Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu hai tập hợp nghiệm tương ứng của chúng là trùng nhau.. Ta dùng dấu ⇔ để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình.[r]
(1)Bài 4
Bất phương trình hữu tỉ vô tỉ
Giả sử f(x) g(x) hàm số xác định miền D E tương ứng Giải bất phương trình f(x) > g(x) (hay f(x) ≥ g(x)) nghĩa tìm tất điểm xo ∈ D ∩ E cho f(xo) > g(xo) (hay f(xo ≥ g(xo)) bất đẳng thức Tập hợp điểm xo gọi tập hợp nghiệm bất phương trình
Hai bất phương trình gọi tương đương hai tập hợp nghiệm tương ứng chúng trùng Ta dùng dấu ⇔ để tương đương hai bất phương trình
1 Bất phương trình hữu tỉ
Trong bất phương trình f(x) > g(x) mà f g hàm hữu tỉ gọi bất phương trình hữu tỉ
1.1 Bất phương trình bậc Đó bất phương trình dạng ax + b > (1)
(hoặc ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) a) Nếu a = (1) ⇔ 0x + b > Do b > (1) nghiệm với ∀x ∈ R b < (1) vơ nghiệm
b) Nếu a > (1) ⇔ x > b a −
Tập nghiệm b, a
− ∞
c) Nếu a < (1) ⇔ x < b a
− Tập nghiệm , b
a −∞
Ví dụ Giải bất phương trình
(a2 + a + 1)x + a3 − a > 0, (2)
(a tham số)
Vì a2 + a + > nên (1) ⇔
2
a a
x
a a
− >
1
(2)Ví dụ Giải bất phương trình (ẩn x)
(a + 1)x + (a2 + 2) ≥ (3)
Giải a) a = −1, (3) nghiệm với x b) a > −1, (3) ⇔ x a2
a + > −
+
c) a < −1, (3) ⇔ x a2 a
+ < −
+
Ví dụ Giải hệ bất phương trình
2x
x
+ >
− ≤
(4)
Hệ (4) ⇔
3 x
2
x
> − ≤ −
⇔ x ∈ 3,
2
−
1.2 Bất phương trình bậc hai
1.2.1 Xét bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c >
(hoặc ax2 + bx + c ≥ 0), a ≠ 0, a, b, c ∈ R
Xét bất phương trình
f(x) : = ax2 + bx + c > 0, a ≠ (5) Ta có
2
b
f(x) a x
2a 4a
∆
= + −
, ∆ = b
2 − 4ac
a) Giả sử ∆ < Khi
+ a > f(x) ln ln dương (5) nghiệm với x + a < (5) vơ nghiệm
b) Giả sử ∆ =
+ a > (5) có tập nghiệm
b b
, ,
2a 2a
−∞ − ∪ − + ∞
(3)c) Giả sử ∆ > Khi f(x) = a(x − x1)(x − x2),
1
b x
2a − − ∆
= , x2 b
2a − + ∆ =
Từ :
+ Nếu a > (5) có tập nghiệm (−∞, x1) ∪ (x2, +∞)
+ Nếu a < (5) có tập nghiệm (x2, x1)
Ví dụ Giải bất phương trình
2x2 − 3x + < (6)
Giải Tam thức bậc hai 2x2 − 3x + có nghiệm
1
1 x
2
= , x2 = a = > Vì (6) có tập nghiệm 1,
2
Ví dụ Tìm a để phương trình
(a − 2)x2 − 2ax + 2a − = (7)
Có hai nghiệm phân biệt
Giải (7) có hai nghiệm phân biệt
a
0 ≠ ∆ >
⇔ ⇔
a
4a 4(a 2)(2a 3)
≠
− − − >
a
4(a 1)(a 6)
≠
− − − >
⇔ a ∈ (1, 2) ∪ (2, 6)
Ví dụ Tìm a để nghiệm bất phương trình
x2 − 3x + < (8)
cũng nghiệm bất phương trình f(x) : = ax2 − (3a + 1)x + > (9)
Giải (8) có tập nghiệm (1, 2)
Phương trình f(x) = (với a ≠ 0) có nghiệm
a
(4)b) a < Khi
a < < < (1, 2) ⊂
, a
Vậy a < thỏa mãn
