Chủ đề:PT-BấtPT-HệPT hữu tỉ & vôtỉ

CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ :PHƯƠNG TRÌNH. BẤT PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH. CHÚ Ý : 1) Nếu f(x) có GTLN và GTNN trên K thì : mxfKxmxf mxfKxmxf >⇔∈∀> <⇔∈∀< )(min,)( )(max,)( mxf = )( có nghiệm )(max)(min xfmxfKx ≤≤⇔∈∀ mxf < )( có nghiệm x K∈ ⇔ mxf < )(min mxf > )( có nghiệm x K∈ ⇔ mxf < )(min mxfKxmxf mxfKxmxf ≤⇔∈∀> ≥⇔∈∀< )(maxnghiêmvô,)( )(minnghiêmvô,)( 2) Nếu f(x) không tồn tại GTLN hoặc GTNN trên K ta sử dụng tương giao đồ thị: Xét (C) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m trên TXĐ K. )(,)( CKxmxf ⇔∈∀< nằm hoàn toàn phía dưới d. )(,)( CKxmxf ⇔∈∀≤ không có điểm nằm phía trên d. ⇔∈∀> Kxmxf ,)( (C) nằm hoàn toàn phía trên d . ⇔∈∀≥ Kxmxf ,)( (C) không có điểm nằm phía dưới d. mxf < )( có nghiệm x K∈ ⇔ Kx ∈∃ để có điểm M(x;f(x)) nằm phía dưới d. mxf > )( có nghiệm x K∈ ⇔ Kx ∈∃ để có điểm M(x;f(x)) nằm phía trên d. (Nếu hai trường hợp sau có dấu ≤ hoặc ≥ thì điểm M(x;f(x)) có thể nằm trên d. I )HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: Giải hệ phương trình :      ++=+ −=− 2 3 yxyx yxyx               2 1 ; 2 3 )1;1( (Khối B-2002) HD: Dùng hai ẩn phụ u = x – y 0 ≥ ; v = x + y 0 ≥ BÀI 2: Giải hệ phương trình:      += −=− 12 11 3 xy y y x x                 −−−−         +−+− 2 51 ; 2 51 ; 2 51 ; 2 51 );1;1( HD: ( ) 0 ≠ xy . Xét hàm số f(t) = 0 1 ≠∀− t t t có f ‘(t)>0 nên f(t) là hàm số đồng biến. PT đầu xảy ra khi x = y . Thay y = x vào PT sau để giải tìm x, từ đó tìm y. BÀI 3: Giải hệ phương trình:        + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y ( ) )1;;1( (Khối B – 2003 ). HD: + Từ ĐK ( ) 0 ≠ xy thì VP >0 nên x > 0 , y > 0. + Qui đồng được hệ đối xứng loại II BÀI 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm :      −=+ =+ myyxx yx 31 1       ≤≤ 4 1 0 m HD: + Đặt ĐK 0;0 ≥≥ yx (Nhận xét là hệ đối xứn loại I). + (Do ĐK của x và y nên có thể 3 1 031 ≤⇔≥−⇒ mm ) + Đặt ẩn phụ đưa về hệ đa thức đối xứng loại I. BÀI 5: Giải hệ phương trình :      ++=+ −=− 2 )(7 22 33 yxyx yxyx                 −−         ++ 2 51 ; 2 51 ; 2 51 ; 2 51 )1;2();2;1( BÀI 6: Giải hệ phương trình :      =+ −=+ 5 2 111 22 yx yx ( ) )2;1();1;2( −− HD: Dạng hệ đối xứng loại I BÀI 7: Giải hệ phương trình :      =+ =+ 358 152 33 22 yx xyyx       )2; 2 3 ();3;1( HD: Các vế tái hai PT có nhân tử (2x + y) BÀI 8: Giải hệ phương trình :      −=− −=− 232 232 22 22 yxy xyx ( ) )2;2();1;1( HD: Hệ đối xứng loại II BÀI 9: Cho hệ phương trình :      =+++++++ =+++ mxyxyyx yx 1111 311 a/Giải hệ với m = 6 b/Tìm tất cả các giá trị của m để hệ có nghiệm.       ≤≤ 4 27 0/)0;3();3;0(/ mba HD: (Dạng hệ đối xứng loại I) Biến đổi vế trái PT thứ hai về dạng tích, sau đó dùng ẩn phụ BÀI 10: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :    =+− ≤−+ 0 22 22 ayx xyx ( ) 6161 +−=∨−−= aa HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với hình tròn BÀI 11: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :      ≤+ ≥+++ 1 12 yx mxyyx       −= 2 1 m BÀI 12: Cho hệ: ( )    =+− ≤−+− 0 2)1(1 2 2 myx yx . ( ) 0 = m Xác định m để hệ nghiệm đúng [ ] 2;0 ∈∀ x HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng có điểm chung với hình tròn [ ] 2;0 ∈∀ x BÀI 13: Cho hệ:    =−+ =−+ 0 0 22 aayx xyx .       << 3 4 0 a Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt. HD: Có thể giải bằng phương pháp hình học : Định điều kiện để đường thẳng cắt đường tròn BÀI 14: Cho hệ:    =+ =+ 4 222 yx myx . ( ) 22 ≥ m Tìm m để hệ có nghiệm . BÀI 15: Giải hệ:        =+ =+ 2 2 3 2 3 2 y xy x yx . ( ) )1;1( BÀI 16: Cho hệ:      +=− =− 26 12 2 2 mxyx yxy . ( m > -14) BÀI 17: a) Giải hệ:      −=+ =+ 22 333 6 191 xxyy xyx .               −       − 2; 3 1 ;3; 2 1 b) Giải hệ :      =+ =+ )2(51 )1(6 222 22 xyx xxyy ( )               1; 2 1 ;2;1 HD: Các hệ PT dạng khác . (câu a) và b) tương tự). HD: Câu b) + x =0 thì (2) vô nghiệm. + x 0 ≠ chia hai vế PT của hệ cho x 2 ta được        =−       + =       + ⇔        =+ =+ 52 1 6 1 5 1 6 2 2 2 2 2 x y y x y xx y y x x y x y + Đặt hai ẩn phụ thì được hệ đa thức. BÀI 18: Giải hệ:      =−−− =+−+ 38923 143 22 22 yxyx yxyx                 − −         − +         −         + 4; 2 133 ;4; 2 133 ;0; 2 133 ;0; 2 133 HD: ( ) ( ) ( ) ( )    =− =+ ⇔      =+−− =++− 323 1 34233 143 22 22 vu vu yyxx yyxx BÀI 19: Định m để hệ sau có nghiệm : 0; 21 21 ≥      =−++ =−++ m mxy myx ( ) 3 ≥ m II ) PHƯƠNG TRÌNH: BÀI 20: Giải phương trình : 1723 =+−− xx ( ) 9 = x BÀI 21: Giải p/t: 2 3 1212 + =−−+−+ x xxxx )51( =∨= xx BÀI 22: Giải p/t : 4)5)(2(52 =−++−++ xxxx         ± = 2 533 x HD: PT có dạng cxgxfbxgxfa =+± )().())()(( với f(x)+g(x) =const. Đặt một ẩn phụ t = )()( xgxf ± (Nếu bài toán có chứa tham số cần lấy ĐK đúng cho t ) BÀI 23: Cho phương trình : axxxx =−++−++ )8)(1(81 (1) a/Giải phương trình khi a =3. ( x = -1 ; x = 8) b/Xác định a để (1) có nghiệm. )23 2 9 3( +≤≤ a HD: Giống bài 22 BÀI 24: Cho phương trình : mxxxx ++−=−+ 99 2 Tìm m để phương trình có nghiệm ?       ≤≤− 10 4 9 m HD:+ Nhận xét x + (9-x) = 9 và x(9-x) = -x 2 +9x . Từ đó đặt ẩn phụ t = xx −+ 9 (Lấy ĐK đúng cho t ) + Dùng GTLN và GTNN BÀI 25: Cho phương trình : mxxxx =−++−+ 444 (1) a/Giải phương trình khi m =3. ( x = 4) b/Xác định a để (1) có nghiệm. ( )6 ≥ m BÀI 26: Định m để pt sau có nghiệm duy nhất: mxx =−+− 3 22 121 . ( ) 3 = m HD:Dùng ĐK cần và đủ BÀI 27: Giải pt : 0321 333 =+++++ xxx ( ) 2 −= x HD: Chuyển một căn thức sang vế phải ; Lập phương hai vế rồi dùng phép thế trong BÀI 28: Giải pt : 13 3 =−+ xx ( ) 221 =∨= xx BÀI 29: Giải pt : 112 3 −−=− xx { }( ) 10;2;1∈x BÀI 30: Định m để pt sau có nghiệm : 01 1 2 1 2 =+ + +         + x x m x x HD: Đặt t = x x + 1 (x>0) 2 ≥⇒ t . → 012 2 =++ mtt có nghiệm 2 ≥ t BÀI 31: Định m để pt sau có nghiệm : )45(12 xxmxxx −+−=++ . HD: ĐK 0 4 ≤≤ x , rút m = f(x) = xx xxx −+− ++ 45 12 ; f ’(x)>0 ⇒ f(0) )4()( fxfm ≤=≤ . BÀI 32: Giải phương trình : 11414 2 =−+− xx ( ) 2 1 = x HD: ĐK : 2 1 ≥ x ; nhẩm nghiệm ( ) 2 1 = x ; chứng minh y = 1414 2 −+− xx đồng biến với