N x = −b ∂2 w0 ∂2 w0 E(zth )zth dzth = − b ∂x ∂x M x = −b zth E(zth )dzth = −B11 ∂2 w0 ∂x2 (7a) z2th E(zth )dzth = −D11 ∂2 w0 ∂x2 (7b) −h/2−C −h/2−C h/2−C h/2−C ∂2 w0 ∂2 w0 z2th E(zth ) dzth = − b ∂x ∂x −h/2−C h/2−C −h/2−C Các số độ cứng dầm (7) xác định bởi: h/2−C B11 = b zth E(zth )dzth = (8a) −h/2−C h/2−C D11 = b z2th E(zth )dzth (8b) −h/2−C Có thể thấy rằng, với việc sử dụng hệ tọa độ qua mặt trung hòa, B11 = 0; dẫn đến lực dọc N x = 0; biểu thức xác định thành phần nội lực dầm FGM trở nên đơn giản, tương tự với dầm đẳng hướng Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phương trình chuyển động cho dầm xây dựng dựa nguyên lý Hamilton [24, 25]: T 0= (δU + δV − δK) dt (9) δU biến phân biến dạng đàn hồi dầm, δV biến phân tải trọng δK biến phân động Biến phân biến dạng đàn hồi dầm: L L δU = σ x δε x dAdx = − A 0 L ∂2 δw0 dAdx = − zth σ x ∂x2 A Mx ∂2 δw0 dx ∂x2 (10) Biến phân tải trọng uốn: L δV = − (11) qδw0 dx Biến phân động xác định bởi: L L δK = ρ(zns ) (˙uδ˙u + wδ ˙ w) ˙ dAdx = A I0 w˙ δw˙ + I2 ∂w˙ ∂δw˙ dx ∂x ∂x (12) Dấu (.) biến chuyển vị thể đạo hàm theo thời gian t Các mô men quán tính khối lượng định nghĩa (12) tính theo: h/2−C I0 = ρ(zth )dA = b A ρ(zth )dzth (13a) z2th ρ(zth )dzth (13b) −h/2−C h/2−C z2th ρ(zth )dA I2 = A =b −h/2−C Thay biểu thức δU, δV δK từ (10), (11) (12) vào (9), tiến hành tích phân phần, ta được: = V xz δw0 L ∂δw0 − Mx ∂x L L M x ău0 wă + q I w ă I + I δw0 dx 0 ∂x ∂x2 ∂x2 (14) M x wă I0 uă + I2 lực cắt hiệu dụng ∂x ∂x Cho hệ số biến phân độ võng chiều dài dầm khơng, phương trình chuyển động dầm thu c: M x wă + q = I w ă I (15) 0 ∂x2 ∂x2 đó: V xz = Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Các tham số điều kiện biên: chuyển vị, lực rút từ (14): ∂w0 , Mx ∂x (w0 , V xz ) ; (16) Thay (7) vào (15), ta phương trình chuyển động theo chuyn v: D11 w0 wă q + I w ă I =0 0 ∂x4 ∂x2 (17) Đây phương trình chủ đạo để phân tích đáp ứng động dầm FGM theo lý thuyết dầm EulerBernoulli Tiếp theo, báo tập trung phân tích dao động riêng dao động cưỡng dầm FGM với liên kết hai đầu khớp (SS) Các biểu thức điều kiện biên dầm bao gồm x = x = L: w0 = Mx = hay (18a) ∂2 w0 =0 ∂x2 (18b) Phân tích dao động riêng Trong phân tích dao động riêng, bỏ qua tải trọng uốn: q = 0, phương trình chuyển động dầm FGM có dạng: w0 wă D11 + I0 wă − I2 = (19) ∂x ∂x Nghiệm độ võng giả thiết dạng: w0 (x, t) = W(x) sin (ωt + ϕ) (20) ω tần số dao động riêng dầm, ϕ pha ban đầu Thay (20) vào (19), ta được: D11 d4 W 2d W + I ω − I0 ω2 W = dx4 dx2 (21) Đây phương trình vi phân cấp tuyến tính nhất; phương trình đặc trưng: D11 k4 + I2 ω2 k2 − I0 ω2 = (22) Bằng cách đặt s = k2 , phương trình (22) đưa dạng: D11 s2 + I2 ω2 s − I0 ω2 = (23) Phương trình bậc hai (23) có hai nghiệm trái dấu: s1 = −I2 ω2 + I22 ω4 + 4D11 I0 ω2 2D11 = λ2 > (24a) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng s2 = −I2 ω2 − I22 ω4 + 4D11 I0 ω2 2D11 = −µ2 < (24b) Do đó, nghiệm phương trình (22): k1,2 = ± −I2 ω2 + k3,4 = ±i I22 ω4 + 4D11 I0 ω2 2D11 I2 ω2 + I22 ω4 + 4D11 I0 ω2 2D11 = ±λ (25a) = ±iµ (25b) Từ đó, suy nghiệm phương trình (21) có dạng: W(x) = C1 sin µx + C2 cos µx + C3 sinh λx + C4 cosh λx (26) Các số C1 , C2 , C3 , C4 phụ thuộc vào điều kiện biên (18); ba bốn số tần số dao động riêng ω xác định thơng qua bốn phương trình điều kiện biên Điều kiện để dầm dao động tự số C1 , C2 , C3 , C4 không đồng thời không Với trường hợp dầm liên kết hai đầu khớp (SS); bốn phương trình điều kiện biên cho kết quả: C2 = C3 = C4 = (27a) C1 sin µL = (27b) Để số C1 , C2 , C3 , C4 không đồng thời khơng, suy C1 sin µL = ⇒ µL = mπ; 0; từ suy ra: m = 1, 2, 3, (28) Từ đây, ta thu tần số dao động riêng: ωm = m2 π2 L2 D11 / I0 + I2 m2 π2 L2 (29) Tần số dao động tần số nhỏ số tần số dao động riêng thu được; rõ ràng với dầm liên kết hai đầu khớp, m = 1: ωcb = {ωm } = ω1 = π2 L2 D11 / I0 + I2 π2 L2 (30) Hàm độ võng dầm đó: M W(x) = Wm sin m=1 mπx L M ⇒ w0 (x, t) = Wm sin m=1 mπx sin (ωm t + ϕm ) L (31) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Phân tích dao động cưỡng Xét dầm FGM liên kết hai đầu khớp (SS), tác dụng tải trọng phân bố q(t) = Q sin Ωt vng góc với trục dầm Phương trình chuyển động dầm (17) viết lại thành: D11 ∂4 w0 wă + I w ă I = Q sin Ωt 0 ∂x4 ∂x2 (32) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (32) bao gồm: nghiệm phương trình (khi khơng có vế phải) nghiệm riêng phương trình có vế phải Nghiệm phương trình phương trình (32) phương trình vi phân dao động tự do, có dạng: M mπx h w0 (x, t) = Wmh sin sin (ωm t + ϕm ) (33) L m=1 đó: Wmh ϕm tương ứng biên độ pha ban đầu dao động tự do; chúng phụ thuộc vào điều kiện ban đầu tốn Để tìm nghiệm riêng phương trình (32), lưu ý rằng, tải trọng phân bố Q khai triển theo biến không gian x dạng chuỗi lượng giác tương tự độ võng: M Q(x) = Qm sin m=1 mπx L (34) mπx dx L (35) Với tải trọng bất kỳ: L Qm = L Q(x) sin Đối với cho tải trọng phân bố Q = Q0 , hệ số Qm xác định bởi:    m = 2, 4, 6,  2Q0  Qm = (1 − cos mπ) ⇒  Qm = 4Q   mπ m = 1, 3, 5,  Qm = mπ (36) Thay (34) vào (32) ta tìm nghiệm riêng phương trình là: M p w0 = Fm mπx sin Ωt sin L − Ω2 ω2 m=1 m (37) Qm m2 π2 I0 + I2 L Từ đó, ta có nghiệm tổng quát độ võng: đó: Fm = M p w0 = wh0 + w0 = Wmh sin (ωm t + ϕm ) + m=1 Fm mπx sin Ωt sin L − Ω2 ω2m (38) Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Trong báo này, tác giả sử dụng điều kiện ban đầu toán là, t = 0: w0 = w˙ = 0, ∀x ∈ [0, L] Do đó, ta thu được:   ϕ =0    m Ω/ωm ∀m (39)  h  Fm   Wm = 2 Ω − ωm Thay kết thu (39) vào (38) ta được:   M  Ω/ωm   sin mπx w0 (x, t) = Fm  sin ωm t + sin Ωt  L ωm − Ω Ω2 − ω2m m=1,3,5, (40) Phương trình (40) sử dụng để phân tích đáp ứng động dầm FGM liên kết hai đầu khớp Từ đây, ta tìm độ võng dầm (x = L/2):   M  Ω/ωm  mπ  sin sin ωm t + sin Ωt (41) w0 (L/2, t) = Fm  2 2 ωm − Ω Ω − ωm m=1,3,5, Kết số thảo luận Xét dầm vật liệu P-FGM (Al/Al2 O3 ), liên kết hai đầu khớp; chiều cao tiết diện dầm h = 0,1 m, bề rộng tiết diện dầm b = 0,05 m, chiều dài dầm L Mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, khối lượng riêng kim loại (Al): Em = 70 GPa, νm = 0,3, ρm = 2702 kg/m3 ; gốm (Al2 O3 ): Ec = 380 GPa, νm = 0.3, ρm = 3800 kg/m3 6.1 Ví dụ kiểm chứng Xét dầm tiết diện chữ nhật, liên kết hai đầu khớp, vật liệu P-FGM (Al/Al2 O3 ) Bảng trình bày L2 kết tính tốn tần số dao động riêng không thứ nguyên, ω ¯ i = ωi ρm /Em cho dầm hai h Bảng Kiểm chứng tần số dao động riêng không thứ nguyên, ω ¯ dầm FGM liên kết hai đầu khớp p L/h 20 m Nguồn 0,5 10 Thai Vo [9] Bài báo 5,3953 5,3953 4,5931 4,5932 4,1484 4,1485 3,7793 3,7796 3,4921 3,4923 Thai Vo [9] Bài báo 20,6187 20,6187 17,5415 17,5452 15,7982 15,8063 14,3260 14,3400 13,2376 13,2521 Thai Vo [9] Bài báo 43,3483 43,3483 36,8308 36,8640 33,0278 33,0996 29,7458 29,8650 27,4752 27,6041 Thai Vo [9] Bài báo 5,4777 5,4777 4,6641 4,6641 4,2163 4,2163 3,8472 3,8472 3,5547 3,5547 Thai Vo [9] Bài báo 21,8438 21,8438 18,5987 18,5987 16,8100 16,8100 15,3334 15,3335 14,1676 14,1677 Thai Vo [9] Bài