Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ LÝ thuyÕt: Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.. Phương ph¸p nµy thư[r]
Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) ! Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức VD: a) 2x2 + 5x - = (2x - 1).(x + 3) b) x - √x y +5 √x = - 10y = [( √x ( √x √x √x )2 – y - 2y) + 5( √x √x = ( √x ] + (5 - 2y) - 10y) - 2y)( √x + 5) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương ph¸p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG LÝ thuyÕt: Nếu tất hạng tử đa thức có nhân tử chung đa thức biểu diễn thành tích nhân tử chung với đa thức khác a) Phương ph¸p đặt nhân tử chung c dùng hạng tử đa thức có nhân tử chung Cụ thể: AB + AC + AD = A( B + C + D) b) Các bc tiến hành: -Bc 1: Phát nhân tử chung đặt nhân tử chung dấu ngoặc -Bc 2: Viết hạng tử ngoặc cách chia hạng tử đa thức cho nhân tử chung VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) 2 Giải: a) B = 17x y - 34x y + 51xy Þ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Þ D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by) BÀI TP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) A = 2x2 + x b) B = 16x2(x - y) -10y(y - x) 2 2 c) C = 14x – 21xy + 28x y d) D = 2(x + 3) – x(x + 3) VD2: Giải phương trình: x + √2 x - = Giải: Ta có: x + √ x -3 = (1+ √ ) x -3 = (1+ √ ) x = x= 1+ √ { 1+ √ } Vậy phương trình cho có tập nghiệm : S = BÀI TẬP: Giải phương trình: a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = Phương pháp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC LÝ thuyÕt: Nếu đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biểu diễn đa thức thành tích a thc a) Phân tích đa thức thành nhân tử phng pháp dùng đẳng thức c dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức b) Các đẳng thức quan trọng 3 2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a b (a b)(a ab b ) 2 2 a - 2ab + b = (a - b) an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1) a2 - b2 = (a + b).(a - b) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 b)3 VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) A = x2 - b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + 2 ⇒ Giải: a) A = x - A = x - = (x - 2)(x + 2) 2 b) B = x + 2xy + y - 25 ⇒ B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5) c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + ⇒ C = [( x + y) - 1)] = ( x + y - 1)2 BI TP: Phân tích đa thức sau thành nhân tö : a) A = a3+ 6a2 + 12a + b) B = x2 – 4x + c) C = 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 d) D = x2 + 4x – y2 + 2 VD2: Giải phương trình: ( x+1 ) =4 ( x −2 x +1 ) Giải: Ta có: ( x+1 )2=4 (x −2 x+1 ) ⇔ x +2 x +1=4 x 2−8 x +4 2 ⇔ x +2 x−4 x +8 x=4−1 ⇔−3 x +10 x=3 ⇔−3 x +9 x +x−3=0 ⇔−3 x ( x−3 )+1 ( x−3 )=0 x=3 x −3=0 x =3 ⇔( x−3 )(−3 x +1)=0⇔[ ⇔[ ⇔[ −3 x +1=0 −3 x=−1 x= ;3 Vậy phương trình cho có tập nghiệm là: S={ } BÀI TẬP: Giải phương trình: a) (x2 + 2x + 1) - = b) x3 - = x(x - 1) Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ LÝ thuyÕt: Nhóm số hạng tử đa thức cách thích hợp để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ Phương ph¸p thng c dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng c đẳng thức mà sau nhóm hạng tử biến đổi sơ nhóm lại xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: Bc 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Bc 2: Nhóm để áp dụng phng pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Bc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) A = xy - xz - y + z b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - Giải: a) A = xy - xz - y + z ⇒ A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 =[ ( x + y )−( z−1 ) ][ ( x + y ) + ( z−1 ) ] = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1) BI TP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo) Phương pháp 1: ĐẶT NHÂN T CHUNG VD: Phân tích B thành nhân tử : B x y y x (x 0;y 0) 2 √ √ √ x √ y ( √ x− √ y ) Giải: B=x y− y x⇒ B=( x ) y( y ) x= Bi tp: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) √ √ A=3 √ x−x B=5 y+10 √ y d) E = 10( √x √x √x b) Q = 3x + 12 - y) – 8y(y - √x ) y e) F = c) √x ( √x - 2010) - + 2010 = Phương pháp : DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC (a,b 0) a a.b b ( a b) 2 a a.b b ( a b) a b ( a b).