Sự tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM Timoshenko

Bài viết Sự tương tác giữa dao động dọc trục và dao động uốn trong dầm FGM timoshenko nghiên cứu sự thay đổi của trục trung hoà được tính toán đối với dầm FGM Timoshenko và ảnh hưởng của nó đối với các hệ số cơ học, đặc biệt đối với sự liên hệ giữa dao động dọc trục và dao động uốn của dầm.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 SỰ TƯƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG UỐN TRONG DẦM FGM TIMOSHENKO Nguyễn Ngọc Huyên Trường Đại học Thuỷ lợi, email: nnhuyen@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Vật liệu FGM (Functionally Graded Material) loại vật liệu hai thành phần có tính trội so với composite lớp ứng dụng rộng rãi ngành công nghệ cao quan tâm nghiên cứu năm gần Các phương pháp số sử dụng nghiên cứu dao động kết cấu dầm làm vật liệu FGM kể tới Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp phần tử phổ (SEM) hay phương pháp Rayleigh-Ritz Dao động dầm FGM với số vết nứt quan tâm nghiên cứu, nhiên hầu hết nghiên cứu trục trung hoà dầm giả thiết trùng với trục dầm, tức bỏ qua thay đổi vị trí trục trung hồ Trong báo này, nghiên cứu thay đổi trục trung hồ tính tốn dầm FGM Timoshenko ảnh hưởng hệ số học, đặc biệt liên hệ dao động dọc trục dao động uốn dầm Dầm có tính biến đổi theo chiều dọc: Tỷ lệ thể tích hai thành phần kim loại gốm có dạng: (3) V ( x)  (1  x / L) n , c  (0),  m  ( L) Các tính chất học vật liệu có dạng: ( x)  m  (c  m )V ( x),  x  L (4) 2.2 Phương trình chuyển động Xét dầm có chiều dài L, tiết diện mặt cắt ngang không đổi A = b × h làm từ vật liệu FGM Giả sử dầm khơng chịu tác dụng tải trọng ngồi, sử dụng Nguyên lý Hamilton ta thiết lập phương trình chuyển động miền thời gian & A  )  ; & A11u)  ( I12& ( I11u& 12 & & & A12u )  ( I 22  A22 )  ( I12u& (5)  A33 ( w   )  ; & & A33 (w   )  I11w ( A11 , A12 , A22 )   E ( z )(1, z  h0 ,( z  h0 ) )dA; A A33    G ( z )dA; (6) A PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 2.1 Vật liệu FGM Dầm có tính biến đổi theo chiều cao: Vật liệu dầm giả thiết làm từ hai thành phần kim loại gốm với tỷ lệ thể tích tuân theo quy luật hàm số mũ: ( z )  b  (t  b )V ( z ),  h /  z  h / (1) ( z) ký hiệu tính chất học vật liệu tổ hợp E, G, ρ, z toạ độ điểm tính từ mặt trung hoà, V ( z )  ( z / h  1/ 2) n (2) b  (h / 2), t  (h / 2) ( I11 , I12 , I 22 )    ( z )(1, z  h0 ,( z  h0 )2 )dA A ĐIỀU KIỆN KHÔNG TƯƠNG TÁC GIỮA DAO ĐỘNG DỌC TRỤC VÀ DAO ĐỘNG UỐN Theo định nghĩa, mặt trung hồ dầm mặt mà ứng suất pháp khơng, xx = 0, chia dầm thành hai phần chịu kéo nén Trục trung hoà dầm phẳng với mặt cắt có hai trục đối xứng theo lý thuyết cổ điển giả thiết nằm 39 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 mặt dầm, nhiên trường hợp dầm khác vị trí thay đổi tới vị trí bên so với vị trí mặt Đối với dầm FGM, vị trí trục trung hoà kể từ mặt h0, xác định từ điều kiện: h /2 b  E ( z )( z  h )dz  (7)  h /2 cụ thể h /2 h0    h /2 h /2 E ( z ) zdz /  E ( z ) dz (8)  h /2 Đối với dầm có tính biến đổi theo chiều dọc, từ biểu thức (8) xác định vị trí mặt trung hồ khơng thay đổi nằm dầm Trong trường hợp vật liệu FGM có tính biến đổi theo chiều cao theo luật lũy thừa ta tính n(re  1)h h0  , re  Et / Eb (9) 2(n  2)(n  re ) Từ thấy Et  Eb  E , tức re  dẫn đến h0  , tức trục trung hoà trùng với trục dầm dầm đồng Đại lượng không thứ nguyên h0  h0 / h phụ thuộc vào tham số vật liệu n tỷ số mô đun đàn hồi minh hoạ Hình 1-2 Hình Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào tỷ số mô đun đàn hồi với số mũ n khác Hình Vị trí trục trung hòa phụ thuộc vào số mũ n với tỷ số mô đun đàn hồi khác Dễ dàng nhận thấy, tỷ số mô đun đàn hồi bất kỳ, thấy thay đổi trục trung hoà đạt cực đại tham số n  2re thay đổi tăng nhanh với số mũ nhỏ sau tăng chậm với tăng lên tham số Có thể thấy thay đổi vị trí trục trung hồ tăng chậm tỉ số mô đun đàn hồi lớn với số mũ n so với số mũ cao Trong trường hợp tỷ số nhỏ 1, nói chung dễ dàng nhận thấy vị trí trục trung hoà tăng nhanh với n = 1, Nói