báo 48,8999 48,8999 41,6328 41,6330 37,6173 37,6178 34,2954 34,2961 31,6883 31,6891 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng trường hợp kích thước dầm L/h = 5; 20 áp dụng cho dạng dao động với số tỷ lệ thể tích p = 0; 0,5; 1; 2; 10 Nghiệm giải tích báo so sánh với kết tác giả Thai Vo [9] sử dụng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (CBT) với dạng nghiệm Navier; nhiên tính tốn hệ trục gắn với mặt trung bình Từ kết tính tốn kiểm chứng trên, thấy lời giải giải tích chương trình máy tính sử dụng báo có độ tin cậy (sai lệch lớn L/h = 5, p = 10 m = 0,4691%) 6.2 Khảo sát tần số dao động riêng dầm FGM Xét dầm chữ nhật, liên kết hai đầu khớp, vật liệu P-FGM dao động tự môi trường hồn tồn lý tưởng (khơng cản) Hình thể dạng dao động (biến thiên độ võng w0 theo chiều dài dầm) dầm FGM với dạng dao động với, tương ứng với m = 1; 2; Có thể thấy rằng, giá trị m số nửa bước sóng hình sin đường đàn hồi; m tăng, tần số dao động riêng dầm tăng Tần số dao động ứng với trường hợp m = (đường đàn hồi có dạng nửa bước sóng hình sin) có trị số nhỏ nhất, nhỏ nhiều so với dạng dao động HìnhHình Biến thiên tần sốsố ωcbbản, Hình 2.Hình BaBa dạng daodạng độngđộng riêngđộng dầmtiên 3 Biến thiên tần cơbản, bản, củadầm FGM Hình dao riêng đầucủa tiên Hình Biến thiên tần số cb 2.dạng Ba dao riêng đầu cb FGM tương ứng với m = 1; 2; theo p L/h dầm FGM tương ứng với m = 1; 2; dầm FGM theo p L/h dầm FGM tương ứng với m = 1; 2; dầm FGM theo p L/h số dao vớichỉ sốthể tỷ lệ tỷ psố bản TầnTần số dao động ωcb FGM với số tỷcác lệ tích, thể tỷpsốvà kích thước cb dầm Tần số động dao động cơcủa củaFGM dầm FGM với sốthể tỷptích, lệ tích, tỷdầm số  dầm cb L/hkích tính dầm tốn L/h trình bày Bảngbày Biến thiên daothiên độngcủa thước tínhnhư tốn trình Bảngtần2.số Biến tần theo hai dầm L/h tham sốkích thước thể Hìnhtính tốn trình bày Bảng Biến thiên tần số dao động theo hai tham số thể Hình dao động bảnkhi theo hai tham thể tăng hàm Hình Cácsốkết chocơ thấy, p tăng (đồngsốnghĩa với việc lượng3.kim loại vật liệu Bảng TầnL/h số dao [rad/s] củabản dầm FGM kết số tỷ thể Với FGM), hoặc2.khi tăngđộng (dầmcơ dàibản, ra), tần ωcb giảmvới (độcác cứng cấulệgiảm) cb số Bảng Tần số dao động bản, dao cb [rad/s] dầm FGM với số tỷ lệ thể tỷ số kích thước dầm L/h, tần số ω giảm nhanh p tăng khoảng [0, 2], sau tích, p tỷ số kíchcbthước dầm L/h khác tích, p tỷ số kích thước dầm L/h khác giảm chậm lại gần không thay đổi p tiến tới 10 Đồng thời, với số tỷ lệ thể tích p, tần L/h số ωcb giảm nhanh L/h tăng pkhoảngp [10, 20], sau giảm chậm lại dầm L/h trở nên dài (L/h 50) tiến tới0,5 10 0,5 10 6.3.10Khảo2837,5 sát ảnh hưởng tham số1967,9 vật liệu, kích thước hình học, tải1830,4 trọng uốn1807,5 lên đáp ứng dao 2403,0 2165,1 1905,8 1865,8 10 2837,5 2403,0 2165,1 1967,9 1905,8 1865,8 1830,4 1807,5 động dầm FGM 20 711,5 602,6 543,1 493,8 478,2 468,2 459,3 453,5 Trong này, báo xem xét dầm chữ nhật, liên kết 478,2 hai đầu khớp, vật liệu 459,3 P-FGM (Al/Al O3 20phần711,5 602,6 543,1 493,8 468,2 453,5 30 dao 316,4 268,0 241,5không219,6 208,2 204,3 201,7 1); dầm động môi trường cản dưới212,7 tác dụng tải trọng cưỡng phân bố 268,0 241,5 219,6 212,7 208,2 204,3 201,7 q(t) = Q30 Ωt.316,4 40 sin 178,0 150,8 135,9 123,6 119,7 117,2 114,9 113,5 40 178,0 150,8 135,9 123,6 119,7 117,2 114,9 113,5 10 50 113,9 96,5 87,0 79,1 76,6 75,0 73,6 72,6 50 113,9 96,5 87,0 79,1 76,6 75,0 73,6 72,6 Các kết cho thấy, p tăng (đồng nghĩa với việc tăng hàm lượng kim loại cho