Tối ưu hóa quá trình nung cảm ứng trong kỹ thuật tạo hình vật liệu ở trạng thái bán lỏng hệ hợp kim nhôm

TỐ TRONG ẢM ỨNG HỢP KIM NHÔM LUẬN ÁN TIẾ SĨ Ậ TỐ ẢM ỨNG HỢP KIM NHÔM Chuyên ngành: Cơng nghệ tạo hình vật liệu Mã số : 62520405 PGS.TS NGUYỄ S À P S S À Ă M P S S S P S S Ơ Ũ M Ễ GỪNG Ă P S S Ặ ẮC TRUNG Ế ẾN N LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan cơng trình nghiên cứu thân tác giả Các kết nghiên cứu kết luận luận án trung thực, không chép từ nguồn hình thức Việc tham khảo nguồn tài liệu thực trích dẫn ghi nguồn tài liệu tham khảo quy định Tác giả luận án Nguyễn Vinh Dự i TÓM TẮT LUẬN ÁN Vào năm 1970, kỹ thuật tạo hình vật liệu tạo hình Giáo sư C.Flemings nghiên cứu sinh ông David Spencer học viện MIT (Hoa Kỳ) phát phát triển ngày – kỹ thuật tạo hình trạng thái bán lỏng, kỹ thuật ứng dụng thương mại hóa ngành sản xuất công nghiệp, đặc biệt sản xuất chi tiết cho ngành khí Phương pháp tạo hình trạng thái bán lỏng chia làm hai loại: tạo hình lưu biến (Rheoforming) tạo hình xúc biến (Thixoforming) Và vấn đề đặt trình gia nhiệt phơi phương pháp tạo hình xúc biến (Thixoforming) độ chênh nhiệt độ tồn thể tích phơi tượng hiệu ứng bề mặt Để giải vấn đề Luận án sử dụng thuật toán phương pháp độ dốc liên hợp Conjugate Gradient Method (CGM) - thuật tốn lặp, phương chiều liên quan đến hàm hội tụ E giải cách giải tốn tiệm cận, cịn việc tối ưu hóa kích thước bước xác định cách giải toán độ nhạy để giải vấn đề tối ưu hóa q trình nung phơi kỹ thuật tạo hình vật liệu bán lỏng theo phương pháp tạo hình xúc biến (Thixoforming), đồng thời kết hợp với phương pháp sai phân hữu hạn ứng với điều kiện biên, điều kiện ban đầu vừa gia nhiệt, vừa làm nguội bề mặt phơi nung, sở thuật tốn đưa ra, Luận án xây dựng chương trình mơ tối ưu q trình nung phơi phần mềm Comsol, đồng thời thực nghiệm mơ hình thực tế phơi hợp kim nhơm A356 để qua đánh giá độ đồng nhiệt độ làm sở so sánh đánh giá tính xác, tính khoa học phương pháp số, thuật toán phương pháp độ dốc liên hợp CGM, phương pháp mơ giải tốn tối ưu Mục tiêu Luận án giải đưa phương án, chế độ liên quan đến trình gia nhiệt cảm ứng, kết thực nghiệm phương pháp số ứng với điều kiện biên 2D toán ban đầu giải cách tối ưu kiểm nghiệm khả tạo hình vận tốc ép khác Và kết nhận thấy chất lượng mẫu sau trình gia nhiệt cảm ứng đạt yêu cầu kết cho thấy vận tốc ép v = mm/s mang lại kết tốt ii ABSTRACT Since the 1970's, a new casting technique called semi-solid metal (SSM) forming has become important in the formation of metal alloys It was originally developed by Professor Merton C Flemings at the Massachusetts Institute of Technology in the 1970s and has since been commercialized and employed in the industry There are two technical directions of SSM forming: rheoforming and thixoforming The thixoforming technique requires heating the feedstock to a semi-solid state with a uniform temperature distribution, a uniform globular microstructure and an optimum liquid fraction The skin effect of induction heating results in an exponential heat source profile within the semi-solid material In this study, the conjugate gradient method in conjunction with the adjoint method is used to find a heating process to reach a uniform temperature distribution along the radius of a cylinder in a relatively short time It is found that a modified Conjugate Gradient Method may provide a satisfactory heating strategy The physical and mathematical models take into account the temperature-dependent thermo-physical properties Radiative and convective heat losses and different heating frequencies are also considered Our objectives are to deal with the more general induction heating issues in the semisolid metal formation by taking into account the conditions of radiation and convection during the heating combined with cooling process at the surface of samples (billets), hence the spatial-temporal variation of temperature on the whole sample volume The billets after that will be re- heated by induction system for obtaining a fine uniform