chung, vị trí trục trung hồ dịch chuyển lên xuống phụ thuộc vào mô đun đàn hồi (Et Eb) lớn Với vị trí trục trung hịa h0 tìm theo biểu thức (9), phương trình dao động tự dầm FGM viết lại thành & ; & A11u   I 12& I11u& & A  )  A ( w   )  ; (10) & ( I 22& I12 u& 22 33 & & A33 (w   )  , I11w Dễ dàng nhận thấy I12 = 0, phương trình (10) rút gọn thành & A11u  0; I11u&  & A  )  A ( w   )  0; (11) ( I 22& 22 33  & & A33 ( w   )  I11w  Rõ ràng, phương trình (11) phương trình dao động dọc trục túy nghiên cứu đầy đủ Hai phương trình sau có dạng hồn tồn tương tự phương trình dao động uốn dầm Timoshenko (tuy nhiên hệ số phương trình phụ thuộc vào tham số vật liệu FGM) Như vậy, trường hợp dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tách rời hồn tồn Do điều kiện tách rời hay không tương tác dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tính đến vị trí thực trục trung hịa I12 = Từ (6), xác định I12 có dạng  n( r  1) 2h0 ( r  n)  I12   Ah     (n  2)(n  1)( r  1) h(n  1)( r  1)  (12) r  t / b ;   ( t  b ) / Sử dụng cơng thức (9) cho vị trí trục trung hịa, ta biểu diễn I12 dạng: 40 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 I12  Ahb (r  re )n (13) 2(2  n)(re  n) Dễ dàng nhận thấy I12 = n = r = re Trường hợp n = 0, vật liệu đồng độc lập dao động dọc trục dao động uốn xảy dầm đồng Trường hợp thứ hai, điều kiện không tương tác dao động dọc trục dao động uốn (14) re  r Như vậy, dầm FGM thỏa mãn điều kiện (14) gọi dầm FGM tỷ lệ tỷ số re  re / r gọi hệ số tỷ lệ vật liệu Để nghiên cứu kỹ điều kiện không tương tác khảo sát hệ số tương tác (12) I I12  12 (15)  Ah Xét hệ số (15) hàm vị trí trục trung hịa ứng với giá trị r khác với n cố định n khác với r cố định Hình - trình bày phụ thuộc hệ số tương tác vào vị trí trục trung hịa ứng với giá trị khác tỷ số khối lượng riêng số số mũ n Từ hình vẽ cho thấy hệ số tương tác phụ thuộc tuyến tính vào vị trí trục trung hồ, độ dốc đường đồ thị phụ thuộc chủ yếu vào tham số vật liệu r Đối với n, độ dốc không đổi tỷ số không đổi r hệ số giảm n tăng lên KẾT LUẬN Các kết nghiên cứu: Xác định hàm giải tích thay đổi vị trí trục trung hồ dầm FGM phụ thuộc vào tham số vật liệu Sử dụng kết tính tốn xác vị trí trục trung hòa, tác giả nhận điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tách rời hoàn toàn, gọi điều kiện khơng tương tác Từ đưa khái niện dầm tỷ lệ, tức thỏa mãn điều kiện không tương tác, bao gồm dầm đồng cổ điển Nghiên cứu chi tiết hệ số tương tác phụ thuộc vào tham số vật liệu hình học Các phân tích sử dụng tính tốn dao động ổn định dầm FGM cần phải tính đến vị trí trục trung hịa, đặc biệt có tải ngồi tác dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO I12 h0/h Hình Hệ số tương tác hàm vị trí trục trung hồ với n = tỷ số mật độ khối khác I12 h0/h Hình Hệ số tương tác hàm vị trí trục trung hồ với r = 10 số mũ n khác [1] Birman V and Byrd L.W (2007) Modeling and Analysis of Functional Graded Materials and Structures Applied Mechanics Reviews 60, 195–215 [2] Li X.-F (2008) A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and EulerBernoulli beams Journal of Sound and Vibration 318, 1210-1229 [3] M.A Eltaher, A.E.Alshorbagy and F.F Mahmoud (2013) Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/micro-beams Composite Structures 99, 193-201 [4] Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014) Lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98 41 ... vậy, trường hợp dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tách rời hoàn tồn Do điều kiện tách rời hay khơng tương tác dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tính đến vị trí thực trục trung hòa I12... lập dao động dọc trục dao động uốn xảy dầm đồng Trường hợp thứ hai, điều kiện không tương tác dao động dọc trục dao động uốn (14) re  r Như vậy, dầm FGM thỏa mãn điều kiện (14) gọi dầm FGM. .. thuộc vào tham số vật liệu Sử dụng kết tính tốn xác vị trí trục trung hịa, tác giả nhận điều kiện để dao động dọc trục dao động uốn dầm FGM tách rời hoàn toàn, gọi điều kiện khơng tương tác Từ