thấy, khităng p tăng nghĩa vớidao việc lượng(độkim loại vậtCác liệukết FGM), L/h (dầm(đồng dài ra), tần số cơtăng hàm cb giảm Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng Tần số dao động bản, ωcb [rad/s] dầm FGM với số tỷ lệ thể tích, p tỷ số kích thước dầm L/h khác p L/h 0,5 10 10 2837,5 2403,0 2165,1 1967,9 1905,8 1865,8 1830,4 1807,5 20 711,5 602,6 543,1 493,8 478,2 468,2 459,3 453,5 30 316,4 268,0 241,5 219,6 212,7 208,2 204,3 201,7 40 178,0 phần150,8 135,9 123,6 119,7liên kết 117,2 114,9 vật liệu 113,5 Trong này, báo xem xét dầm chữ nhật, hai đầu khớp, Trong phần này, báo xem xét dầm chữ nhật, liên kết hai đầu khớp, vật liệu P- P50 FGM113,9 96,5 87,0 79,1 76,6 75,0 73,6 72,6 (Al/Al 2O3-1); dầm dao động môi trường không cản tác dụng tải FGM (Al/Al 2O3-1); dầm dao động môi trường không cản tác dụng tải trọng cưỡng phân (t Q ) sin Q0  sin trọng cưỡng bứcbức phân bố bố đềuđều q(t )q t t Khảo sát ảnh hưởng số số hạng khai triển chuỗi lượng giác, M Khảo hưởng số hạng số hạng chuỗi lượng Khảo sátsát ảnhảnh hưởng củacủa số số khaikhai triểntriển chuỗi lượng giác,giác, M M Xét dầm FGM với tỷ số kích thước dầm L/h = 50 số tỷ lệ thể tích p = 2; hai tần số dao FGM tỷ kích số kích thước L/h 50chỉ chỉtỷ sốlệtỷ thể pdụng = 2;của haitải XétXét dầm FGM tỷ thước = 50= số thểlệtích = 2; hai động riêng củadầm dầm là:với ω1với = số 79,08 rad/s dầm ω3 dầm = L/h 710,65 rad/s Dầm dao động dướiptích tác tần số dao động riêng dầm là: ω = 79,08 rad/s ω = 710,65 rad/s Dầm dao tầnphân số dao độngq(t) riêng dầm là: ωs) trọng bố đều: = 2của sin Ωt (kN/m, = 79,08 rad/s ω3 = 710,65 rad/s Dầm dao động dụng trọng phân bố đều: )  2sin t (kN/m, động táctác dụng củacủa tải tải trọng phân bố đều: s) s) q(t )q(t2sin t (kN/m, (a)(a) = 30 30 (a) ΩΩ =Ω rad/s = rad/s 30 rad/s Ω== 600 600 rad/s (b) Ω =Ω 600 rad/s (b)(b) rad/s Hình So hưởng sánh ảnhcủa củahạng sốtrong hạng khai triển khai triển chuỗi lượng giác Hình 4 SoSo sánh ảnh số số chuỗi lượng giác MMlên Hình sánh ảnh hưởnghưởng số sốsốhạng khai triển chuỗi lượng giác Mđáp lên đáp lên đáp ứng động dầm FGM ứngứng động dầm FGM động dầm FGM Hình khảo sát đường cong tải trọng - độ võng dầm FGM với hai trường hợp tần số lực cưỡng Hình khảo sát đường cong tải trọng - độ- võng của dầmdầm FGM với hai trường hợp hợp đường trọng haikhai trường Hình khảo 4sátkhảo bao sát gồm: (a) Ωcong = 30 tải rad/s, (b) Ωđộ= võng 600 rad/s Số sốFGM hạngvới triển chuỗi tầntần số số lựclực cưỡng bứcbức khảo sát sát baobao gồm: (a) Ω =Ω30=rad/s, (b) Ω =Ω 600 rad/s Số Số cưỡng khảo gồm: (a) 30 rad/s, (b) = 600 rad/s lượng giác nghiệm độ võng lấy với giá trị: M = 1, M = 10 M = 100 Các kết đồ hạng khai triển chuỗibức lượng giác nghiệm võng lấydầm, với 3sốgiá = khai thị số cho thấy, tần số lựctriển cưỡng gần với giác tần sốnghiệm daođộ động bảnđược hạng số hạng khai chuỗi lượng độ võng lấy vớisố3trị: giáMtrị: M= 1, M = 10 M ==10 100 Các kết đồ thị thấy, lực cưỡng gần triển 1, M M= 100kết choquả kếttrên đápcho ứngcho động gầntần nhưsố trùng khớpcưỡng Tuy gần nhiên, 1, MM==10 M = 100 Các đồ thị thấy, tần số lực số lựcbản cưỡng gần sốtrong dao động tiếp M theo củaMdầm, vớitrường tần số hợp dao tần động củabức dầm, sốvới số tần hạng khai riêng triển = 1, = 10nếu lấy với tần số dao động dầm, số số hạng khai triển M = 1, M = 10 mộtMsố= hạng khai triển (M = 1) đáp ứng động dầm chưa đảm bảo độ hội tụ (sai 100 cho kết đáp ứng động gần trùng khớp Tuy nhiên, trườnglệch lớn M biên = 100 cho kết đáp= ứng gần Tuy