Tính ổn định và đặt chỉnh tikhonov của bàn toán cân bằng từ điển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUỐC DUY TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh – Năm 2017 ✩ ✬ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUỐC DUY TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS Nguyễn Đình Tuấn Phản biện 3: TS Nguyễn Hồng Quân Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trương Xuân Đức Hà Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Xuân Hải NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Lâm Quốc Anh GS.TSKH Phan Quốc Khánh TP Hồ Chí Minh – Năm 2017 ✫ ✪ Lời cam đoan Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh hướng dẫn GS.TSKH Phan Quốc Khánh PGS.TS Lâm Quốc Anh Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả đồng ý cho phép sử dụng chưa công bố trước TP Hồ Chí Minh, 2017 Trần Quốc Duy i Lời cám ơn Trước hết, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai Thầy hướng dẫn tác giả, GS.TSKH Phan Quốc Khánh PGS.TS Lâm Quốc Anh, người tận tình hướng dẫn, dạy, khuyến khích động viên tinh thần cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trong thời gian dài, hai Thầy bước dẫn dắt tác giả làm quen với lý thuyết tối ưu, truyền thụ cho tác giả kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà động viên, khích lệ tác giả vượt qua khó khăn sống Trong trình làm việc với hai Thầy, tác giả học tinh thần trách nhiệm công việc, niềm say mê nghiên cứu phong cách làm việc khoa học trung thực, nghiêm túc hiệu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TSKH Nguyễn Định, người Thầy uyên bác, tận tụy nhiệt tình giảng dạy, Thầy truyền thụ cho tác giả kiến thức hay bổ ích mơn Giải tích lồi Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Đình Phư, PGS.TS Trần Thị Huệ Nương, PGS.TS Đinh Ngọc Thanh, TS Huỳnh Quang Vũ có lời khuyên, góp ý cho tác giả lần báo cáo đề cương, báo cáo học thuật báo cáo hội nghị khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Tốn - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn Giám hiệu Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Cần Thơ Khoa Khoa học Cơ tạo điều kiện thuận lợi thời gian để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Võ Sĩ Trọng Long, TS Đinh Ngọc Quý, TS Cao Thanh Tình, TS Nguyễn Hiếu Thảo, TS Nguyễn Minh Tùng, TS Trần Trịnh Minh Sơn, TS Nguyễn Lê Hoàng Anh, NCS Trần Ngọc Tâm, ThS Lê Tùng, Ths Nguyễn Hữu Danh tất thành viên nhóm Tối ưu Miền nam động viên, chia giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập nghiên cứu ii Lời cám ơn Cuối cùng, tác giả hoàn thành luận án thiếu hỗ trợ từ gia đình Tác giả muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến ba mẹ, ba mẹ vợ tất thành viên gia đình ln động viên kiên nhẫn chờ đợi kết học tập tác giả Tác giả xin cảm ơn vợ tác giả, Thùy Trang, tình yêu chăm sóc chu đáo thời gian tác giả học tập nghiên cứu iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cám ơn ii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt vi Tổng quan viii Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Tính liên tục ánh xạ đơn trị 1.2 Cực trị hàm lồi 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.4 Độ đo tính khơng compact 1.5 Thứ tự từ điển cách xây dựng nón thứ tự tồn phần khơng gian Rn Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm tốn cân từ điển 12 2.1 Mơ hình toán cân từ điển 12 2.2 Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm toán cân từ điển 16 2.3 Áp dụng vào toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân từ điển 27 2.3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển 27 2.3.2 Bài toán tối ưu từ điển 29 Tính đặt chỉnh Tikhonov tốn cân từ điển 35 3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov toán cân từ điển 35 3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy toán cân từ điển 45 3.