Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải... P[r]
(1)BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC _ Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ tương tự phương trình vô tỷ Tuy nhiên, số trường hợp có điểm khác biệt _ Giải bất phương trình vô tỷ là bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán _ Việc phân thành các phương pháp giải riêng biệt mang tính chất tương đối, tùy quan điểm người làm toán _ Mỗi bất phương trình có thể giải nhiều phương pháp khác nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu Mặt khác, có bất phương trình không phải phương pháp nào giải được, nó có nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt việc tìm phương pháp giải I)Phương pháp biến đổi tương đương : g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) 1) g ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) g( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) 2) Bài Giải bất phương trình : √ x2 +5 x − 14 > x – x ≤ −7 ¿ x ≥ ¿ x +5 x − 14 ≥ ¿ x −5<0 ¿ x <5 ¿ ¿ ¿ x≥2 ¿ ¿ ¿ ¿ x −5 ≥ ¿ x ≤ −7 ¿ ¿ ⇔ ⇔ G: Bpt ⇔ ¿ x−5¿ x≥5 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 39 x> ¿ 15 ¿ ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿¿ Bµi 2: Gi¶i BPT: a) x x 3 x §S: x≥1/4 2( x 16) 7 x x x x b) - Biến đôỉ bất phơng trình dạng x 16 0 x 4 x §K (2) 2( x 16) x x 2( x 16) 10 x 10 x x 5 10 x 0 x 10 10 34 x 2 2( x 16) (10 x ) - KÕt hîp §K ta cã nghiÖm cña BPT lµ x 10 34 34 x 1 x 0 x 0 4x2 x 1 3 x c) §K: - Thực phép nhân liên hợp ta thu đợc BPT x 3(1 x ) x x x 4 x x 1 1 x 0 x x 0 x 3 2 9(1 x ) (4 x 3) 2 9(1 x ) (4 x 3) x x 1 - Kết hợp ĐK thu đợc nghiệm C¸ch 2: - XÐt TH: x 0.BPT x 3x Víi x BPT x x Víi 2 Bài 3: (KD-2002) Giải bất phương trình ( x x ) x x 0 Giải: x 3x 0 2 x x x x 0 Bpt Bài 4: x x 2 x 3 a)(Dự bị 2002) Giải bất phương trình Giải: ĐK: x≥3 x 12 x x (3) (1) x 12 ( x 12 x 2x 1 x 3) 2 x 1(do x 12 x 3) x ( x 12)( x 3) 2 x ( x 12)( x 3) 4 13 x 4 Kết hợp Đk ta 3≤x≤4 x x x x b) (CĐ KT 2002) ĐS: c) (CĐ điều dưỡng 2004) x 11 x x ĐS:4≤x≤5 d) (ĐH Hùng Vương 2004) x x x ĐS:x≤-3 2( x 1) x e) (CĐ KTKT Thái Bình 2004) ĐS: x=-1; 1≤x≤3 Bài 5: a) Giải bất phương trình: √ x2 −3 x+ + √ x2 − x+ √ x2 −5 x+ x ≤1 ¿ x≥4 Giải Đk: ¿ ¿ ¿ ¿ x < 1: (*) ⇔ √ − x đúng √ 2− x + √ 3− x x = 1: (*) đúng x = 4: không thỏa mãn (*) x > 4: (*) ⇔ √ x − vô nghiệm √ x −2 + √ x −3 Vậy nghiệm (*) là x ( − ∞ ; 1] 2 b) x 3x x x 2 Ta có x=1 là nghiệm bpt (2) x x Với x<1 : 2 x 3 x 4 x Ta có : Suy x < bpt vô nghiệm +) Xét : x 4 : (2) x x x 5x Đk: x 3x 0 x x 0 x 1 x 4 x x 0 x x 2 x x x 2 x , x 1 2 x x x x x 2 x 4, x 4 Ta có : Suy : x 4 : , bất pt luôn đúng x 1 Vậy nghiệm bpt là : x 4 c) x x 15 x x 15 x 18 x 18 (*) x x 2 x (4) x x 15 0 x x 15 0 x 18 x 18 0 Điều kiện: (2) x 3 x x 5 x 5 x 3 x x (4 x 6)( x 3)(2) Nhận xét x = là nghiệm bpt : +) Xét : x : (2) x x x 5 x 4x x x x x x x x 25 6 x 17 x 25 3 x x 25 x x +) Xét : x 5 : x x x x x x 25 4 x (2) 17 x 25 x x 17 x là