globular microstructure and will be pressed under different pressing speeds Lab experiments and numerical approaches for the alloys heated with the conditions of convection and radiation as well as re-heated and pressed under various pressing speeds for the relationship between the punch speed, pressing force, flow stress and temperature distribution are carried on We also observed that the quality of our samples after the induction heating process was very good and the ‘foot elephant’ pattern did not occur The results also showed that a punch speed of v = mm/s could bring the in the “best stress” and “best microstructure” for the samples iii LỜI CẢM ƠN Nhìn lại quãng thời gian năm, chứng kiến bao thăng trầm ngành Khoa học Cơng nghệ thành phố Hồ Chí Minh, bao thay đổi Trung tâm Ứng dụng tiến khoa học công nghệ, cuối vượt qua mình, để hồn tất Luận án Thật sự, nỗ lực vươn lên thân, khơng có giúp đỡ động viên Đồng chí lãnh đạo, hỗ trợ nhiệt tình gia đình, quý đồng nghiệp, bạn bè xa gần, có lẽ tơi khó trọn vẹn đường nghiên cứu khoa học, tưởng chừng vô tận NGÀN LỜI TRI ÂN CỦA TÔI, XIN PHÉP GỬI ĐẾN: Các đồng chí lãnh đạo Ban Tổ chức Thành ủy, Ban điều hành Chương trình 500ThS, TS TS Lưu Phương Minh – Đại học Bách khoa TP Hồ Chí Minh, GS.TSKH Nguyễn Thế Hưng – Đại học Bách khoa Montreal, Canada, Thầy dẫn dắt ngày đầu chập chững bước vào đường khoa học bao la PGS.TS Phan Minh Tân, nguyên Giám đốc Sở Khoa học Công nghệ TP.HCM, người khuyến khích, hỗ trợ tơi nhiều đường nghiên cứu khoa học PGS.TS Lê Hoài Quốc, Trưởng Ban Quản lý Khu Công nghệ cao, người tạo điều kiện tơi có hội vận dụng kiến thức học vào thực tiễn công việc GS.TS Nguyễn Quang Trí – Đại học Dalhouse, Canada - bậc đàn anh cho lời khuyên quý báu để vượt qua thử thách, đồng thời anh người tiếp sức cho tơi để đến buổi ngày hơm Ngồi ra, cịn có Thầy, Cơ Bộ mơn Cơng nghệ Thiết bị vật liệu Cơ khí, Bộ mơn Cơng nghệ Kim loại dõi theo bước chân để động viên, cho lời khun để tơi có điều chỉnh kịp thời đường Nghiên cứu Khoa học Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn anh, chị Phòng Quy hoạch Đào tạo-Ban tổ chức Thành ủy TP Hồ Chí Minh Khối 244 nói chung, phận Tổ chức Cán thuộc iv Văn phòng Sở Khoa học Cơng nghệ Tp Hồ Chí Minh ln đồng hành giúp đỡ tơi suốt q trình tơi tham gia chương trình đào tạo ThS, TS Quý đồng nghiệp Phòng ban Trung tâm, đặc biệt ThS Đặng Hữu Thọ, KS Phan Quang An, KS Trần Trung Trực, KS Trang Hồng Thái, KS Ngũn Cơng Bảo - anh thắp sáng nuôi dưỡng lửa nhiệt thành tơi, giúp tơi giữ vững lịng nhiệt huyết đường khoa học mà chọn Lịng biết ơn vơ bờ đến đồng nghiệp tơi, nhân viên Phịng Cơ khí Tự động hóa, Phịng Hành – Tổ chức gánh vác công việc thay lúc vắng mặt, em Đặng Hoàng Yến, chị Nguyễn Thị Mai Ly, chị Nguyễn Thị Ngọc Châu, chị Đổng Điền Xuân Hiền nhiều người mà kể hết, mong nhận đồng thuận bạn tương lai tới Và sau khởi đầu trân trọng nhất, xin gửi tình cảm chân thành tơi đến bạn bè xa gần: PGS.TS Phạm Sơn Minh, bạn Hồng Quốc Dũng,…những người ln sát cánh tơi phút giây cần thiết Và cuối cùng, không kể đến gương mặt đáng yêu Đại học Bách khoa Montreal, nơi vừa làm quen giai đoạn thực tập sinh đất Canada, anh chị Hiu Jiang, Amin,…Các bạn khắc ghi ký ức tơi kỷ niệm khó phai tháng ngày thử thách đời Tri ân cho người phụ nữ quan trọng đời tôi: Mẹ tôi, Nguyễn Thị Ngát Và vợ tôi, Phạm Ngọc Thùy Dương Ngàn lần cảm ơn Gửi đến bố tôi, Ngũn Thành Cơng, chú, bác, cậu, dì gia đình tơi Một kỷ niệm đáng nhớ dành riêng cho trai yêu dấu tôi: Con Hiếu Khang Con Khang Đức v MỤC LỤC DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH viii DANH MỤC BẢNG xii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT xiii CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ QUÁ TRÌNH NUNG CẢM ỨNG TRONG KỸ THUẬT TẠO HÌNH Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG HỆ HỢP KIM NHÔM 1.1 Tổng quan phương pháp tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng 1.1.1 Các kỹ thuật tạo hình trạng thái bán lỏng 1.1.2 Ưu, nhược điểm phương pháp tạo hình trạng thái bán lỏng 12 1.2 