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân từ điển 55 3.3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov tốn bất đẳng thức biến phân từ điển iv 55 Mục lục 3.3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy toán bất đẳng thức biến phân từ điển Tính đặt chỉnh Zolezzi tốn cân từ điển có tham số 59 4.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi tốn cân từ điển có tham số 59 4.2 Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi tốn 4.3 toán cân từ điển 66 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân từ điển 74 4.3.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi toán bất đẳng thức biến phân từ điển 4.3.2 74 Tính đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi toán bất đẳng thức biến phân từ điển 57 75 Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển 77 5.1 Phương pháp hàm phạt cho toán liên quan đến tối ưu 77 5.1.1 Phương pháp hàm phạt cho toán tối ưu 77 5.1.2 Phương pháp hàm phạt cho toán bất đẳng thức biến phân 80 Phương pháp hàm phạt cho toán cân 80 5.2 Sự tồn nghiệm toán cân 81 5.3 Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển 86 5.4 Hàm gap cận sai số cho toán cân từ điển bị phạt 91 5.1.3 Kết luận 101 Danh mục cơng trình 102 Báo cáo hội nghị 103 Tài liệu tham khảo 104 v Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt N tập hợp số tự nhiên Q tập hợp số hữu tỷ R tập hợp số thực R tập hợp R ∪ {−∞, +∞} số thực mở rộng Ba (r) cầu đóng tâm a, bán kính r X∗ khơng gian đối ngẫu không gian X A⊂B A tập hợp B A∩B giao hai tập hợp A B A∪B hợp hai tập hợp A B A\B hiệu hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B cl M bao đóng tập M int M phần tập M bd M biên tập M conv M bao lồi tập M f :X →Y ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X ⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y F −1 : Y ⇒ X ánh xạ ngược F : X ⇒ Y dom F miền hữu hiệu F gph F đồ thị F epi f đồ thị f argmin{ f (x) | x ∈ X} tập nghiệm toán tối ưu vơ hướng Clex nón thứ tự từ điển C quan hệ thứ tự sinh C lex quan hệ thứ tự từ điển d(x, M) khoảng cách từ x đến M ∇ f (x) đạo hàm Fréchet f điểm x ∂ f (x) vi phân hàm lồi f điểm x vi Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt diam A đường kính tập A idX ánh xạ đồng X xn → x xn hội tụ x t ↓0 t > t → |·| giá trị tuyệt đối · X ·, · chuẩn không gian X cặp đối ngẫu hai không gian định chuẩn đối ngẫu [·, ·] khoảng đóng (·, ·) khoảng mở (·, ·] [·, ·) nửa khoảng mở 0/ tập rỗng (LEP) toán cân từ điển (LVI) toán bất đẳng thức biến phân từ điển (LOP) toán tối ưu từ điển ∀ với ∃ tồn kết thúc chứng minh vii Tổng quan Tối ưu hóa lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh toán học giới Việt Nam giai đoạn Các kết nghiên cứu cho lĩnh vực có vai trị quan trọng tốn học lý thuyết tốn học ứng dụng Hằng năm, có nhiều cơng trình khoa học nghiên cứu tối ưu hóa công bố đặn rộng khắp tạp chí quốc tế có uy tín Bài tốn cực tiểu phiếm hàm, toán lý thuyết tối ưu, có nhiều ứng dụng thực tế ln dành quan tâm nhiều nhà toán học giới nghiên cứu cho tất chủ đề liên quan đến lớp toán Việc đáp ứng nhu cầu đa dạng toán ứng dụng thực tế vừa nội dung vừa động lực thúc đẩy phát triển tối ưu hóa Cho đến nay, lớp toán thỏa mãn nhiều mơ hình tốn thực tế tốn sau: Tìm x ∈ X cho f (x, y) ≥ 0, với y ∈ X, đó, X tập khác rỗng khơng gian tơpơ E f : X × X → R hàm giá trị thực Bài toán lần hai nhà tốn học Nikaidơ Isoda đề xuất vào năm 1955 báo [84] tổng qt hóa tốn cân Nash trị chơi khơng hợp tác Năm 1972, Ky Fan xét đến dạng bất đẳng thức minimax Do Ky Fan người có nhiều đóng góp quan trọng cho tốn này, cho nên, người ta thường gọi Bất đẳng thức Ky Fan Trong lý thuyết trò chơi, toán thường dùng để thiết lập điểm cân Chính vậy, báo mình, tác giả Muu Oettli [81], Blum Oettli [23] gọi Bài tốn cân Mặc dù, mặt hình thức, mơ hình tốn cân trông đơn giản, lại mô hình tổng qt nhiều lớp tốn quan trọng tối ưu hoá như: Bài toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán bù, viii Chương Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển (ε) Đặt y¯ = yδ (x) Ta thấy y¯ thỏa mãn điều kiện tối ưu ∇2 gε (x, y) ¯ + δ ∇2 h(x, y), ¯ z − y¯ ≥ 0, với z ∈ X (5.14) Vì x0 nghiệm tốn (PLEP) nên ∇2 gε (x0 , x0 ), y¯ − x0 ≥ (5.15) Cộng vế tương ứng bất đẳng thức (5.14) (với z = x0 ) (5.15) ta ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, y), ¯ y¯ − x0 + δ ∇2 h(x, y), ¯ x0 − y¯ ≥ (5.16) Kết hợp (5.13) với (5.16), ta có ετ x − x0 ≤ ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x0 , x0 ), x − x0 + δ ∇2 h(x, y), ¯ x0 − x + x − y¯ + ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, y), ¯ y¯ − x + x − x0 ≤ ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ x − x0 + ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, y), ¯ y¯ − x + δ ∇2 h(x, y), ¯ x0 − x + δ ∇2 h(x, y), ¯ x − y¯ ≤ ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ x − x0 + ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, x), y¯ − x + ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ y¯ − x + δ ∇2 h(x, y) ¯ − ∇2 h(x, x), x0 − x + δ ∇2 h(x, y), ¯ x − y¯ Để ý = gε (x, x) ≥ ∇2 gε (x, y), ¯ x − y¯ + gε (x, y) ¯ ≥ ∇2 gε (x, y), ¯ x − y¯ + ∇2 gε (x, x), y¯ − x , hệ ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ y¯ − x ≤ Mặt khác, tính lồi theo biến thứ hai không âm h suy ∇2 h(x, y), ¯ x − y¯ ≤ h(x, x) − h(x, y) ¯ ≤ Do đó, ta có ετ x − x0 ≤ ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ x − x0 + ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, x), y¯ − x + δ ∇2 h(x, y) ¯ − ∇2 h(x, x), x0 − x 99 (5.17) Chương Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển Giả thiết (v) kéo theo ∇2 gε (x, x) − ∇2 gε (x, y), ¯ x − x0 ≤ (l1 + εl2 ) x − y¯ x − x0 , (5.18) ∇2 gε (x0 , x0 ) − ∇2 gε (x, x), y¯ − x ≤ 2(l1 + εl2 ) x − y¯ x − x0 , (5.19) δ ∇2 h(x, y) ¯ − ∇2 h(x, x), x0 − x ≤ δ l3 x − y¯ x − x0 , (5.20) l1 , l2 l3 số Lipschitz ∇2 f1 (·, ·), ∇2 f2 (·, ·) ∇2 h(x, ·), x ∈ X Từ (5.17), (5.18), (5.19) (5.20), ta có ετ x − x0 ≤ 3(l1 + εl2 ) x − y¯ x − x0 + δ l3 x − y¯ x − x0 , hay ετ x − x0 ≤ [3(l1 + εl2 ) + δ l3 ] x − y¯ Để ý ε bị chặn trên, nên tồn số L cho ετ x − x0 ≤ L x − y¯ (5.21) Hơn nữa, φε,δ (x, ·) = gε (x, ·) + δ h(x, ·) lồi mạnh với hệ số α, nên ta có pε,δ (x) = φε,δ (x, x) − φε,δ (x, y) ¯ ≥ ∇2 φε,δ (x, y), ¯ x − y¯ + δ α x − y¯ , điều suy pε,δ (x) ≥ δ α x − y¯ , (5.22) Từ (5.21) (5.22), ta 2pε,δ (x) ≥ δ α Hệ x − x0 ≤ ετ x − x0 L L √ ετ δ α Vì vậy, d (x, SPLEP (K, gε )) ≤ 100 2pε,δ (x) L √ ετ δ α Mệnh đề chứng minh 2pε,δ (x) Kết luận Các đóng góp Luận án Trong luận án này, chúng tơi thu kết sau: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục, tính đóng tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân từ điển 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Tikhonov, đặt chỉnh Tikhonov theo dãy, đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi toán cân từ điển trường hợp tập ràng buộc compact Hơn nữa, cách sử dụng độ đo tính khơng compact, thiết lập điều kiện cần đủ cho tính đặt chỉnh tốn trường hợp tập ràng buộc không compact 3) Ứng dụng kết đạt vào toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu theo thứ tự từ điển 4) Giới thiệu phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển Sử dụng hàm gap hiệu chỉnh để thiết lập kết cận sai số toán bị phạt Hướng nghiên cứu luận án Hướng nghiên cứu luận án tiếp tục phát triển với kỹ thuật cách tiếp cận Cụ thể: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz liên tc Holder ca ă ỏnh x nghim bi toỏn cõn từ điển 2) Đánh giá hội tụ nghiệm toán cân từ điển theo nghĩa hội tụ Painlevé-Kuratowski, hội tụ Mosco, 3) Nghiên cứu phương pháp giải cho toán cân từ điển đặt không chỉnh, chẳng hạn phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov điểm gần kề 4) Các kết luận án mở rộng cho nón