Chuẩn eisenman trên đa tạp phức

Chuẩn eisenman trên đa tạp phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- @  -

LƯU THỊ NHÀN

CHUẨN EISENMAN TRÊN ĐA TẠPPHỨC

CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

- @  -

LƯU THỊ NHÀN

CHUẨN EISENMAN TRÊN ĐA TẠP PHỨC

CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN – 2009

MỤC LỤC

Mở đầu ……… 2

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm tự đẳng cấu của Bn ……… 4

1.2 Metric vi phân Royden-Kobayashi 8

Chương 2: Các khoảng cách bất biến và chuẩn Eisenman trên Bn 2.1 Các khoảng cách bất biến trên Bn……… 20

2.2 Chuẩn Eisenman trên Bn ……… 32

Chương 3: Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức 3.1 Các định nghĩa……… 36

3.2 Một số tính chất của Ek……… 37

3.3 Dạng thể tích trên đa tạp ……… 40

3.4 Độ đo Eisenman trên đa tạp ……… 41

3.5 Đa tạp hypebolic k- độ đo……… 42

Luận văn được chia làm ba chương Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các tính chất của nhóm tự đẳng cấu của Bn và metric vi phân Royden-Kobayashi làm cơ sở để trình bày các kiến thức ở các chương tiếp theo

số tính chất của chúng Phần tiếp theo của chương là trình bày về chuẩn Eisenman trên Bn và các tính chất của chuẩn Eisenman trên Bn

Chương 3 Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức

Trong chương này chúng tôi đã trình bày khái niệm và một số tính chất của chuẩn Eisenman trên một đa tạp phức Ngoài ra còn trình bày một số khái niệm như dạng thể tích nội tại Eisenman, độ đo Eisenman trên đa tạp, hyperbolic k-độ đo Phần cuối chương xét cụ thể trường hợp E1

và chứng minh công thức tích của chuẩn Eisenman trên các đa tạp phức

Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Việt Đức Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đến người Thầy của mình

Nhân đây cho phép tôi bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn đến các thầy, cô trong tổ bộ môn Giải tích Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đã cho tôi những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận văn này, tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Khoa sau Đại học Trường Đại học Sư Phạm Đại học Thái Nguyên và những người thân đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Do nhiều nguyên nhân khác nhau nên luận văn này không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, tôi mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009

Lưu Thị Nhàn

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm tự đẳng cấu của Bn1.1.1 Định nghĩa

Bn r  z n: z r ở đây là chuẩn Euclid

Với aBn( )r ta định nghĩa ma trận r( )a cấp n n như sau:

  t  

raa

1.1.2.3 Nhóm Aut B r( n( )) các tự đẳng cấu của n

1.1.2.7 Ta có

Γ a = r -v a Γ a +r v a I = a a+v a I   Thật vậy, ta có

   

rr r ra= a a+r vI

r= a a+v a

1.1.2.8 Ta có

      t -1

Γ a =Γ a + v a - r I =- rIrv arv ar - v a

=Γ+ v-1 Ia

=Γ a + v a - r Iv arr

=Γ a + v a - r Irv a

 

     .

Chứng minh

 

 .

1aΓ a =Γ

11a a=-+ I

=-a a+r Ir v a

    

  

1.1.2.10    k -1

detΓ a = r -v a= r  r - a Thật vậy,

 

  

   

hid Br.r

d g= rd g h= r dgdhha

= dg==r Γrar - a

1-=Γ ar - a

 

1.2 Metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa

Một ánh xạ F T M: gọi là metric vi phân nếu nó thoả mãn các điều

Chúng ta định nghĩa metric vi phân Kobayashi:

Xác định ánh xạ FM :T M   như sau: Với mọi xT M x,FM  x inf1:

1.2.2 Mệnh đề

Ánh xạ F T M:  là một metric vi phân Chứng minh Ta chứng minh FM  Ox 0

Với bất kỳ r0 ta lấy f: rM là ánh xạ hằng f z x, thế thì

 0

fx và f' 0 Ox, cho r  ta được FM  Ox 0 Ta chứng minh FM ax  a FM x , a=0 hiển nhiên đúng Với a0 ta có:

Gọi f: 1M là ánh xạ chỉnh hình sao cho f 0x và

Vì

Lấy h: rM là ánh xạ chỉnh hình sao cho h' 0 x

suy ra fh: rN là ánh xạ chỉnh hình sao cho fh  ' 0f x

1.2.6 Định lý

Cho M là đa tạp phức thế thì metric vi phân Kobayashi FM :T M   là nửa liên tục trên có nghĩa với mọi T M  và mọi 0 thế thì tồn tại lân

cận U của  trong T M  sao cho:

FF với mọi U Chứng minh

  trong T D  sao cho  

Vì H là song chỉnh hình quanh O nên chúng ta có thể lấy V sao cho

vì vậy FM là nửa liên tục trên tại x Ox.