c) Xét a > c1) Nếu <
a (⇔ a < a <
3) miền nghiệm (9) (−∞, 3) ∪
, a
∞
⊃ (1, 2) Như < a <
3 thỏa mãn đầu c2) Xét
a ≤ (⇔ a ≥
1
3) (9) có tập nghiệm
1
M ,
a −∞
∪ (3, +∞) Để M ⊃ (1, 2) điều kiện cần đủ ≤
a ⇔ a ≤
Kết hợp ại ta thấy tập hợp giá trị a cn tìm l
{
1}
a : a ,
3
∈ ≤ ≤ =
R
2
1.2.2 Định lí đảo tam thức bậc hai Giả sử f(x) = ax2 + bx + c, a ≠
a) Nếu tồn α cho af(α) < ∆ > f(x) có hai nghiệm x1
và x2 thỏa mãn
x1 < α < x2
b) Nếu tồn α cho 0f
af( )
∆ > α >
thì f(x) có hai nghiệm x1 < x2 α ∉ [x1, x2]
c) Nếu tồn α cho ∆ >
af(α) = b 2a
(5)thì hai nghiệm x1, x2 f(x) thỏa mãn
α < x1 < x2 (tương ứng x1 < x2 < α)
d) Nếu tồn hai số α β (α < β) cho f(α)f(β) < khoảng (α, β) f(x) có nghiệm
Ví dụ Tìm tất số a cho phương trình
x2 − 2(a − 1)x + (2a + 1) = (1)
có hai nghiệm dương phân biệt
Giải Theo 1.2.2.b), điều kiện cần đủ để (10) có hai nghiệm dương
phân biệt :
'
1.f(0) b
0 2a ∆ > > − >
⇔
a(a 4)
a 2a
− >
− > + >
⇔
⇔ a ≥ ⇔ a ∈ [4, +∞)
Ví dụ Tìm tất số a cho phương trình
f(x) : = 2x2 − 2(2a + 1)x + a(a − 1) = (11)
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < a < x2
Giải Theo 1.2.2.a), điều kiện cần đủ để (11) có hai nghiệm x1, x2
thỏa mãn x1 < a < x2
2.f(a) = 2a2 − 2(2a + 1)a + a(a − 1) <
⇔ −a2 − 3a < ⇔ a ∉ [−3, 0]
Ví dụ Tìm a để bấtphương trình
f(x) : = x2 + ax + a2 + 6a < (12)
có nghiệm thuộc khoảng (1, 2)
Giải Đầu tiên, nhận xét (12) có nghiệm ∆ > ⇔ −3a2 − 24a > ⇔ a(a + 8) <
⇔ a ∈ (−8, 0) (13)
(6)a 3a(a 8) a 3a(a 8)
M ,
2
− − − + − + − +
=
M ∩ (1, 2) = ∅ ⇔ a 3a(a 8)
2
− + − +
≤ (14)
a 3a(a 8)
2
− − − + ≥ (15)
(13) & (14) ⇔ −3a(a+8)≤ + ⇔ a
⇔ ⇔
a
a 7a
8 a
≥ −
+ + ≥
− < <
0
7
a
2
8 a
− +
≥
− < <
5
⇔ 45 a
2 − +
< < (16)
(13) & (15) ⇔ −8 < a ≤ 4− − 12 (17)
Từ M ∩ (1, 2) ≠ ∅ ⇔ a
2 − +
− − < <
1
l
0
1.3 Bất phương trình đại số bậc cao
Đó bất phương trình có dạng
n n
o n n
f(x) : a x= +a x − + + a − x+a > , (18) ao, , an ∈ R, ao ≠
Cách giải (18) thường sử dụng phân tích f(x) dạng tích
1 m
k k
o m 1
f(x)=a (x− α ) (x− α ) (x +p x+q )
r
l
r r
(x +p x+q ) , (18') α1 < α2 < < αm
2
1
p −4q < , , p2r −4qr<
Sau lập bảng xét dấu để tìm khoảng nghiệm
(7)(x − 3)(3+ x)(2 − x) > (19)
Giải (19) ⇔ [x − (−3)](x − 2)(x − 3) < Lập bảng xét dấu ta nhận
(19) ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (2, 3)
Ví dụ 11 Giải bất phương trình
f(x) = (x + 3)(x + 2)5(2 − x)3(2x + 2)2 (20)
Giải Phương trình có nghiệm −3, −2, −1, (20) ⇔ [x − (−3)][(x − (−2)]5(x − 2)3[x − (−1)]2 (21)
Ta có sơ đồ sau :
Từ (20) ⇔ x ∈ (−∞, −3) ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 2)