tổng quát, chẳng hạn kết hợp nón từ điển với nón Lorentz 101 Danh mục cơng trình (1) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Kruger, A.Y., Thao, N.H.: Well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems In: Demyanov, V.F et al (eds.), Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics, pp 159–174 Springer (2014) (2) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Continuity properties of solution maps of parametric lexicographic equilibrium problems Positivity 20, 61–80 (2016) (3) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: Tykhonov well-posedness for lexicographic equilibrium problems Optimization 65, 1929–1948 (2016) (4) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: On penalty method for equilibrium problems in lexicographic order Positivity, first online (2017) (5) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Levitin-Polyak well-posedness for parametric vector equilibrium problems in lexicographic order Optimization, submitted 102 Báo cáo hội nghị Hội nghị Quốc tế (1) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: On stability for parametric lexicographic equilibrium problems VMS - SMF Joint Congress, Hue, Viet Nam, August 20 – 24 (2012) (2) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Upper semicontinuity of solution maps to lexicographic equilibrium problems International Spring School: Analysis and approximation in optimization under uncertainty, Ha Noi, Viet Nam, February 18–23 (2013) (3) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Levitin-Polyak well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems The 2nd International Conference on Computational Science and Engineering, Hochiminh City, Vietnam, August 21–23 (2014) (4) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: On penalty method for lexicographic vector equilibrium problems The 9th Asian Conference on Fixed Point Theory and Optimization, Bangkok, Thailand, May 18–20, (2016) (5) Duy, T.Q.: Well-posedness for equilibrium problems involving the lexicographic cone International Conference: New trends in optimization and variational analysis for applications, Quy Nhon, Viet Nam, December 7–10, (2016) Hội nghị nước (6) Duy, T.Q.: Well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems The 8th Vietnamese Mathematical conference NhaTrang, Vietnam, August 10–14, (2013) (7) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Duc, N.D., Vui, N.T.: On the Tykhonov well-posedness of lexicographic equilibrium problems 14th Workshop on Optimization and Scientific Computing, Ba Vi, Viet Nam, April 21–23, (2016) 103 Tài liệu tham khảo [1] Anh, L.Q., Duy, T.Q.: On penalty method for equilibrium problems in lexicographic order Positivity, first online (2017) [2] Anh, L.Q., Duy, T.Q.: Tykhonov well-posedness for lexicographic equilibrium problems Optimization 65, 1929–1948 (2016) [3] Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Continuity properties of solution maps of parametric lexicographic equilibrium problems Positivity 20, 61–80 (2016) [4] Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Levitin-Polyak well-posedness for parametric vector equilibrium problems in lexicographic order Optimization, submitted [5] Anh, L.Q., Duy, T.Q., Kruger, A.Y., Thao, N.H.: Well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems In: Demyanov, V.F et al (eds.), Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics, pp 159–174 Springer (2014) [6] Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Semicontinuity of the solution set of parametric multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 294, 699–711 (2004) [7] Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: On the Holder continuity of solutions to paraă metric multivalued vector equilibrium problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 321, 