PhÇn “ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö” ë líp 8 lµ mét néi dung quan träng, bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt chÏ, lµ tiÒn ®Ò ®Ó häc sinh häc tèt c¸c kiÕn thøc vÒ sau.[r]
(1)phần I Mở đầu 1 Lý chọn đề tài
Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy học vấn đề thờng xuyên, liên tục quan trọng Để chất lợng học sinh ngày đợc nâng cao yêu cầu ngời giáo viên phải có phơng pháp giảng dạy phù hợp hệ thống tập đa dạng, phong phú đối tợng học sinh
Qua thời gian dạy lớp 8, thấy biến đổi đồng biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải phơng trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên phơng trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phơng trình… học sinh lớp cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử Chính ngời giáo viên dạy học sinh học toán phải cung cấp cho em cách hệ thống phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơng cụ giải tốn hữu hiệu, giải hầu hết dạng toán chơng trình lớp
Các vấn đề đề tài đợc lựa chọn để đối tợng học sinh tiếp thu đợc Ngồi ra, đề tài số vấn đề khó đợc diễn đạt cách đơn giản, dễ hiểu; lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lợng thông tin khn khổ có hạn đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật khâu mấu chốt lời giải
Xuất phát từ yêu cầu mong ớc trên, chọn đề tài: Các ph“ ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng ”
2 Mục đích nhiệm vụ
- Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán
- Học sinh có khả phân tích thành thạo đa thức
- Phát huy khả suy luận, phán đoán tính linh hoạt học sinh - Thấy đợc vai trị việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập học sinh
3 Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến thực nhiều năm qua Bản thân nghiên cứu hệ thống kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử
Để đạt đợc u cầu nội dung đó, tơi sử dụng phơng pháp sau: - Thống kê;
(2)- Điều tra, tổng hợp số liệu
4 Đối tợng nghiên cứu đề tài: Học sinh lớp 8, Trờng THCS Đông H-ng - ĐôH-ng Sơn - Thanh Hố
(3)PhÇn II Néi dung
I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phõn tớch a thc thnh nhân tử (hay thừa số) biến đổi thành tích đa thức bậc nhỏ
VÝ dô: x3 + y3 = (x + y)(x2 + xy + y2)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Ph
ng phỏp 1 : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số) 1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 12x2y - 18y3
b 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
Gi¶i
a Các dạng tử có nhân tử chung 6y, đó: 12x2y - 18y3 = 6y.2x2 - 6y.3y2 = 6y(2x2 - 3y2)
b Các hạng tử có nhân tử chung 3x(y - 2z) Do ta có: 3x2(y - 2z) - 15x(y - 2z)2
= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)] = 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)
2 Chú ý: Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung. Chẳng hạn đa thức: 2x2(3y - z) + (z - 3y)(x + y)
Cã thĨ viÕt lµ: 2x2(3y - z) - (3y - z)(x + y) vµ xt hiƯn nhân tử chung là
(3y - z) Ph
ơng pháp 2 : Phơng pháp dùng đẳng thức. 1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử
a 4x2 - 12x + c 16x2 - 9(x + y)2
b 27 - 27x + 9x2 - x3 d - 27x3y6
Gi¶i
a 4x2 - 12x + = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
b 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x+ 3.3x2 - x3 = (3 -x)3
c 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
d - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)
2 Chú ý: Đôi phải đổi dấu áp dụng đợc đẳng thức, chẳng hạn: - x4y2 - 8x2y - 16 = -(x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2
Ph
ơng pháp 3 : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử 1 Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(4)= (x - 5)(y + 2)
b 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) c x2 + 2x + - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)
2 Chú ý: Đối với đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử. Chẳng hạn ví dụ a phân tích nh sau:
xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10) = x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)
3 Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp phơng pháp kể Nếu đa thức có nhân tử chung nên đặt nhân tử chung đa thức ngoặc đơn giản đa thức cho Do tiếp tục phân tích đơn giản
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tö 5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]
= 5x3y2(x - - y - z)(x - + y + z)
Ph
ơng pháp 4 : Tách hạng tử thành nhiều hạng tử 1 Dạng tam thøc bËc hai: F(x) = ax2 + bx + c
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tư: x2 - 6x + 8
Gi¶i
Đa thức khơng có thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử cách tách hạng tử thành hay nhiều hạng tử
C¸ch 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x +
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) C¸ch 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + - 1
= (x - 3)2 - = (x - 2)(x - 4)
C¸ch 3: x2 - 6x + = x2 - 4x + - 2x + 4
= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
C¸ch 4: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4) C¸ch 5: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24
(5)= 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Nhận xét: Trong cách giải trên, cách đơn giản dễ làm ta tách số hạng bậc - 6x thành số hạng - 2x - 4x Trong đa thức x2 - 2x - 4x + hệ số số hạng là: 1; - 2; - 4; hệ số thứ thứ
4 gấp - lần hệ số liền trớc, nhờ xuất thừa số chung (x - 2)
Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân
tử tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho:
a b1
=
2
b c
, tøc lµ b1.b2 = a.c
Trong thùc hµnh ta lµm nh sau: Bíc 1: Tìm tích a.c
Bớc 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng b
Trong vÝ dơ trªn x2 - 6x + cã a = 1; b = - vµ c = 8.
