c Khi đờng thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi... Yªu cÇu néi dung.[r]
(1)§Ò kh¶o s¸t chÊt lîng häc sinh mòi nhän- Đê7 n¨m häc 2010-2011 M«n: To¸n Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi (3,0 ®iÓm): Cho biÓu thøc: A= x2 + x −2 x 2+ x +6 a- Tìm điều kiện xác định A, rút gọn A b- Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bµi (4,0 ®iÓm): 44 88 ⏟ ⏟ a) Chøng minh r»ng sè C = 444 n sè n −1 sè sè tù nhiªn viết đợc dới dạng bình phơng ||x|−3|=x+ b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: Bµi (4,0 ®iÓm): a) Cho a + b + c=0 vµ a2 + b2 + c2=14 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = a4 + b4 + c4 b) Tìm số nguyên dơng n để n5+1 chia hết cho n3+1 Bµi (2,0 ®iÓm): Cho a, b, c > vµ a+b+c Chøng minh r»ng: 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ac c +2 ab Bµi (2,0 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch S, trung tuyÕn AM Gäi N lµ trung ®iÓm cña AM, BN c¾t c¹nh AC t¹i E, CN c¾t c¹nh AB t¹i F TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AFNE theo S Bµi (5,0 ®iÓm): Cho hình bình hành ABCD Qua A kẻ đờng thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lợt t¹i E, K, G Chøng minh: a) AE =EK EG b) 1 = + AE AK AG c) Khi đờng thẳng qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi -Híng dÉn chÊm to¸n (2) C©u Yªu cÇu néi dung ý §iÓm a- §KX§: x 2+5 x +6 ≠ ⇔ ( x +2 )( x +3 ) ≠ ⇒ x ≠ −2 ; x ≠ −3 a 1,0 ® A= A= x2 + x −2 ( x − ) ( x +2 ) x −1 = = x 2+ x +6 ( x +2 ) ( x+ ) x +3 0,5 ® x +3 §Ó A nguyªn th× 2,0 ® 0,75 ® x−1 =1− x +3 x +3 b 0,25 ® nguyªn hay x+3 ¦(4) Suy ra: x+3 -4 -2 -1 X -7 -5 -4 -2 -1 V× §KX§: x 0,75 ® -2 VËy x nhËn c¸c gi¸ trÞ: -7;-5;-4;-1;1 11 =a th× n ⏟ §Æt 111 10 =9 a+1 n sè 0,5 ® 0,25 0,25 ® 44 88 = ⏟ ⏟ Ta cã: sè C = 444 n sè 444 44 88 .8 + ⏟ ⏟ nsè n −1 sè 0,5 ® n sè a n 2,0 ® ¿ a 10 +8 a+1 = 4a(9a+1) +8a+1= 36a2+12a+1= (6a+1)2 = b 2,0 ® ( 666 ⏟ (n-1)sè6 0,5 ® 0,5 ® ) 0,25® * Xét khoảng x phơng trình đã cho trở thành: (1) |x − 3|=x +1 0,25 ® Víi x ≥ pt (1) trë thµnh: x-3=x+1, v« nghiÖm 0,25 (3) Víi ≤ x <3 pt (1) cã nghiÖm x=1 thuéc kho¶ng ®ang xÐt 0,25 * Xét khoảng x< pt đã cho trở thành: |x +3|= x+1 (2) 0,25 Víi −3 ≤ x< pt (2) cã d¹ng: x+3= x+1, v« nghiÖm 0,25 Víi x< −3 pt (2) cã nghiÖm x=-2 (kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt) 0,25 Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = { } 0,5 ® Ta cã: 142 =( a2 +b 2+ c2 )2 ⇔ 196=a +b 4+ c +2 a2 b2 +2 a2 c 2+2 c b2 4 2 2 0,5 ® ⇔ a +b+ c =196 − ( a c + a b + b c ) L¹i cã: a+b+c=0 ⇒ ( a+ b+c )2=0 a 2,0 ® 2 ⇒ab+ ac+ bc=−7 ⇒ a + b + c + 2ab+ 2ac +2 bc=0 ⇒ ( ab+ ac+ bc ) =49 2 2 2 1,0 ® 2 ⇒ a b + a c +b c +2 ab c+2 bc a+2 ca b=49 ⇒a b2 + a2 c2 +b c +2 abc( a+b+ c)=49 Do đó : ⇒ a b2 + a2 c2 +b c 2=49 ⇒ B=a4+b4+c4=196-2.49=98 1,0 ® b 2,0 ® 0,5 ® n5 +1 ⋮ n3+ 1⇔ n2 ( n3+ ) − ( n2 −1 ) ⋮ n3 +1 ⇔ ( n+1 )( n −1 ) ⋮ ( n+1 ) ( n2 − n+1 ) (4) ⇔ n −1 ⋮ n2 −n+1 (v× n+1 ≠ ) Nếu n=1 thì đợc chia hết cho NÕu n> 1th× n-1< n(n-1)+1=n2-n+1 nªn (n-1) kh«ng thÓ chia hÕt cho n2-n+1 1,0 ® Vậy giá trị n tìm đợc là §Æt x=a2+2bc ; y= b2+2ac; z=c2+2ab ⇒ x , y , z> 0,25 ® Chứng minh đợc ( x+ y+ z ) + + ≥ (x 2,0 ® y z ) 1 ⇒ + + ≥ x y z x + y +z 1,0 ® 0,25 ® Mµ x+y+z=(a+b+c)2 1 1 ⇒ x y z a b c 1 + + ≥9 x y z 0,5 ® Suy ®iÒu ph¶i chøng minh A E F N K B 2,0 ® C M VÏ MK//CF 0,25 ® ⇒ BK=KF=FA 0,25 ® S AKM =4 SAFN ; S BKM=2 S AFN ⇒ SABM =6 S AFN mµ S ABM = S 0,5 ® ⇒ SAFN = T¬ng tù cã: S ANE= S ⇒ S AFNE= S 12 S 12 0,5 ® 0,5 ® (5) A B E K G D C Do BK//AD, nªn EK =BE (1) AE a 2,0 ® ED 0,5 ® Do AB//DG, nªn AE = BE (2) EG ED 0,5 ® Tõ (1)(2) ⇒ EK =AE ⇒ AE 2=EK EG AE 1,0 ® EG Ta cã: AE =DE ⇒ AE =DE (3) EK b T¬ng tù: EB AK DB 0,5 ® AE BE = (4) AG BD 0,5 ® 2,0 ® C«ng tõng vÕ cña (3) vµ (4) ta cã: AE AE DE BE BD + = + = =1 AK AG DB BD BD hay §Æt AB=a; AD=b th×: BK = a KC CG 1 = + AE AK AG vµ KC =CG b DG 1,0 ® 0,5 ® c 1,0 ® Nhân theo vế hai đẳng thức trên, ta đợc: BK a = ⇒BK DG=ab b DG có giá trị không đổi 0,5 ® (6)