Để chứng minh FM nửa liên tục trên tại Ox chúng ta cố định W là lân cận

Đặt

K=yT M :yW; y1

Vì K là compact trong T M \O và FM là nửa liên tục trên K suy ra FM đạt

cực đại A trên K, lấy L A với mọi  0, đặt: U=y T M : y W; y

Cho f: rM là ánh xạ chỉnh hình bất kỳ với f 0S

Ta chỉ việc chỉ ra với mọi số r' 0,r tồn tại ánh xạ chỉnh hình

 

grM S sao cho g' 0 f' 0  Đặt

M rM S rS

và f1:z rz f z, M1 là ánh xạ đồ thị của f

phương g1:   r' 1 m M1 sao cho g1    r'O f1 thế thì tập con giải tích    1 1



1.2.8 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X Hol(D,X) là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô compact mở Xét dãy các điểm p0 = x , p1, , pk = y của X, dãy các điểm a0 , a1, , ak

của D và dãy các ánh xạ f0, f1, , fk trong Hol(D,X) thoả mãn

fi 0pi1,f ai i pi, i1, ,k

Tập hợp p0, ,p ak, 1, ,ak,f1, ,fk thoả mãn các điều kiện trên được

gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X

trong đó x y, là tập tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X

cách Kobayashi trên không gian phức X

Nếu X không liên thông, ta định nghĩa dX x y,  với x, y thuộc các thành

phần liên thông khác nhau

1.2.9 Định nghĩa

Không gian phức X gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi )

nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là

trong đó infimun được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc

Giả sử : 0,1 X là đường cong C từng khúc nối x và y trong X

Khi đó f: 0,1 Y cũng đường cong Ctừng khúc nối f(x) và f(y) trong Y Từ đó ta nhận được (1)

Mặt khác, từ FD2 ds2 ta có

dD' D dD (2) Từ đó theo định nghĩa của dX ta suy ra

  '  

dx ydx y với mọi x y,X

Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy 0 tuỳ ý Khi đó có đường cong

Ctừng khúc : 0,1 X từ x tới y sao cho

'0

Theo tính chất “Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên TX

Nếu X là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục” thì .  

Lấy U, ,Dm là hệ toạ độ địa phương chỉnh hình quanh  p với

2' 0 ,11

Trong bất kỳ trường hợp nào ta cũng có lân cận Ip của p và đường cong

Ctừng khúc :Ip Dr Dm1 sao cho  pO và

với s s, 'I'p Theo định nghĩa d ta có

Thực hiện phép chia đoạn [0,1] như sau: 0s0   s1 sk 1 mà làm mịn

của (3) và s - sjj-1  với mọi j Lấy pj 0,1 sao cho 1, '

dx ydx y Ta có điều phải chứng minh

Chương 2

CÁC KHOẢNG CÁCH BẤT BIẾN VÀ CHUẨN EISENMAN TRÊN Bn

2.1 Các khoảng cách bất biến trên Bn2.1.1 Định nghĩa

f BB là chỉnh hình Chứng minh

i) và ii) được suy ra từ Định nghĩa 2.2.1

iv) Giả sử   1

aT a

S T T T Khi đó S 0TT a T a 0

SAut B nênSAut B0 n U n .

Khi đó ta có TT a TS T a và TT a T b   S T b a   T ba  Từ đó kéo theo

1- a1- b1- a <

1- ab , hoặc

1- b

<1.1- ab

1- a1- bT b= 1-

1- ab1- b<1+ a -

1- ab

<1+ a -1+ ba + b

Vậy iii) được chứng minh

v) Giả sử g z =T  f a  f Ta-1 z . Khi đó g B: n Bm và g 0 0, do đó theo bổ đề Schwars thì

 

 a  a 

g T bT b

Vế phải chính là n a b, , và g T b a   Tf a  f b  m f a ,f b  Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn

2.1.3 Khoảng cách hyperbolic trên Bn

Trước tiên ta nhắc lại một số khái niệm

Cho X, là không gian metric Với AX (hoặc A X ) và r0 Đặt

iji j



trong đó a= a , ,a 1n và b= b , ,b 1n.