mọi 2 1 ≥ x BÀI 33: Giải phương trình : 3128 22 ++−=+ xxx . HD: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số (Nhẩm tìm một nghiệm x =1 rồi chứng minh nghiệm đó duy nhất) BÀI 34: Giải phương trình : 0642532 2 =−+−−+− xxxx . HD :+ Lấy ĐK 2 5 2 3 ≤≤ x . BĐPT về dạng 642532 2 +−=−+− xxxx . + Tìm GTLN và GTNN của xxxf 2532)( −+−= trên D =       2 5 ; 2 3 . + 2)( = xfMax D Dxxf ∈∀≤⇒ 2)( . + 22)2(64)( 22 ≥+−=+−= xxxxg PT có nghiệm 2)(2)( =∧=⇔ xgxf 2 =⇒ x là nghiệm PT III ) BẤT PHƯƠNG TRÌNH: BÀI 35: Giải bất p/t: 0232)3( 22 ≥−−− xxxx       ≥∨=∨−≤ 32 2 1 xxx HD: Dùng phép BĐTĐ BÀI 36: Giải bất phương trình: 12312 ++−≥+ xxx ( ) 43 ≤≤ x HD: Dùng phép BĐTĐ BÀI 37: Giải bất p/t: 3 7 3 3 )16(2 2 − − >−+ − − x x x x x ( ) 3410 −> x HD: ĐK 4 ≥ x , sau đó dùng phép BĐTĐ BÀI 38: Giải bpt : 2 3 1212 >−−+−+ xxxx ( ) 1 ≥ x BÀI 39: Giải hệ bất phương trình :      ≤+− ≤− 045 02 24 2 xx xx ( ) 21 ≤≤ x BÀI 40: Định m để hệ sau có nghiệm:      ≥−−− ≤−− 0153 043 23 2 mmxxx xx ( ) 161 ≤≤− m BÀI 41: Giải bất phương trình : 12411 −+−≥+ xxx ( ) 54 ≤≤ x BÀI 42: Giải bất phương trình : 26 2 +≥−+ xxx ( ) 3 −≤ x BÀI 43: Giải bất phương trình sau: 2 2 2 2 24 xxx xx x −< − −− (0 <x< 2) BÀI 44: Định m để bpt : 01622 23 <−−++ mmxxx có nghiệm lớn hơn 3 . ( m< -29) BÀI 45: Định m để bpt : 0)(2 22 <−−− mxxxx có nghiệm .       −> 4 1 m BÀI 46: Định m để bpt : 012)2( 2 ≤+−+ mxxm có nghiệm [ ] 3;0 ∈ x       −≤∨≥ 3 19 2 mm  BÀI 47: Định m để bpt : 01 2 3 3 <+− mx x có nghiệm với ( ) 1;0 ∈ x . ( ) 3 2>m BÀI 48: Cho bất phương trình ( ) 421 2 2 2 ++≤++ xxmx a) Giải bất phương trình khi m = 3. b) Tìm m sao cho bất phương trình thỏa [ ] 1;0 ∈∀ x HD: Đặt t =f(x) = 2 2 + xx (Câu a/ 0 12 −≤≤ x ) b/ f ‘(x) > 0 3)1()0(0 =≤≤=→ ftf ; BPT trở thành m 3)( 2 ++−=≤ tttg [ ] 3;0 ∈∀ t mmtg ≥⇔≥⇔ 3)(min BÀI 49: Cho bất phương trình : 13 +≤−− mxmx . a) Giải bất phương trình khi m = 2 1 . b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm. HD: ĐK 3 ≥ x ; đặt t = 3 − x ; 0 ≥ t Viết BPT theo t là: 1)3( 2 +≤−+ mttm . (*) a) Khi m = 2 1 kết quả 73 ≤≤ x b) (*) 2 1 )( 2 + + =≤⇔ t t tfm có nghiệm khi 0 ≥ t [ ) mmtf ≥ + ⇔≥⇔ +∞ 4 13 )(max ;0 . BÀI 50: Cho bất phương trình : mxx ≤−+− 41624 . a) Giải BPT khi m = 4. b) Tìm tất cả các giá trị của m để BPT có nghiệm. HD: a) Dùng phép BĐTĐ kết hợp với ĐK của x ta được 43 4 9 3 4 9 2 1 ≤≤+∨−≤≤ xx . c) Đặt f(x) = xx 41624 −+− ,       =∈ 4; 2 1 Dx . mxf ≤ )( có nghiệm mmxMìnf D ≤⇔≤⇔ 14)( . BÀI 51: Cho BPT : mxx >−− 1 . Tìm tham số m > 0 để BPT có nghiệm ? (Đ số : 0 < m <1). HD: (Bài này xét 1)( −−= xxxf với 1 ≥ x không có GTLN và GTNN). BPT f(x) > m có nghiệm 1 ≥∃⇔ x để có điểm (x ; f(x)) nằm phía trên đường thẳng d : y = m 10 <<⇔ m . ----------------Tạm dừng--------------- . xfmxfKx ≤≤⇔∈∀ mxf < )( có nghiệm x K∈ ⇔ mxf < )(min mxf > )( có nghiệm x K∈ ⇔ mxf < )(min mxfKxmxf mxfKxmxf ≤⇔∈∀> ≥⇔∈∀< )(maxnghiêmvô,)(. xx x −< − −− (0 <x< 2) BÀI 44: Định m để bpt : 01622 23 <−−++ mmxxx có nghiệm lớn hơn 3 . ( m< -29) BÀI 45: Định m để bpt : 0)(2 22 <−−−