De thi olympic toan 7 tran dai nghia 2019

1/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TPHCM TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA Năm học: 2018 – 2019 Mơn: Tốn khối Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra: 19/01/2019 Bài (2,5 điểm) 1  1  1 1  a) Tính P = 425 ⋅  −   −   −  ⋅ ⋅ ⋅  −         101  x y z  = = b) Tìm x , y, z biết:  xy + yz + zx − 31 =  Bài (1,0 điểm) Cho B = −9 − 99 − 999 − − 999 (Số cuối có 2018 chữ số 9) Sau thực phép tính, chữ số xuất lần B Bài (2,0 điểm) Cho ∆ABC vuông A có AB < AC BD tia phân giác ABC (D ∈ AC ) Trên cạnh BG lấy điểm E cho BE = BA , vẽ DF tia phân giác EDC (F ∈ BC ) Kẻ FH ⊥ AC H a) Chứng minh AB + HF = BF b) Trên tia đối tia AB lấy điểm I cho AI = FH Chứng minh rằng: BD ⊥ IF GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 2/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có A < 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ta vẽ AD ⊥ AB AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta vẽ AE ⊥ AC AE = AC Kẻ AH ⊥ ED (H ∈ ED ) Tia AH cắt BC M Chứng minh M trung điểm BC Bài (1,5 điểm) Người ta dự định xây dựng tòa tháp tầng tầng tháp chùa Theo cấu trúc, diện tích mặt sàn tịa tháp nửa diện tích mặt sàn tầng diện tích mặt sàn tịa tháp nửa diện tích mặt sàn tịa tháp bên Biết diện tích sàn tầng đỉnh tháp 2,25m đồng nên lát loại gạch hoa có kích thước 30 × 30 cm Hãy tính số tiền mua gạch hoa để lát nền, biết giá viên gạch hoa 9000 đồng Bài (1,5 điểm) Bạn An vào cửa hàng văn phòng phẩm mua với giá 10000 đồng/quyển bút với giá 5000 đồng/cây Bạn đưa cho nhân viên thu ngân 200000 đồng Người gởi lại cho bạn 11 tờ giấy bạc loại 20000 đồng 5000 đồng Hỏi bạn An nhận tờ giấy bạc loại? GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 3/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2,5 điểm) 1  1  1 1  a) Tính P = 425 ⋅  −   −   −  ⋅ ⋅ ⋅  −         101  Lời giải  1  1  1   1  P = 425 ⋅  −   −   −  ⋅ ⋅ ⋅  −         101   1  1  1   1  P = 250 ⋅  −   −   −  ⋅ ⋅ ⋅  −         101  1 1 1 1 1 1 1  P = ⋅  −  ⋅ ⋅  −  ⋅ ⋅  −  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 ⋅  −  101          P = 1 −    2    1 −  1 −  ⋅ ⋅ ⋅ 1 −    7  101  97 99 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ 99 101 P = 101 P = GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 4/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Tốn Online x y z  = = b) Tìm x , y, z biết:  xy + yz + zx − 31 =  Lời giải Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x +y +z x +y +z = = = = 2+3+5 10 x x +y +z x +y +z = ⇒x = ⋅ = ⋅ (x + y + z ) 10 10 y x +y +z x +y +z = ⇒y = ⋅3 = ⋅ (x + y + z ) 10 10 10 z x +y +z x +y +z = ⇒z = ⋅ = ⋅ (x + y + z ) 10 10 Ta có: xy + yz + zx − 31 = ⇔ xy + yz + zx = 31 (*) Thay giá trị x , y, z vừa tìm vào (*) Khi đó, ta có: 3 ⋅ (x + y + z )2 + ⋅ (x + y + z )2 + ⋅ (x + y + z )2 = 31 50 20 10  3  ⇒ (x + y + z )2  + +  = 31  50 20 10  ⇒ (x + y + z )2 ⋅ 31 = 31 100 ⇒ (x + y + z )2 = 31 : 31 100 ⇒ (x + y + z )2 = 100 ⇒ x + y + z = 10 x + y + z = −10 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 5/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Với x + y + z = 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z 10 = = = =1 2+3+5 ⇒ x = 2; y = 3; z = Với x + y + z = −10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z −10 = = = = −1 2+3+5 ⇒ x = −2; y = −3; z = −5 Vậy x = 2; y = 3; z = x = −2; y = −3; z = −5 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 6/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (1,0 điểm) Cho B = −9 − 99 − 999 − − 999 (Số cuối có 2018 chữ số 9) Sau thực phép tính, chữ số xuất lần B Lời giải Ta có: B = −9 − 99 − 999 − − 999 = −(9 + 99 + 999 + + 999 9)   B = −  10 − + 100 − + 1000 − + + 1000 −    2018 soá      B = −  10 + 100 + 1000 + + 1000  − 2018     2018 soá      B = −  11 − 2018  = −  11 11110 − 2018   2018 soá   2014 soá  B = − 11 9092 2014 soá Vậy số xuất 2014 lần B GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 7/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (2,0 điểm) Cho ∆ABC vng A có AB < AC BD tia phân giác ABC (D ∈ AC ) Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = BA , vẽ DF tia phân giác EDC (F ∈ BC ) Kẻ FH ⊥ AC H a) Chứng minh AB + HF = BF b) Trên tia đối tia AB lấy điểm I cho AI = FH Chứng minh rằng: BD ⊥ IF Lời giải a) Chứng minh AB + HF = BF B E F A D H C Xét ∆ABD ∆EBD có: AB = BE (gt ) ABD = EBD(gt ) BD cạnh chung Do đó: ∆ABD = ∆EBD(c.g.c) ⇒ BAD = BED (Hai góc tương ứng) Mà BAD = 900 ⇒ BED = 900 GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 8/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Tốn Online Xét ∆EDF ∆HDF có: DEF = DHF = 900 DF cạnh chung FDE = FDH (gt ) Do đó: ∆EDF = ∆HDF (Hệ trường hợp góc cạnh góc) ⇒ EF = HF (Hai cạnh tương ứng) Và AB = BE (gt ) ⇒ AB + HF = BE + EF = BF GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 9/1 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online b) Chứng minh rằng: BD ⊥ IF B E F A D H C I Vì ∆ABD = ∆EBD(c.g.c) nên AD = DE (Hai cạnh tương ứng) Vì ∆EDF = ∆HDF nên DE = DH (Hai cạnh tương ứng) ⇒ AD = DH Xét ∆ADI ∆HDF có: AD = DH (cmt ) IAD = FHD = 900 AI = HF (gt ) Do đó: ∆ADI = ∆HDF (c.g.c) ⇒ ADI = HDF (Hai góc tương ứng) Ta có: ADB + EDB + FDE + FDH = 1800 Mà ADI = HDF (cmt ) ADB + EDB + FDE + ADI = 1800 Mặt khác: ADB = EDB (vì ∆ABD = ∆EBD(c.g.c)) Và FDE = ADI (= FDH ) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 10/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online ⇒ 2.ADB + 2.ADI = 1800 ⇒ 2.(ADB + ADI ) = 1800 1800 ⇒ ADB + ADI = = 900 ⇒ IDB = 900 Suy ra: BD ⊥ IF GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 11/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (1,5 điểm) Cho ∆ABC có A < 900 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ta vẽ AD ⊥ AB AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta vẽ AE ⊥ AC AE = AC Kẻ AH ⊥ ED (H ∈ ED ) Tia AH cắt BC M Chứng minh M trung điểm BC Lời giải E B K M G H C A D Kẻ AK ⊥ BC , AK cắt EF G Xét ∆AEG ∆ACM có: AEG = MAC (cùng phụ với EAM ) AE = AC (gt ) EAG = ACM (cùng phụ với KAC ) Do đó: ∆EAG = ∆ACM (g c.g ) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 12/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online ⇒ AG = MC (Hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆ADG ∆ABM có: ADG = MAB (cùng phụ với MAD ) AD = AB(gt ) DAG = ABM (cùng phụ với KAB ) Do đó: ∆DAG = ∆ABM (g c.g ) ⇒ AG = MB (Hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy ra: MB = MC Và M ∈ BC Do đó: M trung điểm BC GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 