Nhận xét Nếu f(x) có dạng (18') dấu f(x) dấu với Từ f(x) > ⇔ g(x) >
1
k
o m
g(x) :=a (x− α ) (x− α )km
) Giả sử ao > Khi g(x) > (αm, +∞)
Nếu km chẵn g(x) dương (αm−1, αm)
Nếu km lẻ g(x) < (αm 1− ,αm
Tương tự, biết dấu g(x) khoảng (ai, ai+1) dấu g(x)
giữ nguyên hay đổi dấu tùy thuộc vào ki chẵn hay lẻ Bằng cách ta xác định dấu g(x) khoảng (ai, ai+1) Từ tập nghiệm
bất phương trình f(x) > (hay < 0) hợp khoảng mà g(x) > (hay g(x) < 0)
Ví dụ 12 Giải bất phương trình
a) f = x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 > 0, (22)
b) g = 3x4 − 24x3 + 53x2 − 20x − 12 < (23)
Gợi ý a) (22) ⇔ (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) > Đáp số x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, 3) ∪ (4, +∞)
b) (23) ⇔ x (x 1)(x 3) x
3
− + − − − − <
(8)⇔ x , 3,
3
∈ − ∪ +
1.4 Bất đẳng thức phân thức Đó bất đẳng thc dạng
f(x) g(x)> ,
f(x) g(x)< ,
f(x) g(x)≥ ,
f(x) g(x)≤ , f, g đa thức hệ số thực Ta có
a) f(x)
g(x)> ⇔ f(x)g(x) > 0,
b) f(x) g(x)< ⇔
f(x)g(x) < g(x)
≠
d) f(x)
g(x)≤ ⇔
f(x)g(x) g(x)
≤
≠
Ví dụ 13 Giải bất phương trình
x
x−2>21 (24)
(24) ⇔ x
2(x 2) + >
− ⇔ (x − 2)(x + 2) > ⇔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
Ví dụ 14 Giải bất phương trình 1
x x x
1
+ ≤
− − (25)
Giải (25) ⇔ x2
x(x 1)(x 2)
− ≤
− −
(x 2)(x 1)x(x )(x )
x(x 1)(x 2)
− − − + ≤
⇔
− − ≠
(26)
(9)Ví dụ 15 Tìm a cho hệ bất phương trình
2 2
2
x ax
2
x x
x ax
3
x x
+ −
<
− +
+ −
> −
− +
(27)
nghiệm với x
Giải (27) ⇔
2 2
2
x (a 2)x
0
x x
4x (a 3)x
0
x x
− + +
>
− +
+ − +
>
− +
⇔ (28)
2
x (a 2)x
4x (a 3)x
− + + >
+ − + >
Vậy để (27) nghiệm với x cần đủ (29)
2
2
: (a 2) 16
: (a 3) 16
∆ = + − <
∆ = − − <
(a 6)(a 2)
(a 7)(a 1)
+ − <
⇔ − + <
⇔ a ∈ (−6, 2) ∩ (−1, 7)
⇔ a ∈ (−1, 2) hay −1 < a <
Ví dụ 15 Giải biện luận bất phương trình
2
x 5x a
g(x)
x
− + −
= >
− (30)
Giải Kí hiệu f(x) = x2 − 5x + − a Biệt thức f ∆ = 4a +
a) Nếu a <
− f(x) > với ∀x ∈ R Khi g(x) > ∀x >
b) Nếu a = −
2
5 x
2
x)
x
−
g( = >
− x > x ≠ c) Xét a >
(10)g(x) > ⇔
f(x) x f(x) x >
− >
< − <
⇔
1
1
5
x x
2
5
x x
2
x
x x x
x
− +
< =
+ +
> =
>
< < < + Nếu < x1 ⇔
4
− < a < hệ đầu cho ta < x < x1 x > x2
cịn hệ sau vơ nghiệm
+ Nếu x1 = ⇔ a = hệ sau vơ nghiệm hệ đầu cho ta x >
+ Nếu x1 < ⇔ a > hệ sau cho x > x2 hệ đầu cho x1 < x <
hoặc x > x2
Tóm lại a) a <
4
− : x ∈ (1, +∞)
b) a =
− : x ∈ (1, +∞)\
{ }
5 c) a < : x ∈ (1, x1) ∪ (x2, +∞)d) a = : x ∈ (4, +∞)
e) a > : x ∈ (x1, 1) ∪ (x2, +∞)
2 Bất phương trình vơ tỉ
Đó bất phương trình dạng f(x) > (f(x) < 0), f(x) hàm mà ẩn x có mặt Trong trình giải người ta thường sử dụng phép biến đổi tương đương sau :