Tích a.c = 8, ta phân tích thành tích thừa số, hai thừa số dấu (vì tích chúng 8) âm (để tổng chúng - 6); ví dụ: (- 4, - 2)
VÝ dơ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x2 + 6x -
Giải Cách 1: Cách hạng tö thø
9x2 + 6x - = 9x2 - 6x + 12x - = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2)
= (3x - 2)(3x + 4)
Chú ý hệ số đợc phân tích thành - 12, có tích 72 9.(- 8) Cách 2: Tách hạng tử thứ
9x2 + 6x - = (9x2 + 6x + 1) - = (3x + 1)2 - 9
= (3x + + 3)(3x + - 3) = (3x + 4)(3x - 2)
Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thờng nhằm mục đích:
- Làm xuất hệ số tỷ lệ, nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu bình phơng (cách 2)
Chó ý:
a Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 phân tích cách làm tơng tự nh đa thức
bậc biến
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2
Giải
Cách 1: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)
(6)C¸ch 2: 4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
= 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
b §a thøc bËc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ theo cách phân tích a.c tích thừa số nguyên cách thừa số có tổng b, theo cách sau đa đa thức bậc dạng a(x2 - k) k bình phơng một
số hữu tỷ
Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + cã tÝch a.c b»ng b»ng 1.6, b»ng 2.3 kh«ng
cã thõa sè có tổng
Còn theo cách th×: x2 + 4x + = (x2 + 4x + 4) + = (x + 2)2 + = (x + 2)2
-( - 2); -2 bình phơng số hữu tỷ Vậy đa thức x2 + 4x + 6
khơng phân tích đợc thành tích 2 Đa thức bậc tr lờn
Để tách hạng tử đa thức làm xuất hệ số tỷ lệ ta th ờng dùng cách tìm nghiệm đa thức
2.1 Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức a Định nghĩa nghiệm đa thức
Số a đợc gọi nghiệm đa thức f(x) f(a) = 0, nh đa thức f(x) có nghiệm x = a chứa thừa số x - a
Khi xét nghiệm đa thức ta cần nhớ định lý sau:
b Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức
c Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẽ - nghiệm đa thức
d Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với hệ số ngun có nghiệm ngun nghiệm ngun ớc hệ số tự
Chó ý: Để nhanh chóng loại trừ ớc hệ số tự do, không nghiệm đa thức có thĨ dïng nhËn xÐt sau:
NÕu a lµ nghiƯm nguyên đa thức f(x) f(1), f(-1) khác th×
1 ) (
a f
vµ
1 ) (
a f
số nguyên
VÝ dô: f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18
Có ớc 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18 f(1) = - 13 + - 18 = - 18
(7)HiĨn nhiªn không nghiệm f(x), ta thấy: ) ( 18 ; ) ( 18 ; ) ( 18 ; ) 18 ( 18
không nguyên nên - 3; 6; 9; 18 không nghiệm
f(x); ) ( 44
không nguyên nên nghiệm f(x) Chỉ - 3, kiểm tra ta thấy nghiệm f(x)
e Định lý 4: Đa thức f(x) với hệ số nguyên cã nghiƯm h÷u tû x =
q p
p ớc hệ số tự do, q ớc dơng hệ số cao 2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 8x - 4
Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số - + - = 0, nên nghiệm đa thức Đa thức cho chứa thừa số x - 1; ta tách hạng tử nh sau:
x3 - 5x2 + 8x - = x3 - x2 - 4x2 + 4x + 4x - 4
= x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)
= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2
VÝ dô 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 - 5x2 + 3x + 9
Ta thấy hệ số đa thức + = - + 9, nên đa thức cho có nghiệm -1, đa thức chứa thừa số x +
Ta t¸ch nh sau: x3 - 5x2 + 3x + = x3 - 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9
= x2(x + 1) - 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)(x2 - 6x + 9) = (x + 1)(x - 3)2
VÝ dô 3: f(x) = x3 - x2 - 4
Lần lợt kiểm tra với x = 1, 2,
Ta thấy f(2) = 23 - 22 - = - - = 0; đa thức có nghiệm x = 2, đó
chøa thõa sè x -
Ta cã: x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2)
VÝ dô 4: 2x3 - x2 + 5x + 3
Ta thÊy 1; nghiệm đa thức, xét số hữu tỷ dạng p/q vứi p Ư(2) q Ư(3) gồm
2
;
2
Ta cã -
2
nghiệm đa thức nên nã chøa thõa sè 2x +
VËy: 2x3 - x2 + 5x + = 2x3 + x2 - 2x2 + 6x - x + 3
(8)Ph
ơng pháp 5 : Phơng pháp thêm bớt hạng tử
1 Thờm bớt số hạng để xuất đẳng thức Ví dụ: 4x4 + 81
Ta nhận thấy đa thức cho tổng bình phơng (2x2)2 + 92 tơng ứng
với số hạng A2 + B2 đẳng thức A2 + 2AB + B2 thiếu 2AB Vậy cần
thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất đẳng thức:
Ta cã: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9
= (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9).
Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phơng làm tiếp tốn đợc
2 Thêm bớt số hạng để làm xuất thừa số chung Ví dụ: x2 + x2 + = x2 - x + x2 + x + 1
= x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1).
Ph
ơng pháp 6 : Phơng pháp đổi biến
Thực đổi biến đa thức cho đợc đa thức có bậc nhỏ đơn giản
1 C¸c vÝ dơ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tö: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
Ta thấy đặt (x2 + x) = y đa thức có dạng y2 + 4y - 12.
Ta cã: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12
= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2) Tơng đơng với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]
= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 Biến đổi đa thức cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24 = (x3 + 7x + 10)(x3 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x3 + 7x + 11 = y th× (*) = (y - 1)(y + 1) - 24
= y2 - - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)
Tơng đơng với (x3 + 7x + 6)(x3 + 7x + 16)
(9)Ph
ơng pháp 7 : Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3
C¸c hƯ số 1; Ư(3) nhng nghiệm đa thức nên đa
thức nghiệm hữu tỷ
Nh vậy, đa thức phân tích có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
Phép nhân cho kÕt qu¶:
x4 + (b + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng đa thức với đa thức cho ta đợc a + b =
ac + b + d = 12 ad + bc = - 14 bd =
XÐt bd = víi b, d z; b { 1; 3}; víi b = th× d = HƯ thành:
a + b = - ac =
a + bc = -14
2c = -14 -(-6) = c = - 4; a = -
Vậy đa thức cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Chó ý: Khi biÕt kÕt ta trình bày lời giải cách hạng tử: x4 - 6x3 + 12x2 + 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3
= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Ph
ơng pháp 8 : Phơng pháp xét giá trị tuyệt đối
Trong phơng pháp trớc hết ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số li
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nh©n tư P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nªn thay x b»ng y th× P = y2(y - z) + y2(z - y)
Nh vËy P chøa thõa sè x - y Do vai trß cđa x, y, z nh P nên P chứa x - y cịng chøa y - z vµ z - x
Vậy dạng P k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải số có bậc tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc biến x, y, z
(10)= k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z
Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1 Ta cã: 1.1 + + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = -
VËy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)
= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y) = (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
II Các ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán
1 Chứng minh quan hƯ chia hÕt
Gäi A(n) lµ mét biểu thức phụ thuộc vào n (n N n Z) §Ĩ chøng
minh A(n) chia hÕt cho mét sè m ta thêng ph©n tÝch biĨu thøc A(n) thµnh thõa sè
trong có thừa số m Nếu m tập hợp số ta phân tích thành tích thừa số đơi nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất
các thừa số Lu ý k số nguyên liên tiếp tồn số bội k
VÝ dô: Chøng minh r»ng
A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt cho 24 víi mäi sè tù nhiªn n
Ta cã 24 = 8.3
A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6)
= n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6)
= n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]
= n(n + 1)(n2 + 5n + 6)
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trong số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + 2; n + có thừa số chia hết cho 2, số chia hết cho 4, A chia hết cho
Mặt khác số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết nên n(n + 1) (n + 2) chia hết cho
Vì ƯSCNN (3,8) = nªn A chia hÕt cho
VËy A = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) chia hết cho với n.