u Τ B và ta định nghĩa 12.

f z

f u f v  u u với : nn

f BB là chỉnh hình Chứng minh

i) Lấy w=T z . Khi đó T T z = 0,w  vì vậy T T = ATw z với A U n ,

TT   A T Suy ra

   

g u u Chứng minh

zz là véc tơ cột Chứng minh

i jk

i j

z zrz

u vds u va brz

z z a brza brz

2i, j=1

a dgzb dg= a dgdgb

= azrzbr - z

r - zr

=a z z + r - zIbr - z

=a z z b + r - za br - z

=a z z b + r - za br - z

gua ga dgz

gvb gb dgz

,1

h z

h u h v  u v Thực vậy, giả sử w=h z   Khi đó w 

A gu A gv

 

Với mỗi a và b trong Bn tồn tại duy nhất đường cong  nối a và b sao cho độ

dài của nó lấy theo ds2 xác định  a b, Đường cong này gọi là đường trắc địa

a bi ai bi a i b

a b



λ a,bλ a,b1= lim= lim

  1 1; 1 212 ; ; 1 21

zss zs zT z

f BB là ánh xạ chỉnh hình iii) B A r s; B B A r s ; ;

Khoảng cách  là duy nhất sai khác một hằng số nhân dương Chứng minh

Ta có  thoả mãn i), ii) là hiển nhiên  thoả mãn iii) vì nó là khoảng cách

Riemann và vì B A r, là compact tương đối nếu A là bị chặn

Ta chứng minh tính duy nhất

Giả sử  là một khoảng cách trên n

B mà thoả mãn i) ii) và iii) Lấy

e Với 0 r1 xác định h r 0,re Do i) ta suy ra h là liên tục Do ii),  là hoàn toàn xác định bởi h

a) Ta chứng minh h là tăng chặt

Cho 0 t1 Khi đó ztz là ánh xạ chỉnh hình từ n

theo ii) ta có h tr h r  Vậy h là không giảm Nếu h là không tăng chặt thì

có r0 và s với r0   r0 s1 và h r 0 th r 0 với 0 t s Vì  là khoảng cách, r0 0 và ta có thể giả thiết h r h r 0 với 0 r r0

thuẫn với iii) Vậy h là tăng nghiêm ngặt

iiB a sTBs

TzBzg szBT zg s

 0; y

, y r s e;   Vì vậy

y BBr s e K

Theo b) K là lồi, đối xứng qua đường thẳng te t Nếu K là điểm đơn

re thì nó phải chứa một điểm trong của B 0;, gọi là y’, do đó

re r s eTr s eiis



Vì h là tăng chặt nên h là khả vi với hầu hết r Gọi r0 là một hằng số r như vậy

h rsh rr s rs

Vậy h r'  tồn tại và bằng  

' 01

r dth rh

h rlogr

γ a,b =log= h' 0 λ a,b1- ρ a,b

Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn

2.2 Chuẩn Eisenman trên Bn2.2.1 Định nghĩa

kz

12

v vvT B Khi đó

Khi đó

Cc với ij

c Khi đó k k

λ 0;u = detC λ 0;v Chứng minh

i)

01

v vvT B là phụ thuộc tuyến tính trên  thì k;0

Cc là ma trận khả nghịch Giả sử ui = vi , 1 i k  và uk = 0

Khi đó

tích vô hướng định nghĩa bởi



và cho u u1, , ,2 uk là cơ sở trực chuẩn của L

λ 0; f v = detC λ 0; f udetCf uf u

= detCu = 1)= λ 0;v

Định lý được chứng minh

không gian con phức k chiều của TpM Nếu  là metric Hermit trên TM, nó có

Cho k là một số nguyên bất kì, k = 1,…,n, và giả sử k ,.

D BRzz

 : k

f B RM với r là một căn bậc k của a, 1

 Khi đó

Ở trên nếu ta không yêu cầu f 0p thì ta cần lấy chuẩn  2 ứng với

Với mọi R0, vì M k và Dkpk nên  có dạng

.) E1 là bình phương metric Royden- Kobayashi (xem [8])

.) Nếu thay Bk trong vế phải định nghĩa Ek bởi Bl (với lk) thì kết quả tương tự (Xem 2.9 (ii) [5])

) Hàm : k 0,

E D  là nửa liên tục trên Chứng minh

Với kn, Eisenman đã chứng minh trong bổ đề 2.5 [5]