a) 2n 1+ f(x)>g(x)⇔f(x)>g2x 1+ (x)
b) 2n
2n
g(x) f(x) f(x) g(x)
g(x)
f(x) g (x)
≤
>
> ⇔
≥ >
c) 2n 2n
(11)d) 2n
2n
f(x)
f(x) g(x) g(x)
f(x) g (x)
≥
< ⇔ ≥
<
Chú ý 1) Bất phương trình f(x) ≥ ⇔ f(x) f(x) = >
2) Khi giải bất phương trình vơ tỉ cần phải xác định tập xác định, sau thực phép biến đổi tương đương tập xác định hàm
Ví dụ Giải bất phương trình
2
(x 1) x− − − ≥ (1) x
Giải (1) ⇔
2
2
x
x x
x
x x
− ≥ 0 − − ≥ − ≤ − − ≤ ⇔ x
(x 2)(x 1)
x
x x
≥ − + ≥ ≤ − − =
⇔ x ⇔ x ∈ {−1} ∪ [2, +∞)
x
≥ = −
Ví dụ Giải bất phương trình
2
x 6x
− + − > − x (2)
(2) ⇔
2
2
8 2x
x 6x
8 2x
x 6x
− ≥
− + − > −
− <
− + − > −
x x ⇔ 2 x
x 6x (8 2x)
x
x 6x
≤
− + − > −
> − + − ≥ ⇔ x 23
(x 3) x
5
x
(x 1)(x 5)
≤
− − <
> − − ≤
⇔ x
4 x
< ≤ < ≤
⇔ < x ≤
Ví dụ Giải bất phương trình
4x − >
(12)Giải (3) ⇔ ⇔
2
4x
6x 2x
(4x 6) 6x 2x
− ≥ − ≥
− > −
x 1,5
(x 1)(x 2)
≥
− − >
⇔ < x ≤
Ví dụ x 4x x
− + −
≥
(4) ⇔
x
2 x 4x 2x
x
2 x 4x 2x
> − + − ≥ < − + − ≤ ⇔ x
2 x 2x
x
2 x 2x
> − ≥ − < − ≤ − ⇔ ⇔ 2 x
3 2x
2 x
x
3 2x
2 x (3 2x)
x
3 2x
2 x
2 x (3 2x)
>
− < − ≥ > − ≥ − ≥ − < − ≥ − ≥ − ≤ − x 2 x x
< ≤ ≤ ≤ <
⇔ x
x
≤ ≤ <
Ví dụ Giải bất phương trình
2 2
x −8x 15+ + x +2x 15− > 4x −18x 18+ (5)
Giải Tập xác định gồm x ∈ R thỏa mãn
2 2
x 8x 15
x 2x 15
4x 18x 18
− + ≥ + − ≥ − + ≥ ⇔
x x
x x
3 x x ≤ ∨ ≥ ≤ − ∨ ≥ ≤ − ∨ ≥
(13)(5) ⇔
2 2
x
x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18
≥
− + + + − > − +
⇔
2
x
x 8x 15 x 2x 15 (x 3)
≥
− + + − > −
⇔
2
x
(x 3) (x 25) (x 3)
≥
− − > −
⇔
2
x
x 25 (x 3)
≥
− > −
⇔
x
6x 34
≥
≥
⇔ x ≥
17
Ví dụ Giải bất phương trình
1 x
x
x x
1 x −
− − − > (6)
Tập xác định gồm x thỏa mãn (x 1)(x 1)
0 x
x x
+ −
≥
−
≥
⇔
x x
0 x + ≥ −
≥
⇔ x ∈ [−1, 0) ∪ [1, +∞)
Với x vậy, để x nghiệm (6)
x
x x
− > −1 ⇔ x >
Trên (1, +∞), (6) ⇔
2
x x x
x
x x x
− − −
+ − >
⇔ x 1 x
x −
+ − > ⇔ x x 1
x −
+ − > (7)
⇔ x x x2 1
x x
− −
+ + − > (vì vế trái (7) dương) ⇔
2 2 x2−1 x+ >x 0
x − −1
⇔
(
)
2 (14)Vậy tập nghiệm (6) (1, +∞)
Ví dụ Giải biện luận
(x−a)(x+ −a 2)≥2x− − (7) a
Điều kiện (x − a)(x + a − 2) ≥ ⇔ (x − 1)2 − (a − 1)2 ≥
⇔ x a
x a
≥ + −
≤ − −
(8)
(7) ⇔ 2
(x 1)− − −(a 1) ≥2(x 1) (a 1)− − −
⇔
2
2
(x 1) (a 1)
2(x 1) (a 1)
(x 1) (a 1) [2(x 1) (a 1)]
2(x 1) (a 1)
− ≥ −
− − − ≤
− − − ≥ − − −
− − − ≥
2
⇔
2
x a
x a
a x
2
(x 1) 2[(x 1) (a 1)]
a
x
2 ≥ + −
≤ − −
−
≤ +
− + − − − ≤
−
> +
⇔
x a
x
x a
a
x
2 ≤ − −
=
=
− > +
⇔ x ≤ a− −1
Ví dụ Giải bất phương trình
2 x+ > + (10) a x
Giải Tập xác định {x : x ≥ −a} Khi
(10) ⇔ ⇔
2
x
x a
x
4(x 1) (x 1)
+ <
+ ≥
+ ≥
+ > +
a x
1 a x a
x
− ≤ < −
− < < +
> − Từ đó,
(15)