13/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (1,5 điểm) Người ta dự định xây dựng tòa tháp tầng tầng tháp ngơi chùa Theo cấu trúc, diện tích mặt sàn tịa tháp nửa diện tích mặt sàn tầng diện tích mặt sàn tịa tháp nửa diện tích mặt sàn tịa tháp bên Biết diện tích sàn tầng đỉnh tháp 2,25m đồng nên lát loại gạch hoa có kích thước 30 × 30 cm Hãy tính số tiền mua gạch hoa để lát nền, biết giá viên gạch hoa 9000 đồng Lời giải Diện tích mặt sàn tầng là: 2,25.2 = 4, 5(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 4, 5.2 = 9(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 9.2 = 18(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 18.2 = 36(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 36.2 = 72(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 72.2 = 144(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 144.2 = 288(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 288.2 = 576(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 576.2 = 1152(m ) Tổng diện tích mặt sàn tịa tháp là: 2,25 + 4, + + 18 + 36 + 72 + 144 + 288 + 576 + 1152 = 2301, 75(m ) Diện tích viên gạch là: 30 × 30 = 900(cm ) = 0, 09(m ) Tổng số viên gạch phải dùng là: 2301,75 : 0, 09 = 25575 (viên) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 14/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Số tiền dùng để mua gạch hoa lót là: 25575 × 9000 = 230 175 000 (đồng) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 15/ 15 Thầy Phúc Toán – GV dạy Toán Online Bài (1,5 điểm) Bạn An vào cửa hàng văn phòng phẩm mua với giá 10000 đồng/quyển bút với giá 5000 đồng/cây Bạn đưa cho nhân viên thu ngân 200 000 đồng Người gởi lại cho bạn 11 tờ giấy bạc loại 20 000 đồng 5000 đồng Hỏi bạn An nhận tờ giấy bạc loại? Lời giải Số tiền bạn An dùng để mua là: × 10 000 = 40 000 (đồng) Số tiền bạn An dùng để mua bút là: × 5000 = 15 000 (đồng) Số tiền bạn An nhân viên thu ngân gửi lại là: 200 000 − (40 000 + 15 000) = 145 000 (đồng) Gọi số tờ giấy bạc loại 20 000 đồng 5000 đồng bạn An nhận là: x , y Theo đề bài, ta có: x + y = 11 20 000x + 5000y = 145 000 20 000x + 5000y = 145 000 ⇒ 4x + y = 29 (1) x + y = 11 ⇒ y = 11 − x (2) Thay (2) vào (1) ta được: 4x + 11 − x = 29 ⇒ 4x − x = 29 − 11 ⇒ 3x = 18 ⇒x =6 Thay x = vào (2) ta được: y = 11 − = Vậy bạn An nhận lại tờ giấy bạc loại 20 000 đồng tờ giấy bạc loại 5000 đồng GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Website: https://chiasefull.com Facebook: https://facebook.com/nhphuclk Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017 ... + 72 + 144 + 288 + 576 + 1152 = 2301, 75 (m ) Diện tích viên gạch là: 30 × 30 = 900(cm ) = 0, 09(m ) Tổng số viên gạch phải dùng là: 2301 ,75 : 0, 09 = 25 575 (viên) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014 879 ... tầng là: 36.2 = 72 (m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 72 .2 = 144(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 144.2 = 288(m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 288.2 = 576 (m ) Diện tích mặt sàn tầng là: 576 .2 = 1152(m... có: ADB + EDB + FDE + FDH = 1800 Mà ADI = HDF (cmt ) ADB + EDB + FDE + ADI = 1800 Mặt khác: ADB = EDB (vì ∆ABD = ∆EBD(c.g.c)) Và FDE = ADI (= FDH ) GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014 879 Website: https://chiasefull.com