Part 1 2 GIẢI TÍCH FOURIER

Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Part 1: Giải tích Fourier I Chuỗi Fourier ►II Biến đổi Fourier s Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier    Tích phân Fourier Biến đổi Fourier Phổ tần số liên tục Tính chất phép biến đổi Fourier Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier a Tích phân Fourier: Giả sử f(t) hàm khơng tuần hồn Khi f(t) xem ‘tuần hoàn’ với chu kỳ T   Chuỗi Fourier phức hàm ‘tuần hoàn’ f(t):  T /2  jn0 t f (t )   c n e ; c n   f (t )e dt  T /2 T n    T /2  jn0t  jn0  f (t )     f ( )e d  e T /2 n   T  Đặt: jn0 t 2 n  n 0  n ;   n  n1  0 T Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier a Tích phân Fourier: f (t )  2    n  T /2 T /2  f ( )e  jn d e jnt  ; Khi T  : ∆ω  0; ωn  ω: biến liên tục, đó:  jt     j f (t )    e   f ( )e d   d            Đây Tích phân Fourier, biểu diễn hàm f(t) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier b Biến đổi Fourier: Tích phân Fourier viết lại dạng: F( )    f (t )e  jt dt  f (t )  2   F( )e jt d  F(ω) gọi biến đổi Fourier f(t) f(t) gọi biến đổi Fourier ngược of F(ω) Ký hiệu: F(ω) = F{f(t)} f(t) = F -1{F(ω)} Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier b Biến đổi Fourier: Để tồn biến đổi Fourier, hàm f(t) cần thõa mãn số điều kiện, gọi điều kiện Dirichlet Điều kiện Dirichlet: Nếu hàm f(t) thõa tính chất:  (a) Tích phân  f (t ) dt    (b) Chỉ có số hữu hạn điểm cực đại, cực tiểu số hữu hạn điểm gián đoạn khoảng xác định thể tìm biến đổi Fourier f(t) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Ví dụ 2.01: Tìm biến đổi Fourier hàm số sau: e  at ; t  f (t )   ; a0  ; t  F( )    f (t )e  F( )  a  j  jt  dt   e e  at  jt dt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Ví dụ 2.02: Tìm biến đổi Fourier hàm xung hình chữ nhật:  A; t  T f (t )    ; t  T  sin T T ;0 2 AT  jt F( )   Ae dt    ATsinc T  T T  AT ;  0   sin x ; x0  với hàm sincx định nghĩa bởi: sinc x   x  1; x0  Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier c Phổ Fourier liên tục: F Với F(ω) = {f(t)} biến đổi Fourier f(t), viết lại F(ω) thành dạng mũ phức: F( )  F( ) e j (  ) , with  ( )  arg F( ) Đồ thị | F(ω)| ϕ(ω) gọi phổ biên độ and phổ pha f(t) Lưu ý: - Nếu f(t) hàm tuần hồn, có phổ tần số rời rạc (tương ứng với chuỗi Fourier) - Nếu f(t) khơng tuần hồn, có phổ tần số liên tục (tương ứng với biến đổi Fourier) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Ví dụ 2.03: Xác định phổ biên độ phổ pha hàm số:  at  e  ; t0 f (t )   ; a0   ; t0 Từ Ví dụ 2.01 ta có: F( )   F( ) e j ( ) a  j F( )  ; a2   1   1    1     ( )  tan    tan     tan   1 a a Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Ví dụ 2.03 (tt): Phổ biên độ: Phổ pha: Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier số hàm bản: f(t) F() 2π() (t) u(t) 1/(j) + π() e-atu(t) 1/(a + j) cos(0t) π[( + 0) + ( - 0)] sin(0t) πj[( + 0) - ( - 0)] sign(t) 2/(j) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tính chất biến đổi Fourier a Tuyến tính F{a f (t) + a f (t)} = a F{f (t)} + a F{f (t)} 1 2 1 2 b Dời thời gian F{f(t – t )} = e F{f(t)} = e -jωt0 -jωt0F(ω) c Dời tần số F{e -jω0t f(t)} = F(ω – ω0) d Co giãn theo thời gian F{f(at)} = (1/a)F(ω/a) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tính chất biến đổi Fourier e Đạo hàm theo thời gian F {f (n)(t)} = (jω)n F(ω) f Nhân với tn F {t n f(t)} = jnF(n)(ω) g Tính đối xứng F {f(t)} = F(ω)  F {F(t)} = 2πf(-ω) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tính chất biến đổi Fourier h Điều chế tín hiệu F {f(t)cos( t)} = [F(ω + ω ) + F(ω – ω ]/2 F {f(t)sin( t)} = j[F(ω + ω ) - F(ω – ω ]/2 0 0 0 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Tính chất biến đổi Fourier Ví dụ 2.04: F1 ( )  ATsinc(T ) F2 ( )  ATe jT sinc(T ) F3 ( )  ATe  jT sinc(T ) F4 ( )  ATsinc(2T ) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions a The Unit Impluse Function δ(t): The Unit Impulse Function (or Dirac Function) is defined as: 0; t   (t )   ; t   and   (t)dt   No ordinary function behaves this way! Some real impulse approximations: Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions Properties of the Unit Impulse Function: i Scale Impulse: αδ(t) ii Time-shifting: δ(t - T) is an impulse at t = T iii Multipication of a Function by an Impulse f(t)δ(t – T) = f(T)δ(t – T) iv Sampling    f (t ) (t  T )dt  f (T ) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions Fourier Tranform of the Unit Impulse Function: F{δ(t)} = F{δ(t - T)} = e-jωT F{1} = 2πδ(ω) Integral of impulsive functions: Integral of a function with impulses has jump at each impulse, equal to the magnitude of impulse Ex: f(t) = + δ(t – 1) - 2δ(t – 2) t y(t )   f ( )d y(t )  t  u(t  1)  2u(t  2) Check : y '(t )  f (t ) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions b Unit Step Function u(t) 1; t  u(t )   0; t  du(t )   (t ) dt Fourier Transform of Unit Step function: F{u(t)} =  ( )  j ... (t )   ; a0   ; t0 Từ Ví dụ 2. 01 ta có: F( )   F( ) e j ( ) a  j F( )  ; a2   ? ?1   ? ?1    ? ?1     ( )  tan    tan     tan   ? ?1? ?? a a Created and edited by:... đổi Fourier Ví dụ 2. 03 (tt): Phổ biên độ: Phổ pha: Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier số hàm bản: f(t) F() 2? ?() (t) u(t) 1/ (j) + π() e-atu(t) 1/ (a... impulse Ex: f(t) = + δ(t – 1) - 2? ?(t – 2) t y(t )   f ( )d y(t )  t  u(t  1)  2u(t  2) Check : y ''(t )  f (t ) Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy Appendix 1: Two useful functions