( a b) (a,b 0) (a,b 0) a3 3a b 3b a b3 ( a b)3 (a,b 0) a3 3a b 3b a (a,b 0) b3 ( a b)3 3 a a b b a b ( a b)(a a a b b a b3 ( a ab b) b)(a ab b) (a,b 0) a b c ab ac bc ( a b c) VD: Phân tích M thành nhân tử : M = a 2 (a,b 0) (a,b 0) Giải: M = a2 =a − ( √ ) =( a− √2 ) ( a+ √2 ) Bài tp: Phân tích N, P thành nhân tử : N=9 a−1 a) ( a≥0 ) b) P=x+1+2 √ x ( x≥0 ) Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ VD: Phân tích D thành nhân tử : Gii: D=a2 a+1−b ( a≥0,b≥0 ) D=a−2 √ a+1−b 2 2 ⇒ D=( √ a ) −2 √ a 1+1−( √ b ) =( √a−1 ) −( √ b ) =( √ a−1−√ b )( √ a−1+ √ b ) Bài tập: Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử : a) b) E=a ba+2 abbb √ a ( a≥0,b≥0 ) F=−3 x √ y+x−2 √ xy+ y+3 y √ x ( x≥0, y≥0 ) c) G = x - √x + √x y – 3y Phơng pháp 4: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm, bớt hạng tử II- Phương pháp tách hạng tử: Đa thức dạng P(x) =ax2+ bx + c c −b Phương pháp: Nhẩm tìm số m,n cho : m n = a m + n = a Khi đó: P(X) = (x-m)(x-n) VD:Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 7x – Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta coù: x – 7x – = x3 – x – 6x – = x( x −1 )-6(x+1) = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) c −6 = =−6=3 (−2) a=1 a ⇒ m=3 b=−1 ⇔ −b n=−2 = =1=3+(−2 ) c=−6 a ) { { { = (x + 1)( x2 – x – 6) ( Do = (x + 1)(x -3)(x +2) Caùch 2: Taùch số hạng – = – 14 ,ta có: x3 – 7x – = x3 + – 7x – 14 3 = ( x +2 )-7(x+2) =(x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 4-7) =(x + 2)(x2 – 2x -3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) LÝ thuyÕt *) LÝ thuyÕt chung: Phơng pháp nhằm biến đổi đa thức để tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức: *) Các trờng hợp: a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ẻ Z; a, b, c 0) TÝnh : = b2 - 4ac: - NÕu = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc - Nếu = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển dạng bình phơng mét nhÞ thøc bËc nhÊt - NÕu = b2 - 4ac > +) = b2 - 4ac = k2 ( k ẻ Q) đa thức phân tích ®ỵc trêng Q +) = b2 - 4ac k2 đa thức phân tích đợc trờng số thực R b, Trờng hợp đa thức từ bậc trở lên: - Nhẩm nghiệm đa thức: +) Nếu tổng hệ số hạng tử Þ ®a thøc cã nghiƯm b»ng +) NÕu tỉng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ Þ ®a thøc cã nghiƯm b»ng - - Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải ớc hạng tử p tự Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng q p ớc hạng tử tự do, q ớc dơng hệ số hạng tư cã bËc cao nhÊt" - Khi biÕt mét nghiƯm cđa ®a thøc ta cã thĨ dïng phÐp chia ®a thức, dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc đa thức Bài tập Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x2 + 6xy + y2 Cách 1: Tách 6xy thành 5xy + xy cã: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y) = (5x + y)(x + y) Cách 2: Thêm 4x2 vào 5x2 bớt 4x2 ta cã : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2 = (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x3 + 3x2 - Cách 1: x3 + 3x2 - = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 – = = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 3: x3 + 3x2 - = x3 - + 3x2 – = (x - 1)(x + 2)2 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tö : a) A = 3x3 + 2x2 + 2x – b) B = x4 + c) C = x2 - 6x + Gi¶i: a) NhÈm ®ỵc nghiƯm x = A = 3x3 + 2x2 + 2x – = 3x3 - x2 + 3x2 + 3x - x - = x2( 3x - 1) + 3x( x + 1) - (x +1) = x2(3x - 1) + (x + 1)( 3x - 1) = (3x - 1) ( x2 + x + 1) b) B = x4 + = x4 + + 4x2 - 4x2 = (x2 + 2)2- (2x)2 = (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2) c) C = x2 - 6x + = x2- 6x + + - 1= (x - 3)2- = (x - - 1)( x - + 1) = (x - 4)(x - 2) Hc C = x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x( x - 2) - ( x - 2) = (x - 2)( x - 4) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư : P = x2 - 7xy + 12y2 = x2 - 3xy - 4xy + 12y2 P = x(x - 3y) - 4y(x - 3y) = (x - 3y)(x - 4y) Q = x3 - 3x + = x3 - - 3x + = (x - 1)(x2 + x + 1) - 3(x - 1) = (x - 1)(x2 + x - 2) Bµi 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q = x4 + 64 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = ( x2 + 8)2 - (4x)2 = (x2 + - 4x)(x2 + + 4x) Bµi 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2 = (2x2 + 9)2- (6x)2 = (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) b) x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1) = x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chó ý: C¸c ®a thøc d¹ng: x3m+1 + x3m+2 + ®Ịu chøa thừa số x2 + x + Bài 7: Phân tích Q, K thành nhân tử : Q = a a 2 (a 0) K = x x 12 (x 0) d Phương pháp tách hạng tử:(trường hợp đặc biệt tam thức bậc có nghiệm) Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c ( a ¹0 ) b1b2 ac b1 b2 b Ví dụ: a) 2x2 - 3x + = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) b) y y y y y 2 y y1 y1 y y1 e Phương pháp thêm, bớt hạng tử: Ví dụ: a) y4 + 64 = y4 + 16y2 + 64 - 16y2 = (y2 + 8)2 - (4y)2 = (y2 + - 4y)(y2 + + 4y) 2 b) x + = x + 4x + - 4x = (x + 2) - 4x x x 2 x2 x 2 = (x + 2) - 2 x = g Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: a) a3 - a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b) =(a - b) (a2 - b2) = (a - b) (a - b) (a + b) = (a - b)2(a + b) b) 27 x3 y a 3b3 y y 27 x a 3b3 y (3x)3 ab y 3x ab x 3xab a 2b 3 3 27 x √ y−a b √ y =√ y ( 27−a b ) II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y b) x2 + 5x - = x2 + 6x - x - = x(x + 6) - (x + 6) = (x + 6)(x - 1) c) a4 + 16 = a4 + 8a2 + 16 - 8a2 = (a2 + 4)2 - ( a)2 = (a2 + + a)( a2 + a) Bài 2: Thực phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) b) (x2 - 5x + 6):(x - 3) Giải: a) Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) b) Vì x2 - 5x + = x2 - 3x - 2x + = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2) nên (x2 - 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2) III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Rút gọn phân thức sau: x +xy-y 2 x + xy− y a) 2x -3xy+y 2 x 2−3 xy + y b) 2x -3x+1 x +x-2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y số không âm) a) xy y x x b) a3 b a 2b ab Ph¬ng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm) Lí thuyết: - Đa thức f(x) chia hết cho đa thøc g(x) vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) lµ thơng phép chia) *) Đặc biệt : f(x) chia hÕt cho x - a f(a) = Bài tập: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 2x3 + x2 - Đa thức có nghiệm hữu tỉ nghiƯm sÏ lµ íc cđa 1; 2; 4 Ư(4) = Thấy x = - nghiệm nên : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4) Mµ g(x) = x3 - 3x2 + 4x - cã x = lµ nghiƯm Do vËy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2) Víi ®a thøc : x2 – x + cã = 1- = - < nên đa thức không phân tích đợc R Do vậy: x4 - 2x3 + x2 - = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2) ) 2/ PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT HẠNG TỬ : Bài : PT đa thức thành nhân tử: a/ x4 + b/ x4y4 + c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) Phương pháp giải: a/ x4 + b/ x4y4 + = x4 + + 4x2 – 4x2 = x4y4 + +4x2y2– 4x2y2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2y2 + 2)2 –(2xy)2 = (x2 + 2x +2) (x2 – 2x +2) = (x2y2 + 2xy +2) (x2y2 – 2xy +2) c/ Cách 1: Trong hạng tử : (b – c ) ; (c – a) ; (a – b) ta biểu diễn hạng tử thông qua hạng tử lại cách thêm bớt hạng tử: Chẳng hạn: b – c = b – a + a – c = – (a– b) – ( c – a ) sau nhóm cặp có nhân tử chung kết quả: c/ a2(b – c ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = a2[– (a– b) – ( c – a )] + b2(c – a)+ c2(a – b) = - a2(a– b) – a2( c – a ) + b2(c – a)+ c2(a – b) = c2(a – b) – a2(a– b) +b2(c – a)– a2( c – a ) = (a – b) ( c2 – a2) + (c – a)( b2– a2) = (a – b) (c – a)(c + a – a – b) =(a – b) (c – a)(c– b) Cách : Nhân hạng tử bất kì, biến đổi để xuất NTC với hạng tử lại a2(b – c ) + b2(c – a = a2b – a2c + b2c – b2 a + c2(a – b) = (a2b – b2 a) – (a2c – b2c) + c2(a – b) = ab(a – b) – c(a – b)(a+b)+ c2(a – b) = (a – b)( ab – ca – cb +c2) = (a – b)[ a(b – c) – c(b –c)] =(a – b) (b – c) (a – c) Baøi Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) ] = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz) Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử ( BTVN) a/ ab(a+b) – bc( b + c ) – ac(c – a) b/ x – y – x3(1 – y) + y3 ( – x) ( áp dụng cách ) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử đa thức đa thức cho không chứa thừa số chung, dạng đẳng thức đáng nhớ nào, nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Cách Biểu diễn hạng tử thông qua hạng tử lại Ta coù (y – z) = (y – x) + (x – z) neân (x – y) + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z)(y– z)– (y – x)3 = 3(y – x)(x – z)(y– z) Cách 2: Nhóm hạng tử , biến đổi xuất NTC với hạng tử lại : Cách 3:Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi theo câu a ta coù: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ( ĐỔI BIẾN SỐ) Dạng : (Dạng trùng phương) P(x) = ax4+ bx2+ c Phương pháp: Đặt y = x2 đưa dạng :P(y) = ay2+ by + c áp dụng phương pháp tách hạng tử Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ P(x) = x4 + 7x2 +6 b/ Q(x) = 2x4 + x2 – Giaûi : a/ Đặt y = x2 P(x) trở thành: b/ Đặt y = x2 Q(x)trở thành: P(y) = y2 + 7y + Q(y) = 2y2 + 5y – = y2 + 6y + y + = 2y2 + 7y – 2y – = y(y+6) + (y+6) = y( 2y + 7) – (2y+7) =(y+6)(y+1) = ( 2y + 7) (y 1) 2 Vaäy P(x) = (x +6)( x +1) Vaäy P(x) = (x2 +7)( x2– 1) = (x2 +7)( x– 1)(x+1) Daïng : Đa thức dạng P(x) = (ax2 + bx + c)(ax2 +bx + d)+ e Phương pháp : Đặt y = ax2 + bx + c hoaëc y = ax2 +bx + d , biến đổi đưa dạng : a’y2 + b’y + c’ áp dụng phương pháp tách hạng tử : Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b/ 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaûi: a) Đặt x2 + x + = y ta có x2 + x + =y +1 Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = ( y – 3)(y + 4) 2 Do đó: (x + x + 1)(x + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m, ta coù 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Bài 10: Dạng : Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c +d Phương pháp : Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) y = (x + c)(x + d) hoaëc y2 = x2 + (a + b) x Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = a + b = =c + d Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) 2 Do doù P(x) = (x +5x + 1)(x + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa thuc dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến đổi Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2 Bài 11 : Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) –24x2 Tìm m.n = 24x2 vaø m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10) Ña thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng a’y2 + b’xy +c’ áp dụng tách hạng tử Bài 12: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thaønh nhân tử Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doù , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2+ b’xy +c’ áp dụng tách hạng tử Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n cho m.n = - 6x2 m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2) * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 biến đổi P(x) dạng trùng phương mx4 + nx2 + p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thaønh nhân tử Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1) BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1/ 6x4 + 19x2 + 15 2/ (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 3/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16 4/ (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 5/ (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 6/ (a+2)(a+3)(a2+a+6) + 4a2 7/ (x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 8/ (7 – x)4 + ( – x)4 – 9/ x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 10/ x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + Ph¬ng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến) Lí thuyết: - Dựa vào đặc điểm đa thức đà cho ta đa vào nhiều biến để đa thức trở thành đơn giản Phơng pháp thờng đợc sử dụng để đa đa thức bậc cao đa thức bậc mà ta phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm đa thức bậc - Cần phát giống biểu thức đa thức để chọn đặt ẩn phụ cho thích hợp Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử A = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x -12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x)2- 