308–315 (2006) [8] Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: On the stability of the solution sets of general multivalued vector quasiequilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 135, 271–284 (2007) [9] Anh, L.Q., Khanh, P.Q.: Continuity of solution maps of parametric quasiequilibrium problems Journal of Global Optimization 46, 247–259 (2010) 104 Tài liệu tham khảo [10] Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M.: Well-posedness without semicontinuity for parametric quasiequilibria and quasioptimization Computers and Mathematics with Applications 62, 2045–2057 (2011) [11] Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M.: Well-posedness under relaxed semicontinuity for bilevel equilibrium and optimization problems with equilibrium constraints Journal of Optimization Theory and Applications 153, 42–59 (2012) [12] Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Van, D.T.M., Yao, J.C.: Well-posedness for vector quasiequilibria Taiwanese Journal of Mathematics 13, 713–737 (2009) [13] Ansari, Q.H., Flores-Bazan, F.: Generalized vector quasi-equilibrium problems with applications Journal of Mathematical Analysis and Applications 277, 246–256 (2003) [14] Auchmuty, G.: Variational principles for variational inequalities Numerical Functional Analysis and Optimization 10, 863–874 (1989) [15] Auslender, A.: Optimisation Méthodes Numériques Masson, Paris (1976) [16] Auslender, A.: Asymptotic analysis for penalty and barrier methods in variational inequalities SIAM Journal on Control and Optimization 37, 653– 671 (1999) [17] Aussel, D., Gupta, R., Mehra, A.: Gap functions and error bounds for inverse quasi-variational inequality problems Journal of Mathematical Analysis and Applications 407, 270–280 (2013) [18] Bianchi, M., Kassay, G., Pini, R.: Well-posed equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 72, 460–468 (2010) [19] Bianchi, M., Konnov, I.V., Pini, R.: Lexicographic and sequential equilibrium problems Journal of Global Optimization 46, 551–560 (2010) [20] Bianchi, M., Pini, R.: A note on stability for parametric equilibrium problems Operations Research Letters 31, 445–450 (2003) 105 Tài liệu tham khảo [21] Bianchi, M., Pini, R.: Sensitivity for parametric vector equilibria Optimization 55, 221–230 (2006) [22] Bianchi, M., Schaible, S.: Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 90, 31– 43 (1996) [23] Blum, E., Oettli, W.: From optimization and variational inequalities to equilibrium problems The Mathematics Student 63, 123–145 (1994) [24] Bonsangue, M.M., van Breugel, F., Rutten, J.J.M.M.: Generalized metric spaces: completion, topology, and powerdomains via the Yoneda embedding Theoretical Computer Science 193, 1–51 (1998) [25] Brézis, H., Nirenberg, L., Stampacchia, G.: A remark on Ky Fan’s minimax principle Bollettino dell’Unione Matematica Italiana 6, 293–300 (1972) [26] Chaldi, O., Chbani, Z., Riahi, H.: Equilibrium problems with generalized monotone bifunctions and applications to variational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications 105, 299–323 (2000) [27] Chen, C.R., Li, S.J., Teo, K.L.: Solution semicontinuity of parametric generalized vector equilibrium problems Journal of Global Optimization 45, 309–318 (2009) [28] Courant, R.: Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations Bulletin of American Mathematical Society 49, 1–23 (1943) [29] Crespi, G.P., Guerraggio, A., Rocca, M.: Well posedness in vector optimization problems and vector variational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications 132, 213–226 (2007) [30] Crespi, G.P., Papalia, M., Rocca, M.: Extended well-posedness of quasiconvex vector optimization problems Journal of Optimization Theory and Applications 141, 285–297 (2009) 106 Tài liệu tham khảo [31] Crouzeix, J.P., Marcotte, P., Zhu, D.: Conditions ensuring the applicability of cutting-plane methods for solving variational inequalities Mathematical Programming 88, 521–539 (2000) [32] Darabi, M., Zafarani, J.: Tykhonov well-posedness for quasi-equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 165, 458–479 (2015) [33] Dempe, S.: Foundations of Bilevel Programming Springer, Berlin (2002) [34] Di Pillo, G., Grippo, L.: Exact penalty functions in constrained optimization SIAM Journal on Control and Optimization 27, 1333–1360 (1989) [35] Dinh, B.V., Muu, L.D.: On penalty and gap function methods for bilevel equilibrium problems Journal of Applied Mathematics 2011 (2011) [36] Dontchev, A.L., Zolezzi, T.: Well-posed Optimization Problems Springer, Berlin (1993) [37] Facchinei, F., Kanzow, C.: Penalty methods for the solution of generalized Nash equilibrium problems SIAM Journal on Optimization 20, 2228–2253 (2010) [38] Facchinei, F., Pang, J.S.: Exact penalty functions for generalized Nash problems In: Di Pillo G, Roma M (eds), Large-scale nonlinear optimization, pp 115–126 Springer, Heidelberg (2006) [39] Fan, K.: A minimax inequality and applications In: Shisha, O (ed.), Inequalities III, pp 103–113 Academic Press, New York (1972) [40] Flores-Bazán, F.: Existence theorems for generalized noncoercive equilibrium problems: the quasi-convex case SIAM Journal on Optimization 11, 675–690 (2001) [41] Frisch, R.: Principles of linear programming with particular reference to the double gradient form of the logarithmic potential method Memorandum from the Institute of Economics, University of Oslo, Olso (1954) 107 Tài liệu tham khảo [42] Fukushima, M.: Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems Mathematical Programming 53, 99–110 (1992) [43] Guerraggio, A., Luc, D.T.: Optimality conditions for C1,1 vector optimization problems Journal of Optimization Theory and Applications 109, 615– 629 (2001) [44] Gupta, R., Mehra, A.: Gap functions and error bounds for quasi variational inequalities Journal of Global Optimization 53, 737–748 (2012) [45] Gwinner, J.: On the penalty method for constrained variational inequalities Optimization: Theory and Algorithms 86, 197–211 (1981) [46] Hadjisavvas, N., Schaible, S.: From scalar to vector equilibrium problems in the quasimonotone case Journal of Optimization Theory and Applications 96, 297–309 (1998) [47] Han, Y., Gong, X.H.: Lower semicontinuity of solution mapping to parametric generalized strong vector equilibrium problems Applied Mathematics Letters 28, 38–41 (2014) [48] Hu, S.H., Papageorgiou, N.S.: Handbook of Multivalued Analysis, Volume I: Theory Kluwer, Dordrecht (1997) [49] Jiménez, B., Novo, V.: First and second order sufficient conditions for strict minimality in nonsmooth vector optimization Journal of Mathematical Analysis and Applications 284, 496–510 (2003) [50] Kalashnikov, V.V., Kalashinikova, N.I.: Solving two-level variational inequality Journal of Global Optimization 8, 289–294 (1996) [51] Khan, S.A., Chen, J.W.: Gap functions and error bounds for generalized mixed vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 166, 767–776 (2015) [52] Khanh, P.Q.: Proper solutions of vector optimization problems Journal of Optimization Theory and Applications 74, 105–130 (1992) 108 Tài liệu tham khảo [53] Khanh, P.Q., Long, V.S.T.: Invariant-point theorems and existence of solutions to optimization-related problems Journal of Global Optimization 58, 545–564 (2014) [54] Khanh, P.Q., Tuan, N.D.: First and second order optimality conditions using approximations for nonsmooth vector optimization in banach spaces Journal of Optimization Theory and Applications 130, 289–308 (2006) [55] Khanh, P.Q., Tuan, N.D.: Optimality conditions for nonsmooth multiobjective optimization using hadamard directional derivatives Journal of Optimization Theory and Applications 