Trường hợp tổng quát với k tuỳ ý được suy ra từ Royden (Xem [8]) .) Nói chung Ek không liên tục (xem[6])

.) Với k = n, En có thể định nghĩa như sau:

Cho w , ,w1n là toạ độ phức quanh p M. Khi đó

và df(0) không suy biến }

ii) Ta có thể dùng dạng thể tích của metric Bergman trên Bn thay cho n trong định nghĩa trên

3.3.3 Định nghĩa

Cho A là đa tạp con phức k chiều của một tập mở UM(gọi là đa tạp con

Với pA và w , ,w1k là toạ độ địa phương quanh p sao cho

τ= inffθ 0 :k

và df(0) không suy biến và df T B 0 kT Ap 

Điều này chứng tỏ định nghĩa 3.3.3 không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ toạ độ địa phương w , ,w1k quanh p

Chú ý rằng Ek là nửa liên tục trên Vì thế MA

con phức k chiều của đa tạp M gọi là độ đo Eisenman Trong [5] Eiseman đã đưa

ra độ đo Borel khác trên mỗi tập A như sau:

Cho k là độ đo Borel trên Bk, xác định bởi phép lấy tích phân lấy theo phần

tử thể tích của metric Bergman trên Bk

A  f E

Trên đa tạp phức n chiều tuỳ ý ta có Ik Cn k, Ik

Với n = k, Bổ đề được chứng minh bởi Eisenman ([5], mệnh đề 2.13) Chứng

minh tổng quát được lập luận tương tự như của Eisenman và áp dụng tính nửa liên tục trên của Ek

3.5 Đa tạp hypebolic k- độ đo 3.5.1 Định nghĩa

Một đa tạp phức n chiều M được gọi là hyperbolic k-độ đo nếu với mỗi đa tạp con phức địa phương k chiều A của M, A ta có I Ak 0

Trường hợp k = n thì M được gọi là hyperbolic độ đo

có hằng số dương cK sao cho

Trường hợp k = n thì M được gọi là hyperbolic độ đo mạnh

Một đa tạp phức M được gọi là Ek hypebolic nếu E pk,0 mỗi pM và

i) Cho : MN là ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức có số chiều lớn hơn hoặc bằng k Khi đó

trong đó  kí hiệu chuẩn mêtric Bergman trên Bn.

Chứng minh

i) Lấy bất kì p M, và kp

df với D B0k1 k1 thoả mãn  Vì  và df 1, nên tồn

tại một vectơ tiếp xúc u của Bk+1

tại 0 sao cho u1 và df u k11

' kk

D B

  sao cho nó trực giao với u Đặt   ' u Ta có thể coi '

B tại 0 Do Bổ đề 3.6.2 ta có ' và

     

  

dfdfdf udfdf u

 



Do đó ' và   11

' k

df  nếu ta đặt

11 ',

    thì 10

   và df  1.

   và df  1 mâu thuẫn với M

Giả sử không tồn tại hằng số cp như trên thì có các điểm piM,iT Mp

với pi p,i  sao cho

 r ;2

i

Theo định lý Ascoli, tồn tại dãy con  ik  sao cho

Đặt E p1;E p; Ta biết rằng M là đa tạp hyperbolic nếu và chỉ nếu

giả khoảng cách Kobayashi dM là khoảng cách, trong đó

;LM    ; '

           M

Cho M và N là đa tạp phức có số chiều tương ứng là m và n Lấy

Nl

Nếu cần bằng phép biến đổi unita trên  k+1

(và trên Bk+1) Ta có thể giả thiết

Ep q

 

   

giảm của chuẩn Eisenman qua các ánh xạ chỉnh hình (Mệnh đề 2.2.3.) 3.Trình bày khái niệm chuẩn Eisenman trên đa tạp phức và chứng minh được một định nghĩa tương đương với khái niệm này (Mệnh đề 3.2.1.) Đồng thời chứng tỏ chuẩn Eisenman trên  k luôn bằng 0 (Mệnh đề 3.2.2.)

4 Trình bày các khái niệm dạng thể tích trên đa tạp, độ đo Eisenman trên đa tạp, đa tạp hyperbolic k- độ đo

5 Chứng minh một số tính chất của chuẩn Eisenman trên đa tạp như tính chất giảm qua ánh xạ chỉnh hình (Định lí 3.6.1.), tính chất tích (Định lí 3.8) 6 Trình bày trong trường hợp k=1 thì tích E1 – hyperbolic tương đương với tính hyperbolic theo nghĩa Kobayashi của một đa tạp phức