Phạm vi ứng dụng: 13 1.3 Tổng quan phương pháp nung 13 1.4 Tổng quan kết nghiên cứu nước 16 1.4.1 Giải toán đồng nhiệt độ theo hướng thực nghiệm 18 1.4.2 Giải toán đồng nhiệt độ theo hướng phương pháp số 33 1.5 Kết luận: 36 CHƯƠNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA QUÁ TRÌNH NUNG CẢM ỨNG TRONG QUÁ TRÌNH TẠO HÌNH VẬT LIỆU Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG 37 2.1 Cơ sở vật lý trình nung cảm ứng 37 2.1.1 Các tính chất điện từ trình nung cảm ứng 38 2.1.2 Hiện tượng hiệu ứng đầu mút độ giảm nhiệt độ từ đầu đến đuôi 42 2.2 Cơ sở trình truyền nhiệt nung cảm ứng 44 2.2.1 Khái niệm dẫn nhiệt phương trình vi phân truyền nhiệt vật rắn 44 2.2.2 Phương trình truyền nhiệt 47 2.3 Kết luận 50 CHƯƠNG TỐI ƯU HĨA Q TRÌNH NUNG CẢM ỨNG TRONG KỸ THUẬT TẠO HÌNH VẬT LIỆU Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG 52 3.1 Các phương pháp tìm nghiệm hệ phương trình vi phân trao đổi nhiệt 52 3.1.1 Nguyên lý 52 3.1.2 Cơ sở phương pháp số để giải toán dẫn nhiệt .54 3.2 Tối ưu hố q trình nung cảm ứng phương pháp độ dốc liên hợp Conjugate Gradient Method (CGM) 56 3.2.1 Mơ hình vật lý 56 3.2.2 Mơ hình tốn học 56 3.3 Các bước phương pháp lặp CGM: 59 3.4 Sử dụng phần mềm Matlab để tối ưu hóa q trình nung cảm ứng cơng nghệ tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng 61 3.5 Mơ q trình nung cảm ứng phần mềm Comsol 66 3.5.1 Giới thiệu phần mềm Comsol 66 vi 3.5.2 Các bước thực phần mềm Comsol .67 3.5.3 Một số kết tính tốn phần mềm Comsol 69 3.6 So sánh kết tính tốn phần mềm Comsol phương pháp số 72 3.7 Kết luận 75 CHƯƠNG THỰC NGHIỆM TỐI ƯU QUÁ TRÌNH NUNG CẢM ỨNG TRONG KỸ THUẬT TẠO HÌNH Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG 77 4.1 Thực nghiệm 77 4.1.1 Thiết bị thực nghiệm 77 4.1.2 Phôi thực nghiệm 81 4.1.3 Kết nhận xét 83 4.2 Biện luận 94 4.3 So sánh với nghiên cứu trước 95 4.4 Kết luận 100 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU KIẾM CHỨNG KHẢ NĂNG TẠO HÌNH CHI TIẾT CƠ KHÍ BẰNG CƠNG NGHỆ TẠO HÌNH Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG 102 5.1 Giới thiệu phần mềm Deform 102 5.2 Mô q trình ép chảy nhơm A356 trạng thái bán lỏng 104 5.2.1 Thiết lập liệu cho q trình mơ .104 5.2.2 Nhập liệu vào Deform 108 5.3 Kiểm chứng khả tạo hình chi tiết từ vật liệu hợp kim nhơm A356 cơng nghệ tạo hình trạng thái bán lỏng 113 5.4 Thử nghiệm tính: 122 5.5 Kết luận 125 KẾT LUẬN 126 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ 128 TÀI LIỆU THAM KHẢO 129 PHỤ LỤC 135 PHỤ LỤC 149 PHỤ LỤC 158 PHỤ LỤC 159 PHỤ LỤC 160 PHỤ LỤC 179 PHỤ LỤC 180 vii DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH Hình 1.1 Sơ đồ kỹ thuật tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng [41] Hình 1.2 Thành phần rắn lỏng kim loại trạng thái mushy/semi-solid [41] Hình 1.3 Đồ thị thể mối quan hệ phần trăm pha lỏng nhiệt độ Hợp kim A357 [15] Hình 1.4 Sơ đồ quy trình tạo hình phương pháp lưu biến (Reohcasting) [26] Hình 1.5 Nguyên lý phá vỡ thiên tích nhánh Hình 1.6 Quá trình tạo hình phương pháp xúc biến (Thixocasting) [26] Hình 1.7 Kỹ thuật gây khuấy trộn từ trường khuấy trộn [26] 10 Hình 1.8 Sơ đồ sản xuất phôi [26] 10 Hình 1.9 Nguyên lý tạo hạt có dạng hình cầu [26] 11 Hình 1.10 Mơ hình tạo hình xúc biến (Thixoforming) [26] 11 Hình 1.11 Một số sản phẩm tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng [26] 13 Hình 1.12 Nguyên lý nung cảm ứng [52] 14 Hình 1.13 Hình ảnh nghiên cứu A Kazemi cộng [10] 17 Hình 1.14 Vị trí đặt thiết bị đo nhiệt [54] 19 Hình 1.15 Sơ đồ quy trình nung theo nghiên cứu [54] 19 Hình 1.16 Mối quan hệ nhiệt độ tỉ lệ pha rắn Hợp kim Nhơm A356 [28] 21 Hình 1.17 Phân bố nhiệt độ trình nung “1 bước” [28] 22 Hình 1.18 Sơ đồ thiết kế cuộn dây phương pháp số [19] 23 Hình 1.19 Các phương án nung giữ nhiệt [39] 24 Hình 1.20 Đường biểu diễn nhiệt độ vị trí đặt cảm biến [35] 26 Hình 1.21 Vị trí đặt cảm biến [35] 27 Hình 1.22 Sơ đồ cơng suất nung bước ứng với thời điểm 140 giây, với nhiệt độ cạnh phôi, nhiệt độ tâm [13] 28 Hình 1.23 Hiện tượng “chân voi” sau nung “2 bước” theo sơ đồ Hình 1.22 [13] 29 Hình 1.24 Sơ đồ công suất nung bước ứng với thời điểm 205 giây, với nhiệt độ cạnh phôi, nhiệt độ tâm 29 Hình 1.25 Hiện tượng “chân voi” sau nung “2 bước” theo sơ đồ Hình 1.24 [13] 30 Hình 1.26 Phân bố nhiệt độ tỷ lệ pha rắn điểm A đạt fs = 0,7 sau 350 giây 30 Hình 1.27 Sơ đồ nung nghiên cứu [25] 31 Hình 1.28 Mơ hình vật lý nghiên cứu cho toán 3D [22] 32 Hình 1.29 Mơ hình vật lý nghiên cứu cho tốn có biên dạng phức tạp [20] 32 Hình 1.30 Mơ hình vật lý nghiên cứu cho tốn có biên dạng phức tạp mặt [23] 33 Hình 1.31 Mơ hình vật lý nghiên cứu cho toán chiều với bề mặt phức tạp [24] 34 Hình 1.32 Điều kiện biên toán [21] 34 viii ̃ n+1 ̃n T i,l −Ti,l ∆t ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,l −2Ti,l +Ti+1,l ∆r2 k = ρ∁ × [ ̃ ∂T p + ∆z ( ∂z ) n+1 ̃i,ln+1 − T ̃i,l−1 − ∆z2 (T ) z=H k∆t ̃i,ln+1 − T ̃i,ln = T ρ∁ p ∆r Đặt p p ∆G.H (88) ρ∁p p i ̃ ∂T k∆t k ( ∂z ) ∆z z=H − ρ∁ p ∆z ∆t n+1 ̃i,ln+1 − T ̃i,l−1 (T ) + ρ∁ ∆G H p (89) ̃ ∂T 2∆t E2 = ρ∁ ]+ k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + T ̃i+1,l ̃i+1,l ̃i−1,l (T − 2T ) + 2ρ∁ r ∆r (T −T ) 2∆t + ρ∁ ̃ n+1 ̃ n+1 1T i+1,l −Ti−1,l 2∆r i +r k ( ∂z ) ∆z z=H ̃ ∂T Với điều kiện biên k ( ∂z ) z=H ̃) = (p′ 2(T) T r=R n+1 n+1 n+1 ̃i,l−1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + ZT ̃i+1,l ̃i,ln + D + E2 (90) Phương trình (89)  (−2C)T + XT + YT =T f Nút lưới 𝐫 = 𝟎 ; 𝐳 = 𝟎 : (𝐢 = 𝟎 ; 𝐣 = 𝟎) Từ phương trình (77) với: n+1 n+1 ̃ ̃1,0 ̃0,0 ∂2 T T −T =2 ∂r ∆r ̃ ̃ ∂2 T 2 ∂T n+1 n+1 ̃0,1 ̃0,0 = (T − T ) − ( ) ∂z ∆z ∆z ∂z z=0  ̃ n+1 ̃n T 0,0 −T0,0 ∆t k = ρ∁ × [4 ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,0 −T0,0 ∆r2 p k∆t n+1 n ̃0,0 ̃0,0 T −T = ρ∁ p ∆r 2∆t − ρ∁ p 2 ̃ ∂T n+1 n+1 ̃0,1 ̃0,0 + ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) z=0 ]+ ∆G.H ρ∁p (91) k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃1,0 ̃0,0 ̃0,1 ̃0,0 (T −T ) + ρ∁ ∆z2 (T −T ) p ̃ ∂T k ( ∂z ) ∆z z=0 ∆t + ρ∁ ∆G H (92) p Đặt: k∆t A = ρ∁ p ∆r ; Y0 = + 4A + 2C; k∆t C = ρ∁ p ∆z ; ∆t D = ρ∁ ∆G H; p 165 ̃ ∂T 2∆t Và E = ρ∁ p ∆z ̃ ∂T k ( ∂z ) z=0 = điều kiện biên z = k ( ∂z ) z=0 =0 n+1 n+1 n+1 n ̃0,0 ̃1,0 ̃0,1 ̃0,0 (92)  Y0 T + (−4A)T + (−2C)T =T +D (93) g Nút lưới 𝐫 = 𝟎 , 𝐳 = 𝐇 : (𝐢 = 𝟎 ; 𝐣 = 𝐥) Từ phương trình (77) với: n+1 n+1 ̃1,l ̃0,l ̃ T −T ∂2 T =2 ∂r ∆r ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃0,l ̃0,l−1 = ( ) − (T −T ) ∂z ∆z ∂z z=H ∆z  ̃ n+1 ̃n T 0,l −T0,l ∆t k = ρ∁ × [4 ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,l −T0,l ∆r2 p k∆t p 2∆t p ∆z 2∆t Đặt E2 = ρ∁ p ̃ ∂T ̃ ∂T z=H n+1 n ̃0,l ̃0,l T −T = ρ∁ + ρ∁ + ∆z ( ∂z ) ∆r2 n+1 n+1 ̃0,l ̃0,l−1 − ∆z2 (T −T )] + (94) p ̃ ∂T k ( ∂z ) z=H ∆t + ρ∁ ∆G H (95) p ̃ ∂T z=H ρ∁p k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃1,l ̃0,l ̃0,l ̃0,l−1 (T −T ) − ρ∁ ∆z2 (T −T ) với điều kiện biên k ( ∂z ) k ( ∂z ) ∆z ∆G.H z=H ̃) = (p′ 2(T) T r=R n+1 n+1 n+1 n ̃0,l−1 ̃0,l ̃1,l ̃0,l (95)  (−2C)T + Y0 T + (−4A)T =T + D + E2 (96) h Nút lưới 𝐫 = 𝐑 , 𝐳 = 𝟎 : (𝐢 = 𝐦 ; 𝐣 = 𝟎) ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,0 ̃m−1,0 = ( ) − (T −T ) ∂r ∆r ∂r r=R ∆r ̃ ̃ ∂2 T 2 ∂T n+1 n+1 ̃m,1 ̃m,0 = (T − T ) − ( ) ∂z ∆z ∆z ∂z z=0 (72)  ̃ n+1 ̃n T m,0 −Tm,0 ∆t k ∆r = ρ∁ × [ p ̃ ∂T ̃ ( ∂r ) r=R 2 ∂T n+1 n+1 ̃m,0 ̃m−1,0 − ∆r2 (T −T ) + R ( ∂r ) r=R ̃ ∂T n+1 n+1 ̃m,1 ̃m,0 + ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) ]+ ∆G.H ρ∁p (97) z=0 166 k∆t n+1 n ̃m,0 ̃m,0 T −T =2 ρ∁ p ∆r ∆t z ̃ ∂T ̃ ∂T 2∆t + ρ∁ (∆r + R) k ( ∂r ) r=R p n+1 n+1 ̃m−1,0 ̃m,0 (T −T )+2 − ρ∁ k ( ∂z ) p ∆z z=0 k∆t ρ∁p ∆z2 n+1 n+1 ̃m,1 ̃m,0 (T −T ) ∆t + ρ∁ ∆G H (98) p n+1 n+1 n+1 n ̃m−1,0 ̃m,0 ̃m,1 ̃m,0 (−2A)T + YT + (−2C)T =T + D + E1 (99) i Nút lưới 𝐫 = 𝐑 , 𝐳 = 𝐇 : (𝐢 = 𝐦 ; 𝐣 = 𝐥) ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m−1,l = ( ) − (T −T ) 2 ∂r ∆r ∂r r=R ∆r ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m,l−1 = ( ) − (T −T ) 2 ∂z ∆z ∂z z=H ∆z (72)  ̃ n+1 ̃n T m,l −Tm,l ∆t k ∆r = ρ∁ × [ p ̃ ∂T ̃ ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m−1,l − ∆r2 (T −T ) + R ( ∂r ) ( ∂r ) r=R ̃ ∂T + ∆z ( ∂z ) k∆t n+1 n ̃m,l ̃m,l T −T = ρ∁ p ∆t ̃ ∂T − r=R n+1 ̃m,l (T ∆z2 − r=R n+1 ̃m,l−1 T ) ]+ ∆G.H ρ∁p (100) k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃m−1,l ̃m,l ̃m,l−1 ̃m,l (T −T ) + ρ∁ ∆z2 (T −T ) p 2∆t + ρ∁ (∆r + R) k ( ∂r ) p ∆r2 z=H + ρ∁ p ∆z ̃ ∂T ∆t k ( ∂z ) z=H + ρ∁ ∆G H p (101) n+1 n+1 n+1 n ̃m,l−1 ̃m−1,l ̃m,l ̃m,l (−2C)T + (−2A)T + YT =T + D + E1 + E2 (102) Hệ phương trình tốn dẫn nhiệt khơng ổn định chiều tất điểm nút tập hợp phương trình (76); (81); (84); (87); (90); (93); (96); (99); (102) + Điểm nút bên trong: Phương trình (76) + Điểm nút biên: Phương trình (81); (84); (87) (90) + Điểm nút góc: Phương trình (93); (96); (99) (102) 167 n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i,j−1 ̃i−1,j ̃i,jn+1 + ZT ̃i+1,j ̃i,j+1 (−C)T + XT + YT + (−C)T ̃i,jn +D =T n+1 n+1 n+1 n+1 ̃0,j−1 ̃0,j ̃1,j ̃0,j+1 (−C)T + Y0 T + (−4A)T + (−C)T n ̃0,j =T +D ;r = n+1 n+1 n+1 n+1 ̃m,j−1 ̃m−1,j ̃m,j ̃m,j+1 (−C)T + (−2A)T + YT + (−C)T n ̃m,j =T + D + E1 ;r = R n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i−1,0 ̃i,0 ̃i+1,0 ̃i,1 XT + YT + ZT + (−2C)T n ̃i,0 =T +D ;z = n+1 n+1 n+1 ̃i,l−1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + ZT ̃i+1,l (−2C)T + XT + YT ̃i,ln + D + E2 =T ;z=H n+1 n+1 n+1 ̃0,0 ̃1,0 ̃0,1 Y0 T + (−4A)T + (−2C)T n ̃0,0 =T +D ;r = 0, z = n+1 n+1 n+1 ̃0,l−1 ̃0,l ̃1,l (−2C)T + Y0 T + (−4A)T n ̃0,l =T + D + E2 ; r = 0, z = H n+1 n+1 n+1 ̃m−1,0 ̃m,0 ̃m,1 (−2A)T + YT + (−2C)T n ̃m,0 =T + D + E1 ;r = R, z = n+1 n+1 n+1 ̃m,l−1 ̃m−1,l ̃m,l (−2C)T + (−2A)T + YT n ̃m,l =T + D + E1 + E2 ;r = R, z = H (103) Chúng ta tận dụng khả tính tốn mạnh mẽ máy tính để hỗ trợ tính tốn nhanh chóng hiệu cách đưa hệ (103) dạng ma trận ̃ n+1 = T ̃ n + D + E1 + E2 Hệ phương trình (103) có dạng MT ̃ n+1 = M\(T ̃ n + D + E1 + E2 ) T (104) (105) Trong M ma trận vng có số hàng = số cột = (m + 1) × (l + 1) ̃ n+1, T ̃ n , D, E1, E2 ma trận cột, (m + 1) × (l + 1) hàng T Thứ tự điểm nút theo phương r từ i = → m(r = → R) Rồi lặp lại theo phương z từ j = → l(z = → H) Để dễ dàng hình dung cách bố trí số hạng ma trận, ta lấy ví dụ m = 3, l = sau : 168 Y −4A 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ X Y Z 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ X Y Z 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 −2A Y 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ −C 0 Y0 −4A 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 −2A Y 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 Y0 −4A 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 −2A Y 0 −C ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 Y0 −4A 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 X Y Z ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 X Y Z [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 −2A Y ] T0,0 T0,0 D0,0 0 T1,0 T1,0 D1,0 0 T2,0 T2,0 D2,0 0 T3,0 T3,0 D3,0 E1 (3,0) T0,1 T0,1 D0,1 0 T1,1 T1,1 D1,1 0 T2,1 T2,1 D2,1 0 T3,1 T3,1 D3,1 (3,1) E × = + + + T0,2 T0,2 D0,2 0 T1,2 T1,2 D1,2 0 T2,2 T2,2 D2,2 E1 (3,2) T3,2 T3,2 D3,2 (0,3) E T0,3 T0,3 D0,3 E (1,3) T1,3 T1,3 D1,3 E2 (2,3) T2,3 T2,3 D2,3 [E1 (3,3)] [E2 (3,3)] [T3,3 ]n+1 [T3,3 ]n [D3,3 ] ̃2 trình gia nhiệt: Giải PT độ nhạy, tìm T ̃ ̃ ̃ ̃) Cp (T ̃) ∂T = ∂ [k(T) r ∂T] + ∂ [k(T) ∂T] ρ(T ∂t r ∂r ∂r ∂z ∂z ̃ ∂T ̃ ∂2 T ̃ ∂T ̃ ∂2 T ρ Cp ∂t = k [ ∂r2 + r ∂r + ∂z2 ] ̃ ∂T ̃ ∂2 T k ̃ ∂T ̃ ∂2 T  ∂t = ρ.C × [ ∂r2 + r ∂r + ∂z2 ] p (106) (107) (108) - Chia lưới : Thời gian t chia nhỏ thành n khoảng∆t = t/n (s) từ → t f 169 Bán kính R chia nhỏ thành m khoảng∆r = r/m (mm) từ → R Chiều cao H chia nhỏ thành l khoảng∆z = H/l (mm) từ → H - Thiết lập hệ phương trình đại số điểm nút: j Nút lưới bên trong: 𝐢 = 𝟏 ÷ (𝐦 − 𝟏); 𝐣 = 𝟏 ÷ (𝐥 − 𝟏) Tương tự tốn dẫn nhiệt khơng ổn định chiều, ta sử dụng pháp sai phân tương tự Tuy nhiên tốn phức tạp phải sai phân thêm chiều z số lượng điểm nút lớn nhiều Các sai phân sau : ̃ ∂T ∂t ̃ n+1 ̃n T i,j −Ti,j = ̃ ∂2 T ∂r2 ∆t ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,j −2Ti,j +Ti+1,j = ∆r2 (109) ̃ ∂T ∂r ̃ n+1 ̃ n+1 T i+1,j −Ti−1,j = ̃ ∂2 T ∂z2 2∆r ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i,j−1 −2Ti,j +Ti,j+1 = ∆z2 Thay phương trình (108) sai phân (109) ta được: ̃ n+1 ̃n T i,j −Ti,j ∆t k = ρ.C × [ ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,j −2Ti,j +Ti+1,j ∆r2 p k.