133, 341–357 (2007) [56] Kim, J.K., Cho, S.Y., Qin, X.: Some results on generalized equilibrium problems involving strictly pseudocontractive mappings Acta Mathematica Scientia 31, 2041–2057 (2011) [57] Kim, W.K., Kum, S., Lee, K.H.: Semicontinuity of the solution multifunctions of the parametric generalized operator equilibrium problems Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 71, 2182–2187 (2009) [58] Kimura, K., Yao, J.C.: Sensitivity analysis of solution mappings of parametric generalized quasi vector equilibrium problems Taiwanese Journal of Mathematics 12, 2233–2268 (2008) [59] Kimura, K., Yao, J.C.: Sensitivity analysis of solution mappings of parametric vector quasi-equilibrium problems Journal of Global Optimization 41, 187–202 (2008) [60] Konnov, I.V.: Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, vol 495 Springer, Berlin (2001) [61] Konnov, I.V.: On lexicographic vector equilibrium problems Journal of Optimization Theory and Applications 118, 681–688 (2003) [62] Konnov, I.V.: Generalized monotone equilibrium problems and variational inequalities In: Hadjisavvas, N et al (eds), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, pp 559–618 Springer (2005) 109 Tài liệu tham khảo [63] Konnov, I.V.: On penalty methods for non monotone equilibrium problems Journal of Global Optimization 59, 131–138 (2014) [64] Konnov, I.V.: Regularized penalty method for general equilibrium problems in banach spaces Journal of Optimization Theory and Applications 164, 500–513 (2015) [65] Konnov, I.V., Ali, M.S.S.: Descent methods for monotone equilibrium problems in Banach spaces Journal of Computational and Applied Mathematics 188, 165179 (2006) [66] Kuc ă uk, ă M., Soyertem, M., Kuc ă uk, ¨ Y.: On constructing total orders and solving vector optimization problems with total orders Journal of Global Optimization 50, 235–247 (2011) [67] Levitin, E.S., Polyak, B.T.: Convergence of minimizing sequences in conditional extremum problems Doklady Akademii Nauk SSSR 168, 997–100 (1966) [68] Li, S.J., Liu, H.M., Zhang, Y., Fang, Z.M.: Continuity of the solution mappings to parametric generalized strong vector equilibrium problems Journal of Global Optimization 55, 597–610 (2013) [69] Lignola, M.B.: Well-posedness and L-well-posedness for quasivariational inequalities Journal of Optimization Theory and Applications 128, 119– 138 (2006) [70] Lignola, M.B., Morgan, J.: Well-posedness for optimization problems with constraints defined by variational inequalities having a unique solution Journal of Global Optimization 16, 57–67 (2000) [71] Lignola, M.B., Morgan, J.: α-Well-posedness for Nash equilibria and for optimization problems with Nash equilibrium constraints Journal of Global Optimization 36, 439–459 (2006) [72] Makarov, E., Rachkovski, N.: Unified representation of proper efficiency by means of dilating cones Journal of Optimization Theory and Applications 101, 141–165 (1999) 110 Tài liệu tham khảo [73] Marcotte, P., Zhu, D.L.: Exact and inexact penalty methods for the generalized bilevel programming problem Mathematical Programming 74, 141–157 (1996) [74] Mastroeni, G.: Gap functions for equilibrium problems Journal of Global Optimization 27, 411–426 (2003) [75] Mirzaee, H., Soleimani-damaneh, M.: Derivatives of set-valued maps and gap functions for vector equilibrium problems Set-Valued and Variational Analysis 22, 673–689 (2014) [76] Mitrovi´c, Z.D.: On scalar equilibrium problem in generalized convex spaces Journal of Mathematical Analysis and Applications 330, 451–461 (2007) [77] Morgan, J., Scalzo, V.: Discontinuous but well-posed optimization problems SIAM Journal on Optimization 17, 861–870 (2006) [78] Moudafi, A.: Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems Journal of Global Optimization 47, 287–292 (2010) [79] Muu, L.D.: Stability