nhiên, trường độcưỡng võng 1với so động với M= 10 trùng vàriêng M =khớp 100 đến 14,5%) hợp tần sốđộlực bứcMgần tầnkhi số dao động tiếp lên theo dầm, lấy hợp tần số lực cưỡng gần với tần số dao động riêng dầm, lấy sốảnh hạng trongcủa khai triển = 1) thìp,đáp ứng động dầm chưa đảm bảo độ hội Khảomột sát hưởng sốtriển tỷ(M lệ thể vàđáp tỷ sốứng kíchđộng thước dầm, L/hchưa số hạng khai (M tích, = 1) dầm đảm bảo độ hội tụ (sai lệch lớn biên độ độ võng M = so với M = 10 M = 100 lên Xét dầmlệch FGMlớn tácvềdụng bốkhi đềuMq(t) = 2vàsinM30t (kN/m, tụ (sai biêncủa độ tải độ trọng võng cưỡng Mbức = 1phân so với = 10 = 100 lên s) đến 14,5%) Hình đến và14,5%) bao gồm đường cong độ võng-thời gian dầm FGM với số tỷ lệ thể tích, p, Khảo sát ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích, 11 p, tỷ số kích thước dầm, L/h Khảo sát ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích, p, tỷ số kích thước dầm, L/h Xét dầm FGM tác dụng tải trọng cưỡng phân bố q(t) = 2sin30t (kN/m,Xét s) dầm FGM tác dụng tải trọng cưỡng phân bố q(t) = 2sin30t (kN/m, s) Hình Hình bao gồm đường cong độ võng-thời gian dầm FGM với Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng tỷ số kích thước dầm, L/h khác Các kết đồ thị cho thấy, tăng p L/h làm tăng biên độ độ võng dầm Cụ thể là: p = 10, dầm có biên độ độ võng lớn gấp 4,19 lần so với p = 0; L/h = 50, dầm có biên độ độ võng tăng 59,2 lần so với L/h = 20 Hình Ảnh hưởng số tỷ lệ thể Hình Ảnh hưởng số tích tỷ lệ thể Hình Ảnh hưởng chỉcủa số tỷchỉ lệ thể p lên đáp ứng động dầm FGM p lên động dầm FGM tíchtích p lên đápđáp ứngứng động củacủa dầm FGM Hình Ảnh hưởng tỷ số kích Hình hưởng tỷkích số kích thước Hình Ảnh Ảnh hưởng củacủa tỷcủa số thước L/hthước lên đáp ứng động dầm FGM động dầm FGM L/hL/h lênlên đápđáp ứngứng động củacủa dầm FGM Khảo hưởng biên cưỡng bức, Khảo sátsát ảnhảnh hưởng củacủa biên độ độ lựclực cưỡng bức, QQ Khảo sát ảnh hưởng biên độ lực cưỡng bức, Q Hình khảo sát đáp ứng động dầm FGM (L/h = 50, p = 2, ω1 = 79,08 rad/s) tác dụng tải trọng cưỡng phân bố q(t) = Q sin 30t (kN/m, s); ba trường hợp biên độ lực cưỡng bứcHình được5.xem xéthưởng bao gồm: = 0,5; (kN/m).Hình Có thể biên độ số lựckích cưỡng Q Ảnh củaQchỉ số tỷ lệ 2thể 6.thấy Ảnhrằng, hưởng tỷ thước tăng ảnh hưởng lên biên độ dao động, vận tốc độ võng, chúng tăng tuyến tính theo biên độ lực tích p lên đáp ứng động dầm FGM L/h lên đáp ứng động dầm FGM cưỡng Đường cong quỹ đạo pha trường hợp tần số lực cưỡng xa so với tần số bản, trởsát nênảnh hỗnhưởng loạn, gồm cong giao bức, cắt Khảo củanhiều biênđường độ lực cưỡng Q Hình Đáp ứngứng động củacủa dầm FGM táctác dụng củacủa tải tải trọng uốnuốn q =qQsin30t Hình Đáp động dầm FGM dụng trọng = Qsin30t (kN/m, s) với cáccác biên độ độ củacủa lựclực cưỡng bứcbức khác (kN/m, s) với biên cưỡng khác Hình khảo sátsát đápđáp ứngứng động củacủa dầm FGM (L/h = 50, p =p 2, rad/s) Hình khảo động dầm FGM (L/h = 50, =ω 2,1 ω=1 79,08 = 79,08 rad/s) táctác dụng củacủa tải tải trọng cưỡng bứcbức phân bố bố đềuđều q(t)q(t) = Qsin30t (kN/m, s); s); ba ba trường dụng trọng cưỡng phân = Qsin30t (kN/m, trường hợphợp biên độ độ củacủa lựclực cưỡng bứcbức xem xétxét baobao gồm: Q =Q0,5; (kN/m) CóCó thểthể biên cưỡng xem gồm: = 0,5; (kN/m) thấy rằng, khikhi biên độ độ lựclực cưỡng bứcbức Q tăng ảnhảnh hưởng lênlên biên độ độ daodao động, vậnvận tốctốc thấy rằng, biên cưỡng Q tăng hưởng biên động, Hình 7.võng, Đáp ứng động dầm FGM tác dụng tải trọng uốncong qs)cong =vớiquỹ Qsin30t