nghiệm bpt Suy : x x 3 17 x Kết luận : Nghiệm bpt đã cho là : 1 x 0 x2 x 1 d ) x x 2 x Đk: : Khi đó : (3) x x x 4 x x4 x4 x x 0 16 16 x4 0x 1;1 16 Vậy nghiệm bpt là : x 1 x2 x 21 2x e) x2 (2) 2x2 2x x 21 2x x 4x x x 0 Kết luận : x2 x 1 1 x g) Đk: x 0 x Nhận xét : x = là nghiệm bpt (5) +) Xét x 0 : (3) x2 x x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x x x2 Kết luận : x II Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa): Bài 1: Giải bất phương trình 3x + (*) x + √ x2 −3 x+ 11 Giải (*) ⇔ x – 3x + 11 + √ x2 −3 x+ 11 – 15 Đặt t = √ x −3 x+ 11 ĐS : x 2 Bài : Giải bất phương trình x + √ 1− x < x √ 1− x (1) đoạn [0; 1] Giải Trong đoạn [0; 1], hai vế không âm nên: (1) ⇔ + 2x √ 1− x < x (1 – x ) (2) t<1 − √2 ¿ t >1+ √ Đặt t = x √ 1− x , t ; (2) trở thành: t – 2t – > ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ so sánh với điều kiện t ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm Bài : Giải bất phương trình ( x + 1) + ( x + 1) + 3x √ x+1 > (1) Giải TXĐ: x –1 _ x 0: VT > ⇒ bất phương trình nghiệm đúng ∀ x 3 _ – x < 0: (1) trở thành ( x + x ) – √ x + x + > t<1 ¿ t> Đặt t = √ x3 + x , ta được: t – 3t + > ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ Nhận xét x [– 1; 0) ⇒ t < Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là – x 5 x 5 x 10 x 0 2 x 2 Bài : x 10 x 7 x x §K: 2 - Với Đk đó 5 x 10 x 36 x 10 x - §Æt t x 10 x 1; t 0 - §S: x≤-3 hoÆc x≥1 (6) Bài 5: Giải bpt sau : Bài giải : x 1 x x x 28(1) 2 Đặt : t x x 28, t ( Do x x 28 0, x ) Khi đó : (1) t 24 5t t 5t 24 t ( t> ) x x 28 x x 36 x Kết luận : -9 < x < 7 x 0 x 7: Đk: 7 x 0 Bài : x x 49 x x 42 181 14 x(1) Đặt : t x x 6, t 0 t 7 x x x x 14 x x x t Khi đó : x x 14 x 49 x x 42 181 (1) t t 181 t t 182 t 13(t 0) x x 13 6 x 12 49 x x 42 84 x x x 6 x Kết luận : Bài 7: Giải các bpt sau : 1) x x x x 2).2 x x 3 x x 3) x x 3x x 1 Giải: t x x 4, t 0 t 3 x x 3( x x) x x 1.Đặt : Khi đó : 1 : t t2 t2 t 3t 10 t 2(t 0) x x x x 4( do3 x x 0) x x x 2 2 2.Đặt : t x x , t 0 t 3 x x x x 3 t Khi đó : t 3t 2t 3t t ( dot 0) x 1 2x x 25 x 1 2 x x 2 3.Đặt : t x x 2, t 0 x x t Ta : (7) t t 1 t t t t 1 2t 4 t 2 3x x 0 x x 2 3x x 4 2 x x x 1 x 2 x III Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm): Nhận xét Xét hàm số f(x), x D max f f Đặt M = , m = D D α có nghiệm x α f(x) D ⇔ M α đúng với ∀ x α f(x) D ⇔ m β ⇔ β f(x) có nghiệm x D m β đúng với ∀ x β f(x) D ⇔ M Bài : Giải bất phương trình: √ x+5 + √ x +3 < Giải Xét f(x) = √ x+5 + √ x +3 – 9, x 1 3 f ’(x) = + > 0, x > ; f(11) = 0, f − <0 2 √ x+5 √2 x+ 3 − ⇒ f(x) < ⇔ x < 11 Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là − x < 11 Bài 2: Giải bất phương trình: √ x +3 x2 +6 x +16 > √ + √ − x Giải đk: – x Xét f(x) = √ x +3 x2 +6 x +16 – √ − x – √ f ’(x) 0, ∀ x (– 2; 4) f(1) = ⇒ f(x) > ⇔ x>1 Bài 3:Giải bất phương trình: 1− √1+2 x ¿ ¿ < 2x + x2 ¿ Giải ¿ ¿ x≥− x +1 ≥ ⇔ đk: x+1 ≠ (1) x ≠0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Với điều