12 Đặt (x2 + x)2 = X Ta cã: A = X2 + 4X - 12 = X2 + 4X + - 16 = (X+ 2)2 - 42 = (X + 6)(X - 2) Thay X = x2 + x Ta cã: A = (x2 + x + 6)(x2 + x - 2) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử f(x) = (2x2 + 3x + 5)2 + 5(2x2 + 3x + 5) + Đặt : 2x2 + 3x + = t ta cã f(t) = t2 + 5t + Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t + 2)(t + 3), tõ ®ã ta cã : f(x) = (2x2 + 3x + 7)(2x2 + 3x + 8) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tö f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x +7 ) - = [(x + 1)(x + 7)][(x + 5)(x + 3)] - = (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) - Đặt : x2 + 8x + 11 = t, ta cã f(t) = (t - 4)(t + 4) - Suy f(t) = t2 -16 - = t2 - 25 = (t - 5)(t + 5) Do vËy : f(x) = (x2 + 8x + 6) (x2 + 8x + 16) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) P = (x2 + x) + 3(x2 + x) + Đặt x2 + x = y ta cã: P = y2 + y + = y2 + y + 2y + P = y(y +1) + 2(y + 1) = (y + 1)(y + 2) Thay x2 + x = y ta cã: P = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) b) Q = x2 - 2xy + y2 + 3x - 3y – 10 = (x - y)2 + 3(x - y) - 10 Đặt x - y = t ta cã: Q = t2 + 3t - 10 = t2 - 2t + 5t - 10 = t(t - 2) + 5(t - 2) =(t - 2)(t + 5) Thay x - y = t ta cã: Q = (x - y - 2)(x - y + 5) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) B = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Híng dÉn: a) A =(x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y => §a thøc cã d¹ng A = (y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16= (y + 4)(y - 4) => A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8) b) B = x + 6x + 7x – 6x + = x4 - 6x3 - 2x2 + 9x2 - 6x + B = x4 + (6x3 - 2x2) + (9x2 - 6x + 1) = x4 + 2x2(3x - 1)+ (3x - 1)2 Đặt y = 3x => B = (x2 )2+ 2x2y + y2 = (x2 + y)2 VËy B = (x2 + 3x - 1)2 IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giải: a) Kết tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức đồngnhất , nên ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, a, c ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 b = - thoả mãn hệ Đó số phải tìm tức x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) b) Dễ thấy ±1 nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ Như nến đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng đa thức với đa thức cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc =6 bd =1 Từ hệ tìm được: a = b = d = , c = Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) Phơng pháp 6: Phơng pháp hệ số bất định Lí thuyết: Trên sở bậc đa thức phải phân tích, ta xác định dạng kết quả, phá ngoặc đồng hệ số giải Bài tập: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö B = 2x3 - 5x2 + 8x - (1) Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử B có dạng B = (ax + b )(cx2 + dx + m) B = acx + (ad + bc)x + (am + bd)x + bm (2) Đồng hệ số (1) (2) ta cã hÖ sau: ac 2 ad bc am bd 8 Þ bm LÊy m 3 a b c 1 d VËy B = 2x3 - 5x2 + 8x - = (2x - 1)(x2 - 2x + 3) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp hệ số bất ®Þnh a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + b) Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - Gi¶i: a) P = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + (1) Nếu đa thức P phân tích đợc thì: P = (3x + ay + b)( x + cy + d) P = 3x2 + (3c + a )xy + (3d + b)x + (ad + bc)y + acy2 + bd (2) §ång nhÊt hƯ sè cđa (1) vµ (2) ta cã: 3c a 22 a 3d d b ad bc Þ ac 7 c d db 1 Þ P = (3x - y - 1)( x - 7y - 1) b, Q = 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - (3) Nếu đa thức Q phân tích đợc thì: Q = (ax + by + 3)(cx + dy - 1) Q = cax2 + ( ad + bc)xy + (3c - a)x + (3d - b)y +bdy2 - (4) Đồng hệ số (3) (4) ta cã: ac 12 ad bc 10 a 4 b 3c a 5 3d b 12 c 3 bd 12 Þ d 2 Þ Q = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phơng pháp hệ số bất định x4 - 6x3 + 12x2 14x + Thử: x = 1; không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỷ Đa thức phân tích đợc thành thừa số phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3+ (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd = x4 -6x3 +12x2 => a + c = - 6; ac + b + d = 12; ad + bc = - 14; bd = bd = mà b,d ẻ Z => b Î {1; 3} Víi b = => d = => a + c = - ; ac = 8; a + 3c = -14 => a = - 2; c = - VËy: a = - 2; b = 3; c = - 4; d = => x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) -14x + V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x) P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta chia đa thức cho nhị thức (x – a) Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) vaø Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương phép chia Q(x) Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Thế nghiệm số kép? Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do ñoù, ta coù: P(x) = (x – a)2R(x) Ta noùi đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Ph¬ng pháp 7: Phơng pháp vận dụng định lí nghiệm cđa tam thøc bËc hai LÝ thut: - ¸p dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c cã nghiƯm x1, x2 th× : P = a(x - x1)(x - x2) Bµi tËp: Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử P = 2a2 - b2 + ab - 5a + b + P = 2a2 + (b - 5)a - (b2 - b - 2) P lµ tam thøc bËc hai biÕn a = (b - 5)2 + 4.2(b2 - b - 2) a1 Tam thøc bËc hai P cã nghiÖm b 1 ; a 2 b b 1 a (a b) (2a b 1)( a b 2) Þ P = 2(a - a1)(a - a2) = Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử P = x2 + y2 - 2xy + 2x - 2y - P = x2 - 2xy + 2x + y2 - 2y - P = x2 - 2(y - 1)x + (y2 - 2y - 3) '= b'2 - ac =[- (y - 1)]2 - (y2 - 2y - 3) = Þ Tam thøc cã hai nghiÖm x1 = y + , x2 = y - Þ P = (x - y - 1)(x - y + 3) c¸c toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử Giải phơng trình bậc cao: Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 3x2 - = - §a thøc: x3 + 3x2 - tỉng c¸c hƯ sè b»ng nªn cã mét nghiƯm x = tức đa thức x3 + 3x2 chia hết cho x - Thùc hiÖn phÐp chia: x3 + 3x2 - cho x-1 ta đợc thơng x2 + 4x + hay (x + 2)2 - Nªn phơng trình: x3 + 3x2 = (x - 1)(x + 2)2 = x = x = - - Vậy phơng trình ®· cho cã hai nghiƯm x1 = vµ x2 = - Bài 2: Giải phơng trình: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 = - Đặt: x2 + x = t ta có phơng trình: t2 + 4t – 12 = - Ph©n tÝch đa thức t2 + 4t - 12 thành nhân tử ta đợc: t2 + 4t 12 = (t + 6)(t - 2) , ta có phơng trình : (x2 + x + 6)( x2 + x - 2) = - Tiếp tục phân tích đa thức x2 + x thành nhân tử ta đợc: x2 + x – = (x - 1)(x + 2) - Do phơng trình cho đợc viết nh sau: (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 6) = x = x = - (vì x2 + x + > 0, víi mäi x) - Vậy phơng trình đà cho có hai nghiệm x1 = x2 = - 2 Giải bất phơng trình bậc cao: Bài 1: Giải bất phơng trình: x2 + 5x + > - Ta ph©n tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tö x2 + 5x + = (x2 + 2x) + (3x + 6)= x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) - Ta cã bất phơng trình : (x + 2)(x + 3) > x x x x x x x x 3 x 3 x - Vậy nghiệm bất phơng trình x < - x > - Bài 2: Giải bất phơng trình: x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + < Ta cã : x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + = x4 - 5x3 + 6x2 + x2 - 5x + = x2(x2 - 5x + 6) + (x2 - 5x + 6) = (x2 - 5x + 6)(x2 + 1) Phân tích đa thức x - 5x + thành nhân tử ta đợc : (x2 - 5x + 6) = (x - 2)(x - 3) Do ®ã bÊt phơng trình đà cho tơng đơng với bất phơng trình sau: (x - 2)(x - 3)(x2 + 1) < ( x - 2)(x - 3) < (v× x2 + > 0, "x) x x x x 20 30 x x 3 x x x 20 v« nghiƯm 30 x Vậy bất phơng trình đà cho có nghiệm lµ : < x < 3 Chøng minh đẳng thức, bất đẳng thức: Bài 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)3- (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c) Ta biÕn đổi vế trái cách phân tích thành nhân tử : (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = (a + b)3 + c3 + 3(a + b)c (a + b + c)- a3- b3- c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(b + a) + 3(a + b)(a + b + c)c - a3- b3- c3 = 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 3(a + b)(b + c)(a + c) VËy: (a + b + c)3 - (a3 + b3 + c3) = 3(a + b)(b + c)(a + c) Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu a + b + c = th×: a3 + b3 + c3 = 3abc Gi¶i Do a + b + c = => c = - (a + b) nªn a3 + b3 + c3 = a3 + b3- (a + b)3 Ta phân tích đa thức a3 + b3- (a + b)3 thành nhân tử Ta có a3 + b3 - (a + b)3 = a3 + b3 - a3 - 3a2b - 3ab2 - b3 = - 3ab(a + b) = - 3ab(- c) = 