độ võng, chúng tăng tuyến tínhtính theo biên độ lực cưỡng Đường đạo chúng tăng tuyến theo biên độ lực quỹ đạo Hình độ Đáp ứng động dầm FGM tác dụng tải trọng uốncưỡng q =bức Q sin 30tĐường (kN/m, biên độ lực cưỡng bứclực khác phapha trường hợphợp tần số lực cưỡng xacưỡng so vớivới tầntần số số cơnhau bản, trởtrở nênnên hỗnhỗn (kN/m, s)tần vớisố biên độ khác trường lực cưỡng xa so bản, loạn, gồm nhiều đường cong giao cắtcắt loạn, gồm nhiều đường cong giao Hình8 khảo khảo ứng FGM p =(kN/m, 2, ω1 s) = lên 79,08 Hình sát sát ảnh đáp hưởng củađộng biên độ lựcdầm cưỡng bức: (L/h q(t) ==Q50, sin 70t hiệnrad/s) tượng phách điều dầm FGM (L/h = 50, p biên = 2, =lực 79,08 rad/s) Dễ dàng rằng, trường 8hòa khảo ảnh hưởng biên độωđộ lực cưỡng bức: q(t)q(t) = Qsin70t (kN/m, s) s) 1bố Hình khảo sát ảnh hưởng cưỡng =thấy Qsin70t (kN/m, dướiHình tác dụng củasát tải trọng cưỡng phân q(t) = bức: Qsin30t (kN/m, s); ba trường lênlên tượng điều hòa dầm FGM = 50, p ==p 2, rad/s) DễDễ phách điều hòa dầm FGM (L/h = 50, =ω 2,11ω=và =279,08 rad/s) 79,08 12 (L/h hợp biên độtượng củaphách lực cưỡng xem xét bao gồm: Q 0,5; (kN/m) Có thể dàng thấy rằng, trường hợp tần số lực cưỡng gần với tần số bản, dàng thấy rằng, trường hợp tần số lực cưỡng gần với tần số bản, thấy rằng, biên độ lực cưỡng Q tăng ảnh hưởng lên biên độ dao động, vận tốc đường quỹ đạođạo pha gần nhưnhư đường cong xoắn ốc ốc khép kín,cong daodao động đường cong quỹ pha gần làtheo đường cong dạng xoắn khép kín, động độ cong võng, chúng tăng tuyến tính biên độ lựcdạng cưỡng Đường quỹ đạo củacủa dầm FGM tương daosố động điều hòa Biên độ phách tuyến theo chiều dầm FGM tương tự dao động hịa Biên tăng tính theo pha trường hợptựtần lựcđiều cưỡng xađộ sophách vớităng tần sốtuyến tính bản, trở nênchiều hỗn Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng hợp tần số lực cưỡng gần với tần số bản, đường cong quỹ đạo pha gần đường cong dạng xoắn ốc khép kín, dao động dầm FGM tương tự dao động điều hòa Biên độ phách tăng tuyến tính theo chiều tăng biên độ lực cưỡng bức, chiều dài phách khơng đổi Nhìn chung, tượng biênđộđộcủa độ độ võng võng tăng kể kể so với trường hợp tần số hiệnkhitượng pháchphách xảy xảy ra, ra, cáccác biên tăngđáng đáng so với trường hợp lực cưỡng xa tần số dao động dầm tần số lực cưỡng xa tần số dao động dầm tượng phách xảy ra, biên độ độ võng tăng đáng kể so với trường hợp tần số lực cưỡng xa tần số dao động dầm Hình So hưởng lực cưỡng bứctượng tới phách tượng Hình Sosánh sánh ảnh ảnh hưởng củacủa biênbiên độ lựcđộ cưỡng tới điều hòaphách dầmđiều FGMhòa dầm FGM Khảo sát ảnh hưởng tần số lực cưỡng bức, Ω lên tượng phách điều hòa Khảo sát ảnh hưởng tần số lực cưỡng bức, Ω lên tượng phách điều hịa Hình mơ tả đáp ứng động dầm FGM: (L/h = 50, p = 2, ω1 = 79,08 rad/s) tác dụng Hình So cưỡng sánh ảnh hưởng lựcΩtcưỡng tới trường tượng phách hòa tải trọng phân bố biên q(t) =độ sin (kN/m,bức s); hai hợp tần số củađiều lực cưỡng dầmRõFGM xem xét bao gồm: Ω = 65 70của (rad/s) ràng là, tần số lực cưỡng gần với tần số bản, biên độ phách chiều dài phách Khảo sát ảnh hưởng tần số lực cưỡng bức, Ωtăng lên theo tượng phách điều hịa Hình So sánh ảnh hưởng tần số lực cưỡng tới tượng phách điều hịa dầm FGM Hình mô tả đáp ứng động dầm FGM: (L/h = 50, p = 2, ω1 = 79,08 rad/s) tác dụng tải trọng cưỡng phân bố q(t) = 2sinΩt (kN/m, s); hai trường hợp tần số9.So lực ảnh cưỡng xem xét baotớigồm: Ωtới= 65 vàtượng 70 hịa (rad/s) Rõ ràng Hình ảnh hưởng tầnlực sốcưỡng lực