2 Giải phơng tr×nh bËc cao
F(x) = có nghiệm thờng đợc giải cách phân tích f(x) thành nhân tử giải phơng trình bậc ẩn
(11) (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
(x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192
(x2 + 2x + 1)(x2 + 2x + 3) = 192
Đặt x2 + 2x - = y ta cã:
(y + 2)(y - 2) = 192 y2 - = 192 y2 = 196 y = 14
* Víi y = 14 ta cã x2 + 2x - = 14
x2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5) = x = vµ x = - 5
* Víi y = - 14 ta cã x2 + 2x - = - 14
x2 + 2x + 13 = (x + 1)2 + 12 = (lo¹i)
VËy nghiệm phơng trình x = x = - Ví dụ 2: Giải phơng trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16
Đặt x - = y, phơng trình cho (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16
2y4 + 12y2 + = 16 y4 +6y2 + = y4 +6y2 - = 0
(y2 - 1)(y2 + 7) = 0
(y2 + 7) > víi mäi y nªn (y2 - 1) = 0; y = tức x = 6, x = 8
Vậy x = x = nghiệm phơng trình 3 Tìm tập xác định rút gọn phân thức
Muốn tìm tập xác định rút gọn phân thức đại số ta phải phân tích mẫu thức tử thức thành nhân tử
Ví dụ 1: Tìm tập xác định rút gọn phân thức sau A = xx3 - 5x3 - x22 - 10x - 8 - 2x + 24
Ph©n tÝch tư thøc: x3 - 5x2 - 2x + 24
= x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2)
(x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x + 4)
Ph©n tÝch mÉu thøc: x3 - x2 - 10x - 8
= x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 3x - 4) (x + 2)(x + 1)(x - 4)
Tập xác định phân thức x -1; x -2; x Phân thức đợc rút gọn
A = (x + 2)(x - 3)(x + 4)(x + 2)(x + 1)(x - 4) = x + 1x - 4 Giải bất phơng trình
Ví dụ 1: Gải bất phơng trình sau: x2 - 2x - < 0
x2 - 4x + 2x - < 0
(12)x -
x +2 - + +
x - - - +
(x - 4)(x + 2) + - +
Nghiệm bất phơng trình - < x < Ví dụ 2: Giải bất phơng trình
x3 - 3x + 2
x2 - 5x + 6
- Tập xác định bất phơng trình x2 - 5x + = (x - 2)(x - 3)
Tập xác định x 2, x
- Biến đổi tử thức: x3 - 3x + = (x - 1)(x - 2)
Bất phơng trình cho tơng đơng với bất phơng trình sau: x - 0
x - LËp b¶ng xÐt dÊu
x
x - - + +
x - - - +
3
x x
+ - +
(13)III KÕt qu¶
Sau áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, theo h-ớng dẫn giáo viên lớp 8B, 8D thấy học sinh đa số hiểu bài, nắm đợc phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải tập
Kết thu đợc cụ thể lớp 8B nh sau: Tổng số
häc sinh
Lo¹i giái Lo¹i khá Trung bình Loại kém
Số lợng % Số lỵng % Sè lỵng % Sè lỵng %
40 30 12 37,5 23 32,5 0
Còn lớp không áp dụng sáng kiến kết thu đợc thấp nhiều Cụ thể lớp 8D nh sau:
Tỉng sè häc sinh
Lo¹i giái Loại khá Trung bình Loại kém
Số lợng % Sè lỵng % Sè lỵng % Sè lỵng %
37 13 21 53 26
(14)Phần III
kết luận häc kinh nghiÖm
I KÕt luËn
Với kinh nghiệm nh trình bày, sau nhiều năm bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 8, thân tơi thấy trình độ học sinh đợc nâng lên rõ rệt Hầu hết học sinh phân tích thành thạo tam thức bậc thành nhân tử Học sinh giỏi sử dụng linh hoạt phơng pháp nh đặt ẩn phụ, thêm bớt, hệ số bất định vào đa thức phức tạp thành nhân tử Học sinh tỏ sáng tạo trình giải tập, tập em giải theo nhiều cách, sau em lựa chọn cách giải dễ hiểu để trình bày
II Bµi häc kinh nghiƯm
Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” lớp nội dung quan trọng, kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề để học sinh học tốt kiến thức sau Do trớc tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phơng pháp phân tích nêu SGK, tiếp đến phơng pháp tách hạng tử, đặc biệt tách tam thức bậc phơng pháp hay sử dụng Với học sinh giỏi cần hớng dẫn thêm cho em phơng pháp thêm bớt, đặt ẩn phụ, phơng pháp hệ số bất định Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, giáo viên cần chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó, tạo tìm tịi cho em
Trong khuôn khổ đề tài này, hy vọng giúp em học sinh tự tin làm tập phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, trình bày đề tài khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong bạn đọc đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hồn chỉnh đạt hiệu cao
III §Ị nghÞ
- Thờng xuyên mở lớp bồi dỡng theo mơn chơng trình
- Nhà trờng tạo điều kiện tài liệu tham khảo giáo viên học sinh có điều kiện bổ sung kiến thức, nâng cao trình độ./
Thanh Hóa, ngày … tháng … năm 200… phòng giáo dục đào tạo Thanh Húa
Trờng trung học sở