3abc VËy : a3 + b3 + c3 = 3abc víi a + b + c = Bµi 3: Chøng minh r»ng nÕu a,b, c độ dài ba cạnh tam giác : A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 âm Chứng minh : Ta phân tích đa thức A thành nhân tử Ta có: A = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = (b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = (b2 + c2 - a2 - 2bc) (b2 + c2 - a2 + 2bc) = [(b2 - 2bc + c2) - a2][(b2 + 2bc + c2) - a2] = [(b - c)2 - a2][(b + c)2 - a2]2 = (b – c - a)(b – c + a)(b + c - a)(b + c + a) VËy A = ( b – c - a)(b – c + a)(b + c - a) (b + c + a) Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b-c-a0 b+c-a>0 ị A < (ĐPCM) b+c+a>0 Bài 4: Chứng minh r»ng: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + không âm, " xẻ R Gi¶i : Ta cã : P = (x - 1)(x - 6)(x - 4)(x - 3) + = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + Đặt: x2 - 7x + = t Ta cã P = (t - 3)(t + 3) + = t2 – + = t2 , " t VËy: P= (x2-7x + 9)2 víi "x (§PCM) Chøng minh mét biĨu thức số phơng Bài 1: Chứng minh " x ẻ Z biểu thức: P = (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + số phơng Giải Ta phân tích đa thức P thành nhân tử P = (x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4) + = (x2 - 7x + 6) (x2 - 7x + 12) + = [(x2 - 7x + 9) - 3][ (x2 - 7x + 9) + 3] + = (x2 - 7x + 9)2 – + = (x2 - 7x + 9)2 Do x ẻ Z nên (x2 - 7x + 9) Ỵ Z => (x2 - 7x + 9)2 bình phơng số nguyên Vậy P số phơng "x ẻ Z Bài 1: Chứng minh với x , y nguyên biểu thøc: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phơng Giải: M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)(x2 + 5xy + 6y2) + y4 = [(x2 + 5xy + 5y2) - y2][(x2 + 5xy + 5y2) + y2] + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2 - y4 + y4 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Do x, y Ỵ Z nên x2 + 5xy + 5y2ẻ Z Suy M = (x2 + 5xy + 5y2)2 lµ sè chÝnh phơng Chứng minh tính chia hết Bài 1: Chứng minh A = n3 - n chia hÕt cho , " n ẻ Z Giải: Ta có n3 - n = n(n2 - 1) = n(n -1)(n + 1) n ẻ Z nên A tích số nguyên liên tiếp A chia hết cho Bµi 2: Chøng minh M = m3(m2 - 7)2 - 36m chia hÕt cho 5040 víi " m số nguyên Giải : Ta có M = m3(m2 - 7)2 - 36m = m [m(m2-7)]2 - 62 = m[m(m2-7) - 6] [m(m2 - 7) + 6] = m(m3- 7m - 6)(m3 - 7m + 6) Ta cã (m3 - 7m - 6)= m3 - 9m + 2m - = m(m2 - 9) + 2(m - 3) = (m - 3)[m(m + 3) + 2] =( m - 3)(m2 + 3m + 2) = (m - 3)[m(m + 2) + (m + 2)] = (m+1)(m + 2)(m - 3) T¬ng tù ta cã: m3 - 7m + = (m - 1)(m - 2)(m + 3) VËy M = (m + 1)(m + 2)(m + 3)m(m - 1)(m - 2)(m - 3) Do m ẻ Z nên M tích số nguyên liên tiếp ®ã M chia hÕt cho: 1.2.3.4.5.6.7 = 5040 VËy M chia hÕt cho 5040 Bµi 3: Chøng minh r»ng " x Ỵ Z ta cã: P (4 x 3) 25 8 Gi¶i: P = ( 4x + 3)2 - 25 = ( 4x + 3)2 – 52 = ( 4x + - 5)( 4x + + 5) = ( 4x - 2)(4x + 8) = 8( 2x - 1)(x + 2) V× x ẻ Z ị ( 2x - 1)( x + 2) ẻ Z ị P = 8( 2x - 1)( x+2) 8 P ( x 3) 25 8 Rót gän, TÝnh giá trị biểu thức a) Lí thuyết Vận dụng tính chất phân thức đại số để thu gọn biểu thức Ta phải tiến hành phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử sau rút gọn nhân tử chung b) Bài tập A x 3x y 3y x y Bµi 1: Rót gän biĨu thøc Híng dÉn: A x 3x y 3y 2 víi x ¹y ( x y ) (3x 3y ) x y x y ( x y )( x y 3) x y 3 ( x y )( x y ) xy ( x y )( x y ) 3( x y ) ( x y )( x y ) Bµi 2: Tính giá trị biểu thức 5x P = x x víi x = 2005 P 5x x 8x 5( x 1) ( x 1)( x ) x 7 2005 2012 Bµi 3: Cho a, b, c số thực đôi khác nhau, h·y rót gän : A 1 2 2 ( b c )(a ac b bc ) (c a )( b ba c ac ) (a b)( c bc a ab) Hớng dẫn: Ta phân tích mẫu thành nhân tö: a2 + ac - b2 – bc = (a2 - b2) + (ac - bc) = (a - b)(a + b) + c(a -b) = (a - b)(a+b+c) T¬ng tù: b2 + ab - c2 – ac = (b - c)(a + b + c) c2 + bc - a2 - ab = (c - a)(a + b + c) Do mẫu chung : MC = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) ( c a ) (a b) ( b c ) a b b c c a a b c 0 a b b c c a a b c A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Bài 1: Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc sau: N = (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) + 2003 Gi¶i: Tríc hÕt phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 + 3x + 2) vµ (x2 + 7x + 12) Ta cã x2 + 3x + = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2)(x + 1) x2 + 7x + 12 = x2 + 4x + 3x + 12 = x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 3)(x + 4) Khi ®ã N = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2003 = (x + 1)(x + 4)(x + 3)(x + 2) + 2003 = (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x + 6) + 2003 Đặt x + 5x + = t Ta cã N = (t - 1)(t + 1) + 2003 = t2 - + 2003 = t2+2002 VËy t2 0 víi "t ị N 2002 Vậy biểu thức N đạt giá trị nhỏ 2002 t = x 5 hc x = 5 x2 + 5x + = Gi¶i phơng trình nghiệm nguyên Bài 1: Tìm cặp số nguyên (x , y) tho¶ m·n : x + y = xy Gi¶i : Ta cã xy = x + y xy – x – y + = 1 x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1) = Do x,y nguyªn nên ta có : x = x – = - y–1=1 y–1=-1 Suy (x = ; y = 2) hc (x = ; y = 0) Vậy cặp số nguyên (x , y) cần tìm (2 ; 2) (0 ; 0) Tìm giá trị biến số để biểu thức đạt giá trị nguyên Lí thuyết: Cách làm: Ta tách phần nguyên phần phân thức biểu thức f(x) đà cho Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức ta tìm giá trị cuả biến để phân thức có giá trị nguyên Muốn tử thøc ph¶i chia hÕt cho mÉu thøc hay mÉu thøc phải ớc tử thức Từ tìm giá trị biến để biểu thức đạt giá trị nguyên, cụ thể: A( x ) a b C( x ) víi a, b Ỵ Z f(x) = B( x ) f(x) Ỵ Z C( x ) ẻƯ ( b) x ? Bài tập: P 5x x x cã giá trị nguyên Bài 1: Tìm giá trị x ®Ó biÓu thøc 5( x 1) P ( x 1)( x 7) x Có Vậy P nguyên x + ớc cđa Hay x + Ỵ { -1; 1; - 5; 5} x x 12 x 5 x x 1 x Cã x Þ x VËy biến số nhận giá trị x ẻ { -12; - 8, -6, -2} P đạt giá trị nguyên Luyện tập chung Bài 1: Cho biểu thức A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32 a) Phân tích đa thức A thành nhân tử b) Chứng minh A số chẵn ("a Ỵ Z) Híng dÉn: a) A = a4 - 6a3 + 27a2 - 54a + 32 = a4 - a3 - 5a3 + 22a2 + 5a2 - 22a - 32a - 32 = a3(a - 1) - 5a2(a - 1) + 22a(a - 1) - 32(a - 1) = (a - 1)(a3 - 5a2 + 22a - 32) Mµ a3 - 5a2 + 22a – 32 = a3 - 2a2 - 3a2 + 6a + 16a - 32 = a2(a - 2) - 3a(a - 2) + 16a(a - 2) = (a - 2)(a2 - 3a + 16) XÐt a - 3a + 16 cã = - 4.6= - 15 < ®ã a2 - 3a + 16 không phân tích đợc R Vậy A = (a - 1)(a - 2)(a2 - 3a + 16) b) Do a ẻ Z nên (a - 1)(a - 2) tích hai số nguyên liên tiếp nên lu«n chia hÕt cho Suy A chia hÕt cho ị A = 2k (k ẻ Z) Vậy A số chẵn với "a ẻ Z Bài 2: Chứng minh với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: N = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 - a4 - b4 - c4 dơng Hớng dẫn : Có N = 4a2b2 - (a4 + 2a2b2 + b4) + 2b2c2 + 2a2c2 - c4 = 4a2b2- (a2 + b2)2+ 2c2(b2 + a2) - c4 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab- a2 - b2 + c2)(2ab + a2 + b2 - c2) =[c2 - (a - b)2][(a + b)2 - c2] =(c – a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c) Ta thÊy a, b, c độ dài ba cạnh tam giác theo bất đẳng thức tam giác suy bốn nhân tử dơng Vậy N > Bài 3: Trong mặt phẳng cho ba điểm A, B, C phân biệt đặt AB = c; AC = b; BC = a Chứng minh phơng trình ẩn x sau: b2x2 + (b2 + c2 - a2)x + c2 = có nghiệm kép ba điểm A, B, C thẳng hàng Hớng dẫn : Do A, B, C phân biệt suy AC ị b ạ0 => HƯ sè b2 ¹ Cã = (b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 Phơng trình có nghiệm kép Phân tích thành nhân tử ta đợc: = (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(b – c - a) Do a + b + c nên xảy ba trờng hợp : Hoặc b + c – a =0 Þ a = b + c BC=AC+AB ị A nằm B, C a + b - c = Þ c = a + b AB = BC + AC Þ C n»m B, A b c a = Þ b = a + c AC = BC + AB ị B nằm A, C Vậy A, B, C thẳng hàng Bài 4: Cho đa thức P = (x + y)(y + z)(x + z) + xyz a) Phân tích đa thức P thành nhân tử ... lại xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: Bc 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Bc 2: Nhóm để áp dụng phng pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Bc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức VD: Phân... tử đa thức cách thích hợp để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ Phương ph¸p thng c dùng cho đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng c đẳng thức mà sau nhóm... (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (tiếp theo) Phương pháp 1: ĐẶT NHÂN T CHUNG VD: Phân tích B thành nhân tử : B x y y x (x 0;y 0) 2 √ √ √ x √ y ( √ x− √ y ) Giải: