Đề thi môn GIẢI TÍCH 2

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị tự hàm số f (x, y) = x3 + y − 3xy Câu (2,0đ) Tính tích phân bội (2x + y) dxdy D tam giác với ba đỉnh A(1, 1), D B(3, 2), C(4, 1) (x − y) dx + (x + y) dy, với L elip Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai x2 + y2 = L có hướng ngược với chiều kim đồng hồ (x − y) dydz + (z + x) dxdz + 2019 dxdy, với S phần mặt Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt S phẳng x + y + z = nằm trụ x2 + y = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) xy − y = x3 b) y − 2020y + 2019y = 2019x − Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị tự hàm số f (x, y) = x3 + y + 3xy (2x − y) dxdy D tam giác với ba đỉnh A(1, 1), Câu (2,0đ) Tính tích phân bội D B(2, 2), C(4, 2) Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai (x + y) dx + (−x + y) dy, với L elip x2 + y2 = L có hướng ngược với chiều kim đồng hồ Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt 2019 dydz + (2z + x) dxdz + z dxdy, với S phần mặt S phẳng x − y + z = nằm trụ x2 + y = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) xy + y = x4 b) y + 2019y − 2020y = 2020x + Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = −x2 − 2y + 2xy − 4x + 6y Câu (2,0đ) Tính tích phân kép (6x + 6y) dxdy, D tam giác với ba đỉnh D O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1) Câu (1,5đ) Tính (6x + 2y) dx + (2x + y) dy, với C đoạn thẳng từ A(2, 1) đến B(1, 3) C x3 dydz + y dzdx + z dxdy, với S mặt cầu x2 + y + z = định hướng Câu (1,5đ) Tính S ngồi Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) y = x(4 + y ), b) y − y − 2y = (2x + 1)ex Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x2 + 2y + 2xy + 4x − 6y (6x − 6y) dxdy, D tam giác với ba đỉnh Câu (2,0đ) Tính tích phân kép D O(0, 0), A(1, −1), B(0, −1) (6x − 2y) dx − (2x − y) dy, với C đoạn thẳng từ A(2, −1) đến B(1, −3) Câu (1,5đ) Tính C x3 dydz + y dzdx + z dxdy, với S mặt cầu x2 + y + z = định hướng Câu (1,5đ) Tính S ngồi Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) y = 2x(9 + y ), b) y − 2y − 3y = (−4x + 4)ex Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = y + 3x2 y + 9x2 − 6xy − 18x 2x − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 2x} Câu (2,0đ) Tính tích phân kép D x + y dx + (x + 2xy) dy, C chu Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai C tuyến hình vng ABCD với A(1, 0); B(0, 1); C(−1, 0); D(0, −1) theo hướng ngược với chiều kim đồng hồ Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai x dydz + z dzdx + y dxdy, S mặt ngồi S x2 + y z elipxoit + = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (1 − y ) dx − 2xy dy = 0, b) y − 5y + 6y = 2ex Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x3 + 3xy + 9y + 6xy + 18y 2y − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 2y} Câu (2,0đ) Tính tích phân kép D (y − y) dx + (y + 2xy) dy, C chu Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai C tuyến hình vng ABCD với A(1, 0); B(0, 1); C(−1, 0); D(0, −1) theo hướng ngược với chiều kim đồng hồ Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt loại hai y dydz + x dzdx + z dxdy, S mặt ngồi S x2 y + z elipxoit + = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) (1 + y ) dx + 2xy dy = 0, b) y − 6y + 8y = 3ex Sinh viên không mang điện thoại vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút 2 Đề số K63 Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x + 3x − 2x y + y − 2y − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 1} Câu (2,0đ) Tính tích phân kép D (x + e−y ) dx + Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai x2 +y dy, với L đường gấp L khúc OABO nối điểm O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1) −z dydz − 3x dzdx + 20y dxdy, với S phần mặt phẳng Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt S 4x + 5y + z = nằm trụ x2 + y = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân: a) x dx = (1 + x2 )ey dy, b) y − 4y + 3y = 3x − Sinh viên không mang điện thoại tài liệu vào phòng thi ———————–Hết———————— Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K63 Bộ mơn Tốn học Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x4 + 3x2 + 2x2 y + y + 2y − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 4} Câu (2,0đ) Tính tích phân kép D (−x − e−y ) dx + Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai x2 −y dy, với L đường L gấp khúc OBAO nối điểm O(0, 0); B(0, 1); A(−1, 0) z dydz − 6x dzdx − 20y dxdy, với S phần mặt phẳng Câu (1,5đ) Tính tích phân mặt S 5x − 4y + z = nằm trụ x + y = Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân: a) (1 + y ) sin x dx = y dy, b) y + 3y − 4y = −4x + Sinh viên không mang điện thoại tài liệu vào phòng thi ———————–Hết———————— ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ   fx = 3x2 − 3y = có điểm dừng M1 (0, 0); M2 (1, 1) 0.5đ Câu (2.0đ) Tìm điểm dừng  f = 3y − 3x = y Vi phân cấp hai: A = 6x; B = −3; C = 6y 0.5đ Tại điểm M1 có AC − B < suy hàm không đạt cực trị M1 0.5đ Tại điểm M2 có A = > 0; AC − B > suy hàm số đạt cực tiểu M2 , fCT = −1 0.5đ Câu (2.0đ) D = {1 ≤ y ≤ 2; 2y − ≤ x ≤ − y} 0.5đ 5−y 5−y 0.5đ 2y−1 2y−1 dx (x2 + xy) (2x + y)dy = dx I= (−6y + 24)dy 0.5đ I= I = (−2y + 24y) = 10 0.5đ Câu (1,5đ) Sử dụng CT Green I = (1 + 1)dxdy 0.5đ D Sử dụng đổi biến áp dụng cơng  thức diện tích I = 2SD = 4π 1.0đ    x=u    với u2 + v ≤ 0.5đ Câu (1,5đ) Tham số mặt cong y = v      z = − u − v (u − 2v + 2019) dudv 0.5đ Tìm VTP n = (1, 1, 1) I = D I = 2019π 0.5đ Câu (3,0đ) a) y − y = x2 , y = e x  dx x   e  −1 dx  x x2 dx + C  1.0đ x2 + C 0.5đ b) y¯ = C1 ex + C2 e2019x 0.5đ y=x y ∗ = x + 0.5đ y = C1 ex + C2 e2019x + x + 0.5đ ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ   fx = 3x2 + 3y = có điểm