∆t ̃i,jn+1 − T ̃i,jn = T ρ.C p ∆r k.∆t + ρ.C p ∆z ̃ n+1 ̃ n+1 T i+1,j −Ti−1,j +r i 2∆r + ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i,j−1 −2Ti,j +Ti,j+1 ∆z2 ] (110) k.∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i−1,j ̃i,jn+1 + T ̃i+1,j ̃i+1,j ̃i−1,j (T − 2T ) + 2ρ.C r ∆r (T −T ) p i n+1 n+1 ̃i,j−1 ̃i,jn+1 + T ̃i,j+1 (T − 2T ) (111) Đặt: A= k ∆t ; ρ Cp ∆r X = B − A; B= k ∆t ; 2ρ Cp ri ∆r Y = + 2A + 2C; C= k ∆t ρ Cp ∆z Z = −B − A Phương trình (111) trở thành: 170 n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i,j−1 ̃i−1,j ̃i,jn+1 + Z T ̃i+1,j ̃i,j+1 ̃i,jn (−C) T + X T + Y T + (−C) T =T (112) k Nút lưới đường tâm đối xứng: 𝐢 = 𝟎; 𝐣 = 𝟏 ÷ (𝐥 − 𝟏) Phương trình (108) trở thành: ̃ ∂T ̃ ∂2 T k ̃ ∂2 T = ρ.C [2 ∂r2 + ∂z2 ] ∂t (113) p Các sai phân : ̃ ∂T ̃ n+1 ̃n T 0,j −T0,j = ∂t ̃ ∂2 T ∂r2 ̃ ∂2 T ∂z2 ∆t ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T −1,j −2T0,j +T1,j = ∆r2 = ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,j −2T0,j (114) ∆r2 ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T 0,j−1 −2T0,j +T0,j+1 = ∆z2 Thay phương trình (113) sai phân (114) ta được: ̃ n+1 ̃n T 0,j −T0,j ∆t n+1 n ̃0,j ̃0,j T −T = k = ρ.C [4 p k∆t ρ.Cp ∆r2 ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,j −2T0,j ∆r2 n+1 n+1 ̃1,j ̃0,j (T −T )+ + ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T 0,j−1 −2T0,j +T0,j+1 k∆t ρ.Cp ∆z2 ∆z2 ] (115) n+1 n+1 n+1 ̃0,j−1 ̃0,j ̃0,j+1 (T − 2T +T ) (116) Đặt: A= k ∆t ; ρ Cp ∆r C= k ∆t ρ Cp ∆z Y0 = + 4A + 2C; Phương trình (116) trở thành: n+1 n+1 n+1 n+1 n ̃0,j−1 ̃0,j ̃1,j ̃0,j+1 ̃0,j (−C) T + Y0 T + (−4A) T + (−C) T =T (117) l Nút lưới biên r = R: 𝐢 = 𝐦; 𝐣 = 𝟏 ÷ (𝐥 − 𝟏) Ta có: ̃ ∂2 T ∂r2 ̃ ̃ ∂T ∂T ) −( ) ∂r r=R ∂r r=R−∆r ∆r ( = 171 ̃ ∂T r=R ̃ ∂T r=R ̃ ∂T r=R = r=R− ∆r ̃ n+1 ̃ n+1 T m,j −Tm−1,j − ∆r ( ∆r ) = ∆r ( ∂r ) ̃ ∂2 T ∂z − ∆r ( ∂r ) = ∆r ( ∂r ) ̃ ∂T = ∆r ( ∂r ) n+1 n+1 ̃m,j ̃m−1,j − ∆r2 (T −T ) n+1 n+1 n+1 ̃m,j−1 ̃m,j ̃m,j+1 T − 2T +T ∆z Phương trình (108) trở thành: ̃ ∂T ̃ n+1 ̃n T m,j −Tm,j ∆t k = ρ.C × [ p ( ∂r ) ∆r r=R ̃ ∂T + R ( ∂r ) n+1 n+1 ̃m,j ̃m−1,j − ∆r2 (T −T ) r=R + ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 ] T m,j−1 −2Tm,j +Tm,j+1 (118) ∆z2 k∆t k∆t p p n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n ̃m,j ̃m,j ̃m,j ̃m−1,j ̃m,j−1 ̃m,j ̃m,j+1 T −T = ρ.C ∆r2 (T −T ) + ρ.C ∆z2 (T − 2T +T ) ∆t ̃ ∂T + ρ.C (∆r + R) k ( ∂r ) p (119) r=R Đặt: k.∆t A = ρ.C p ∆r2 k.∆t ; C = ρ.C ̃ ∂T r=R ∆t ̃ ∂T E1 = ρ.C (∆r + R) k ( ∂r ) Y0 = + 2A + 2C; Với điều kiện biên k ( ∂r ) p ∆z p ̃) = (p′1(T) T r=R r=R + ∆q(t) n+1 n+1 n+1 n+1 n ̃m,j−1 ̃m−1,j ̃m,j ̃m,j+1 ̃m,j (119)  (−C) T + (−2A) T + Y T + (−C) T =T + E1 (120) m.Nút lưới biên 𝐳 = 𝟎: 𝐢 = 𝟏 ÷ (𝐦 − 𝟏); 𝐣 = 𝟎 Ta có: ̃ ∂2 T ∂z2 ̃ ̃ ∂T ∂T ) −( ) ∂z z=∆z ∂z z=0 ∆z ( = 172 ̃ ∂T ∆z z= 2 = ∆z ̃ ∂T = ∆z ( ∂z ) − ∆z ( ∂z ) ̃ n+1 ̃ n+1 T i,1 −Ti,0 ∆z z=0 ̃ ∂T − ∆z ( ∂z ) z=0 ̃ 2 ∂T n+1 n+1 ̃i,1 ̃i,0 = ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) ̃ ∂2 T = ∂r2 ̃ ∂T = ∂r z=0 ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,0 −2Ti,0 +Ti+1,0 ∆r2 ̃ n+1 ̃ n+1 T i+1,0 −Ti−1,0 2∆r Phương trình (108) trở thành: ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,0 −2Ti,0 +Ti+1,0 ̃ n+1 ̃n T i,0 −Ti,0 ∆r2 k = ρ.C × [ ∆t p p ∆r2 k∆t +2 ρ.C p i ) ] (121) z=0 k∆t n+1 n+1 n+1 ̃i−1,0 ̃i,0 ̃i+1,0 (T − 2T +T ) + 2ρ.C p ri ∆r 2∆t ∆z2 2∆r ̃ ∂T 2 n+1 n+1 ̃i,1 ̃i,0 + ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) k∆t n+1 n ̃i,0 ̃i,0 T −T = ρ.C ̃ n+1 ̃ n+1 T i+1,0 −Ti−1,0 + r ( n+1 n+1 ̃i,1 ̃i,0 (T −T ) − ρ.C p ̃ ∂T k ( ∂z ) ∆z z=0 n+1 n+1 ̃i+1,0 ̃i−1,0 (T −T ) (122) Đặt: A= k∆t ; ρ∁p ∆r X = B − A; E= B= k∆t ; 2ρ∁p ri ∆r Y = + 2A + 2C; C= k∆t ; ρ∁p ∆z Z = −B − A; ̃ ̃ 2∆t ∂T ∂T k( ) = điều kiện z = k ( ) =0 ρ∁p ∆z ∂z z=0 ∂z z=0 n+1 n+1 n+1 n+1 n ̃i−1,0 ̃i,0 ̃i+1,0 ̃i,1 ̃i,0 Phương trình (122)  XT + YT + ZT + (−2C)T =T (123) n Nút lưới biên 𝐳 = 𝐇:𝐢 = 𝟏 ÷ (𝐦 − 𝟏) ; 𝐣 = 𝐥 Ta có: ̃ ∂2 T ∂z2 ̃ ∂T = ∆z ( ∂z ) z=H n+1 ̃i,ln+1 − T ̃i,l−1 − ∆z2 (T ) 173 ̃ ∂2 T = ∂r2 ̃ ∂T ∂r ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,l −2Ti,l +Ti+1,l ∆r2 ̃ n+1 ̃ n+1 T i+1,l −Ti−1,l = 2∆r Phương trình (108) trở thành: ̃ n+1 ̃n T i,l −Ti,l ∆t ̃ n+1 ̃ n+1 ̃ n+1 T i−1,l −2Ti,l +Ti+1,l ∆r2 k = ρ∁ × [ ̃ ∂T p + ∆z ( ∂z ) k∆t ̃i,ln+1 − T ̃i,ln = T ρ∁ p p ∆z Đặt 2∆r z=H n+1 ̃i,ln+1 − T ̃i,l−1 − ∆z2 (T ) ] (124) p i k∆t z=H − ρ∁ p ∆z n+1 ̃i,ln+1 − T ̃i,l−1 (T ) (125) ̃ ∂T 2∆t E2 = ρ∁ k ( ∂z ) i k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + T ̃i+1,l ̃i+1,l ̃i−1,l (T − 2T ) + 2ρ∁ r ∆r (T −T ) ̃ ∂T 2∆t + ρ∁ ∆r2 ̃ n+1 ̃ n+1 1T i+1,l −Ti−1,l +r p ∆z k ( ∂z ) z=H ̃ ∂T Với điều kiện biên k ( ∂z ) z=H ̃) = (p′ 2(T) T r=R n+1 n+1 n+1 ̃i,l−1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + ZT ̃i+1,l ̃i,ln + E2 Phương trình (133)  (−2C)T + XT + YT =T (126) o Nút lưới 𝐫 = 𝟎 ; 𝐳 = 𝟎 : (𝐢 = 𝟎 ; 𝐣 = 𝟎) Từ phương trình (113) với: n+1 n+1 ̃ ̃1,0 ̃0,0 ∂2 T T −T = ∂r ∆r ̃ ̃ ∂2 T 2 ∂T n+1 n+1 ̃0,1 ̃0,0 = (T − T ) − ( ) ∂z ∆z ∆z ∂z z=0  ̃ n+1 ̃n T 0,0 −T0,0 ∆t k = ρ∁ × [4 ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,0 −T0,0 ∆r2 p k∆t n+1 n ̃0,0 ̃0,0 T −T = ρ∁ p ∆r 2∆t − ρ∁ p ̃ 2 ∂T n+1 n+1 ̃0,1 ̃0,0 + ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) z=0 ] (127) k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃1,0 ̃0,0 ̃0,1 ̃0,0 (T −T ) + ρ∁ ∆z2 (T −T ) p ̃ ∂T k ( ∂z ) ∆z z=0 (128) 174 Đặt: k∆t A = ρ∁ p ∆r2 k∆t ; C = ρ∁ p ∆z ̃ ∂T 2∆t Và E = ρ∁ p k ( ∂z ) ∆z Y0 = + 4A + 2C; ; ̃ ∂T z=0 = điều kiện biên z = k ( ∂z ) z=0 =0 n+1 n+1 n+1 n ̃0,0 ̃1,0 ̃0,1 ̃0,0 (128) Y0 T + (−4A)T + (−2C)T =T + D (129) p Nút lưới 𝐫 = 𝟎 , 𝐳 = 𝐇 : (𝐢 = 𝟎 ; 𝐣 = 𝐥) Từ phương trình (113) với: n+1 n+1 ̃1,l ̃0,l ̃ T −T ∂2 T =2 ∂r ∆r ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃0,l ̃0,l−1 = ( ) − (T −T ) ∂z ∆z ∂z z=H ∆z  ̃ n+1 ̃n T 0,l −T0,l ∆t k = ρ∁ × [4 p ̃ n+1 ̃ n+1 T 1,l −T0,l ∆r2 p ∆r 2∆t + ρ∁ p ∆z 2∆t Đặt E2 = ρ∁ p ̃ ∂T ̃ ∂T z=H k∆t n+1 n ̃0,l ̃0,l T −T = ρ∁ + ∆z ( ∂z ) n+1 n+1 ̃0,l ̃0,l−1 − ∆z2 (T −T )] k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃1,l ̃0,l ̃0,l ̃0,l−1 (T −T ) − ρ∁ ∆z2 (T −T ) p ̃ ∂T k ( ∂z ) (131) z=H ̃ ∂T k ( ∂z ) ∆z z=H (130) với điều kiện biên k ( ∂z ) z=H ̃) = (p′ 2(T) T r=R n+1 n+1 n+1 n ̃0,l−1 ̃0,l ̃1,l ̃0,l (131)  (−2C)T + Y0 T + (−4A)T =T + E2 (132) q Nút lưới 𝐫 = 𝐑 , 𝐳 = 𝟎 : (𝐢 = 𝐦 ; 𝐣 = 𝟎) ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,0 ̃m−1,0 = ( ) − (T −T ) ∂r ∆r ∂r r=R ∆r ̃ ̃ ∂2 T 2 ∂T n+1 n+1 ̃m,1 ̃m,0 = (T − T ) − ( ) ∂z ∆z ∆z ∂z z=0 175 (108)  ̃ n+1 ̃n T m,0 −Tm,0 ∆t ∆r k = ρ∁ × [ ̃ ∂T ( ) ∂r r=R 2 ∆r2 ̃ ∂T n+1 n+1 ̃m,0 ̃m−1,0 (T −T )+ ( ) R k∆t n+1 n ̃m,0 ̃m,0 T −T = ρ∁ p ∆r z ∂r r=R ̃ ∂T n+1 n+1 ̃m,1 ̃m,0 + ∆z2 (T −T ) − ∆z ( ∂z ) p ∆t − ] (133) z=0 k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃m−1,0 ̃m,0 ̃m,1 ̃m,0 (T −T ) + ρ∁ ∆z2 (T −T ) p ̃ ∂T + ρ∁ (∆r + R) k ( ∂r ) p ̃ ∂T 2∆t r=R − ρ∁ p k ( ∂z ) ∆z z=0 (134) n+1 n+1 n+1 n ̃m−1,0 ̃m,0 ̃m,1 ̃m,0 (−2A)T + YT + (−2C)T =T + E1 (135) r Nút lưới 𝐫 = 𝐑 , 𝐳 = 𝐇 : (𝐢 = 𝐦 ; 𝐣 = 𝐥) ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m−1,l = ( ) − (T −T ) ∂r ∆r ∂r r=R ∆r ̃ ̃ ∂2 T ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m,l−1 = ( ) − (T −T ) ∂z ∆z ∂z z=H ∆z ̃ ∂T (108)  ̃ ∂T n+1 n+1 ̃m,l ̃m−1,l ( ) − ∆r2 (T −T ) + R ( ∂r ) ∆r ∂r r=R k r=R = ρ∁ × [ ] ̃ ∂T p n+1 n+1 ̃m,l ̃m,l−1 + ∆z ( ∂z ) − ∆z2 (T −T ) ̃ n+1 ̃n T m,l −Tm,l ∆t (136) z=H k∆t n+1 n ̃m,l ̃m,l T −T = ρ∁ p ∆r ∆t k∆t n+1 n+1 n+1 n+1 ̃m−1,l ̃m,l ̃m,l−1 ̃m,l (T −T ) + ρ∁ ∆z2 (T −T ) ̃ ∂T + ρ∁ (∆r + R) k ( ∂r ) p p 2∆t r=R + ρ∁ p ̃ ∂T k ( ∂z ) ∆z z=H n+1 n+1 n+1 n ̃m,l−1 ̃m−1,l ̃m,l ̃m,l (−2C)T + (−2A)T + YT =T + E1 + E2 (137) (138) Hệ phương trình tốn dẫn nhiệt không ổn định chiều tất điểm nút tập hợp phương trình (112); (117); (120); (123); (126); (129); (132); (135); (138) + Điểm nút bên trong: Phương trình (112) + Điểm nút biên: Phương trình (117); (120); (123) (126) + Điểm nút góc: Phương trình (129); (132); (135) (138) 176 n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i,j−1 ̃i−1,j ̃i,jn+1 + ZT ̃i+1,j ̃i,j+1 (−C)T + XT + YT + (−C)T ̃i,jn =T n+1 n+1 n+1 n+1 ̃0,j−1 ̃0,j ̃1,j ̃0,j+1 (−C)T + Y0 T + (−4A)T + (−C)T n ̃0,j =T ;r = n+1 n+1 n+1 n+1 ̃m,j−1 ̃m−1,j ̃m,j ̃m,j+1 (−C)T + (−2A)T + YT + (−C)T n ̃m,j =T + E1 ;r = R n+1 n+1 n+1 n+1 ̃i−1,0 ̃i,0 ̃i+1,0 ̃i,1 XT + YT + ZT + (−2C)T n ̃i,0 =T ;z = n+1 n+1 n+1 ̃i,l−1 ̃i−1,l ̃i,ln+1 + ZT ̃i+1,l (−2C)T + XT + YT ̃i,ln + E2 =T ;z=H n+1 n+1 n+1 ̃0,0 ̃1,0 ̃0,1 Y0 T + (−4A)T + (−2C)T n ̃0,0 =T ;r = 0, z = n+1 n+1 n+1 ̃0,l−1 ̃0,l ̃1,l (−2C)T + Y0 T + (−4A)T n ̃0,l =T + E2 ; r = 0, z = H n+1 n+1 n+1 ̃m−1,0 ̃m,0 ̃m,1 (−2A)T + YT + (−2C)T n ̃m,0 =T + E1 ;r = R, z = n+1 n+1 n+1 ̃m,l−1 ̃m−1,l ̃m,l (−2C)T + (−2A)T + YT n ̃m,l =T + E1 + E2 ;r = R, z = H (139) Chúng ta tận dụng khả tính tốn mạnh mẽ máy tính để hỗ trợ tính tốn nhanh chóng hiệu cách đưa hệ (139) dạng ma trận ̃ n+1 = T ̃ n + E1 + E2 Hệ PT (139) có dạng MT ̃ n+1 = M\(T ̃ n + E1 + E2 ) T (140) (141) Trong M ma trận vng có số hàng = số cột = (m + 1) × (l + 1) ̃ n+1, T ̃ n , E1, E2 ma trận cột, (m + 1) × (l + 1) hàng T Thứ tự điểm nút theo phương r từ i = → m(r = → R) Rồi lặp lại theo phương z từ j = → l(z = → H) Để dễ dàng hình dung cách bố trí số hạng ma trận, ta lấy ví dụ m = 3, l = sau : 177 Y −4A 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ X Y Z 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ X Y Z 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 −2A Y 0 −2C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ −C 0 Y0 −4A 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 −2A Y 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 Y0 −4A 0 −C ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 X Y Z 0 −C ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −C 0 −2A Y 0 −C ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 Y0 −4A 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 X Y Z ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 X Y Z [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ −2C 0 −2A Y ] ̃0,0 T ̃1,0 T ̃2,0 T ̃3,0 T ̃0,1 T ̃1,1 T ̃2,1 T ̃3,1 T × ̃0,2 T ̃1,2 T ̃2,2 T ̃3,2 T ̃0,3 T ̃1,3 T ̃2,3 T ̃3,3 ] [T n+1 ̃0,0 T ̃1,0 T 0 ̃2,0 T 0 ̃3,0 T 0 ̃0,1 T E1 (3,0) 0 ̃ T1,1 0 ̃2,1 T 0 ̃3,1 T E1 (3,1) = + + ̃0,2 T 0 ̃1,2 T 0 ̃2,2 T E1 (3,2) (0,3) E ̃3,2 T E2 (1,3) ̃0,3 T E2 (2,3) ̃1,3 T [E1 (3,3)] [E2 (3,3)] ̃2,3 T ̃3,3 ] [T n 178 PHỤ LỤC Xác định: 𝛂𝐤𝟏 , 𝛂𝐤𝟐 ∂E ∂αk R H ̃k drdz + ∫tf(Gk + αk P k ) P k dt (142) = ∫0 ∫0 [T(Gk + α1k p1k , qk + αk2 pk2 ) − TE ]T 1 1 R H tf tf ̃k + αk T ̃k ̃k k k k k = ∫ ∫ (T(Gk , qk ) − TE + α1k T 2 ) T1 drdz + ∫ G P1 dt + ∫ α1 (P1 ) dt 0 0 R H ̃k drdz = ∫0 ∫0 (T k − TE )T t R H ̃ tf k k R H̃ k k ̃ k + ∫0 f Gk P1k dt + α1k [∫0 ∫0 (T ) drdz + ∫0 (P1 ) dt] + α2 ∫0 ∫0 T1 T2 drdz (143) Tương tự: ∂E ∂αk R H ̃k drdz = ∫0 ∫0 (T k − TE )T 2 t R H ̃ tf k k R H̃ k k ̃ k + ∫0 f qk P2k dt + αk2 [∫0 ∫0 (T ) drdz + ∫0 (P2 ) dt] + α1 ∫0 ∫0 T1 T2 drdz (144) Đặt k R H t d1 = ∫0 ∫0 (T k − TE )T̃1 drdz + ∫0 f Gk P1k dt (145) 2 k R H t d2 = ∫0 ∫0 (T̃1 ) drdz + ∫0 f (P1k ) dt (146) R H ̃2 k drdz + ∫tf qk P2k dt d3 = ∫0 ∫0 (T k − TE )T (147) ∂E k ∂α1 ∂E { ∂α2 k R H ̃2 k ) drdz + ∫tf(P2k )2 dt d4 = ∫0 ∫0 (T (148) k k R H d5 = ∫0 ∫0 T̃1 ̃ T2 drdz (149) =0 =0 d + d2 α1k + d5 αk2 = { d3 + d4 αk2 + d5 α1k = { α1k = αk2 = d1 d4 −d3 d5 d5 −d2 d4 l d2 d3 −d1 d5 d5 −d2 d4 179 ... ứng kỹ thuật tạo hình trạng thái bán lỏng hệ hợp kim nhôm - Cơ sở vật lý trình nung cảm ứng trình tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng - Tối ưu hóa q trình nung cảm ứng kỹ thuật tạo hình vật liệu. .. quan trình nung cảm ứng kỹ thuật tạo hình trạng thái bán lỏng hệ hợp kim nhôm Chương 2: Cơ sở vật lý trình nung cảm ứng trình tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng Chương 3: Tối ưu hóa q trình nung. .. VỀ QUÁ TRÌNH NUNG CẢM ỨNG TRONG KỸ THUẬT TẠO HÌNH Ở TRẠNG THÁI BÁN LỎNG HỆ HỢP KIM NHÔM 1.1 Tổng quan phương pháp tạo hình vật liệu trạng thái bán lỏng 1.1.1 Các kỹ thuật tạo hình trạng thái