cưỡng bứctượng phách điều hòalà, Hình Sosánh sánh hưởng củacủa tần số phách điều dầm FGM dầm FGM tần số lực cưỡng gần với tần số bản, biên độ phách chiều dài phách đều9tăng Hình mơ theo tả đáp ứng động dầm FGM: (L/h = 50, p = 2, ω1 = 79,08 rad/s) tác dụng tải trọng cưỡng phân bố q(t) = 2sinΩt (kN/m, s); hai trường hợp tần số lực cưỡng xem xét13bao gồm: Ω = 65 70 (rad/s) Rõ ràng là, khiKết tầnluận số lực cưỡng gần với tần số bản, biên độ phách chiều dài Trên sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli chọn hệ tọa độ quy chiếu qua mặt phách đềucơtăng theo trung hoàn, báo thiết lập phương trình chủ đạo để phân tích đáp ứng động Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Kết luận Trên sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli chọn hệ tọa độ quy chiếu qua mặt trung hoàn, báo thiết lập phương trình chủ đạo để phân tích đáp ứng động dầm FGM chịu tải trọng uốn dạng đơn giản, tương tự dầm đẳng hướng Biểu thức giải tích dạng hiển tần số dao động riêng đáp ứng động dầm FGM liên kết khớp hai đầu thiết lập cho thấy ưu điểm việc sử dụng hệ trục tọa độ qua mặt trung hịa để tính tốn Chương trình tính tự viết Matlab nghiệm giải tích thu chứng tỏ độ tin cậy qua so sánh với kết tác giả khác sử dụng nghiệm Navier tính tốn mặt trung bình Các khảo sát số thực cho phép đánh giá ảnh hưởng tham số hình học, vật liệu đến đáp ứng động dầm FGM liên kết khớp hai đầu Các kết nhận cho thấy: - Tần số dao động dầm ứng với dạng dao động gồm nửa bước sóng (m = 1); - Việc lựa chọn lấy đầy đủ số số hạng khai triển nghiệm độ võng cần thiết để khảo sát đáp ứng động; - Khi tăng p, tỷ số kích thước L/h làm giảm độ cứng kết cấu dầm, dẫn đến giảm tần số dao động tự độ võng tăng; - Biên độ lực cưỡng tỷ lệ với độ võng dầm phân tích đáp ứng động tuyến tính; - Khi tần số lực cưỡng gần với tần số dao động tự do, tượng phách điều hòa xảy với dầm Biên độ lực cưỡng tăng làm tăng biên độ phách; tần số lực cưỡng ảnh hưởng tới biên độ chiều dài phách Tài liệu tham khảo [1] Koizumi, M (1993) The concept of FGM [2] Phuong, N T B., Tu, T M., Phuong, H T., Long, N V (2019) Bending analysis of functionally graded beam with porosities resting on elastic foundation based on neutral surface position Journal of Science and Technology in Civil Engineering (STCE) - NUCE, 13(1):33–45 [3] Aydogdu, M., Taskin, V (2007) Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges Materials & Design, 28(5):1651–1656 [4] Li, X.-F (2008) A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler–Bernoulli beams Journal of Sound and Vibration, 318(4-5):1210–1229 [5] Sina, S A., Navazi, H M., Haddadpour, H (2009) An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams Materials & Design, 30(3):741–747 [6] S¸ims¸ek, M., Kocatăurk, T (2009) Free and forced vibration of a functionally graded beam subjected to a concentrated moving harmonic load Composite Structures, 90(4):465–473 [7] S¸ims¸ek, M (2010) Fundamental frequency analysis of functionally graded beams by using different higher-order beam theories Nuclear Engineering and Design, 240(4):697–705 [8] S¸ims¸ek, M (2010) Vibration analysis of a functionally graded beam under a moving mass by using different beam theories Composite Structures, 92(4):904–917 [9] Thai, H.