property of a class of variational inequalities Optimization 15, 347–351 (1984) [80] Muu, L.D., Oettli, W.: A lagrangian penalty function method for monotone variational inequalities Numerical Functional Analysis and Optimization 10, 1003–1017 (1989) [81] Muu, L.D., Oettli, W.: Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 18, 1159–1166 (1992) [82] Muu, L.D., Quoc, T.D.: Regularization algorithms for solving monotone Ky Fan inequalities with application to a Nash-Cournot equilibrium model Journal of Optimization Theory and Applications 142, 185–204 (2009) [83] Nguyen, T.T.V., Strodiot, J.J., Nguyen, V.H.: A bundle method for solving equilibrium problems Mathematical Programming 116, 529–552 (2009) 111 Tài liệu tham khảo [84] Nikaidô, H., Isoda, K.: Note on noncooperative convex games Pacific Journal of Mathematics 5, 807–815 (1955) [85] Oettli, W.: A remark on vector-valued equilibria and generalized monotonicity Acta Mathematica Vietnamica 22, 213–221 (1997) [86] Penot, J.P.: Calculus without Derivatives, vol 266 Springer, Berlin (2013) [87] Peypouquet, J.: Convex Optimization in Normed Spaces: Theory, Methods and Examples Springer, Berlin (2015) [88] Pinar, M.C ¸ , Zenios, S.A.: On smoothing exact penalty functions for convex constrained optimization SIAM Journal on Optimization 4, 486–511 (1994) [89] Polak, E.: Computational Methods in Optimization: A Unified Approach, vol 77 Academic press, New York (1971) [90] Polyak, B.T.: Introduction to Optimization Translated from the Russian With a foreword by D.P Bertsekas Translations Series in Mathematics and Engineering Optimization Software, Inc., Publications Division, New York (1987) [91] Rakoˇcevi´c, V.: Measures of noncompactness and some applications Filomat 12, 87–120 (1998) [92] Rocca, M.: Well-posed vector optimization problems and vector variational inequalities Journal of Information and Optimization Sciences 27, 259–270 (2006) [93] Rubin, H., Ungar, P.: Motion under a strong constraining force Communications on Pure and Applied Mathematics 10, 65–87 (1957) [94] Sach, P.H., Lee, G.M.: Sensitivity results for a general class of generalized vector quasi-equilibrium problems with set-valued maps Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 71, 571–586 (2009) [95] Takahashi, S., Takahashi, W.: Strong convergence theorem for a generalized equilibrium problem and a nonexpansive mapping in a hilbert space Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 69, 1025–1033 (2008) 112 Tài liệu tham khảo [96] Tikhonov, A.N.: On the stability of the functional optimization problem USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics 6, 2833 (1966) ă Penalty function methods for constrained optimization with ge[97] Yeniay, O.: netic algorithms Mathematical and Computational Applications 10, 45–56 (2005) [98] Zeidler, E.: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed Point Theorems Springer, New York (1993) [99] Zolezzi, T.: Well-posedness criteria in optimization with application to the calculus of variations Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 25, 437–453 (1995) [100] Zolezzi, T.: Extended well-posedness of optimization problems Journal of Optimization Theory and Applications 91, 257–266 (1996) 113 ... Bài toán bất đẳng thức biến phân từ điển 27 2.3.2 Bài toán tối ưu từ điển 29 Tính đặt chỉnh Tikhonov tốn cân từ điển 35 3.1 Tính đặt chỉnh Tikhonov toán cân từ điển. .. 3.3.2 Tính đặt chỉnh Tikhonov theo dãy toán bất đẳng thức biến phân từ điển Tính đặt chỉnh Zolezzi tốn cân từ điển có tham số 59 4.1 Tính đặt chỉnh Zolezzi tốn cân từ điển. .. nhau, đặt chỉnh Tikhonov, đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh Levitin-Polyak, toán cân từ điển xiii Tổng quan Giới thiệu phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển Sử dụng hàm gap hiệu chỉnh để giải toán cân