kiện đó ta có: 2x = ( 1+ √ x +1 )2 = 2x + + √ 1+ x 1− √ 1+2 x 45 Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành √ 1+ x < hay x < 45 Kết hợp với (1) ta tập nghiệm là:[ − ; ) \ {0} ( ) ( ) (8) Bài 4: Giải bất phương trình √ x −1 + (x – 3) Giải đk: x Nhận xét: Do đó √ x −1 + (x – 3) √ x −1 + (x – 3) x − 3¿ + x − 2¿ √¿ √ x −1 + |x − 3| x − 3¿ 2+ x − 2¿ √¿ ⇔ x − ¿2 2(x − 1)+2 ¿ , x √¿ ¿ x − ≥0 √ x −1=x −3 ⇔ x=5 ¿{ ¿ 1( Bunhia) Vậy bất phương trình có nghiệm x = Bài 5: Tìm m để bất phương trình mx x m (1) có nghiệm Giải: Đặt t x 3; t [0; ) Bất phương trình trở thành: m(t 3) t m m(t 2) t m t 1 t (2) t 1 (1)có nghiệm (2) có nghiệm t≥0 có ít điểm ĐTHS y= t với t≥0 không phía đường thẳng y=m t 2t t 1 y' 2 (t 2)2 Xét y= t với t≥0 có t 1 1 + y’ - + | + y 1 1 Từ Bảng biến thiên ta có m≤ Bài 6: Cho bất phương trình đúng với x [-2;4] (4 x )(2 x ) (18 a x x ) Tìm a để bất phương trình nghiệm Giải: Đặt t (4 x )(2 x ) x x 8; t [0;3] Bất phương trình trở thành: t (10 a t ) a t 4t 10 (2) (1)ghiệm (2) có nghiệm t [0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS y=t2-4t+10 với t [0;3] y’=2t-4; y’=0t=2 t y’ | + | (9) y 10 Vậy m≥10 Bài : Tìm m để bất pt ĐK -2 x 4 Đặt f ( x) x m max f ( x) [ 2;4] f '( x) Ta có x f’ f 4 x x m có tập nghiệm là [-2 ;4] x YCBT tìm m để f(x)≤m nghiệm đúng với x thuộc [-2 ;4] 1 0; x ( 2;4) 4 x 2x Ta có -2 - Vậy m IV Phương pháp đồ thị: _ Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm sau: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng hệ trục tọa độ + Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta tập nghiệm Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ x+1 – √ − x > m Giải Đặt u = √ x+1 0, v = √ − x ¿ u ≥0 , v ≥ u −v > m Ta được: u2 + v 2=5 ¿{{ ¿ Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện m là m < √5 Bài 2: Cho bất phương trình: √ x(6− x) x – 6x + m + Tìm m để tập nghiệm bất phương trình là đoạn với độ dài l thỏa mãn: l (10) Giải Xét đồ thị hàm số y = √ x(6− x) , y Ta có: y≥0 x − 3¿ 2=9 ¿ ¿ ¿{ y 2+¿ có đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm (3; 0), bán kính Còn đồ thị hàm y = x – 6x + m + là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = Độ dài đoạn nghiệm l = ⇔ parabol qua điểm (2; √ ) ⇔ √ = – 12 + m + ⇔ m = √ + Độ dài đoạn nghiệm l = ⇔ parabol qua điểm (1; √ ) ⇔ √5 = – + m + ⇔ m = + √5 Vậy điều kiện m là + √ m + √2 (11) 0;3 Bài 3: Tìm m để : x x m(2 x 1) có tập nghiệm là x Giải : - Do x thuộc [ ; 3] nên 2x + > x2 2x f ( x) m, x 0;3 x 1 - Bất phương trình tương đương : x2 2x Khảo sát hàm số f(x) = x 1 + Tập xác định : x x2 2x 0, x 0;3 (2 x 1) + suy hàm số đồng biến trên [0;3] 12 max f ( x) f (3) + x 0;3 12 f ( x) m, x 0;3 max f ( x ) m m x 0;3 Vậy để : f ( x) Bài :Xác định m để phương trình : x x m có nghiệm Giải : Xét f(x) = x x m - Tập xác định D = R 2x f ( x) 1 x 1 - - f ( x) 0 x = 2 Lập bảng biến thiên suy f ( x) xR 2 Vậy để bất phương trình : x x m có nghiệm minf(x) < m m (12)