-T., Vo, T P (2012) Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories International Journal of Mechanical Sciences, 62(1):57– 66 [10] Pradhan, K K., Chakraverty, S (2013) Free vibration of Euler and Timoshenko functionally graded beams by Rayleigh–Ritz method Composites Part B: Engineering, 51:175–184 [11] Mashat, D S., Carrera, E., Zenkour, A M., Khateeb, S A A., Filippi, M (2014) Free vibration of FGM layered beams by various theories and finite elements Composites Part B: Engineering, 59:269–278 [12] Su, H., Banerjee, J (2015) Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams Computers & Structures, 147:107–116 14 Long, N V., cs / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [13] Le, T H., Gan, B S., Trinh, T H., Nguyen, D K (2014) Finite element analysis of multi-span functionally graded beams under a moving harmonic load Mechanical Engineering Journal, 1(3):CM0013– CM0013 [14] Bellifa, H., Benrahou, K H., Hadji, L., Houari, M S A., Tounsi, A (2015) Bending and free vibration analysis of functionally graded plates using a simple shear deformation theory and the concept the neutral surface position Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 38(1):265– 275 [15] Zhang, D.-G (2013) Modeling and analysis of FGM rectangular plates based on physical neutral surface and high order shear deformation theory International Journal of Mechanical Sciences, 68:92–104 [16] Zhang, D.-G., Zhou, Y.-H (2008) A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface Computational Materials Science, 44(2):716–720 [17] Yaghoobi, H., Fereidoon, A (2010) Influence of neutral surface position on deflection of functionally graded beam under uniformly distributed load World Applied Sciences Journal, 10(3):337–341 [18] Larbi, L O., Kaci, A., Houari, M S A., Tounsi, A (2013) An Efficient Shear Deformation Beam Theory Based on Neutral Surface Position for Bending and Free Vibration of Functionally Graded Beams# Mechanics Based Design of Structures and Machines, 41(4):421–433 [19] Li, J., Wang, G., Guan, Y., Zhao, G., Lin, J., Naceur, H., Coutellier, D (2021) Meshless analysis of bidirectional functionally graded beam structures based on physical neutral surface Composite Structures, 259:113502 [20] Zhang, D.-G (2013) Nonlinear bending analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory Composite Structures, 100:121–126 [21] Chi, S.-H., Chung, Y.-L (2006) Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load—Part I: Analysis International Journal of Solids and Structures, 43(13):3657–3674 [22] Atmane, H A., Tounsi, A., Bernard, F (2015) Effect of thickness stretching and porosity on mechanical response of a functionally graded beams resting on elastic foundations International Journal of Mechanics and Materials in Design, 13(1):71–84 [23] Reddy, J N (2006) Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells CRC Press [24] Reddy, J N (2017) Energy principles and variational methods in applied mechanics John Wiley & Sons [25] Dym, C L., Shames, I H (1973) Solid mechanics Springer 15 ... S¸ims¸ek [8] phân tích dao động dầm FGM tác dụng tải trọng di động theo số lý thuyết dầm bao gồm: lý thuyết dầm cổ điển, bậc bậc ba Thai Vo [9] thiết lập nghiệm Navier cho tốn phân tích uốn dao động. .. sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao lý thuyết dầm cổ điển Li [4] đề xuất cách tiếp cận hợp nhất, xây dựng lời giải giải tích phân tích uốn dao động riêng dầm FGM sử dụng hai mơ hình dầm Timoshenko... pháp độ cứng động lực phân tích dao động riêng dầm FGM theo lý thuyết dầm Timoshenko với liên kết khác Le cs [13] phân tích đáp ứng động dầm FGM nhiều nhịp tác dụng tải trọng di động phương pháp