Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Sư Phạm TP.HCM năm 2013 Môn Giải tích Câu 1: Cho và Giả sử dãy không âm và thoả Chứng minh Câu 2: Giả sử hai dãy thoả các điều kiện sau: i) ii) iii) Tìm Câu 3: Cho P(x),Q(x)là các đa thức hệ số thực thoả mãn: Chứng minh Câu 4: Cho f liên tục trên [a;b], khả vi trên (a,b) và Chứng minh rằng Câu 5: Cho sao cho: Xét tính đơn điệu của hàm số Câu 6: Cho Giả sử f(0)=f(a)=1. Gọi , chứng minh Môn Đại số Bài 1: Cho A là ma trận cấp và B là ma trận cấp thỏa: Tìm AB Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với Ký hiệu M_n là ma trận vuông cấp 2n thỏa Tìm Bài 3: Cho Chứng minh rằng và có cùng hạng. Bài 4: Cho ma trận A như sau với Chứng minh rằng Bài 5: a) Cho là n vector khác không của kgvt V và là một phép biến đổi tuyến tính thỏa với k = 2,3,…,n Chứng minh rằng hệ vector độc lập tuyến tính. b) Chứng minh rằng hệ vector độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên Bài 6: Cho A,B là hai ma trận đối xứng cấp n. Giả sử tồn tại hai ma trận X,Y cấp n thỏa . Chứng minh Bài 7: Cho thỏa và là hai ma trận đối xừng và . Chứng minh rằng Bài 8: Cho P,Q,U,V là các ma trận cấp 2 thỏa U,V là 2 nghiệm phân biệt của phương trình và U-V khả nghịch. Chứng minh và Bài 9: Cho P là đa thức hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt đúng hay sai? . Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Sư Phạm TP. HCM năm 2013 Môn Giải tích Câu 1: Cho và Giả sử dãy không âm và thoả Chứng. Cho sao cho: Xét tính đơn điệu của hàm số Câu 6: Cho Giả sử f(0)=f(a)=1. Gọi , chứng minh Môn Đại số Bài 1: Cho A là ma trận cấp và B là ma trận cấp thỏa: Tìm AB Bài 2: Cho n là số nguyên dương,