dừng M1 (0, 0); M2 (−1, −1) 0.5đ Câu (2.0đ) Tìm điểm dừng  f = 3y + 3x = y Vi phân cấp hai: A = 6x; B = 3; C = 6y 0.5đ Tại điểm M1 có AC − B < suy hàm không đạt cực trị M1 0.5đ Tại điểm M2 có A = −6 < 0; AC − B > suy hàm số đạt cực đại M2 , fCD = 0.5đ Câu (2.0đ) D = {1 ≤ y ≤ 2; y ≤ x ≤ 3y − 2} 0.5đ 3y−2 3y−2 0.5đ y y dx (x2 − xy) (2x − y)dy = dx I= (6y − 6y + 4)dy 0.5đ I= I = (2y − 3y + 4y) = 0.5đ (−1 − 1)dxdy 0.5đ Câu (1,5đ) Sử dụng CT Green I = D Sử dụng đổi biến áp dụng công  thức diện tích I = 2SD = −6π 1.0đ    x=u    với u2 + v ≤ 0.5đ Câu (1,5đ) Tham số mặt cong y = v      z = − u + v (−2u + 3v + 2022) dudv 0.5đ Tìm VTP n = (1, 1, 1) I = D I = 2022π 0.5đ Câu (3,0đ) a) y + y = x3 , y = e x  −1 dx  x  e  dx x x3 dx + C   1.0đ x5 + C 0.5đ x b) y¯ = C1 ex + C2 e−2020x 0.5đ y= y ∗ = −x − 0.5đ y = C1 ex + C2 e−2020x − x − 0.5đ ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu (2.0đ) Giải hệ zx = 0, zy = điểm dừng A(−1, 1) 1.0đ Hàm số đạt cực đại A(−1, 1) z(−1, 1) = 1.0đ 1 Câu (2.0đ) I = dx (6x + 6y)dy 1.0đ x = (6x − 9x2 + 3)dx = 1.0đ Câu (1.5đ) Đường AB: y = − 2x, 0.5đ 1 2xdx = −3 1.0đ I = [6x + 2(5 − 2x) − 2(2x + − 2x)]dx = 2 (x2 + y + z )dxdydz 0.5đ Câu (1.5đ) I = x2 +y +z ≤1 2π =3 π dϕ 12π 1.0đ r4 sin θdr = dθ dy y = x2 + C 1.0đ = xdx ⇔ arctan + y2 b) y = C1 e−x + C2 e2x 1.0đ Câu (3.0đ) a) y∗ = −ex (2x2 + 2x + 3), y = y + y∗ 1.0đ ——————————————————————————— ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu (2.0đ) Giải hệ zx = 0, zy = điểm dừng A(−7, 5) 1.0đ Hàm số đạt cực tiểu A(−7, 5) z(−7, 5) = −29 1.0đ −x Câu (2.0đ) I = (6x − 6y)dy 1.0đ dx −1 = (6x − 9x2 + 3)dx = 1.0đ Câu (1.5đ) Đường AB: y = 2x − 5, 0.5đ 1 I = [6x − 2(2x − 5) − 2(2x + − 2x)]dx = 2xdx = −3 1.0đ Câu (1.5đ) I = (x2 + y + z )dxdydz 0.5đ x2 +y +z ≤1 2π =3 π dϕ r4 sin θdr = dθ 384π 1.0đ dy y = 2xdx ⇔ arctan = 3x2 + C 1.0đ 9+y −x 3x b) y = C1 e + C2 e 1.0đ Câu (3.0đ) a) y∗ = −ex (2x2 + 1), y = y + y∗ 1.0đ ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu (2.0đ)   fx = 6xy + 18x − 6y − 18 = giải M (1, 1), N (1, −1) 1.0đ Tìm điểm dừng  f = 3y + 3x2 − 6x =0 y   6y + 18 6x −  0.5đ ĐH cấp 2:  6x − 6y Tại M (1, 1) : A = 24, ∆ = 144 ⇒ M điểm cực tiểu Tại N (1, −1) : ∆ = −72 ⇒ N điểm cực trị 0.5đ Câu (2.0đ) Đổi sang toạ độ cực   x = + r cos ϕ ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ 0.5đ  y = r sin ϕ 2π dϕ I= √ r − r2 dr 1.0đ Tính I = 2π 0.5đ Câu (1.5đ) Áp dụng định lý Green I = D dxdy 1.0đ Tính I = S(D) = 0.5đ Câu (1.5đ) Áp dụng định lý O-G I = M (1 + + 0) dxdydz 1.0đ Tính I = V (M ) = 43 π.2.2.3 = 16π 0.5đ Câu (3.0đ) a) Nhận dạng PT VPTP (biến phân li), tích phân tổng quát x − xy = C 1.5đ b) y = C1 e2x + C2 e3x 0.5đ y ∗ = ex 0.5đ y = C1 e2x + C2 e3x + ex 0.5đ ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu (2.0đ)   fx = 3x2 + 3y + 6y =0 giải M (1, −1), N (−1, −1) 1.0đ Tìm điểm dừng  f = 6xy + 18y + 6x + 18 = y   6x 6y +  0.5đ ĐH cấp 2:  6y + 6x + 18 Tại M (1, −1) : A = 6, ∆ = 144 ⇒ M điểm cực tiểu Tại N (−1, −1) : ∆ = −72 ⇒ N điểm cực trị 0.5đ Câu (2.0đ) Đổi sang toạ độ cực   x = r cos ϕ ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ 0.5đ  y = + r sin ϕ 2π dϕ I= √ r − r2 dr 1.0đ Tính I = 2π 0.5đ Câu (1.5đ) Áp dụng định lý Green I = D dxdy 1.0đ Tính I = S(D) = 0.5đ Câu (1.5đ) Áp dụng định lý O-G I = M (0 + + 1) dxdydz 1.0đ Tính I = V (M ) = 43 π.2.3.3 = 24π 0.5đ Câu 5.(2.0đ) a) Nhận dạng PT VPTP (biến phân li), tích phân tổng quát x + xy = C 1.5đ b) y = C1 e2x + C2 e4x 0.5đ y ∗ = ex 0.5đ y = C1 e2x + C2 e3x + ex 0.5đ ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu  1.(2.0đ)  fx = 4x3 + 6x − 4xy =0  f = −2x2 + 2y − y =0 giải M (0, 1) 1.0đ VP cấp 2: A = 12x2 + − 4y; B = −4x; C = 0.5đ Tại M (0, 1) ; A = > 0, AC − B  > suy hàm số đạt cực tiểu M , f (M ) = −1 0.5đ   x = r cos ϕ Câu 2.(2.0đ) Đổi sang toạ độ cực ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ 0.5đ  y = r sin ϕ 2π √ I= dϕ r − r2 dr 1.0đ 0 Tính I = 2π 0.5đ (x + e−y ) dxdy 0.5đ Câu 3.(1,5đ) Áp dụng định lí Green ta I = D Tính I = + e 1.0đ Sinh viên làm theo tham số kếtquả vấn cho điểm tối đa    x=u    với u2 + v ≤ 0.5đ Câu 4.(1.5đ) Tham số mặt cong y = v      z = −4u − 5v (u + 40v) dudv 0.5đ Tìm VTP n = (4, 5, 1) I = D I = 0.5đ Câu 5.(3.0đ) a) Dạng biến phân li, tích phân tổng quát ln(1 + x2 ) = ey + C 0.5đ x 3x ∗ b) y¯ = C1 e + C2 e 0.5đ y = x + 0.5đ y = y¯ + y ∗ 0.5đ 10 ĐÁP ÁN GIẢI TÍCH 2- ĐỀ SỐ Câu 1.(2.0đ)   fx = 4x3 + 6x + 4xy =0  f = 2x2 + 2y + y =0 giải M (0, −1) 1.0đ VP cấp 2: A = 12x2 + + 4y; B = 4x; C = 0.5đ Tại M (0, 1) ; A = > 0, AC − B  > suy hàm số đạt cực tiểu M , f (M ) = −1 0.5đ   x = r cos ϕ Câu 2.(2.0đ) Đổi sang toạ độ cực ≤ ϕ ≤ 2π, ≤ r ≤ 0.5đ  y = r sin ϕ √ 2π dϕ r − r2 dr 1.0đ I= 0 Tính I = 16π 0.5đ (x − e−y ) dxdy 0.5đ Câu 3.(1,5đ) Áp dụng định lí Green ta I = D Tính I = −1 + −1 e 1.0đ Sinh viên làm theo tham số kếtquả vấn cho điểm tối đa    x=u    Câu 4.(1.5đ) Tham số mặt cong y = v với u2 + v ≤ 0.5đ      z = −5u + 4v Tìm VTP n = (5, −4, 1) I = −u dudv 0.5đ D I = 0.5đ Câu 5.(3.0đ) a) Dạng biến phân li, tích phân tổng quát ln(1 + y ) = − cos x + C 1.5đ x −4x ∗ b) y¯ = C1 e + C2 e 0.5đ y = x − 0.5đ y = y¯ + y ∗ 0.5đ 11 ... tài liệu Câu (2, 0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = y + 3x2 y + 9x2 − 6xy − 18x 2x − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 2x} Câu (2, 0đ) Tính tích phân kép D x + y dx + (x + 2xy) dy, C chu... (x, y) = x4 + 3x2 + 2x2 y + y + 2y − x2 − y dxdy, với D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y ≤ 4} Câu (2, 0đ) Tính tích phân kép D (−x − e−y ) dx + Câu (1,5đ) Tính tích phân đường loại hai x2 −y dy, với L đường... (1.5đ) Đường AB: y = − 2x, 0.5đ 1 2xdx = −3 1.0đ I = [6x + 2( 5 − 2x) − 2( 2x + − 2x)]dx = 2 (x2 + y + z )dxdydz